精品解析：江苏省连云港高级中学2025-2026学年高三上学期第二次学情检测（10月）数学试题

2025-2026学年第一学期第二次学情检测 高三数学试题 一．选择题（共8小题，每小题5分） 1. 设全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数的虚部为（ ） A. B. 2 C. D. 4 3. 若，下列选项中，使“”成立的一个必要不充分条件为（ ） A. B. C. D. 4. 角的终边过点，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则（ ） A. B. C. 0 D. 6. 自然界中，大多数生物存在着世代重叠现象，它们在生活史中会持续不断地繁殖后代，且有时不同的世代能在同一时间进行繁殖.假定某类生物的生长发育不受密度制约时，其增长符合模型：，其中为种群起始个体数量，为增长系数，为时刻的种群个体数量.当时，种群个体数量是起始个体数量的2倍.若，则（ ） A. 300 B. 450 C. 600 D. 750 7. 已知圆锥的侧面展开图是半径为，圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知实数a、b、c满足：，则下列关系不可能成立的是（ ） A. B. C. D. 二．多选题（共3小题，每小题6分） 9. 已知正实数a，b满足，则（ ） A. B. C. D. 10. 设，函数，则下列说法正确的有（ ） A. 当时，函数为增函数 B. 点为函数图象的对称中心 C. 存在a，使得函数有且仅有一个极值点 D. 函数至少有一个零点 11. 已知定义在上的函数，且，若，则（ ） A. B. 是偶函数 C. 是奇函数 D. 三．填空题（共2小题，每小题5分） 12. 计算：__________ 13. 如果，那么___________ 14. 设，已知函数，若恒成立，则的最大值为______. 四．解答题（共5小题） 15. 某学校为了研究学生的数学成绩与物理成绩是否有关联，随机抽取了500名学生的成绩数据，得到如下2×2列联表： 单位：人 物理成绩 数学成绩 合计 优秀 不优秀 优秀 90 60 150 不优秀 160 190 350 合计 250 250 500 （1）记数学成绩优秀者中物理成绩不优秀的概率为P，求P的值； （2）依据小概率值的独立性检验，能否认为学生的数学成绩与物理成绩有关系？ 参考公式：，其中. 临界值表： 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 16. 已知均为等差数列，且． （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和． 17. 如图，在长方体中，，点E是棱的中点． （1）求证：平面BDE； （2）求直线与平面BDE所成角的正弦值． 18. 已知椭圆的离心率为，短轴长为. （1）求C的方程； （2）若直线与C交于两点，O为坐标原点，的面积为，求t的值. 19. 已知函数. （1）当a=1时，求函数在x=1处的切线方程； （2）求函数的单调区间； （3）若对于任意a∈[4,10]，∈[1,2]，恒有成立，试求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期第二次学情检测 高三数学试题 一．选择题（共8小题，每小题5分） 1. 设全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合并补运算即可求得. 【详解】，，所以， 所以， 故选：B. 2. 复数的虚部为（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算和复数虚部的概念即可得到答案. 【详解】， 则其虚部为4. 故选：D. 3. 若，下列选项中，使“”成立的一个必要不充分条件为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，等价于，若所求必要条件对应的范围为，则，由此判断即可得到本题的答案． 【详解】不等式等价于， 使“”成立的一个必要不充分条件，对应的集合为，则是的真子集， 由此对照各项，可知只有A项符合题意． 故选：A． 4. 角的终边过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由诱导公式可得，利用三角函数的定义求出即可. 【详解】因为角的终边过点， 所以， 所以， 故选：C 5. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题中条件知，代入解析式计算即可. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数， 所以， 故选：B. 6. 自然界中，大多数生物存在着世代重叠现象，它们在生活史中会持续不断地繁殖后代，且有时不同的世代能在同一时间进行繁殖.假定某类生物的生长发育不受密度制约时，其增长符合模型：，其中为种群起始个体数量，为增长系数，为时刻的种群个体数量.当时，种群个体数量是起始个体数量的2倍.若，则（ ） A. 300 B. 450 C. 600 D. 750 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知函数模型计算得出，再结合指数运算计算求解. 【详解】因为模型：，其中为种群起始个体数量，为增长系数， 因为当时，种群个体数量是起始个体数量的2倍. 所以，所以， 若，则. 故选：C. 7. 已知圆锥的侧面展开图是半径为，圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设该圆锥的底面圆半径为，由弧长公式求出，即可求出圆锥的高，再由锥体的体积公式计算可得. 【详解】设该圆锥的底面圆半径为，所以，解得， 所以该圆锥的高， 所以该圆锥的体积． 故选：B． 8. 已知实数a、b、c满足：，则下列关系不可能成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】画出函数，，的图象，判断函数值相等时实数a、b、c的大小关系. 【详解】令，画出，，，图象可知： 当在①位置时，； 当在②位置时，； 当在③位置时，； 不可能成立. 故选：D 二．多选题（共3小题，每小题6分） 9. 已知正实数a，b满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】举出反例可得A、C，借助基本不等式可得B，借助指数运算及基本不等式可得D. 【详解】对A：取，，此时，但，故A错误； 对B：，当且仅当时，等号成立，故B正确； 对C：取，，此时，但，故C错误； 对D： ， 当且仅当时，等号成立，故D正确. 故选：BD. 10. 设，函数，则下列说法正确的有（ ） A. 当时，函数为增函数 B. 点为函数图象的对称中心 C. 存在a，使得函数有且仅有一个极值点 D. 函数至少有一个零点 【答案】BD 【解析】 【分析】根据可判断B，利用导函数的性质与图象，结合零点存在性定理可判断ACD. 【详解】由题意，，， 因为对，有， 所以点为函数图象的对称中心，故B正确； 函数的导函数，， ①当时，恒成立，此时函数是上的减函数， 则函数没有极值点，又，， 所以由零点存在性定理可知，此时函数有一个零点； ②当时，，则方程有唯一解， 当时，，当时，，所以函数是上的减函数， 则函数没有极值点，又，， 所以由零点存在性定理可知，此时函数有一个零点； ③当时，由，得，即， 因为，所以方程有两个不相等的根，不妨设，， 当时，，此时函数单调递减， 当时，，此时函数单调递增， 当时，，此时函数单调递减， 此时，函数有两个极值点， 又时，，时，， 所以由零点存在性定理可知，此时函数至少有一个零点； 综上所述，当时，函数为减函数，故A错误， 当时，函数没有极值点，且有一个零点，当时，函数有两个极值点，且至少有一个零点，故C错误，D正确； 故选：BD. 11. 已知定义在上的函数，且，若，则（ ） A. B. 是偶函数 C. 是奇函数 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】通过赋值令得到或，若，再令，，得出与矛盾，从而确定A正确；令，结合选项A的结论得到，即可判断B正确；令，得，进而得，得，由此判断C不正确；由得，由此，由此判断D正确. 【详解】令，得，所以或， 若，令，，得，即，与矛盾，所以，所以A正确； 令，得即，所以，所以B正确； 令，得，所以，所以，当时，，所以C错误； 因为，所以6是的一个周期，所以，所以D正确． 故选：ABD． 三．填空题（共2小题，每小题5分） 12. 计算：__________ 【答案】1 【解析】 【分析】根据指数的运算以及对数的运算性质即可求出． 【详解】原式＝． 故答案为：1． 13. 如果，那么___________ 【答案】## 【解析】 【分析】利用平方关系和商数关系将化为，代入即可求解. 【详解】因为， 所以. 故答案为：. 14. 设，已知函数，若恒成立，则的最大值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】利用的单调性，将不等式变形为恒成立，利用切线或者构造函数结合导数即可求解最值求解. 【详解】， 设，由于，易知在上递增，且， 故. 法一:设在点处的切线斜率为，，即 切线， 由恒成立，可得，∴， 设， ，当时， ， 当时， ∴，∴的最大值为. 法二:设， 当时， ，当时， ， ∴，即有，∴，下同法一. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略： 1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 四．解答题（共5小题） 15. 某学校为了研究学生的数学成绩与物理成绩是否有关联，随机抽取了500名学生的成绩数据，得到如下2×2列联表： 单位：人 物理成绩 数学成绩 合计 优秀 不优秀 优秀 90 60 150 不优秀 160 190 350 合计 250 250 500 （1）记数学成绩优秀者中物理成绩不优秀的概率为P，求P的值； （2）依据小概率值的独立性检验，能否认为学生的数学成绩与物理成绩有关系？ 参考公式：，其中. 临界值表： 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1） （2）认为学生的数学成绩与物理成绩有关联 【解析】 【分析】（1）根据列联表以及古典概型的概率计算公式即可求解； （2）先进行零假设，然后计算出卡方值，根据独立性检验的思想判断即可. 【小问1详解】 由题可知，数学成绩优秀者有250人，在这250人中物理成绩不优秀的有160人， 所以. 【小问2详解】 零假设为：学生的数学成绩与物理成绩无关联. 根据列联表中的数据，经计算得到 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为学生的数学成绩与物理成绩有关联，此推断犯错误的概率不大于0.01. 16. 已知均为等差数列，且． （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题中条件，即可求解公差，进而根据等差通项公式即可求解， （2）利用裂项相消法求和即可得解. 【小问1详解】 由题意可得． 则的首项为3、公差为2，的首项为1、公差为2． 故． 【小问2详解】 由（1）得． 故． 则． 17. 如图，在长方体中，，点E是棱的中点． （1）求证：平面BDE； （2）求直线与平面BDE所成角的正弦值． 【答案】（1） 证明：连接AC与BD交于点O，连接OE． 则O为AC的中点，又点E是棱的中点，所以， 又平面BDE，平面BDE，所以平面BDE． （2） 【解析】 【分析】（1）连接AC与BD交于点O，连接OE，由证明出线面平行； （2）解法一：建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，得到线面角的正弦值； 解法二：几何法，过C作于点H证平面BDE，在中计算所求. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解法一：以DA，DC，所在的直线分别为x，y，z轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 设，则， 则点，，，， 则，，， 设平面BDE的法向量为， 则得， 令，得平面BDE的一个法向量为， 设直线与平面BDE所成角的大小为，则， 故直线与平面BDE所成角的正弦值是． 解法二：（几何法） 设直线与平面BDE所成角为，则， 其中d为点到平面BDE的距离，即点C到平面BDE的距离． 设，过C作于点H，则平面BDE，所以． 在中，易求得，又，∴． 18. 已知椭圆的离心率为，短轴长为. （1）求C的方程； （2）若直线与C交于两点，O为坐标原点，的面积为，求t的值. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，进而解出即可求解； （2）联立直线与椭圆方程，根据弦长公式及点到直线的距离公式表示出的面积，建立方程即可求解. 【小问1详解】 由题意，得，解得， 则椭圆C的方程为. 【小问2详解】 设， 联立，得， 则，解得， 且， 所以， 点到直线的距离为， 则，解得或，满足， 则或. 19. 已知函数. （1）当a=1时，求函数在x=1处的切线方程； （2）求函数的单调区间； （3）若对于任意a∈[4,10]，∈[1,2]，恒有成立，试求的取值范围. 【答案】（1） （2）当a≤0时，函数在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增； 当0<a<2时，函数在上单调递增，在上单调递减； 当a=2时，函数的(0,+∞)上单调递增； 当a>2时，函数在上单调递增，在上单调递减； （3） 【解析】 【分析】（1）由题设得=lnx3x+x2求，利用导数的几何意义求x=1处的切线斜率，写出切线方程. （2）应用导数，结合分类讨论法求的单调区间； （3）分析法：将题设不等式恒成立问题转化为2x312x2+10x+λ≥0在x∈[1,2]上恒成立，再利用导数求参数的范围. 【小问1详解】 当a=1时，=lnx3x+x2， ∴=，=2， ∴在x=1处的切线斜率k==0，故切线方程为y=2； 【小问2详解】 函数的定义域为(0,+∞)，， 当a≤0时，函数在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增； 当0<a<2时，函数在上单调递增，在上单调递减； 当a=2时，函数的(0,+∞)上单调递增； 当a>2时，函数在上单调递增，在上单调递减； 【小问3详解】 恒成立，即恒成立， 不妨设x2>x1，当a∈[4,10]时，在[1,2]上单调递减，则，可得， 若，则对于任意的a∈[4,10]，x1，x2∈[1,2]，x2>x1，g(x1)≤g(x2)恒成立， ∴在[1,2]上单调递增，即在x∈[1,2]上恒成立， ∴2x3(a+2)x2+ax+λ≥0在x∈[1,2]上恒成立，即a(x2+x)+2x32x2+λ≥0在x∈[1,2]上恒成立， 而x∈[1,2]，即x2+x≤0，故只需10(x2+x)+2x32x2+λ≥0在x∈[1,2]上恒成立，即2x312x2+10x+λ≥0在x∈[1,2]上恒成立， 设h(x)=2x312x2+10x+λ，则在[1,2]上恒成立， ∴h(x)在[1,2]上单调递减，则hmin(x)h(2)=12+λ≥0， ∴λ≥12，故实数λ的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：第三问，将原不等关系变形有，构造易知其单调增，再由其导函数，进一步转化为关于a的一次函数，由单调性可知2x312x2+10x+λ≥0在x∈[1,2]上恒成立，最后利用导数研究最值求参数范围即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $