精品解析：北京市大兴区第七中学2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题

北京市大兴区第七中学2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题 一．选择：（每小题2分，共16分） 1. 下列各式是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程2x2+5x＝6的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A. 2，5，6 B. 5，2，6 C. 2，5，﹣6 D. 5，2，﹣6 3. 用配方法解方程，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若关于x的方程有两个相等的实数根，则的值是( ) A. B. C. D. 5. 把抛物线y=x2 向下平移2个单位，得到抛物线解析式为（ ） A. y=x2+2 B. y=x2-2 C. y=( x+2)2 D. y=( x-2)2 6. 二次函数的图象是（ ） A. B. C. D. 7. 观察下列表格，估计一元二次方程的正数解在（ ） 0 1 2 3 4 5 13 23 A. 和0之间 B. 0和1之间 C. 1和2之间 D. 2和3之间 8. 对于抛物线，下列说法正确的个数是（ ） ①抛物线开口向上 ②图像的对称轴为直线 ③当时，y随x的增大而增大 ④当时，y有最小值 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二．填空题：（每小题2分，共16分） 9. 一元二次方程的根是______． 10. 已知一元二次方程ax2+x﹣b=0的一根为1，则a﹣b的值是___． 11. 已知抛物线 ， 它与 轴的交点坐标为____________． 12. 抛物线的顶点坐标是______． 13. 已知抛物线经过和两点，则h的值为________． 14. 已知直角三角形的两条直角边的长恰好是方程的两根，则此直角三角形的面积为__________． 15. 设，，是抛物线图象上的三点，则，，的大小关系为____________（用“＜”连接）． 16. 生活垃圾无害化处理可以降低垃圾及其衍生物对环境的影响．据统计，2017年全国生活垃圾无害化处理能力约为2.5亿吨，随着设施的增加和技术的发展，2019年提升到约3.2亿吨．如果设这两年全国生活垃圾无害化处理能力的年平均增长率为，那么根据题意可以列方程为_________ 三．解答题： 17. 计算： 18. 解关于x的方程： （1）． （2） （3）． 19. 已知是方程的根，求代数式的值． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：不论k为何值，该方程总有两个实数根； （2）若该方程有一个根是负数，求k的取值范围． 21. 在平面直角坐标系中，顶点为的抛物线交y轴于．求此抛物线的解析式． 22. 已知抛物线（），坐标系中有两点， ． （1）若抛物线经过点，求该抛物线的解析式； （2）若此抛物线与线段有一个公共点，求的取值范围． 23. 要在一个的照片外侧的四周镶上宽度相同的银边，并且要使银边的面积和照片的面积相等，那么银边的宽应该是多少？ 24. 已知二次函数的解析式为：； （1）此抛物线的顶点坐标为 ；与x轴的两个交点坐标为_________和_________ （2）在上边的坐标系中，画出该抛物线； （3）根据图像回答： ①若函数上有点，若，则m的取值范围是 ； ②当时，求函数y的取值范围 ． 25. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点 （1）用含a的式子表示c （2）直线与抛物线交于A和B两点（A点在B点的左侧），在直线上有点，过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F． ①若，时，求的长， ②若，，求a的值． 26. 在中，，，点D在射线上，连接，将线段逆时针旋转得到线段（点E不在直线上），连接，过点E作，交直线于点F． （1）如图1，当点D与点C重合时，求证：； （2）如图2，当点D在线段上，F在线段的延长线上时，用等式表示与之间的数量关系，并证明． 27. 对于平面直角坐标系内的点P和图形M，给出如下定义：如果点P绕原点O顺时针旋转得到点，点落在图形M上或图形M围成的区域内，那么称点P是图形M关于原点O的“伴随点”．已知点． （1）在点中，点______是线段关于原点O的“伴随点”； （2）如果点是关于原点O的“伴随点”，直接写出m的取值范围 ； （3）已知抛物线的顶点坐标为，其关于原点对称的抛物线上存在关于原点O的“伴随点”，直接写出n的最大值 和n的最小值 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市大兴区第七中学2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题 一．选择：（每小题2分，共16分） 1. 下列各式是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是二次的整式方程，据此对选项进行判断即可. 【详解】解：A、展开化简为，不是一元二次方程，故A不符合题意； B、含有两个未知数，不是一元二次方程，故B不符合题意； C、含有分式，不是一元二次方程，故C不符合题意； D、展开化简为，是一元二次方程，故D符合题意. 故选：D. 2. 一元二次方程2x2+5x＝6的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A. 2，5，6 B. 5，2，6 C. 2，5，﹣6 D. 5，2，﹣6 【答案】C 【解析】 【分析】方程整理为一般形式，根据二次项系数、一次项系数、常数项的定义即可求解． 【详解】解：方程整理得：2x2+5x﹣6＝0， 则方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是2，5，﹣6， 故选C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项的定义，化为一般形式是前提． 3. 用配方法解方程，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程是解题的关键． 根据，配方得进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 4. 若关于x的方程有两个相等的实数根，则的值是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义，根据题意求得判别式，即可求解． 【详解】解：，，， ∴， 关于的方程有两个相等的实数根， ， 解得：， 故选：C． 5. 把抛物线y=x2 向下平移2个单位，得到抛物线解析式为（ ） A. y=x2+2 B. y=x2-2 C. y=( x+2)2 D. y=( x-2)2 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，按照“左加右减，上加下减”的规律即可得出解析式． 【详解】解：将抛物线y=x2向下平移2个单位抛物线变为y=x2-2， 故选B． 【点睛】本题考查抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减，难度适中． 6. 二次函数的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的图像与性质可直接进行排除选项． 【详解】由二次函数可得：开口向上，顶点坐标为，对称轴为直线； 故选C． 【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键． 7. 观察下列表格，估计一元二次方程的正数解在（ ） 0 1 2 3 4 5 13 23 A. 和0之间 B. 0和1之间 C. 1和2之间 D. 2和3之间 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查估计一元二次方程根的方法，根据和时的代数式的值，即可得到答案． 【详解】解：根据表格得： 当时，， 当时，， ∴的一个解x的取值范围为， 故选C． 8. 对于抛物线，下列说法正确的个数是（ ） ①抛物线开口向上 ②图像的对称轴为直线 ③当时，y随x的增大而增大 ④当时，y有最小值 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数顶点式的图象和性质；由可得出开口方向、对称轴、增减性、最小值，据此判断即可． 【详解】解：∵开口向上，对称轴是直线，顶点坐标为 ∴当时，y随x的增大而减小；当时，y有最小值， ∴①②④正确，正确的个数是3个， 故选：C． 二．填空题：（每小题2分，共16分） 9. 一元二次方程的根是______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，利用因式分解法解方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得或， 故答案为：或． 10. 已知一元二次方程ax2+x﹣b=0的一根为1，则a﹣b的值是___． 【答案】-1 【解析】 【分析】由题意可知，先将根代入方程求得a、b相关的代数式，再对代数式进行变形即可. 【详解】解：把x=1代入方程ax2+x﹣b=0，可得a+1﹣b=0，解得a﹣b=﹣1． 【点睛】本题考查一元二次方程，结合一元二次方程的相关性质，并对代入所得式子进行变形分析. 11. 已知抛物线 ， 它与 轴的交点坐标为____________． 【答案】 【解析】 【分析】把代入抛物线求出y值，即可得到抛物线与y轴的交点坐标． 【详解】将代入抛物线得： ∴抛物线与y轴的交点坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是熟练掌握二次函数图象与坐标轴的交点的求解方法． 12. 抛物线的顶点坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求抛物线的顶点坐标的方法．掌握顶点式的特点是解题关键．由的顶点坐标为，从而可得答案． 【详解】解：因为是抛物线的顶点式， 根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为． 故答案为． 13. 已知抛物线经过和两点，则h的值为________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的对称性以及对称轴，观察点和，它们关于对称轴对称，据此即可作答． 【详解】解：∵抛物线经过点和两点，且和两点的纵坐标相等， ∴点和关于对称轴对称， 即． 故答案为：1． 14. 已知直角三角形的两条直角边的长恰好是方程的两根，则此直角三角形的面积为__________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．由可得，根据求值即可． 【详解】， ， 恰为直角三角形的两条直角边的长， ． 故答案为：3． 15. 设，，是抛物线图象上的三点，则，，的大小关系为____________（用“＜”连接）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，由抛物线解析式得抛物线开口向上，对称轴为直线，抛物线上的点离对称轴越近，对应的函数值越小，比较各点到对称轴的距离，即可解答． 【详解】解：， 抛物线开口向上，对称轴为直线，抛物线上的点离对称轴越近，对应的函数值越小， ∵， ． 故答案为：． 16. 生活垃圾无害化处理可以降低垃圾及其衍生物对环境的影响．据统计，2017年全国生活垃圾无害化处理能力约为2.5亿吨，随着设施的增加和技术的发展，2019年提升到约3.2亿吨．如果设这两年全国生活垃圾无害化处理能力的年平均增长率为，那么根据题意可以列方程为_________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意，找到等量关系是解题的关键． 根据2017年无害化处理能力（增长率）2019年无害化处理能力建立方程． 【详解】解：设这两年全国生活垃圾无害化处理能力的年平均增长率为，那么根据题意可以列方程为， 故答案为：． 三．解答题： 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，涉及负指数幂的意义，绝对值和平方根化简，零指数幂的意义；负指数幂是正指数幂的倒数，，，. 【详解】解： . 18. 解关于x的方程： （1）． （2） （3）． 【答案】（1）， （2） （3）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键； （1）先化为一般形式，再根据因式分解法解一元二次方程，即可求解； （2）先化为一般形式，再根据公式法解一元二次方程，即可求解； （3）先化为一般形式，再根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【小问1详解】 解：， ∴， ∴， ∴或， 解得：，； 【小问2详解】 解： ∴， ∴，， ， 解得：； 【小问3详解】 解：， ， ∴， ∴或， 解得：，． 19. 已知是方程的根，求代数式的值． 【答案】7 【解析】 【分析】根据方程解的定义得到，再根据进行求解即可． 【详解】解：∵是方程的根， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了代数式求值，一元二次方程解的定义，熟知一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：不论k为何值，该方程总有两个实数根； （2）若该方程有一个根是负数，求k的取值范围． 【答案】（1） 证明：∵方程， ，，， ， ∴无论为何值，该方程总有两个实数根． （2） 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，根的判别式，熟练掌握公式法解一元二次方程是解题的关键； （1）根据根的判别式即可求出答案． （2）通过因式分解法求出方程的两根，根据题意列出方程即可求出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由方程得， ∴或， ，， ∵方程有一个根为负数， ． ∴． ∴的取值范围是． 21. 在平面直角坐标系中，顶点为的抛物线交y轴于．求此抛物线的解析式． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，根据抛物线的顶点为，设该抛物线的解析式为，再把点代入，求得a的值，即可解答． 【详解】解：∵抛物线的顶点为， ∴设该抛物线的解析式为， ∵抛物线交y轴于点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为． 22. 已知抛物线（），坐标系中有两点， ． （1）若抛物线经过点，求该抛物线的解析式； （2）若此抛物线与线段有一个公共点，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求解析式，抛物线与线段的交点． （1）运用待定系数法，将点代入解析式，即可求解； （2）分别把点，代入解析式，即可求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点， ∴， 解得， ∴该抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：当点在抛物线上时，， 解得； 当点在抛物线上时，， 解得， ∴抛物线与线段有一个公共点时，． 23. 要在一个的照片外侧的四周镶上宽度相同的银边，并且要使银边的面积和照片的面积相等，那么银边的宽应该是多少？ 【答案】 【解析】 【分析】本题的等量关系为：银边的面积和照片的面积相等，设银边的款式xcm，根据面积即可列出方程求解． 【详解】解：设银边的宽为，根据题意，得 整理得 解得． 其中不合题意，故舍去． 答：银边的宽为． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，等量关系比较明显，到最后需检验两个解是否符合题意． 24. 已知二次函数的解析式为：； （1）此抛物线的顶点坐标为 ；与x轴的两个交点坐标为_________和_________ （2）在上边的坐标系中，画出该抛物线； （3）根据图像回答： ①若函数上有点，若，则m的取值范围是 ； ②当时，求函数y的取值范围 ． 【答案】（1）；， （2） 该抛物线如下图所示： （3）①；② 【解析】 【分析】本题考查二次函数顶点式的图象和性质； （1）顶点坐标为，再由可求出与x轴的两个交点的横坐标； （2）抛物线的对称轴是直线，顶点坐标为，由（1）知x轴的两个交点，即可画出抛物线图象； （3）抛物线上的点，，即点P在x轴下方，观察图象即可知m的范围；当时，由图象可知y的取值范围. 【小问1详解】 解：顶点坐标为， 令，即 解得， ∴抛物线与x轴的两个交点坐标为，. 故答案为：；，. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵抛物线上的点，，即点P在x轴下方 ∴从图象上得出， ∵当时，对称轴是直线在的范围之内， ∴当时，当时，y的最小值为，为这段图象的最低点 ∴当时，当，y的值为5，为这段图象的最高点，但图象不包括这个点 ∴ ∴当时，y的取值范围为. 故答案为：；. 25. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点 （1）用含a的式子表示c （2）直线与抛物线交于A和B两点（A点在B点的左侧），在直线上有点，过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F． ①若，时，求的长， ②若，，求a的值． 【答案】（1） （2）①1；②4 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，抛物线与直线的交点； （1）点代入解析式即可得出结果； （2）利用点E在直线上，点F在抛物线上，轴，点E、点F的横坐标相同，可求出或表示点E、点F的坐标，即可求出或表示出的长. 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点， ∴将代入解析式得， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）得，所以抛物线为， ①∵， ∴抛物线解析式为，直线解析式为， ∵，代入直线解析式得， ∴点E坐标为， ∵将，代入抛物线解析式得， ∴点F坐标为， ∴； ②将分别代入直线和抛物线， 得到点E坐标为，点F坐标为， ∵， ∴， 解得． 26. 在中，，，点D在射线上，连接，将线段逆时针旋转得到线段（点E不在直线上），连接，过点E作，交直线于点F． （1）如图1，当点D与点C重合时，求证：； （2）如图2，当点D在线段上，F在线段的延长线上时，用等式表示与之间的数量关系，并证明． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， 由旋转可得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2） 解：，证明如下： 延长到点H，使， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， 是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即 ∵由旋转有 ∴ ∴， ． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的判定及性质，熟练掌握旋转的性质，全等三角形判定及平行线性质是解题的关键． （1）由得到．由三角形的内角和定理与旋转的性质证明，，从而得到，进而有，再由得到，从而，因此根据等腰三角形的判定即可解答； （2）延长到点H，使，由得到．由垂直平分线的性质得到，进而根据等腰三角形的“三线合一”得到，从而，即可证明，得到，．证明得到，从而． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 27. 对于平面直角坐标系内的点P和图形M，给出如下定义：如果点P绕原点O顺时针旋转得到点，点落在图形M上或图形M围成的区域内，那么称点P是图形M关于原点O的“伴随点”．已知点． （1）在点中，点______是线段关于原点O的“伴随点”； （2）如果点是关于原点O的“伴随点”，直接写出m的取值范围 ； （3）已知抛物线的顶点坐标为，其关于原点对称的抛物线上存在关于原点O的“伴随点”，直接写出n的最大值 和n的最小值 ． 【答案】（1）和 （2） （3）； 【解析】 【分析】（1）根据“伴随点”的定义，画出每个点绕点O旋转后的对应点，进行判断即可； （2）过点作轴于点，过点作轴于点，证明，求出的坐标，再求出点在线段上和在线段上时，的值，即可得出结论； （3）根据顶点坐标，写出抛物线的顶点式，进而得到其关于原点对称的抛物线的解析式，将绕点O逆时针旋转得到，根据抛物线上存在关于原点O的“伴随点”，得到当抛物线过点时n有最大值，当抛物线过点时n有最小值，即可得解． 【小问1详解】 解：∵，， 轴， 如图所示，点绕点O顺时针旋转得到的对应点分别为：， 其中点，在线段上， ∴和是线段关于原点O的“伴随点”， 故答案为：和； 【小问2详解】 解：，，， 在第一象限， ∵点是关于原点O的“伴随点”， ∴点在第二象限， 过点作轴于点，过点作轴于点， 则：， 绕点顺时针旋转得到， ， ， ， ， ， ， 在第一象限， ， 设直线的解析式为， 则，解得， ∴， 当在上时，m值最小，即，解得：， 当在上时，m值最大，即，解得：， ∴。 故答案为：。 【小问3详解】 解：∵抛物线的解析式为， ∴其关于原点对称的抛物线解析式为， 如图，绕点O逆时针旋转得到，其中， ∵抛物线上存在关于原点O的“伴随点”， ∴当过时，n的值最大， 把代入得， 解得：， n的最大值为， 当过时，n的值最小， 把代入得， 解得：， n的最小值为． 故答案为：；。 【点睛】本题考查旋转的性质，一次函数和二次函数的综合应用，全等三角形的性质和判定，解题的关键是理解并掌握“伴随点”的定义，利用数形结合的思想进行求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $