精品解析：河南省TOP二十名校2026届高三上学期调研考试一（10月）数学试题

秘密★启用前 2026届高三年级TOP二十名校调研考试一 数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设命题，，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定的定义求解即可. 【详解】根据存在量词命题的否定的规定， 由命题，， 可得，. 故选：B. 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数型复合函数的定义域求解即可. 【详解】由，则， 则，解得， 所以函数的定义域为. 故选：A. 3. 已知幂函数的定义域为，则（ ） A. 0 B. 2 C. 3 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】由函数是幂函数解得或，再检验即可. 【详解】由题意，解得或， 当时，的定义域为，符合题意， 当时，的定义域不为，不符合题意， 综上，. 故选：C. 4. 设集合，，则在集合的所有子集中，恰有个元素的集合个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用列举法表示集合，进而可得集合及其子集，即可得解. 【详解】由已知， 又 所以， 则的子集有，，，，，，，， 其中恰有个元素的集合有，，， 共有个， 故选：A. 5. 已知是定义在上且周期为4的奇函数，当时，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由周期性、奇函数性质转换即可求解. 【详解】已知是定义在上且周期为4的奇函数，当时，且， 则. 故选：D. 6. 已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对数函数单调性和一次函数单调性得在单调递增，然后利用二次函数单调性列不等式组求解即可. 【详解】当时，， 因为和都在上单调递增，所以在单调递增， 要使函数在上单调递增， 则，即，解得， 所以的取值范围是. 故选：B 7. 已知，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，则得且，由，利用基本不等式推得，解不等式即得. 【详解】因，设，则，由可得， 则有， 当且仅当，即时，等号成立， 即得，解得，即的最小值为. 故选：D. 8. 函数在上的极值为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数极值的定义进行求解即可. 【详解】， 因为， 所以当时，，所以该函数在区间上单调递增， 当时，，所以该函数在区间上单调递减， 所以当时，是函数的极大值点，所以极大值为， 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据不等式的性质，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，由可得，故，A正确， 对于B, ,故，B正确， 对于C, ,则，故C错误， 对于D,由可得，由得，故，进而，即，D正确， 故选：ABD 10. 已知集合，，则（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. “”是“”的必要不充分条件 C. “中只有一个元素”是“”的充要条件 D. “”是“”的既不充分也不必要条件 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的概念判断 【详解】对于A：若，，或， 则至少含有一个元素，； 若，则不一定有，比如时，，； 因此“”是“”的充分不必要条件，A正确； 对于B：或， 若，则必有；若，则不一定有， 比如时，，不是的子集， 因此“”是“”的必要不充分条件，B正确； 对于C：若中只有一个元素，则，当，且时，， 即“中只有一个元素”不是“”的充分条件，C错误； 对于D：若，则， 此时，不是的子集； 若，则，，但 所以“”是“”的既不充分也不必要条件，D正确； 故选：ABD. 11. 已知定义域为的函数对任意实数均有，过点作直线与曲线另交于，两点，且，则（ ） A. B. 有唯一零点 C. D. 斜率的取值范围是 【答案】BD 【解析】 【分析】利用消元法可得函数的解析式，根据导数判断函数单调性与零点情况，联立直线与曲线，结合交点情况确定方程解的情况，即可判断. 【详解】A选项：由已知①， 则②， 则①②，可得，即，A选项错误； B选项：由，当时，，当时，， 即函数在和上单调递增，在上单调递减， 即函数在时取得极大值，在处取得极小值， 则，且在上的值域为， 即函数在上有唯一零点，在上无零点，即B选项正确； C选项：过作直线， 当直线斜率不存在时，直线与有且只有一个交点为， 则直线斜率存在，设直线方程为， 联立，可得， 由题意，方程可转化为有两个非零解， 即，C选项错误； D选项：，解得且， 即，D选项正确； 故选：BD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若函数的图象关于原点对称，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的图象关于原点对称可知函数为奇函数，再根据奇函数的定义可得解. 【详解】由已知函数的图象关于原点对称， 即函数为奇函数，且函数定义域为， 则， 解得， 当时，，则， 即当时，函数为奇函数，满足图象关于原点对称， 故答案为：. 13. 已知定义在上的偶函数在上单调递减，则不等式的解集为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用偶函数性质和单调性即可求解不等式. 【详解】由定义在上的偶函数可得：， 所以不等式等价于不等式， 又因为在上单调递减， 所以， 整理得：， 即解得：或， 则不等式的解集为， 故答案为： 14. 设函数，则关于的方程根的个数为______，其所有根之和的取值范围为______． 【答案】 ①. 2 ②. 【解析】 【分析】令，则，由得，进而得，作出的图象，利用数形结合即可求解；由题意，进而得，令，则，令，利用导数法研究单调性得，又时，，可得，即可求解. 【详解】令，则，所以，由， 因为，所以，作出的图像：    由图可知：有两个交点，所以的根的个数为2； 由有， 所以， 所以， 令，则，令，则， 所以在上单调递减， 所以当时，，所以， 又因为时，，所以，且当时，， 又当无限趋向于正无穷大时，无限趋向于正无穷大， 所以，所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数，． （1）若时，，求的最大值； （2）探究曲线是否为轴对称图形． 【答案】（1）1 （2）为轴对称图形. 【解析】 【分析】将导数问题转化成函数恒成立，研究函数单调性来求解的最大值. 根据函数图象轴对称的性质，通过验证与的关系来证明. 【小问1详解】 ，的定义域为. ，由于当时，， 即，在上恒成立，故， 当时，单调递减，值域为， 因此在上单调递增，故，可得. 所以的最大值为. 【小问2详解】 ，的定义域为，关于对称. . 故. 故是轴对称图形且关于对称. 16. 隐含波动率常用于刻画转债的估值水平，记为转债价格，为剩余期限，为折现利率，进行参数调整后，，其中为参数，为转债标准差. （1）若，求的最小值； （2）现将逐步调小，此时逐渐增大，最终近似得到. （ⅰ）若，，求； （ⅱ）证明：. 【答案】（1）8； （2）（ⅰ）1；（ⅱ）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用基本不等式求出最小值. （2）（ⅰ）利用指数、对数运算法则求解；（ⅱ）构造函数，利用导数证明不等式即得. 【小问1详解】 由，得， 当且仅当时取等号，所以的最小值为8. 【小问2详解】 （ⅰ）依题意，，即， 所以. （ⅱ）令函数，求导得，当时，；当时，， 则函数在上单调递减，在上单调递增，， 则，即， 因此， 所以. 17. 已知函数，． （1）若在区间上单调递增，求的取值范围； （2）若，均有，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将单调性转化为在区间上恒成立，求导，分离参数，求解函数的最值即可得解， （2）利用换元，将问题转化为在恒成立，构造函数，利用导数求解最值即可求解. 【小问1详解】 由于在区间上单调递增，所以在区间上恒成立， 故，即在区间上恒成立， 由于函数在区间上单调递增，故当时，取到最大值， 故. 【小问2详解】 由题意可得对，恒成立，即， 令，则， 由于恒成立，故在单调递增，故， 因此在恒成立，故， 记，则，故当，因此在单调递减，在单调递增， 故，故. 18. 设函数，． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论如何将曲线平移变为曲线； （3）设是曲线的一条切线，点在直线上，试判断与的大小关系，并给出证明． 【答案】（1）； （2）答案见解析； （3），证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，再由点斜式方程即可求得； （2）根据的不同范围分类考虑，运用平移规律即可由平移得到曲线； （3）设切点为，利用导数的几何意义求得切线方程，依题代入，整理成，将待证命题等价转化为，设，即需证，构造函数，利用求导即可证明结论. 【小问1详解】 当时，，则，故， 则曲线在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 对于， ① 当时，，只需将向下平移1个单位即得； ②当时，可将向右平移个单位，再向下平移个单位即得； ③当时，可将向左平移个单位，再向下平移个单位即得； ④当时，可将向左平移1个单位即得； ⑤当时，可将向左平移个单位，再向上平移个单位即得. 【小问3详解】 ，证明如下： 由求导得，设与曲线切于点， 则，， 因点在直线上，则. 要证，即需证，即证， 两边除以，即，设，则需证， 设，则，当时，，当时，， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 故，即成立，故可得. 19. 已知函数列，和，． （1）求的零点和的最值； （2）证明：； （3）当为奇数时，讨论的单调性，并证明至少存在两个零点． 【答案】（1）答案见解析 （2）答案见解析 （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）解方程求零点，化为二次函数型求最值； （2）法一：用数学归纳法证明；法二：由积化和差公式代入计算即可； （3）判断导数符号求单调区间，再证明当为奇数时，．最后利用零点存在性定理判断零点个数. 【小问1详解】 ， 由，得或， 解得或或，， 因为，所以， 即的零点为. ， 令，因为，所以，所以， 当，，当时，， 所以的最大值为，最小值为. 【小问2详解】 法一：当时，左边=，右边=，左边=右边； 假设当时，等式成立，即， 则当时， 即当时等式成立， 综上可知，. 法二：由，得. 一定有 . 再由， 一定有，故得证. 【小问3详解】 由于，根据（2）的恒等式， 对求导，一定有， 令，则一定有或． 解得或． 又因为为奇数，所以在区间上单调递减，在区间上单调递增； 先证明：当为奇数时，． 令，则只需证明对任意的，都有．由于 ， 因此对任意的，只需证明，即可证明不等式． 构造函数，则，则在上单调递减， 从而，且时，． 取，得到． 从而， 所以，又， 所以在和上各至少有一个零点， 再根据零点存在定理及上述分析，至少存在两个零点得证． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 秘密★启用前 2026届高三年级TOP二十名校调研考试一 数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设命题，，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 3. 已知幂函数的定义域为，则（ ） A. 0 B. 2 C. 3 D. 1 4. 设集合，，则在集合的所有子集中，恰有个元素的集合个数为（ ） A. B. C. D. 5. 已知是定义在上且周期为4的奇函数，当时，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 函数在上的极值为（ ） A. B. 1 C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 10. 已知集合，，则（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. “”是“”的必要不充分条件 C. “中只有一个元素”是“”的充要条件 D. “”是“”的既不充分也不必要条件 11. 已知定义域为的函数对任意实数均有，过点作直线与曲线另交于，两点，且，则（ ） A. B. 有唯一零点 C. D. 斜率的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若函数的图象关于原点对称，则__________． 13. 已知定义在上的偶函数在上单调递减，则不等式的解集为__________． 14. 设函数，则关于的方程根的个数为______，其所有根之和的取值范围为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数，． （1）若时，，求的最大值； （2）探究曲线是否为轴对称图形． 16. 隐含波动率常用于刻画转债的估值水平，记为转债价格，为剩余期限，为折现利率，进行参数调整后，，其中为参数，为转债标准差. （1）若，求的最小值； （2）现将逐步调小，此时逐渐增大，最终近似得到. （ⅰ）若，，求； （ⅱ）证明：. 17. 已知函数，． （1）若在区间上单调递增，求的取值范围； （2）若，均有，求的取值范围． 18. 设函数，． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论如何将曲线平移变为曲线； （3）设是曲线的一条切线，点在直线上，试判断与的大小关系，并给出证明． 19. 已知函数列，和，． （1）求的零点和的最值； （2）证明：； （3）当为奇数时，讨论的单调性，并证明至少存在两个零点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $