精品解析：福建省三明第一中学2025-2026学年高三上学期10月月考数学试题

三明一中2025-2026学年上学期高三10月月考 数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，仅有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足（为虚数单位），则复数的虚部为（ ） A. B. 1 C. D. 3. 在所在平面内，点满足，记，，则（ ） A. B. C. D. 4. 某个弹簧振子在振动过程中的位移y(单位：mm)与时间t(单位：s)之间的关系为.则时，弹簧振子的瞬时速度为（ ） A. B. 0 C. D. 5. 已知，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 6. 甲、乙、丙三人各自计划暑假去重庆旅游，他们都从武隆天生三桥、长江索道、重庆动物园、白帝城这4个景区中任选一个，若甲不去重庆动物园，且甲、乙、丙三人去的景区互不相同，则这三人的不同选择方法共有（ ） A. 24种 B. 18种 C. 12种 D. 6种 7. 若，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，分别为的图象两条相邻对称轴上的动点，向量，，为得到函数的图象，需要将的图象（　　） A. 先向右平移个单位长度，再向上平移3个单位长度 B. 先向右平移个单位长度，再向上平移3个单位长度 C. 先向右平移个单位长度，再向下平移3个单位长度 D. 先向右平移个单位长度，再向上平移3个单位长度 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 为偶函数 B. C. 若，则 D. 的最大值为5 10. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列结论中正确的选项有（ ） A. 若A >B， 则 B. ，则 C. 若，则定为直角三角形 D. 若且该三角形有两解，则b的取值范围是 11. 已知函数，其中实数，则下列结论正确的是（ ） A. 当时，必有两个极值点 B. 过点可以作曲线的3条不同切线，则 C. 若有三个不同的零点，且成等差数列，则 D. 若有三个不同的零点，则 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量满足，则__________. 13. 若，则__________(用数字作答)． 14. 已知函数及其导函数的定义域为，若，函数和均为偶函数，则的值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知某区组建了一支120人的志愿者队伍，并由其中72人组成“志愿模范队”.经过一年的实践，全队共有72人的周平均服务时长超过2小时，其中有54人来自“志愿模范队”，如下表所示. 是“志愿模范队”成员 不是“志愿模范队”成员 总计 周平均服务时长超过2小时 54 72 周平均服务时长不超过2小时 总计 72 120 （1）已知一名志愿者是“志愿模范队”成员，求其周平均服务时长超过2小时的概率. （2）请完成列联表，并根据表中数据回答：根据小概率值的独立性检验，能否认为“是‘志愿模范队’成员”与“周平均服务时长超过2小时”有关系？ 附录：，其中. 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 16. 已知函数的最大值为1， （1）求常数a的值； （2）求函数在的单调递减区间； （3）求使成立的x的取值集合． 17. 已知函数. （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若函数的最大值为0，求实数的值. 18. 在中，角的对边分别为，向量，且，点为边上一点． （1）求角的大小； （2）若是的角平分线，的周长为19，求的长度； （3）若是边上靠近点A的一个三等分点，，求实数的取值范围． 19. 已知函数. （1）若，且，求a的最小值； （2）证明：曲线是中心对称图形； （3）若,当时恒成立，求b的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 三明一中2025-2026学年上学期高三10月月考 数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，仅有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别求出集合，再利用交集的定义求解即可. 【详解】， 又因为，所以，故D正确. 故选：D. 2. 已知复数满足（为虚数单位），则复数的虚部为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的运算法则，化简复数为，结合复数的概念，即可求解. 【详解】由复数的运算法则，可得， 所以复数的虚部为. 故选：B. 3. 在所在平面内，点满足，记，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由向量的线性运算法则即可算得结果. 【详解】由向量的线性运算可知. 故选：C. 4. 某个弹簧振子在振动过程中的位移y(单位：mm)与时间t(单位：s)之间的关系为.则时，弹簧振子的瞬时速度为（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据诱导公式化简函数，然后求出导函数，代入计算即可求解. 【详解】由题可得位移是关于时间的函数，且满足， 则， 则该弹簧振子在时的瞬时速度是. 故选：C 5. 已知，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值. 【详解】由，得，则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是. 故选：D 6. 甲、乙、丙三人各自计划暑假去重庆旅游，他们都从武隆天生三桥、长江索道、重庆动物园、白帝城这4个景区中任选一个，若甲不去重庆动物园，且甲、乙、丙三人去的景区互不相同，则这三人的不同选择方法共有（ ） A. 24种 B. 18种 C. 12种 D. 6种 【答案】B 【解析】 【分析】根据排列的定义，结合分步计数原理进行求解即可. 【详解】因为甲不去重庆动物园， 所以甲有三种不同的去处， 又因为甲、乙、丙三人去的景区互不相同， 所以这三人的不同选择方法共有， 故选：B 7. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两角和差的正弦公式，结合同角三角函数的基本关系进行求解即可. 【详解】 ， 故选：A 8. 已知函数，分别为的图象两条相邻对称轴上的动点，向量，，为得到函数的图象，需要将的图象（　　） A. 先向右平移个单位长度，再向上平移3个单位长度 B. 先向右平移个单位长度，再向上平移3个单位长度 C. 先向右平移个单位长度，再向下平移3个单位长度 D. 先向右平移个单位长度，再向上平移3个单位长度 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量数量积的几何意义可得出的图象的两条相邻对称轴之间的距离，进而得出，再利用图象变换依次得出满足各个选项条件的解析式即可. 【详解】设在上的投影向量为，则， 因，则，， 因分别为的图象的两条相邻对称轴上的动点，则， 得， 故，， 将的图象按照各个选项的条件变化分别得到满足以下解析式的函数图象： A： B：， C：， D： ，故符合题意的只有B选项. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 为偶函数 B. C. 若，则 D. 的最大值为5 【答案】AB 【解析】 【分析】根据偶函数的定义，结合正切两角和公式、二倍角正弦余弦公式、同角的三角函数关系式逐一判断即可. 【详解】A：因为函数的定义域为，定义域关于原点对称， 且， 所以为偶函数，因此本选项说法正确； B：因为， 所以， 显然，因此本选项说法正确； C：因为， 所以本选项说法不正确； D：， 因为， 所以当时，的最大值为， 所以本选项说法不正确， 故选：AB 10. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列结论中正确的选项有（ ） A. 若A >B， 则 B. ，则 C. 若，则定为直角三角形 D. 若且该三角形有两解，则b的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用正弦定理、余弦定理，结合各选项条件逐项求解判断. 【详解】对于A，在中，，A正确； 对于B，由余弦定理得，即， 而，解得，B错误； 对于C，由余弦定理得，整理得，为直角三角形，C正确； 对于D，有两解，则，而，因此，D正确. 故选：ACD 11. 已知函数，其中实数，则下列结论正确的是（ ） A. 当时，必有两个极值点 B. 过点可以作曲线的3条不同切线，则 C. 若有三个不同的零点，且成等差数列，则 D. 若有三个不同的零点，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于选项A，首先求函数的导数，然后将函数有两个极值点问题转化为导数等于0有两个解的问题；对于选项B，首先求出函数在过点的切线方程，然后构造新函数，将切线条数问题转变为新函数与直线的交点个数问题，通过判断新函数的单调性和极大值极小值，即可求出交点有3个时的取值范围；对于选项C，首先将函数化简成含有三个零点的式子相乘的形式，然后展开，根据等差数列，可求得的关系；对于选项D,首先根据已知条件将表示出来，然后代入D项的式子中，化简计算可得结果. 【详解】由题意得，要使有两个极值点， 故有两个不等实根，所以，即选项A正确； ，设切点为， 在点处的切线方程为， 又切线过点，， 解得，令， 过点可以作曲线切线条数可转化为与图象的交点个数， ，令，解得或， 令，解得或，令，解得， 则在区间上单调递增，在区间上单调递减，且，所以,又因为, 时，与图象有3个交点， 即过点可以作曲线的3条切线， 选项B错误； ， ，，， 若成等差数列，则，，， 即选项C正确； 又，则， ，同理，， ， 选项D正确． 故选：ACD. 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量满足，则__________. 【答案】1 【解析】 【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律求解. 【详解】由，得，而， 则，解得. 故答案为：1 13. 若，则__________(用数字作答)． 【答案】-80 【解析】 【详解】分析：由题意可得，是展开式的第四项的系数，即为的系数，由此求得结果. 解析：， 则. 故答案为：-80. 点睛：解题时注意二项式系数中n和r的隐含条件．使用二项式的通项公式时要注意：①通项公式表示的是第r＋1项，而不是第r项；②通项公式中a和b的位置不能颠倒． 14. 已知函数及其导函数的定义域为，若，函数和均为偶函数，则的值为______. 【答案】0 【解析】 【分析】根据为偶函数，得出关于中心对称，再根据为偶函数，得出关于对称，两者结合得出周期，再利用对称性和周期性，结合赋值法计算即可. 【详解】为偶函数，则，左右两边同时求导得， ，将看作整体得①， 将图象向右平移2个单位得到， 因为为偶函数，则图象关于对称，即②， ①②两式联立得，即， 用代替得，故，即的周期为4， 因，则①式中令有，令有， ②式中令有，令有， 则 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知某区组建了一支120人的志愿者队伍，并由其中72人组成“志愿模范队”.经过一年的实践，全队共有72人的周平均服务时长超过2小时，其中有54人来自“志愿模范队”，如下表所示. 是“志愿模范队”成员 不是“志愿模范队”成员 总计 周平均服务时长超过2小时 54 72 周平均服务时长不超过2小时 总计 72 120 （1）已知一名志愿者是“志愿模范队”成员，求其周平均服务时长超过2小时的概率. （2）请完成列联表，并根据表中数据回答：根据小概率值的独立性检验，能否认为“是‘志愿模范队’成员”与“周平均服务时长超过2小时”有关系？ 附录：，其中. 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】（1） （2）表格见解析，认为“是‘志愿模范队’成员”与“周平均服务时长超过2小时”有关. 【解析】 【分析】（1）根据古典概型的概率公式、条件概率公式进行求解即可； （2）根据卡方公式，结合列联表进行求解即可. 【小问1详解】 设事件表示志愿者是“志愿模范队”成员的事件， 事件表示志愿者周平均服务时长超过2小时的事件. 由题可知，，， 根据古典概型的概率公式得，， .由条件概率公式可得，则. 故一名志愿者是“志愿模范队”成员的条件下其周平均服务时长超过2小时的概率为 【小问2详解】 由题可得如下列联表： 是“志愿模范队”成员 不是“志愿模范队”成员 总计 周平均服务时长超过2小时 54 18 72 周平均服务时长不超过2小时 18 30 48 总计 72 48 120 设零假设：“是‘志愿模范队’成员”与“周平均服务时长超过2小时”无关， 可得，由于， 所以根据小概率值的独立性检验，可以认为不成立， 即认为“是‘志愿模范队’成员”与“周平均服务时长超过2小时”有关. 16. 已知函数的最大值为1， （1）求常数a的值； （2）求函数在的单调递减区间； （3）求使成立的x的取值集合． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用两角和与差的公式化简成为的形式，根据三角函数的性质可得的值． （2）将内层函数看作整体，根据正弦函数的性质列出不等式，解不等式得函数的单调递减区间，并对合理赋值并与取交集即可. （3）根据三角函数的性质求解成立的的取值集合． 【小问1详解】 由题意：函数， 化简得： ， 的最大值为1， ，解得：． 【小问2详解】 由（1）可知． 根据三角函数的性质可得：， 解得：，，令得不等式范围为， 又因为，则取交集， 在的单调递减区间为. 【小问3详解】 由题意：，即， 可得：． ，． 解得：． 成立的的取值集合是． 17. 已知函数. （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若函数的最大值为0，求实数的值. 【答案】（1） （2）答案见解析 （3）. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，利用导数的几何意义求出切线方程； （2）求出函数的导函数，分、两种情况讨论，从而可求解； （3）结合（2）结论可得在处取得最大值，从而可求解. 【小问1详解】 当时，则，， 所以，所以切线方程为，即. 故函数在处的切线方程为. 【小问2详解】 函数的定义域为，且， 当时，恒成立，所以函数在上单调递增； 当时，令，解得，， 所以当时，，即在上单调递增， 当时，，即在上单调递减， 综上所述：当时，函数在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 【小问3详解】 由（2）当时，在处取得极大值，即最大值，即， 所以， 即，即，所以. 故. 18. 在中，角的对边分别为，向量，且，点为边上一点． （1）求角的大小； （2）若是的角平分线，的周长为19，求的长度； （3）若是边上靠近点A的一个三等分点，，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由向量运算可得，然后由正弦定理边角互化可得答案； （2）由题及余弦定理可得，然后由（1）结合可得答案； （3）解法一：设，，然后在，中利用正弦定理可得 ，然后由三角函数性质可得答案；解法二：由题，又可得，然后由正弦定理边角互化可得，据此可得答案. 【小问1详解】 且 ，即. . 又，则，结合，； 【小问2详解】 而 为角的角平分线 . 即，； 【小问3详解】 设，则； 设，则. 在中即 在中 即， 则. 又，，而， ， 由和差化积公式可得. 则. ，； 解法二：， ， . ． . ， . 19. 已知函数. （1）若，且，求a的最小值； （2）证明：曲线是中心对称图形； （3）若,当时恒成立，求b的取值范围. 【答案】（1） （2）的定义域为. 设为图象上任意一点，关于的对称点为， 因为在图象上，故， 而， 所以也在图象上， 由的任意性可得图象为中心对称图形，且对称中心为. （3） 【解析】 【分析】（1）求出导函数，利用列不等式求解即可. （2）先判断定义域关于原点对称，再设为图象上任意一点，然后利用指数运算判断点也在图象上，即可证明. （3）设，则有在上恒成立，多次求导，利用导数研究的单调性，解不等式即可求解. 【小问1详解】 时，，则， 因为，当且仅当时等号成立， 故，而成立，故，即，所以的最小值为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为，在上恒成立， 设，则， 则有在上恒成立， 因为，可设， 所以 ①当时，由知，，所以， 所以在单调递增. 1.当，即时，对任意都成立， 所以在上单调递减，则； 2.当，即时，而当时，， 所以，使，所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以舍去； ②当时，所以在上单调递增，则，所以舍去； ③当时，与在上都单调递增， 所以在上单调递增，则，所以舍去. 综上，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $