精品解析：湖北省黄冈中学2025-2026学年平行班（理科）高二上学期周日标准考 (5)（直线与圆）数学试题

黄冈中学2027届平行班（理科）高二上学期 周日标准考 （5） 考试时间：2025.10.12 19：00—21：00 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 不存在 2. 若方程表示的曲线为一个圆，则（ ） A. B. 或 C. D. 或 3. 直线与直线平行，则的值为（ ） A. B. C. D. 或 4. 东莞鸿福路大桥是一座系杆拱桥，其圆拱结构可近似看作圆的一部分，经查询资料知该拱桥（如下图）的跨度AB约为126米，拱高OP约为9米，该拱桥每隔约7米用一根吊杆连接圆拱与系杆，则与OP相距35米的吊杆MN的高度约为（ ）（参考数据：） A. 7.3米 B. 6.3米 C. 5.3米 D. 4.3米 5. 已知实数满足，则的最大值是（ ） A. B. 4 C. D. 7 6. 如图，在中，，，，当点、分别在、轴上运动，点到原点的最大距离是（ ） A. B. C. D. 3 7. 已知菱形，，将沿对角线折起，使以四点为顶点的三棱锥体积最大，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知⊙M：，直线：，为上的动点，过点作⊙M的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 1765年，数学家欧拉在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心，重心，垂心在同一条直线上，这条直线就是后人所说的“欧拉线”.已知的顶点，重心，则下列说法正确的是（ ） A. 点的坐标为 B. 为等边三角形 C. 欧拉线方程为 D. 外接圆的方程为 10. 已知圆：，则下列说法正确的有（ ） A. 圆关于直线对称的圆的方程为 B. 直线被圆截得的弦长为 C. 若圆上有四个点到直线的距离等于，则的取值范围是 D. 若点是圆上的动点，则的取值范围是 11. 如图，棱长为2的正方体 中，，，，则下列说法正确的是（ ） A. 时，平面 B. 时，四面体的体积为定值 C. 时，，使得平面 D. 若三棱锥的外接球表面积为，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若点为圆的弦MN的中点，则弦MN所在直线的一般式方程为_______________ ． 13. 已知圆C与y轴相切，被直线截得弦长为，且圆心C在射线上，则圆C的标准方程为______________ ． 14. 已知圆有一动点，点，若直线与线段中点的轨迹始终有公共点，则实数的取值范围为____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知顶点，边上中线所在直线方程是，的角平分线所在直线方程是. （1）求顶点坐标； （2）求边所在的直线方程. 16. 如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为2菱形，∠ADC＝60°，E，F分别是AB，PD的中点． （1）求证：EF∥平面PBC； （2）若PC⊥AB，，PB＝2，求直线EF与平面PAD所成角的正弦值． 17. 已知，，圆，点在圆上运动，动点满足，记动点的轨迹为曲线. （1）求动点的轨迹方程； （2）若过点的直线与曲线交于Q，R两点，且，求直线的方程. 18. 如图，在直四棱柱中，，，，，． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值： （3）若为线段上的动点，求到直线距离的最小值. 19. 在平面直角坐标系中．点，直线，．圆经过两点，且圆心在直线上． （1）求圆的方程； （2）当直线与圆相切时，求实数的值． （3）若直线与圆相交于两点，当变化时，是否存在一个定点，使得为定值？若存在，求出一个的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 黄冈中学2027届平行班（理科）高二上学期 周日标准考 （5） 考试时间：2025.10.12 19：00—21：00 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 不存在 【答案】C 【解析】 【分析】根据倾斜角的定义可得结果 【详解】因为直线即直线垂直于轴,根据倾斜角的定义可知该直线的倾斜角为， 故选:C. 2. 若方程表示的曲线为一个圆，则（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知列出不等式，求解即可得出答案. 【详解】因为方程表示的曲线为一个圆， 所以， 即，解得或． 故选：B. 3. 直线与直线平行，则的值为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】求出已知二直线不相交时的a值，再验证作答. 【详解】依题意，直线与直线平行或重合时，， 解得或， 当时，直线与直线重合， 当时，直线与直线平行， 所以的值为. 故选：C 4. 东莞鸿福路大桥是一座系杆拱桥，其圆拱结构可近似看作圆的一部分，经查询资料知该拱桥（如下图）的跨度AB约为126米，拱高OP约为9米，该拱桥每隔约7米用一根吊杆连接圆拱与系杆，则与OP相距35米的吊杆MN的高度约为（ ）（参考数据：） A. 7.3米 B. 6.3米 C. 5.3米 D. 4.3米 【答案】B 【解析】 【分析】以O为原点,以AB所在直线为x轴,以OP所在直线为y轴建立平面直角坐标系.设圆心坐标为，利用待定系数法求出圆的方程，将代入即可求得. 【详解】以O为原点,以AB所在直线为x轴,以OP所在直线为y轴建立平面直角坐标系. 设圆心坐标为，则， 可设圆拱所在圆的方程为, 由题意可得：， 解得：， 所以所求圆的方程为， 将代入圆方程,得: , 因为，所以. 故选：B. 5. 已知实数满足，则的最大值是（ ） A. B. 4 C. D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】法一：令，利用判别式法即可；法二：通过整理得，利用三角换元法即可，法三：整理出圆的方程，设，利用圆心到直线的距离小于等于半径即可. 【详解】法一：令，则， 代入原式化简得， 因为存在实数，则，即， 化简得，解得， 故 的最大值是， 法二：，整理得， 令，，其中， 则， ，所以，则，即时，取得最大值， 法三：由可得， 设，则圆心到直线的距离， 解得 故选：C. 6. 如图，在中，，，，当点、分别在、轴上运动，点到原点的最大距离是（ ） A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】取的中点，连接，，根据数形结合分析可知，根据，，的位置关系即可求解. 【详解】取的中点，连接，， ，， ， 由图可知，， 当，，三点共线时，等号成立， 所以点到原点的最大距离是. 故选：A 7. 已知菱形，，将沿对角线折起，使以四点为顶点的三棱锥体积最大，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】当三棱锥的体积最大时，平面平面，以E为原点，分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，求出向量的坐标，根据向量夹角的坐标表示可解. 【详解】记的 中点分别为，因为，所以， 同理，，记， 因为，所以， 所以，， 易知，当平面平面时，三棱锥的体积最大，此时， 以E为原点，分别为轴的正方向建立空间直角坐标系， 则 所以， 所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故选：C 8. 已知⊙M：，直线：，为上的动点，过点作⊙M的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点共圆，且，根据 可知，当直线时，最小，求出以 为直径的圆的方程，根据圆系的知识即可求出直线的方程． 【详解】圆的方程可化为，点 到直线的距离为，所以直线 与圆相离． 依圆的知识可知，四点四点共圆，且，所以，而 ， 当直线时，， ，此时最小． ∴即 ，由解得， ． 所以以为直径的圆的方程为，即 ， 两圆的方程相减可得：，即为直线的方程． 故选：D. 【点睛】本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系的应用，以及圆的几何性质的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 1765年，数学家欧拉在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心，重心，垂心在同一条直线上，这条直线就是后人所说的“欧拉线”.已知的顶点，重心，则下列说法正确的是（ ） A. 点的坐标为 B. 为等边三角形 C. 欧拉线方程为 D. 外接圆的方程为 【答案】CD 【解析】 【分析】A：根据重心坐标公式求解出点坐标；B：计算出，然后进行判断即可；C：根据确定出欧拉线即为线段的垂直平分线，然后根据条件求解出线段的垂直平分线方程并判断；D：求解出的垂直平分线方程，然后联立的垂直平分线方程可求外心坐标，再计算外接圆的半径则外接圆方程可知. 【详解】A：因为，所以，所以，故错误； B：因为，所以， 显然不是等边三角形，故错误； C：因为，所以的外心，重心，垂心都在线段的垂直平分线上， 因为，所以的中点为， 又因为，所以的垂直平分线方程为， 即的垂直平分线方程为， 所以欧拉线方程为，故正确； D：因为，所以的中点为，所以的垂直平分线方程为， 因为的垂直平分线与的垂直平分线的交点即为外心， 所以，解得，所以外心， 所以外接圆的半径为， 所以外接圆的方程为，故正确； 故选：CD. 10. 已知圆：，则下列说法正确的有（ ） A. 圆关于直线对称的圆的方程为 B. 直线被圆截得的弦长为 C. 若圆上有四个点到直线的距离等于，则的取值范围是 D. 若点是圆上的动点，则的取值范围是 【答案】AC 【解析】 【分析】把圆化成标准方程，得到圆心坐标和半径，利用圆的几何性质，解决对称问题，弦长问题，点到直线距离和取值范围. 【详解】圆：，化成标准方程为， 圆心坐标为，半径为. 圆关于直线对称的圆，圆心坐标为，半径为， 圆的方程为，A选项正确； 圆心到直线的距离为， 所以直线被圆截得的弦长为，B选项错误； 若圆上有四个点到直线的距离等于，则圆心到直线的距离小于， 即，解得，即的取值范围是，C选项正确； 若点是圆上的动点，满足，则， 由圆心坐标和半径可知，，则， 所以的取值范围是，D选项错误. 故选：AC 11. 如图，棱长为2的正方体 中，，，，则下列说法正确的是（ ） A. 时，平面 B. 时，四面体的体积为定值 C. 时，，使得平面 D. 若三棱锥的外接球表面积为，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用线面平行的判定推理判断A；由线面平行确定点到平面的距离是定值判断B；由空间向量数量积的运算律计算判断C；求出外接球半径计算判断D. 【详解】对于A，当时，，即， 而平面，平面，因此平面，故A正确； 对于B，正方体中，当时，面积是定值， 又，平面，平面，则平面， 于是点到平面的距离是定值，因此四面体的体积为定值，故B正确； 对于C，当时，， 而，则 ，因此不垂直于，不存在，使得平面，故C错误； 对于D，显然平面，则三棱锥与以线段为棱的长方体有相同的外接球， 令球半径为，则， 球的表面积，解得，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若点为圆的弦MN的中点，则弦MN所在直线的一般式方程为_______________ ． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆的标准方程求得圆心坐标，然后根据求得直线的斜率，进而根据点斜式求解直线方程即可. 【详解】由题意可知圆心坐标，由于点为弦的中点，则， 又，所以， 所以弦所在直线的方程为，整理得：. 故答案为： 13. 已知圆C与y轴相切，被直线截得弦长为，且圆心C在射线上，则圆C的标准方程为______________ ． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可设圆的方程为，利用几何法建立弦长的关系，求出即可； 【详解】因为圆心在射线，则可设圆的圆心为，其中， 因为圆与轴相切，所以圆的半径为， 圆的方程为， 设圆心到直线的距离为，则， 由弦长的几何关系得， 解得，所以圆的方程为； 故答案为： 14. 已知圆有一动点，点，若直线与线段中点的轨迹始终有公共点，则实数的取值范围为____________. 【答案】 【解析】 【分析】首先分析出过定点，再求出点的轨迹方程为，从而得到不等式，解出即可. 【详解】，直线过定点， 设中点分别为，因为，则，且， 故点的轨迹方程为， 若直线与点的轨迹始终有公共点， 则，解得， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知顶点，边上中线所在直线方程是，的角平分线所在直线方程是. （1）求顶点坐标； （2）求边所在的直线方程. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）可设点，求出线段的中点坐标，代入直线的方程，求出的值，即可得出点的坐标； （2）求出点关于直线的对称点的坐标，求出直线的方程，即为直线的方程. 【小问1详解】 解：由题意可设，则边的中点， 代入有，解得， 所以顶点坐标是. 【小问2详解】 解：由题意知，点关于直线的对称点在直线上， 可设得：解得：，， 得直线的斜率， 所以边所在的直线方程是，即. 16. 如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为2菱形，∠ADC＝60°，E，F分别是AB，PD的中点． （1）求证：EF∥平面PBC； （2）若PC⊥AB，，PB＝2，求直线EF与平面PAD所成角的正弦值． 【答案】（1） 如下图， 取的中点为，连接，. 点，分别是，的中点， 是的中位线，即，， 在菱形中，，. ，，即四边形为平行四边形，则， 又平面，平面，平面. （2） 【解析】 【分析】（1）利用中位线的性质构造线线平行，再利用线面平行的判定证明即可； （2）根据线面垂直的判定先证明平面，再建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量法计算直线与平面所成角的正弦即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接，， ，，，平面，平面， 平面， 又平面，， ， 又，则，所以. 即直线，，两两垂直. 如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系， 则，，，， ，，. ，，， 设平面的法向量为， 由得取. 设直线与平面所成角为，则 即直线与平面所成角的正弦值为. 17. 已知，，圆，点在圆上运动，动点满足，记动点的轨迹为曲线. （1）求动点的轨迹方程； （2）若过点的直线与曲线交于Q，R两点，且，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）设点，，求出圆的圆心，得出向量坐标，根据向量共线得出.代入圆的方程，整理即可得出答案； （2）先根据垂径定理得出圆心到直线的距离为1.分直线斜率不存在以及存在两种情况，结合点到直线的距离公式列出方程，求解即可得出答案. 【小问1详解】 设点，， 由已知可得圆，圆心，半径， 则，. 因为， 所以有，. 又点在圆上运动，所以有， 所以，， 整理可得. 所以，动点的轨迹方程，圆心为点. 【小问2详解】 设，为的中点， 因为，所以. 又，所以，即圆心到直线的距离为1. 当直线斜率不存在时，方程为，此时圆心到直线的距离为1，满足题意； 当直线斜率存在时，设斜率为， 直线方程为，即. 因为圆心到直线的距离为1， 所以有，解得， 所以直线的方程为，整理可得. 综上所述，直线的方程为或. 18. 如图，在直四棱柱中，，，，，． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值： （3）若为线段上的动点，求到直线距离的最小值. 【答案】（1）由直四棱柱知，底面， 因为平面，所以， 又，，平面， 所以平面，因为平面，所以． 因为，，． 所以，， 所以，所以， 因为，所以，所以， 又，平面，所以平面． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由直棱柱的性质可得，再结合，可证得平面，则，然后根据已知的条件可得，从而可证得，进而可得，最后利用线面垂直的判定定理可证得结论； （2）由题意可证得，以为原点，所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，从而利用向量的夹角公式可求得结果； （3）设，则表示出点的坐标，从而可表示出的坐标，然后表示出到直线的距离，化简可求出其最小值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为底面，平面， 所以，因为，所以两两垂直， 所以以为原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 由（1）知，为平面的一个法向量． 设平面的一个法向量为， 因为， 则，令，则， 平面的一个法向量为． 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 【小问3详解】 设， 则， 设到直线的距离为， 则 ， 所以当时，，即到直线距离的最小值为． 19. 在平面直角坐标系中．点，直线，．圆经过两点，且圆心在直线上． （1）求圆的方程； （2）当直线与圆相切时，求实数的值． （3）若直线与圆相交于两点，当变化时，是否存在一个定点，使得为定值？若存在，求出一个的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）或 （3）为点时，为定值 【解析】 【分析】（1）设圆心坐标为 ，由题意可得，且，可求得圆心坐标与半径，进而可求得圆的方程； （2）由题意可得，求解即可； （3）由题意可得直线经过定点，设过的直线与圆的切点为， 可得，当为定点，符合题意. 【小问1详解】 设圆心坐标为 ，因为圆心在直线 上， 则， 因为利用圆经过点和，所以， 两边平方后得， 整理得，又，解得，，所以圆心为， 的以圆的半径， 所以圆的标准方程为； 【小问2详解】 因为， 由题意可得 的距离为，所以 两边平方，化简得，解得或； 【小问3详解】 直线的方程为 即， 由，解得，所以直线经过定点， 又，所以点在圆外， 设过的直线与圆的切点为， 则有，又， 所以 所以当为定点时，为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $