精品解析：山东省临沂市临沭第一中学2025-2026学年高一上学期10月联考数学试题

2025—2026学年山东高一联考 数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考场号､座位号､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 考试时间为120分钟，满分150分 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解绝对值不等式化简集合，再利用并集的定义求解. 【详解】由，得，解得，则，而， 所以. 故选：B 2. 命题，则是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据含有一个量词的命题否定规则直接写出即可. 【详解】命题， 则为. 故选：C 3. 若，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对于C：根据不等式的基本性质分析判断；对于ABD：举出反例说明即可. 【详解】对于选项A：若，则，故A错误； 对于选项B：例如，则，即，B错误. 对于选项C：因为，则， 又因为，所以，故C正确； 对于选项D：若，则，即，故D错误. 故选：C. 4. 《南京照相馆》､《浪浪山小妖怪》､《长安的荔枝》位列2025年我国暑期档票房前三名.高一（1）班共有38名同学，有25人观看了《南京照相馆》，有10人观看了《浪浪山小妖怪》，有16人观看了《长安的荔枝》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，没有人同时观看三部电影.只观看了《长安的荔枝》的人数为（ ） A. 5 B. 10 C. 6 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用容斥原理，结合韦恩图列式求解. 【详解】不妨将观看了《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》的同学分别用集合表示， 设同时观看了《浪浪山小妖怪》和《长安的荔枝》有人，如图所示： 则，解得， 因此同时观看了《浪浪山小妖怪》和《长安的荔枝》有7人， 所以只观看了《长安的荔枝》的人数为人. 故选：C. 5. 若，则的最小值为（ ） A. 13 B. 26 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值. 【详解】由，得，则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 故选：D 6. 已知集合，，则满足的集合的个数为（ ） A. 4 B. 7 C. 8 D. 15 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意写出集合，再由子集和真子集的定义即可解得. 【详解】因为集合，， 若，可知集合必有元素，可能含有元素0，3，4，5，但， 则集合的个数即为集合的真子集个数， 所以集合有个． 故选：D． 7. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用充分条件和必要条件的定义结合基本不等式进行判定. 【详解】因为， 当时，则， 即成立，可知充分性成立； 又因为， 当且仅当，即时等号成立，不一定，即必要性不成立； 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 8. 若两个正实数满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】利用基本不等式“1”的妙用求出最小值，再解一元二次不等式即得. 【详解】由正实数满足，得， 则， 当且仅当，即时取等号， 由不等式有解，得，解得或， 所以实数的取值范围是或. 故选：D 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题中真命题有（ ） A. 有理数集可以表示为 B. 若（其中），则 C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用有理数集合的意义判断A；利用相等集合的意义判断B；利用空集的意义判断C；利用子集的意义判断D. 【详解】对于选项A：是有理数，而，故A为假命题； 对于选项B：由，得，，则，故B为真命题； 对于选项C：空集是任何集合的子集，则正确，故C为真命题； 对于选项D：，则，故D为假命题. 故选：BC. 10. 已知不等式的解集为或，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 不等式的解集是 C. D. 不等式的解集为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由不等式与方程之间的关系及题设条件得到之间的关系，然后逐项分析即可得出正确选项. 【详解】由题意不等式的解集为或，可知，故A正确； 且和5是方程的两个实数根， 由韦达定理可得，则； 对于选项B：不等式即为，解得， 所以不等式的解集是，故B错误； 对于选项C：因为，故C正确； 对于选项D：不等式即为， 可得，解得或， 所以不等式的解集为，故D正确. 故选：ACD 11. 若，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A：利用基本不等式，结合已知条件求解的取值范围；对于B：利用不等式可判断；对于C：变形，然后利用基本不等式求解其最小值；对于D：令，且，于是，然后利用基本不等式求解其最小值． 【详解】因为，所以有． 对于A：因为， 所以，可得， 当且仅当，即时取等号，故A正确； 对于B：因为， 所以， 当且仅当，即时取等号，故B正确； 对于C：因为， 所以， 当且仅当，即时取等号，故C错误； 对于D：令，所以，且， 于是 ， 当且仅当，即时取等号，故D错误， 故选：AB． 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，则的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】计算出，结合不等式性质运算求解. 【详解】设，则， 令，解得， 故， 因为，，则，， 可得，即， 故的取值范围为. 故答案为：. 13. 若命题“，使得”是假命题，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】将命题转化为命题“，使得”是真命题，再分和两种情况讨论即可得解. 【详解】命题“，使得”是假命题， 等价于命题“，使得”是真命题. 当时，则不恒成立，不符合题意； 当时，若对于恒成立， 则，解得； 综上所述：实数的取值集合是. 故答案为：. 14. 定义集合的运算：已知集合，，则.若集合，，则集合的真子集个数的可能取值是__________. 【答案】3或7 【解析】 【分析】根据题中定义和元素的性质，分类讨论结合集合真子集个数公式进行求解即可. 【详解】因为，， 由集合中元素的互异性可得且， 此时的可能值为，其中， 若即时，，所以， 此时集合的真子集个数为； 若即且时，， 此时集合的真子集个数为； 综上所述：集合的真子集个数的可能取值是3或7. 故答案为：3或7. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，，设，. （1）当时，求； （2）若是的必要不充分条件，求正实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解一元二次不等式求集合A、B，应用集合的并运算求交集即可； （2）根据必要不充分关系转化为是的真子集，根据包含关系即可求的范围. 【小问1详解】 因为集合， 集合， 若，则，所以. 【小问2详解】 由（1）可知：集合，集合， 若是的必要不充分条件，则是的真子集， 且a为正实数，即，解得， 所以正数的取值范围为. 16. 已知函数. （1）当时，集合有且只有一个元素，求实数的所有取值构成的集合； （2），，若时，有，求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分和，根据方程只有1解求的值. （2）确定的关系，利用基本不等式求的最小值. 【小问1详解】 当时，集合有且只有一个元素， 问题转化为：方程有且只有1解， 若，方程可化为：，方程有且只有1解，符合题意； 当时，由方程解得或， 则，解得； 综上可知：或. 所以实数的集合为：. 【小问2详解】 由题意可得：，即，且，， 所以， 当且仅当，即时取等号. 所以的最小值为. 17. 已知集合，. （1）若，求实数的值； （2）若，且，求实数的值； （3）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）或或 （3） 【解析】 【分析】（1）是方程的根，代入即可求a； （2）分、和三种情况进行讨论即可； （3）由题意可得，分，，，四种情况讨论即可． 【小问1详解】 因为，可知是方程的根， 则，解得． 【小问2详解】 因为， 若，且，可知， 当，则，满足题设； 当，则，解得； 当，则，解得； 综上所述：或或． 【小问3详解】 因为，且，则，可得， 当时，则无实数根， 可得，解得； 当时，有两相等实数根， 则，无解，不合题意； 当时，有两相等实数根， 则，无解，不合题意； 当时，有两个实数根， 则，无解，不合题意； 综上所述：的取值范围为． 18. 发展新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路，是推动绿色发展的战略措施.某汽车工业园区正在不断建设，计划在园区建造一个高为3米，宽度为（单位：米），地面面积为56平方米的长方体形状的储物室，经过谈判，工程施工单位给出两种报价方案. 方案一：储物室的墙面报价为每平方米200元，屋顶和地面报价共计9600元，总计报价记为； 方案二：其给出的整体报价为元. （1）当宽度为8米时，方案二的报价为29700元，求实数的值； （2）求的函数解析式，并求报价的最小值； （3）若对任意的时，方案二都比方案一省钱，求实数的取值范围. 【答案】（1）22 （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数定义直接代入可计算； （2）根据题意求出长方体侧面积，然后可求函数，再利用基本不等式求最值； （3）代入进行参变分离，根据恒成立问题结合基本不等式运算求解. 【小问1详解】 宽度为8米时，方案二的报价为29700元， 则，解得， 所以的值为22. 【小问2详解】 由题意可知底面长，墙面面积为， 所以， 可得， 当且仅当，即时，等号成立 所以报价的最小值约为. 【小问3详解】 对任意的时，方案二都比方案一省钱， 即时，恒成立， 参变分离可得， 因为， 当且仅当，即时，等号成立， 可得，所以实数的取值范围为. 19. 设. （1）若关于的不等式的解集为，求实数的值； （2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围（用集合表示）； （3）解关于的不等式. 【答案】（1） （2） （3） 若，解集为； 若，解集为； 若，解集为； 若，解集为； 若，解集为. 【解析】 【分析】（1）分析可知，且是方程根，利用韦达定理运算求解； （2）分析可知，结合一次函数性质分析求解； （3）整理可得，分类讨论最高项系数的符号以及根的大小解不等式. 【小问1详解】 若关于的不等式的解集为， 可知，且是方程根， 则，解得. 【小问2详解】 当时，不等式恒成立， 整理可得， 注意到， 令，可知是关于的增函数， 可得， 即，解得， 所以实数的取值范围为. 【小问3详解】 关于的不等式，整理可得， （i）若，则，解得； （ii）若，方程的根为或， 由解得； （iii）若，方程的根为和， ①当，即时，由解得或； ②当，即时，由解得； ③当，即时，由解得或； 综上所述：若，解集为； 若，解集为； 若，解集为； 若，解集为； 若，解集为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年山东高一联考 数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考场号､座位号､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 考试时间为120分钟，满分150分 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题，则是（ ） A. B. C. D. 3. 若，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 《南京照相馆》､《浪浪山小妖怪》､《长安的荔枝》位列2025年我国暑期档票房前三名.高一（1）班共有38名同学，有25人观看了《南京照相馆》，有10人观看了《浪浪山小妖怪》，有16人观看了《长安的荔枝》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，没有人同时观看三部电影.只观看了《长安的荔枝》的人数为（ ） A. 5 B. 10 C. 6 D. 9 5. 若，则的最小值为（ ） A. 13 B. 26 C. D. 6. 已知集合，，则满足的集合的个数为（ ） A. 4 B. 7 C. 8 D. 15 7. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 若两个正实数满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 或 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题中真命题有（ ） A. 有理数集可以表示为 B. 若（其中），则 C. D. 10. 已知不等式的解集为或，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 不等式的解集是 C. D. 不等式的解集为 11. 若，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. 的最小值为 D. 的最小值为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，则的取值范围为__________. 13. 若命题“，使得”是假命题，则实数的取值范围是__________. 14. 定义集合的运算：已知集合，，则.若集合，，则集合的真子集个数的可能取值是__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，，设，. （1）当时，求； （2）若是的必要不充分条件，求正实数的取值范围. 16. 已知函数. （1）当时，集合有且只有一个元素，求实数的所有取值构成的集合； （2），，若时，有，求的最小值. 17. 已知集合，. （1）若，求实数的值； （2）若，且，求实数的值； （3）若，求实数的取值范围. 18. 发展新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路，是推动绿色发展的战略措施.某汽车工业园区正在不断建设，计划在园区建造一个高为3米，宽度为（单位：米），地面面积为56平方米的长方体形状的储物室，经过谈判，工程施工单位给出两种报价方案. 方案一：储物室的墙面报价为每平方米200元，屋顶和地面报价共计9600元，总计报价记为； 方案二：其给出的整体报价为元. （1）当宽度为8米时，方案二的报价为29700元，求实数的值； （2）求的函数解析式，并求报价的最小值； （3）若对任意的时，方案二都比方案一省钱，求实数的取值范围. 19. 设. （1）若关于的不等式的解集为，求实数的值； （2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围（用集合表示）； （3）解关于的不等式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $