3.2.1双曲线及其标准方程 教学设计-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学教学设计聚焦双曲线的定义及标准方程，通过生活中含双曲线的建筑图片导入，结合已学椭圆知识，以类比法为学习支架，引导学生观察、归纳并自主探究双曲线的几何特征与方程推导。 本设计以类比教学为核心特色，运用几何画板动画演示拉链实验抽象定义，通过反例剖析强化概念理解，问题驱动下小组合作推导方程培养数学运算与逻辑推理素养，课后探究拓展思维。既助学生构建圆锥曲线知识网络，又为教师提供直观高效的互动教学方案。

3.2.1 双曲线及其标准方程 教学设计 一、设计理念 圆锥曲线是解析几何中的一个重要内容，本章圆锥曲线 分为椭圆、双曲线和抛物线三个部分，三部分在圆锥曲线中 的地位相同。本章对双曲线的教学，是在学生对于椭圆基本 知识和研究方法已经熟悉基础上进行的，所以讲解时应采用 类比的方法让学生自主研究、合作交流等方式得出双曲线的 定义、标准方程，最后反思应用。双曲线的定义与椭圆的定 义很相似，但不容易掌握而又非常重要，学习时要注意和椭 圆定义的联系与区别，为深刻体会圆锥曲线的统一定义作好 充分准备，又可对学生进行运动、变化、联系、对立、统一 的辩证唯物主义思想教育。 二、教材分析 本节课的教学内容是人教 A 版(2019 版）《数学选择性必 修一》第三章《圆锥曲线的方程》 §3.2“双曲线及其标准 方程 ”第一课时。圆锥曲线是一个重要的几何模型，有许多 几何性质，这些性质在日常生活、生产和科学技术中有着广 泛的应用，同时，圆锥曲线也是体现数形结合思想的重要素 材，而双曲线是三种圆锥曲线中最复杂的一种，在椭圆之后 来学习充分考虑到了知识学习由易到难的教学要求。双曲线 可以与椭圆类比学习，主要内容是：①探求轨迹（双曲线）； 1 学科网（北京）股份有限公司 ②学习双曲线概念；③推导双曲线标准方程；④学习标准方 程的简单求法，在学习过程中应注意双曲线与椭圆的区别与 联系。 三、学情分析 1.知识结构：在双曲线学习之前学生已经学习了椭圆， 对学习曲线方程已经有了一定基础和方法，运用类比的学习 方法得到双曲线的定义及标准方程不太困难。 2.认知结构：高二学生已具备一定的类比转化及分析问 题的能力，但对于复杂问题的处理还不够灵活，因此在课堂 上要注意发挥学生的主体作用，体现教师的点拨引领效果。 3.授课班级学生特点：本节课教学对象是本校高二学 生，学生的知识技能基础较弱，双曲线标准方程的推导过程 在课堂上教师引导学生完成。 四、教学目标 1、通过几何画板的作图演示，观察分析抽象概括出双 曲线的定义，培养学生的数学抽象、逻辑推理的核心素养。 2、通过双曲线标准方程的推导，培养学生的数学运算 和归纳推理的数学素养。 3、通过例题及练习题的处理，进一步发展学生的数学 抽象、逻辑推理、数学运算素养和观察分析、抽象概括的能 力。 五、教学重难点 2 学科网（北京）股份有限公司 依据教学目标，结合学生实际，确定教学重难点如下： 教学重点：双曲线的几何特征和标准方程。 教学难点：双曲线的形成和标准方程的推导。 在整个的教学过程中，采用实验与类比的方法，体验数 与形的辨证统一关系，降低学生理解的难度。在双曲线的定 义剖析中，感受量变产生质变的唯物主义世界观。在双曲线 标准方程的推导过程中，培养学生耐心细致执着的个性品 质。 突破重难点的方式：动画演示形成定义，反例剖析加深 定义，动手推导感受标准方程的建立过程。 六、教学方法： 以问题驱动教学，学生探究师生讨论完成教学，及时归 纳总结形成知识网络。 七、学习方法： 类比、观察、归纳猜想， 自主探究，合作交流。 八、教学过程 （一）情景导入 1、大家知道，数学来源于生活，也应用于生活。生活中存 在诸多的建筑物，都包含着曲线的元素，下来让我们一起欣 赏一组图片，感受其中的曲线魅力。 2、 图片中都有一种相同的曲线，是我们章前语中提到的双 曲线，今天这节课，我们来学习它的定义和标准方程。（顺 3 学科网（北京）股份有限公司 势导入新课，并板书课题） 【教师活动】展示 PPT 图片 【学生活动】欣赏课件图片，直观感知双曲线，明确本节课 的学习任务。 【设计意图】增强学生对双曲线的感性认识，明确本节课的 学习目标，做到有的方矢的学习 （二）温故知新 【教师活动】 1、引导学生回顾椭圆的定义和标准方程。 2、提出思考:平面内与两个定点F1 、F2 的距离的差等于非零 常数的点的轨迹又是什么曲线？ 3、动画演示拉链实验，类比椭圆的定义，写出双曲线的定 义。 4、探究（一） ①双曲线定义中的关键词“绝对值 ”能否去掉，去掉后结果 怎样？ ②双曲线定义中的条件“非零常数 2a (小于F1F2 ) ”去掉后， 点的轨迹有是什么曲线呢？ 5、请你比较一下椭圆定义与双曲线定义中的异同点。 【学生活动】 1.观看动画演示，思考提出的问题，归纳双曲线的定义，小 组讨论合作完成探究（一） 2.完成导学案中的课堂练。 【设计意图】增强对双曲线的感性认识，感受数学定义中用 4 学科网（北京）股份有限公司 词的准确性与严谨性。借助反例剖析加深定义的理解。在比 较中准确全面深刻地理解定义。 【教师活动】提问：椭圆标准方程是怎样建立的？ 【学生活动】学生回答：建系→设点→列方程→化简。 【设计意图】 回顾动点轨迹方程的求解方法，为双曲线标准 方程的推导做好铺垫。 （三）双曲线标准方程的推导 【教师活动】 1、提出问题：探究（ 二） ①如何合理建系？②如何设点？③如何列方程？ 2、若焦点在 y 轴上方程将怎样变化？ 3、思考：椭圆与双曲线标准方程的区别？如何判断焦点位 置？ 【学生活动】1、学生小组合作完成探究（ 二），师生共同完 成化简过程。2、完成导学案的课堂演练。 【设计意图】借椭圆类比可少走弯路，体验方程推导的艰辛 过程，明确 a、b、c 之间的相互关系。理解内容决定形式， 但变中仍有不变。课堂演练放在双曲线标准方程推出后，巩 固方程与焦点的对应关系及求a,b,c 的方法。 （四）课堂演练 【教师活动】展示题目 尝试一： 口答下列各题 1、已知两定点 A、B 之间的距离为 10，说出点 P 满足下列条 5 学科网（北京）股份有限公司 件时的点的轨迹。 2、说出下列方程个表示什么曲线： 6 学科网（北京）股份有限公司 尝试二：填空 1、已知方程 表示 曲线，焦点为 ，a,b,c 分别为 2、已知方程 表示 曲线，焦点为 ，a,b,c 分别为 3、若椭圆与双曲线有相同的焦点，则实 数 m 为 【学生活动】认真思考，积极回答。 【设计意图】放在双曲线定义后，分别在几何条件和代数条 件下理解双曲线的定义，检测对定义的理解程度，巩固方程 与焦点的对应关系及求a,b,c 的方法。 （五）应用示例 【教师活动】展示问题，引导学生分析求解并示范书写过程。 例： 已知双曲线的两个焦点坐标分别为F1 (-5, 0) ,F2 (5, 0) ,双曲 线是的点到两个焦点距离之差的绝对值是 6，求双曲线的标 准方程. 【学生活动】积极思考，讨论交流，认真解答。 【设计意图】巩固应用待定系数法求双曲线的标准方程。会 在简单的题设条件下利用待定系数法求双曲线的标准方程， 掌握先定型后定量的求解过程。 （六）课堂小结 【教师活动】提出问题： 1、你从本节课中学到了什么？ 2、对椭圆与双曲线进行比较。 【学生活动】归纳本节课所学知识方法。 【设计意图】在对比中构建起双曲线及其标准方程的知识体 系。 （七）作业布置 课本 P121 1,2,3,4 （八）课后探究 【教师活动】展示课后探究问题 今天这节课就讲到这里，请同学们课下分组探究下面两 个问题： 1、若 A、B 两点坐标分别为（-5，0）, (5,0),直线 AM,BM 交 于点 M，且它们的斜率之积为 ，试求点 M 的轨迹方程并判 点 M 的轨迹形状。 7 学科网（北京）股份有限公司 2、已知方程 （1）若方程表示双曲线，求实数k 的取值范围； （2）若方程表示椭圆，求实数k 的取值范围. 【学生活动】分组探究，然后进行交流，待下节课汇报。 【设计意图】这是本节课双曲线定义的延伸，也拓展了学生 的思维空间，让学生感受双曲线不同产生方法。 九、板书设计 双曲线及其标准方程 多媒体 演示区 1.双曲线定义 2.双曲线的标准方程 3.例题 4.练习 十、教后反思 本节课我主要是和椭圆进行类比教学，通过椭圆向双曲 线过度,现将本节课总结如下： 一、成功之处： 1、教学方法上：主要采用类比的方法，将解决椭圆定 义，椭圆方程的方法类比到双曲线上来解决双曲线的问题， 注意区分他们的相似和不同的地方，从而注意他们的细节。 2、学生参与度上：通过问题的设置，循序渐进的引导 8 学科网（北京）股份有限公司 同学们去发现问题，去解决问题。通过问题的设置，让学生 参与进来，进行思考，进行交流，共同进步。提出的问题大 部分的同学能够解决，从而可以让学生牢固地掌握知识。对 于一些深入性的问题，同学们也可以通过相互交流，相互讨 论， 自 己去解决。在一些细微的地方，我再做一些提示，做 一些引导，将本次课的内容圆满的解决。 3、课堂目标的实现上：知识技能上，学生都能够牢固 掌握；能力上，学生知道定义的由来，和定义中需要注意的 问题，“绝对值 ”和“ 常数小于两点距离 ”，对于情感上的类 比，是贯穿到了整节课之中的，让学生时刻都有体会到。 4、多媒体运用上：利用多媒体形象动态的演示功能提 高教学的直观性和趣味性，以提高课堂效益。老师学生在黑 板上板书， 向学生呈现出可操作性强的思维和解题过程。对 双曲线形成过程，采用图像呈现，对学生感观产生刺激，可 以极大提高学习兴趣，变抽象为直观，加大一堂课的信息容 量。 二、不足之处： 1、本节课课堂容量偏大，从而导致学生在课堂上的思 考的时间不够，课堂时间比较紧张。因此今后在课时上应该 合理地安排每一节课的课堂容量，给学生更多的思考时间和 空间，提高课堂的效率。同时还要重视探究题的作用，因为 班上有一部分同学体现出基础比较扎实，而且对数学也比较 9 学科网（北京）股份有限公司 有兴趣，出一些比较难的思考题，能够让这部分学有余力的 同学有所提高。 2、本节课主要集中在新课的讲解，学生训练的较少， 从而对于知识的熟练程度上有所欠缺，这需要在下一节课去 进行一些强化训练，将知识变为他们自己的东西，印在他们 的脑海之中。 3、学生的参与度比较高，但是气氛不是非常活跃，需 要加强自己的熟练程度，增强自己的课堂驾驭能力。 4、没能把太多的时间还给学生，以后要做到相信学生， 他们都是非常聪敏机灵的，这样有助于培养他们勇于面对挫 折，持之以恒地科学探索精神；当学生做得精彩有创新，教 师给予学生充分的鼓励，使得本节课学生在学习过程中兴趣 浓厚,学得积极主动，课堂气氛活跃！从而进一步激发学生 创造的潜能，提高他们的创新能力。 以上就是我的教学反思，在教学中还有很多不足，在以 后的教学中要继续努力，不断总结经验教训，迈上新的台阶。 10 学科网（北京）股份有限公司 $