精品解析：江西省吉安市西路七校2025-2026学年高三上学期第一次联考（10月）数学试题

江西省西路七校2026届高三第一次联考 数学 联盟学校：莲花中学 遂川中学 永新中学 安福中学 万安中学 井冈山中学 宁冈中学 考试时间：2025年10月10日 时量：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】化简集合与集合，根据集合交集概念计算即可. 【详解】由，，解得，， 所以. 故选：A 2. 已知复数满足，则不可能为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数模的几何意义求解判断. 【详解】因为，所以复数在复平面内对应的点的轨迹是以点为圆心，1为半径的圆， 故的范围为. 故选：D. 3. 已知，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，下列命题中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【分析】举反例可判断ABC；由线面垂直的性质定理可判断D. 【详解】对于A，若，，则，或，故A错误； 对于B，若，，则，或与相交，故B错误； 对于C，若，，则与相交，或，或，故C错误； 对于D，若，，则，故D正确. 故选：D. 4. 若方程在区间上有两个不等实根，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题，问题转化为方程有两个不等实根，等价于函数与函数的图象在区间上有两个交点，根据函数的单调性求解. 【详解】因为在区间上，方程有两个不等实根，可转化为方程有两个不等实根， 等价于函数与函数的图象在区间上有两个交点， 又在上单调递减，在上单调递增，且，， 所以实数的取值范围为. 故选：B. 5. 设抛物线的焦点为，准线为，过抛物线上的一点作的垂线，垂足为，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得的倾斜角为，进而可得，计算即可. 【详解】作出示意图如图所示： 则抛物线的性质，可得，又， 所以可得的倾斜角为， 则可得， 从而. 故选：C. 6. 已知函数，若，，都有成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，函数是增函数，利用分段函数单调递增的条件，列不等式求的取值范围. 【详解】因为对于，，都有成立，所以函数是增函数， 则函数和均为增函数，且有，即解得. 故选：C． 7. 已知函数和的定义域均为.若是奇函数，是偶函数，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由奇函数的性质得出，然后在等式中，分别令、，可得出的值，的值，由此可得的值. 【详解】因为是奇函数，则， 令，可得，可得， 在中令得，所以， 在中令得， 所以， 所以. 故选：D. 8. 函数的部分图象如图所示，已知点为的零点，点为的极值点，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据可推导求得，进而求得，得到的最小正周期，从而求得；根据，结合五点作图法可对应求得. 【详解】，，又，， ，，则， 为等边三角形，，， 的最小正周期，则，， ，且位于单调递减区间中， ，解得：， ，. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题考查根据三角函数图象求解函数解析式，解题关键是能够结合平面向量数量积运算可求得函数的最小正周期，从而结合五点作图法求得结果. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 甲、乙两名篮球运动员连续5场比赛的得分如图所示，则（ ） A. 甲得分的平均数大于乙得分的平均数 B. 甲得分的极差大于乙得分的极差 C. 甲得分的中位数大于乙得分的中位数 D. 甲得分的方差大于乙得分的方差 【答案】AC 【解析】 【分析】将甲乙得分由低到高排列，再按照平均数、极差、中位数、方差的定义计算即可. 【详解】甲5场比赛得分由低到高分别为15，16，18，21，30， 乙5场比赛得分由低到高分别为4，10，16，22，38， 甲得分的平均数为， 乙得分的平均数为， 则甲得分的平均数大于乙得分的平均数，A正确； 甲得分的极差为30-15=15，乙得分的极差为， 故甲得分的极差小于乙得分的极差，故B错误； 甲得分的中位数为18，乙得分的中位数为16， 则甲得分的中位数大于乙得分的中位数，故C正确； 甲得分的方差为， 乙得分的方差为， 故甲得分的方差小于乙得分的方差，故D错误. 故选：AC 10. 已知数列是等比数列，以下结论正确的是（ ） A. 是等比数列 B. 若，，则 C. 若，则数列是递增数列 D. 若数列的前项和，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用等比数列定义、性质逐项分析判断作答. 【详解】令等比数列的公比为，则， ，且，则是等比数列，故A正确； 由，，得，即，所以，故B错误； 由知，则，即，，所以数列是递增数列，故C正确； 显然，则，而，因此，，，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知正方体的棱长为，为的中点，点满足，则（ ） A. 存在点使得 B. 若为的中点，则三棱锥体积为定值 C. 当时，平面截正方体所得截面的面积为 D. 与平面所成的角等于 【答案】BC 【解析】 【分析】假设，由线面垂直的判定与性质可知，显然不成立，知A错误；根据线面平行关系可知，得B正确；作出截面矩形，可求得C正确；将问题转化为与平面所成角求解，利用体积桥可求得到平面的距离，由此可得D错误. 【详解】对于A，假设存在点，使得， 平面，平面，， ，平面，平面， 平面，，显然与不垂直， 假设错误，即不存在点，使得，A错误； 对于B，分别为中点，， 平面，平面，平面， ，， 为定值，点到平面的距离为定值，为定值， 即三棱锥的距离为定值，B正确； 对于C，延长交于点， ，，，即为中点，与重合； 取中点，连接， ，四点共面，又， 平面即为平面， 则平面截正方体所得截面为， 截面面积，C正确； 对于D，，与平面所成角即为与平面所成角， 设点到平面的距离为，与平面所成角为， ，，， ，解得：， ，则，D错误. 故选：BC. 【点睛】思路点睛：本题考查立体几何中的动点问题，B选项判断三棱锥体积是否为定值的基本求解思路是根据线面平行关系，利用体积桥将所求三棱锥体积转化为顶点确定的三棱锥体积问题. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量不共线，且向量与方向相同，则实数的值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据两个向量方向相同可直接构造方程组求得结果. 【详解】与方向相同， 存在正实数，使得， 又向量不共线，，解得：（舍去）或，的值为. 故答案为：. 13. 育才学校校庆要编制一张演出节目单，5个舞蹈节目已排定顺序，要再插入4个歌唱节目，则共有_____种插入方法（用数字作答）. 【答案】 【解析】 【分析】利用倍缩法解决定序问题即可. 【详解】对全部的9个节目全排列，有种，已排定顺序的5个舞蹈节目的全排列数有种，所以满足题意的插入方法有（种）. 故答案为：. 14. 双曲线，，分别为左、右焦点，是双曲线右支上一点，，I是的内心，交轴于，且，则双曲线的离心率为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据角平分线定理、、双曲线的定义可得，再由切线长定理、双曲线的定义得点为双曲线的右顶点，过点作轴于点，根据相似比可得，再利用面积得出，将点坐标代入双曲线方程中即可. 【详解】设双曲线的半焦距为c，I是的内心，连接，则平分， 因，则， 由角平分线定理得，同理可得， ，， ，得， 又，所以，，， 设的内切圆分别切边，，于点D，E，G， 则由切线长定理得，，， 所以， 又因为，所以，， 即点为双曲线的右顶点，则轴， 过点作轴于点，连，得， ，所以， 又因为，所以，即， 所以，得，解得离心率. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. （1）求角的大小； （2）若，求周长的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用平方关系及正弦定理边角关系可得，结合余弦定理即可求的大小； （2）利用余弦定理，结合基本不等式求得的最大值，从而得解. 【小问1详解】 由，得, 所以， 由正弦定理，得， 所以， 又，所以. 【小问2详解】 由余弦定理得：， 即. 因为（当且仅当时取等号）， 故， 解得：（当且仅当时取等号）， 因此周长， 所以周长的最大值为. 16. 如图，在三棱柱中，，，，. （1）证明：平面； （2）若，二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1），，， 由余弦定理得， ， ，， 又，，平面， 平面； （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理得到，根据勾股定理逆定理得到，结合证明出线面垂直； （2）先由线面垂直得到线线垂直，得到二面角的平面角为，求出各边长，得到为等边三角形，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，由线面角的向量公式求出答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 方法一：平面，平面， 且， 二面角的平面角为，而， ，为等边三角形， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，所在平面为平面，建立如图所示的空间直角坐标系， ，，，， 由，，，， 设平面的一个法向量， ， 解得，令，则，故， 设与平面所成角为， . 方法二：因为平面，又平面，所以． 又，所以为二面角的平面角，即， 在中，因为，，所以．故是等边三角形 所以． 在三棱柱中，，又平面，所以平面， 又平面，所以．故为直角三角形． 在直角中，因为，，所以，故． 设点到平面的距离为，由， 得，解得． 设直线与平面所成角为，则， 即直线与平面所成角的正弦值为． 17. 在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，是动点，且直线与的斜率之积等于. （1）求动点的轨迹方程； （2）（ⅰ）求的面积的最大值； （ⅱ）设直线和分别与直线交于点，问：是否存在点使得与的面积相等?若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ）存在，点的坐标为 【解析】 【分析】（1）设点的坐标为，先分别求出直线与的斜率，再利用直线与的斜率之间的关系即可得到关系式，化简后即为动点的轨迹方程； （2）（ⅰ）设平行于的直线的方程，当直线与椭圆相切，此时的切点满足的面积最大； （ⅱ）对于存在性问题可先假设存在，由面积公式得：根据角相等消去三角函数得比例式，最后得到关于点的纵坐标的方程，解之即得. 【小问1详解】 因为点与关于原点对称，所以点的坐标为. 设点的坐标为，由题意得， 化简得. 又因为直线与的斜率存在，所以.故动点的轨迹方程为. 【小问2详解】 （i）因为直线的方程为，设平行于的直线的方程为， 联立直线与椭圆的方程得消去得， 当时，即时，直线与椭圆相切，此时的切点满足的面积最大， 所以，故的面积的最大值为. （ii）若存在点使得与的面积相等，设点的坐标为， 则. 因为，所以， 所以，即，解得， 因为，所以， 故存在点使得与的面积相等，此时点的坐标为. 18. 已知函数. （1）当时，讨论的单调性； （2）当时，，求实数的取值范围； （3）设存在两个不同的极值点，（其中），求的取值范围. 【答案】（1） 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求导，分和讨论判断导数正负，得解； （2）由（1）分，和讨论，结合函数的单调性求解； （3）由极值点的性质可得，是方程的两个不同的实根，得，所以，令，，，利用导数可得. 【小问1详解】 的定义域为，， 若，则对任意，，单调递增. 若，当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 由（1）知，当时，在上单调递减， 所以时，，不合题意，舍去； 当时，由（1）得在上单调递增，. 当时，先证当时，，令，， 则，所以函数在上单调递减，所以， 即当时，都有. 因为， 取，，不合题意. 综上所述，实数的取值范围为. 【小问3详解】 由（1）知，，令， 由题意得，是方程的两个不同的实根， 由得或， 又因为，，，所以， ，， 令，则，， 所以，在区间上单调递减，所以， 综上：的取值范围为. 19. 一袋中有大小，形状相同的2个白球和8个黑球，从中任取一球，如果取出白球，则把它放回袋中；若取出黑球，则该球不再放回，另补一个白球放到袋中.重复次这样的操作后，记袋中的白球个数为. （1）求； （2）求，； （3）求的值. 【答案】（1） （2）， （3）10 【解析】 【分析】（1）根据的取值以及概率，即可容易求得数学期望； （2）根据全概率公式即可计算出的值；先找出和的关系,由等比数列的定义写出，再分情况由全概率计算出再换元利用数列的构造法计算出的值； （3）对第次白球个数的数学期望分为第次取出来的是白球或者黑球进行讨论，即可计算. 【小问1详解】 根据题意：的取值可以为2，3， ，， 的分布列为 2 3 . 【小问2详解】 根据题意：， ，为等比数列，首项为，公比为， . ， 令，，， ， 为等比数列，首项为，公比为. ， ，即. 【小问3详解】 设经过次操作后，袋中有个白球，则有个黑球， 在第次操作中，若取出白球对应的概率为，则白球数量不变，即； 若取出黑球对应的概率为，则白球数量加，即. 因此关于的条件期望为：， 根据全期望公式可得：， 整理得：，即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江西省西路七校2026届高三第一次联考 数学 联盟学校：莲花中学 遂川中学 永新中学 安福中学 万安中学 井冈山中学 宁冈中学 考试时间：2025年10月10日 时量：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则不可能为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 已知，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，下列命题中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 4. 若方程在区间上有两个不等实根，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 设抛物线的焦点为，准线为，过抛物线上的一点作的垂线，垂足为，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，若，，都有成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数和的定义域均为.若是奇函数，是偶函数，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 函数的部分图象如图所示，已知点为的零点，点为的极值点，，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 甲、乙两名篮球运动员连续5场比赛的得分如图所示，则（ ） A. 甲得分的平均数大于乙得分的平均数 B. 甲得分的极差大于乙得分的极差 C. 甲得分的中位数大于乙得分的中位数 D. 甲得分的方差大于乙得分的方差 10. 已知数列是等比数列，以下结论正确的是（ ） A. 是等比数列 B. 若，，则 C. 若，则数列是递增数列 D. 若数列的前项和，则 11. 已知正方体的棱长为，为的中点，点满足，则（ ） A. 存在点使得 B. 若为的中点，则三棱锥体积为定值 C. 当时，平面截正方体所得截面的面积为 D. 与平面所成的角等于 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量不共线，且向量与方向相同，则实数的值为_____. 13. 育才学校校庆要编制一张演出节目单，5个舞蹈节目已排定顺序，要再插入4个歌唱节目，则共有_____种插入方法（用数字作答）. 14. 双曲线，，分别为左、右焦点，是双曲线右支上一点，，I是的内心，交轴于，且，则双曲线的离心率为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. （1）求角的大小； （2）若，求周长的最大值. 16. 如图，在三棱柱中，，，，. （1）证明：平面； （2）若，二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值. 17. 在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，是动点，且直线与的斜率之积等于. （1）求动点的轨迹方程； （2）（ⅰ）求的面积的最大值； （ⅱ）设直线和分别与直线交于点，问：是否存在点使得与的面积相等?若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由. 18. 已知函数. （1）当时，讨论的单调性； （2）当时，，求实数的取值范围； （3）设存在两个不同的极值点，（其中），求的取值范围. 19. 一袋中有大小，形状相同的2个白球和8个黑球，从中任取一球，如果取出白球，则把它放回袋中；若取出黑球，则该球不再放回，另补一个白球放到袋中.重复次这样的操作后，记袋中的白球个数为. （1）求； （2）求，； （3）求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $