1.1 菱形的性质与判定 讲义 2025-2026学年北师大版九年级数学上册

本初中数学讲义聚焦菱形的性质与判定核心知识点，以平行四边形为基础，系统梳理菱形定义（邻边相等的平行四边形）、性质（四边相等、对角线垂直平分等）及三种判定方法（定义、对角线垂直的平行四边形、四边相等的四边形），构建从基础概念到应用的学习支架。 资料设计七大题型突破，涵盖添加条件判定、证明、线段长计算等，通过图形分析（如题型1添加对角线垂直条件）培养几何直观，证明题（如题型2菱形判定推理）提升推理意识，坐标题（如题型6结合坐标系求点坐标）强化应用意识。课中辅助教师分层教学，课后助力学生通过典型例题查漏补缺，巩固知识。

1.1菱形的性质与判定知识归纳与题型突破2025-2026学年 北师大版九年级上册（七大题型） 知识归纳： 知识点一：菱形的定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 要点诠释：菱形的定义的两个要素：①是平行四边形.②有一组邻边相等.即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件. 知识点二：菱形的性质 菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质： 1.菱形的四条边都相等； 2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角. 3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心. 要点诠释：（1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分. （2）菱形的面积由两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高；另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）.实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半. （3）菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算问题. 知识点三：菱形的判定 菱形的判定方法有三种： 1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形. 2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 3.四条边相等的四边形是菱形. 要点诠释：前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等. 题型突破： 【题型 1 添加条件使四边形为菱形】 1．如图，▱ABCD对角线AC，BD交于点O，请添加一个条件：____使得▱ABCD是菱形（　　） A．AB＝AC B．AC⊥BD C．AB＝CD D．AC＝BD 2．如图，要使平行四边形ABCD成为菱形，需添加的条件是（　　） A．AC＝BD B．∠ABC＝∠ADC C．∠ABC＝90° D．AC⊥BD 3．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，则添加的下列条件中，不能判定平行四边形ABCD是菱形的是(　　) A．AC⊥BD B．AB=BC C．AC=BD D．∠1=∠2 4．如图所示，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，试添加一个条件： ，使得平行四边形ABCD为菱形． 5．点E、F、G、H分别是平行四边形的边、、、的中点．若要使四边形是菱形，则添加的条件可以是__________．现有条件：①，②，③，④．（请填写正确的序号） 【题型 2 证明四边形为菱形】 1．下列说法错误的是（    ） A．菱形的对角线互相垂直且平分 B．矩形的对角线相等 C．有一组邻边相等的四边形是菱形 D．四条边相等的四边形是菱形 2．如图所示，已知△ABC，AB＝AC，将△ABC沿边BC翻转，得到的△DBC与原△ABC拼成四边形ABDC，则能直接判定四边形ABDC是菱形的依据是（　　） A．一组邻边相等的平行四边形是菱形 B．四边相等的四边形是菱形 C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形 3．已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD交于点O，下列结论不正确的是（　　） A．当AB＝BC时，它是菱形 B．当AC⊥BD时，它是菱形 C．当∠BAO＝∠DAO时，它是菱形 D．当AC＝BD时，它是菱形 【题型 3 利用菱形的性质与判定求线段长】 1．菱形的两条对角线分别是12cm和16cm，则菱形的边长为（    ） A．20cm B．20 C．10 D．10cm 2．如图，菱形中，对角线、相交于点，为边中点，菱形的周长为，则的长等于（   ）    A．4 B．8 C．16 D．18 3．如图，在菱形中，于点E，菱形的面积为48，，则的长为（　　） A．12 B．8 C．4 D．2 4．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD交于点O，DE⊥AB于点E，F是线段AD的中点，连接OF．若OA＝4，，则DE的长为（　　） A． B． C． D． 5．如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠B＝60°，E、F分别是边BC、CD中点，则△AEF周长等于（    ） A． B． C． D．3 【题型 4 利用菱形的性质与判定求角度】 1．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，∠CAD＝20°，则∠DHO的度数是（　　） A．20° B．25° C．30° D．40° 2．如图，菱形 的两条对角线相交于点O，若 ，则 　 　°． 3．如图，菱形ABCD中，过顶点C作CE⊥BC交对角线BD于点E，若∠A＝130°，则∠BEC＝ °． 4．如图，在菱形纸片中，，折叠菱形纸片，使点落在（为的中点）所在的直线上，得到经过点的折痕，则的度数为 ． 5．如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作于点H，连接，若，则的度数为___________． 【题型 5 利用菱形的性质与判定求面积】 1．如图，四边形是周长为的菱形，其中对角线长为，则菱形的面积为（    ）． A． B． C． D． 2．如图，在菱形中，对角线、交于点，已知，，则菱形的面积是（    ） A．9 B．18 C．36 D．72 3．菱形的周长是20，一条对角线的长为6，则它的面积为　 　． 4．如图，在菱形中，，．点P为边上一点，且不与点C，D重合，连接，过点A作，且，连接，则四边形的面积为______． 5．如图所示，将两张等宽的长方形条交叉叠放，重叠部分是一个四边形ABCD，若AD=4cm，∠ABC=30°，则四边形ABCD的面积是　 　cm2． 【题型 6 利用菱形的性质与判定求坐标】 1．如图，平面直角坐标系中，四边形是菱形，两点的坐标分别是，，且轴，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC的三个顶点O(0，0)，B(4，0)，顶点C的纵坐标为﹣1，则顶点A的坐标为 ． 3．如图，菱形ABCD的对角线交于坐标原点O．已知点，，则点C的坐标为 　　． 4．在平面直角坐标系中，已知A（0，0）、B（6，0），点C在第一象限，且AC＝BC＝6，若存在点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是菱形，则点D的坐标为 　 　． 5．已知A（0，3），B（6，0），点C是x轴正半轴上一点，D是同一平面内一点，若以A、B、C、D为顶点的四边形是菱形，则点D的坐标为 　 　． 【题型 7菱形性质与判定综合】 1．如图，平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，点E是AB边上的中点，连接OE，OE＝2.5，AC＝8，BD＝6．有下列结论：①△ABD是等边三角形；②▱ABCD的周长是20；③▱ABCD的BC边上的高是4.8；④▱ABCD是菱形；⑤▱ABCD的面积是48，其中正确的是（　　） A．②③④ B．②④⑤ C．①②③④ D．②③④⑤ 2．如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB，交CB的延长线于G，连接GF，若AD⊥BD．下列结论：①DE∥BF；②四边形BEDF是菱形；③S△BFG＝S平行四边形ABCD；④FG⊥AB．其中正确的是（　　） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④ 3．如图，△ABC是边长为1的等边三角形，D，E为线段AC上两动点，且∠DBE＝30°，过点D，E分别作AB，BC的平行线相交于点F，分别交BC，AB于点H，G．现有以下结论：①S△ABC＝；②当点D与点C重合时，FH＝；③AE+CD＝DE；④当AE＝CD时，四边形BHFG为菱形．则其中正确的结论的序号是 　 　． 4.如图，在中，是边上的中点，延长至点，使得于点． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，求的长． 5.如图，在等腰中，，平分，过点作交的延长线于，连接，过点作交的延长线于． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，，求的长． 【答案】 1.1菱形的性质与判定知识归纳与题型突破2025-2026学年 北师大版九年级上册（七大题型） 知识归纳： 知识点一：菱形的定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 要点诠释：菱形的定义的两个要素：①是平行四边形.②有一组邻边相等.即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件. 知识点二：菱形的性质 菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质： 1.菱形的四条边都相等； 2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角. 3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心. 要点诠释：（1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分. （2）菱形的面积由两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高；另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）.实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半. （3）菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算问题. 知识点三：菱形的判定 菱形的判定方法有三种： 1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形. 2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 3.四条边相等的四边形是菱形. 要点诠释：前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等. 题型突破： 【题型 1 添加条件使四边形为菱形】 1．如图，▱ABCD对角线AC，BD交于点O，请添加一个条件：____使得▱ABCD是菱形（　　） A．AB＝AC B．AC⊥BD C．AB＝CD D．AC＝BD 【答案】B． 2．如图，要使平行四边形ABCD成为菱形，需添加的条件是（　　） A．AC＝BD B．∠ABC＝∠ADC C．∠ABC＝90° D．AC⊥BD 【答案】D． 3．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，则添加的下列条件中，不能判定平行四边形ABCD是菱形的是(　　) A．AC⊥BD B．AB=BC C．AC=BD D．∠1=∠2 【答案】C 4．如图所示，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，试添加一个条件： ，使得平行四边形ABCD为菱形． 【答案】AD=DC 5．点E、F、G、H分别是平行四边形的边、、、的中点．若要使四边形是菱形，则添加的条件可以是__________．现有条件：①，②，③，④．（请填写正确的序号） 【答案】①②③ 【题型 2 证明四边形为菱形】 1．下列说法错误的是（    ） A．菱形的对角线互相垂直且平分 B．矩形的对角线相等 C．有一组邻边相等的四边形是菱形 D．四条边相等的四边形是菱形 【答案】C 2．如图所示，已知△ABC，AB＝AC，将△ABC沿边BC翻转，得到的△DBC与原△ABC拼成四边形ABDC，则能直接判定四边形ABDC是菱形的依据是（　　） A．一组邻边相等的平行四边形是菱形 B．四边相等的四边形是菱形 C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形 【答案】B． 3．已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD交于点O，下列结论不正确的是（　　） A．当AB＝BC时，它是菱形 B．当AC⊥BD时，它是菱形 C．当∠BAO＝∠DAO时，它是菱形 D．当AC＝BD时，它是菱形 【答案】D． 【题型 3 利用菱形的性质与判定求线段长】 1．菱形的两条对角线分别是12cm和16cm，则菱形的边长为（    ） A．20cm B．20 C．10 D．10cm 【答案】D 2．如图，菱形中，对角线、相交于点，为边中点，菱形的周长为，则的长等于（   ）    A．4 B．8 C．16 D．18 【答案】A 3．如图，在菱形中，于点E，菱形的面积为48，，则的长为（　　） A．12 B．8 C．4 D．2 【答案】B 4．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD交于点O，DE⊥AB于点E，F是线段AD的中点，连接OF．若OA＝4，，则DE的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】D． 5．如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠B＝60°，E、F分别是边BC、CD中点，则△AEF周长等于（    ） A． B． C． D．3 【答案】B 【题型 4 利用菱形的性质与判定求角度】 1．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，∠CAD＝20°，则∠DHO的度数是（　　） A．20° B．25° C．30° D．40° 【答案】A 2．如图，菱形 的两条对角线相交于点O，若 ，则 　 　°． 【答案】140 3．如图，菱形ABCD中，过顶点C作CE⊥BC交对角线BD于点E，若∠A＝130°，则∠BEC＝ °． 【答案】65 4．如图，在菱形纸片中，，折叠菱形纸片，使点落在（为的中点）所在的直线上，得到经过点的折痕，则的度数为 ． 【答案】45° 5．如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作于点H，连接，若，则的度数为___________． 【答案】 【题型 5 利用菱形的性质与判定求面积】 1．如图，四边形是周长为的菱形，其中对角线长为，则菱形的面积为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 2．如图，在菱形中，对角线、交于点，已知，，则菱形的面积是（    ） A．9 B．18 C．36 D．72 【答案】C 3．菱形的周长是20，一条对角线的长为6，则它的面积为　 　． 【答案】24 4．如图，在菱形中，，．点P为边上一点，且不与点C，D重合，连接，过点A作，且，连接，则四边形的面积为______． 【答案】 5．如图所示，将两张等宽的长方形条交叉叠放，重叠部分是一个四边形ABCD，若AD=4cm，∠ABC=30°，则四边形ABCD的面积是　 　cm2． 【答案】8 【题型 6 利用菱形的性质与判定求坐标】 1．如图，平面直角坐标系中，四边形是菱形，两点的坐标分别是，，且轴，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 2．在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC的三个顶点O(0，0)，B(4，0)，顶点C的纵坐标为﹣1，则顶点A的坐标为 ． 【答案】(2，1) 3．如图，菱形ABCD的对角线交于坐标原点O．已知点，，则点C的坐标为 　　． 【答案】． 4．在平面直角坐标系中，已知A（0，0）、B（6，0），点C在第一象限，且AC＝BC＝6，若存在点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是菱形，则点D的坐标为 　 　． 【答案】（9，3）或（﹣3，3）或（3，﹣3）． 5．已知A（0，3），B（6，0），点C是x轴正半轴上一点，D是同一平面内一点，若以A、B、C、D为顶点的四边形是菱形，则点D的坐标为 　 　． 【答案】（3，3）或（，3）． 【题型 7菱形性质与判定综合】 1．如图，平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，点E是AB边上的中点，连接OE，OE＝2.5，AC＝8，BD＝6．有下列结论：①△ABD是等边三角形；②▱ABCD的周长是20；③▱ABCD的BC边上的高是4.8；④▱ABCD是菱形；⑤▱ABCD的面积是48，其中正确的是（　　） A．②③④ B．②④⑤ C．①②③④ D．②③④⑤ 【答案】A． 2．如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB，交CB的延长线于G，连接GF，若AD⊥BD．下列结论：①DE∥BF；②四边形BEDF是菱形；③S△BFG＝S平行四边形ABCD；④FG⊥AB．其中正确的是（　　） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④ 【答案】B． 3．如图，△ABC是边长为1的等边三角形，D，E为线段AC上两动点，且∠DBE＝30°，过点D，E分别作AB，BC的平行线相交于点F，分别交BC，AB于点H，G．现有以下结论：①S△ABC＝；②当点D与点C重合时，FH＝；③AE+CD＝DE；④当AE＝CD时，四边形BHFG为菱形．则其中正确的结论的序号是 　 　． 【答案】①②④． 4.如图，在中，是边上的中点，延长至点，使得于点． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）解：证明：是边上的中点， ． ， 四边形是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形） （有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形） 四边形是菱形． （2）， ． 在中，． 由（1），可得（菱形的四条边相等） ． 在中，． ， ， ． 5.如图，在等腰中，，平分，过点作交的延长线于，连接，过点作交的延长线于． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，，求的长． 【答案】(1)四边形是菱形，见解析 (2)的长为． 【详解】（1）四边形是菱形， 理由：，平分， ， ， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2）平分，， ， 四边形是菱形， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， 的长为． 学科网（北京）股份有限公司 $