第一章 矩形的性质与判定（知识梳理+考点突破+课后巩固）2025-2026学年北师大版数学九年级上册

将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！！ 第一章 特殊的平行四边形 （二） 矩形的性质与判定 知识点1：矩形的定义 有一个角是______的_____________是矩形。 注：两要素：①四边形是平行四边形；②有一个角是直角。 两者缺一不可。 知识点2：矩形的性质 1、具有平行四边形的所有性质 2、特殊性质 性质1：矩形的四个角都是_____。 性质2：矩形的对角线_____。 3、对称性 矩形是中心对称图形，其对称中心是对角线的交点 它也是轴对称图形，有2条对称轴，分别是经过对边中点的直线； 知识点3：直角三角形斜边上的中线的性质 直角三角形斜边上的中线等于________________________。（直角三角形的一个性质） 注：1、仅适用于直角三角形； 2，该性质的逆命题也是真命题：如果三角形一条边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 知识点4：矩形的判定 判定定理1：有一个角是直角的平行四边形是矩形。 判定定理2：有三个角是直角的四边形是矩形。 判定定理3：对角线相等的平行四边形是矩形。 考点一：矩形的性质 例题：下列命题正确的是（　　） A．矩形的四个角都相等 B．矩形的四条边都相等 C．矩形的对角线互相垂直 D．矩形的对角线平分内角 巩固训练 1.矩形具有而菱形不具有的性质是（    ） A．两组对边分别平行 B．两组对角分别相等 C．对角线相等 D．对角线互相平分 考点二：利用矩形的性质求解 例题：如图，在矩形中，点是延长线上一点，连接，若则的度数为（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1.如图，矩形的对角线相交于点，过点作，交于点，连接．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2.如图，长方形中，点E、F分别为边上的任意点，、的面积分别为15和25，那么四边形的面积为 ． 考点三：直角三角形斜边上的中线的性质 例题：已知△ABC是Rt△，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的中线，若∠C=30°，AB＝5㎝，则AC＝________㎝，BD＝________ ㎝。 巩固训练 1.在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝3，则AB边上的中线CD＝___________． 考点四：矩形的判定 例题：如图，已知四边形ABCD中，AO=BO=CO=DO，求证：四边形ABCD是矩形。 巩固训练 1.如图，在中，是的角平分线，是的外角的平分线，过点C作，垂足为E． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求四边形的面积． 考点五：利用矩形的判定与性质综合性问题 例题：如图，在平行四边形中，，过点作交的延长线于点，连接交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． 巩固训练 1.如图，在菱形中，对角线，相交于点，是的中点，连接并延长至点，使，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求菱形的面积． 1.矩形不一定具有的性质是（      ） A．对角线垂直 B．四个角都是直角 C．是轴对称图形 D．对角线相等 2.如图，矩形中，是对角线的中点，连接．若，，则的长为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 3.如图，矩形的对角线，相交于点O，于点E，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4.如图，在矩形中，分别是上的点，分别是的中点，，，则线段的长为 ． 5.四边形中，对角线，相交于点O，给出下列三组条件：①，；②；③，；其中一定能判定这个四边形是矩形的条件有 ．（填写所有正确条件的序号） 6．如图，在中，，是的一条角平分线，，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长 7.在□ ABCD中，，为上的两点，且，． (1)求证：； (2)求证：□ ABCD是矩形； (3)连接，若是的平分线，，，求四边形的面积． ( 第 1 页 共 6 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！！ 第02讲 矩形的性质与判定 知识点1：矩形的定义 有一个角是______的_____________是矩形。 注：两要素：①四边形是平行四边形；②有一个角是直角。 两者缺一不可。 知识点2：矩形的性质 1、具有平行四边形的所有性质 2、特殊性质 性质1：矩形的四个角都是_____。 性质2：矩形的对角线_____。 3、对称性 矩形是中心对称图形，其对称中心是对角线的交点 它也是轴对称图形，有2条对称轴，分别是经过对边中点的直线； 知识点3：直角三角形斜边上的中线的性质 直角三角形斜边上的中线等于________________________。（直角三角形的一个性质） 注：1、仅适用于直角三角形； 2，该性质的逆命题也是真命题：如果三角形一条边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 知识点4：矩形的判定 判定定理1：有一个角是直角的平行四边形是矩形。 判定定理2：有三个角是直角的四边形是矩形。 判定定理3：对角线相等的平行四边形是矩形。 考点一：矩形的性质 例题：下列命题正确的是（　　） A．矩形的四个角都相等 B．矩形的四条边都相等 C．矩形的对角线互相垂直 D．矩形的对角线平分内角 【答案】A 巩固训练 1.矩形具有而菱形不具有的性质是（    ） A．两组对边分别平行 B．两组对角分别相等 C．对角线相等 D．对角线互相平分 【答案】C 考点二：利用矩形的性质求解 例题：如图，在矩形中，点是延长线上一点，连接，若则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 巩固训练 1.如图，矩形的对角线相交于点，过点作，交于点，连接．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 2.如图，长方形中，点E、F分别为边上的任意点，、的面积分别为15和25，那么四边形的面积为 ． 【答案】40 【分析】本题考查了三角形的面积，解题的关键是能正确作出辅助线， 连接，可得，再根据面积的和差可得，同理可得，即可解答 【详解】解：连接，      ，又，， 同理     ，又，， ，故答案为：40 考点三：直角三角形斜边上的中线的性质 例题：已知△ABC是Rt△，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的中线，若∠C=30°，AB＝5㎝，则AC＝________㎝，BD＝________ ㎝。 巩固训练 1.在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝3，则AB边上的中线CD＝___________． 考点四：矩形的判定 例题：如图，已知四边形ABCD中，AO=BO=CO=DO，求证：四边形ABCD是矩形。 巩固训练 1.如图，在中，是的角平分线，是的外角的平分线，过点C作，垂足为E． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析(2)矩形的面积为2． 【分析】此题考查了矩形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识． （1）证明，根据矩形的判定即可得到结论； （2）证明是等腰直角三角形，再根据矩形的面积公式即可求解． 【详解】（1）证明：∵，是的平分线，∴， ∴，∵是外角的平分线， ∴．∴， ∵，∴．∴， ∴四边形为矩形； （2）解：∵，是的平分线，∴， ∵，∴，∴，∴矩形的面积为． 考点五：利用矩形的判定与性质综合性问题 例题：如图，在平行四边形中，，过点作交的延长线于点，连接交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题重点考查平行四边形的性质、矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明及是等边三角形是解题的关键． （1）由，，得，由四边形是平行四边形，点在的延长线上，得，则四边形是平行四边形，即可由，根据矩形的定义证明四边形是矩形； （2）由平行四边形的性质和矩形的性质得，，，因为，所以是等边三角形，则，，所以，即可根据勾股定理求得． 【详解】（1）证明：，，， ，四边形是平行四边形，点在的延长线上， ，四边形是平行四边形，，四边形是矩形． （2）解：四边形是矩形，四边形是平行四边形， ，，， 是等边三角形，，是等边三角形， ，，，， ，的长是． 巩固训练 1.如图，在菱形中，对角线，相交于点，是的中点，连接并延长至点，使，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析(2) 【分析】（1）先证明四边形为平行四边形，再根据菱形的性质得到，然后根据矩形的判定可证得结论； （2）根据矩形的性质求得，再根据菱形的性质和勾股定理求出对角线的长，再根据菱形的面积等于其对角线乘积的一半求解即可． 【详解】（1）证明：∵是的中点 ，四边形是平行四边形，在菱形中，四边形是矩形 （2）解：，在菱形中，是的中点 是的中点是的中位线 在菱形中，， 在中，， 根据勾股定理得 在菱形中，， ． 1.矩形不一定具有的性质是（      ） A．对角线垂直 B．四个角都是直角 C．是轴对称图形 D．对角线相等 【答案】A 2.如图，矩形中，是对角线的中点，连接．若，，则的长为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 3.如图，矩形的对角线，相交于点O，于点E，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 4.如图，在矩形中，分别是上的点，分别是的中点，，，则线段的长为 ． 【答案】6.5// 【分析】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理、三角形中位线等知识，正确作出辅助线是解题关键．连接，利用勾股定理解得的值，然后根据三角形中位线的性质求解即可． 【详解】解：连接，如下图， ∵四边形是矩形，，， ∴，， ∴在中，， ∵分别是的中点， ∴． 故答案为：6.5． 5.四边形中，对角线，相交于点O，给出下列三组条件：①，；②；③，；其中一定能判定这个四边形是矩形的条件有 ．（填写所有正确条件的序号） 【答案】②③/③② 6．如图，在中，，是的一条角平分线，，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）根据三线合一得到，再由有三个角是直角的四边形是矩形证明； （2）先由勾股定理求出，再由面积法得到，即可求解． 【详解】（1）证明：∵是的角平分线，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴在中， ， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 即， ∴． 7.在中，，为上的两点，且，． (1)求证：； (2)求证：是矩形； (3)连接，若是的平分线，，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)． 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线定义，熟练掌握矩形的判定和性质定理是解题的关键． （1）首先根据平行四边形的性质得到，然后结合已知条件利用判定两三角形全等即可； （2）根据全等三角形的性质得到，从而判定矩形； （3）根据矩形的性质和角平分线的定义以及矩形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ， ， 在和中， ， ； （2）证明：， ， 在平行四边形中，， ， ， 四边形是矩形； （3）解：四边形是矩形， ， 是的平分线， ， ， ， ， ， ， 四边形的面积． ( 第 1 页 共 6 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $