专题1.2 菱形的性质与判定（举一反三讲义）数学新教材北师大版九年级上册

本讲义聚焦初中数学菱形的性质与判定核心知识点，系统梳理菱形边、角、对角线、对称性等性质及面积计算方法，衔接判定定理，构建从基础应用（求线段、角度、面积）到综合证明（添条件、证菱形）再到复杂问题（折叠、动点、尺规作图）的递进式学习支架。 该资料以13类题型为载体，融入中国结、纸牌承重桌等现实情境，通过例题与变式训练，培养学生几何直观（数学眼光）、推理能力（数学思维）与应用意识（数学语言）。课中辅助分层教学，课后助力查漏补缺，提升解决综合问题的能力。

专题1.2 菱形的性质与判定（举一反三讲义） 【新教材北师大版】 题型归纳 【题型1 利用菱形的性质求线段长度】 2 【题型2 利用菱形的性质求角度大小】 5 【题型3 利用菱形的性质计算图形面积】 8 【题型4 利用菱形的性质证明几何关系】 11 【题型5 添一个条件使四边形是菱形】 15 【题型6 证明四边形是菱形】 18 【题型7 利用菱形的判定与性质求线段长度】 21 【题型8 利用菱形的判定与性质求角度大小】 25 【题型9 利用菱形的判定与性质求图形面积】 30 【题型10 利用菱形的判定与性质解决最值问题】 35 【题型11 利用菱形的判定与性质解决折叠问题】 40 【题型12 利用菱形的判定与性质解决动点与存在性问题】 46 【题型13 利用菱形的判定与性质解决尺规作图问题】 53 知识点1 菱形的性质考点1 菱形的性质 图示 性质 数学语言描述 边 对边平行 AB∥CD，AD∥BC 四条边都相等 角 对角相等 ， 对角线 对角线互相垂直平分 ，， 每条对角线平分一组对角 , 对称性 轴对称图形，对称轴是对角线所在的直线 中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点 知识点2 菱形面积的计算 计算方法 符号表示 主要依据 菱形的面积=底高 菱形是特殊的平行四边形 菱形的面积= 两条对角线 乘积的一半 【题型1 利用菱形的性质求线段长度】 【例1】（2026·河南商丘·一模）如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，连接．若，菱形的面积为16，则菱形的边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据菱形的性质得到，，，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，则，，根据菱形的面积公式求出，则，根据勾股定理即可求出菱形的边长． 【详解】解：在菱形中，，，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ∴菱形的边长为． 【变式1-1】（25-26八年级下·湖南邵阳·期中）中国结不仅是一种装饰品，还是一种文化符号，寓意团圆、美满，彰显了中国智慧和深厚的文化底蕴．如图，这是个菱形中国结，测得对角线，，则菱形的周长是______cm． 【答案】120 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴． ∵， ∴是等边三角形． ∵， ∴菱形的周长为． 【变式1-2】（2026·北京平谷·一模）如图，在菱形中，对角线相交于点，对角线的长为是的中点，是上一点，连接．若，则的长为______． 【答案】 【分析】如图所示，取的中点G，连接，根据菱形的性质可知，利用勾股定理得到，结合中位线的性质可得，且，再求出，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示，取的中点G，连接， ∵菱形的对角线与相交于点， ， ， ∵点是的中点，点G是的中点， ∴是的中位线， ∴，且，，， 又， ，， ． 【变式1-3】（25-26八年级下·黑龙江佳木斯·期中）如图，在菱形中，为的中点，则对角线上的动点到两点的距离之和的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据菱形的性质，得知关于对称，根据轴对称的性质，将转化为，再根据两点之间线段最短得知为的最小值，进而求的值即可得出答案． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴关于对称， ∴连接交于， 则， 根据两点之间线段最短，的长即为的最小值， ∵， ∴为等边三角形， ∵ ， ∴， ∴ ∴点到两点的距离之和的最小值为． 【题型2 利用菱形的性质求角度大小】 【例2】（25-26八年级下·甘肃张掖·期中）如图，在菱形中，点E是对角线上一点，，连接，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据菱形的性质，，，然后根据等边对等角求得，进而可求得答案． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式2-1】（25-26八年级下·湖北武汉·期中）如图，在菱形的外侧，作等边三角形，若，则______． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质、等边三角形的性质及等腰三角形的判定与性质．首先根据菱形和等边三角形的性质求出，然后由等腰三角形的性质求出，进而求解即可． 【详解】解： 四边形是菱形， ， ，，． 是等边三角形， ，， ， ，，，， ， ． 【变式2-2】（2026·河北唐山·一模）如图，点G在菱形纸板的对角线上，且，夕夕准备沿纸板上的虚线裁出“翼型”三角板（阴影部分）． (1)求证：； (2)若，求“翼角”的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据菱形的性质可得，可利用即可证明； （2）结合菱形的性质可得，再由等腰三角形的性质可得，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形为菱形， ∴， 在和中， ∵， ∴； （2）解：∵四边形为菱形，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式2-3】（2026·黑龙江哈尔滨·一模）在菱形中，对角线，相交于点O，点E在菱形的边上，若，则的度数为_____________． 【答案】或 【分析】根据菱形对角线互相垂直的性质，可得，结合点在菱形边上的不同位置，分两种情况分类计算即可． 【详解】解： 四边形是菱形，对角线、相交于点， 菱形对角线互相垂直，即， ， 分两种情况讨论： ① 当点在边上时，在内部， ； ② 当点在边上时，在外部， ． 综上，的度数为或． 【题型3 利用菱形的性质计算图形面积】 【例3】（25-26八年级下·湖北黄石·期中）如图，在菱形中，对角线、交于点O，过点C作交的延长线于点E，连接且，，则四边形的面积为（    ） A．3 B．6 C．12 D．24 【答案】B 【分析】根据菱形的性质可知点是的中点，由可知是直角三角形，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出的长，最后根据菱形的面积等于对角线乘积的一半计算即可 ． 【详解】解：∵四边形是菱形 ， ∴，即点是的中点， ∵ ， ∴ ，， ∴在中，， ， ∴菱形的面积． 【变式3-1】（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，是菱形的对角线，已知，求菱形的面积． 【答案】 【分析】连接交于点O，根据菱形的性质，勾股定理求出的长，再根据菱形的面积公式进行求解即可． 【详解】解：如图，连接交于点O， ∵四边形是菱形， ， ∴在中，， ， ． 【变式3-2】（25-26八年级下·湖南娄底·期中）如下图1，小明用四根相同长度的木条制作了一个正方形学具（正方形），测得其对角线，利用四边形的不稳定性将其变形为如下图2所示的四边形，且，则下图2中四边形的面积为___________． 【答案】 【分析】先利用正方形的性质得到，在图2中，连接交于O，证明是等边三角形得，再根据菱形的性质和勾股定理求得的长，最后求出菱形的面积即可． 【详解】解：如图1，∵四边形是正方形，， ∴， 在图2中，连接交于O，        ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∴． 【变式3-3】（25-26八年级下·上海·期中）如图，在菱形中，E是的中点，且，． (1)求的度数； (2)求菱形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由菱形的性质得到，，可证明垂直平分，得到，则可证明是等边三角形，得到，再由平行线的性质可得答案； （2）求出的长，则可求出的长，再利用勾股定理求出的长，最后根据菱形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵E是的中点，且， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵E是的中点，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【题型4 利用菱形的性质证明几何关系】 【例4】（25-26八年级下·上海·期中）如图，在平行四边形中，点E、F分别是边的中点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若四边形是菱形，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，由线段中点的定义得到，则可证明，再由即可证明结论； （2）由菱形的性质和线段中点的定义可得，由等边对等角和三角形内角和定理证明，得到，据此可证明结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点E、F分别是边的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）证明：∵四边形是菱形， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式4-1】如图，在菱形中，过点分别作于点，于点，连接． 求证：． 【答案】见解析 【分析】利用菱形的性质，证明即可得出结论． 【详解】证明：∵四边形是菱形， ∴． ∵， ∴， ∵在与中 ∴， ∴， ∴． 【变式4-2】如图，在菱形中，E是边的中点，连接并延长交的延长线于点F． (1)求证：． (2)若，且，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明，再结合菱形的性质即可证明； （2）先证明是直角三角形，再由勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵菱形， ∴， ∴， 又∵E是边的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：由题意，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵ 四边形是菱形，， ∴， ∴在中， ． 【变式4-3】（25-26九年级上·陕西榆林·期末）如图，菱形的对角线交于点O，延长至点F、E，连接 ．求证：． 【答案】见详解 【分析】本题考查了菱形的性质，等边对等角，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合菱形的性质，等边对等角，得，整理得，又因为，得，故，即可作答． 【详解】证明：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 知识点3 菱形的判定考点2 菱形的判定 拓展：（1）对角线互相垂直平分的四边形是菱形． （2）对角线平分一组内角的平行四边形是菱形． 【题型5 添一个条件使四边形是菱形】 【例5】（25-26八年级下·广东东莞·期中）已知四边形是平行四边形，要添加一个条件，使它成为一个菱形．在下列所给的条件中，不能添加的条件是（  ） A． B． C．平分 D． 【答案】D 【分析】结合菱形、矩形的判定定理逐一判断选项即可得到结果. 【详解】解：∵四边形是平行四边形 对于A选项，，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，可知平行四边形是菱形，不符合要求； 对于B选项，，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可知平行四边形是菱形，不符合要求； 对于C选项，如图， 平分， ， 又∵， ， 可得， ，可知平行四边形是菱形，不符合要求； 对于D选项，，根据对角线相等的平行四边形是矩形，可知平行四边形是矩形，不能成为菱形，符合要求. 【变式5-1】下列平行四边形中，根据图中所标出的数据，不一定是菱形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查菱形的判定，掌握菱形的判定方法是解题关键． 根据对角线互相垂直或邻边相等的平行四边形是菱形，逐项判断是否能使得对角线垂直或邻边相等即可． 【详解】解：A：由等角对等边，可知邻边相等，可以说明是菱形； B：，故由图中数据可知对角线垂直，可以说明是菱形； C：根据图中数据，只能说明对边平行，不能说明是菱形； D：通过平行四边形的性质，可以推出所给角的内错角也为，即由对角线分成的两个三角形为等边三角形，故邻边相等，可以说明是菱形， 故选：C． 【变式5-2】如图，在中，点D、E、F分别在边上，且．下列四种说法：①四边形是平行四边形；②如果，那么四边形是矩形；③如果平分，那么四边形是菱形；④如果且，那么四边形是菱形．其中，正确的有_________（只填写序号）．    【答案】①②③④ 【分析】本题主要考查了平行四边形、菱形、矩形的判定，掌握平行四边形、菱形、矩形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：①∵， ∴四边形是平行四边形，故①正确； ②若， ∴平行四边形是矩形；故②正确； ③若平分， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∴； ∴平行四边形是菱形；故③正确； ④若； ∴平分； ∴结合③可得平行四边形是菱形；故④正确； 所以正确的结论是①②③④， 故答案为：①②③④． 【变式5-3】（2025·河南开封·三模）如图，在中，，将沿直线平移，得到，连接，，若添加一个条件可使四边形是菱形，则这个条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定．根据平行四边形的判定和性质以及菱形的判定定理即可求解． 【详解】解：因为四边形是平行四边形，所以，， 因为沿直线平移得到， 所以，，所以四边形是平行四边形， 当添加时，因为， 所以， 所以， 所以， 所以平行四边形AFGB是菱形． 当添加时，不能判断平行四边形AFGB是菱形； 当添加或时，只能判断平行四边形AFGB是矩形，不能判断平行四边形AFGB是菱形； 故选：B． 【题型6 证明四边形是菱形】 【例6】（2026·江苏南京·一模）如图，在中，的平分线交边于点E，F是边上一点，．求证：四边形是菱形． 【答案】见解析 【分析】先证明四边形是平行四边形，接着根据角平分线的定义和平行线的性质证明，得到，据此可证明结论． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 【变式6-1】（25-26八年级下·云南昆明·期中）如图，在四边形中，．求证：四边形是菱形． 【答案】见解析 【分析】先根据对角线相互平分的四边形是平行四边形可证明是平行四边形，再根据邻边相等的平行四边形是菱形即可证明结论． 【详解】证明：， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形． 【变式6-2】（2026·重庆大足·一模）我们知道，通过对特殊三角形作图可以得到菱形．如图，是等边三角形． (1)尺规作图：作的平分线交于点E，在射线上截取，连接． (2)根据下面的思路完成证明过程． 证明：∵是等边三角形，平分， ∴且① ＝② ，（三线合一） 又∵， ∴四边形是菱形．（③ ）（填理由） 【答案】(1)见解析 (2)①；②；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形 【详解】（1）解：如图，射线即为所求． 以点E为圆心，的长为半径画弧，交射线于点D，连接， 则即为所求． （2）解：证明：∵是等边三角形，平分， ∴且，（三线合一） 又∵， ∴四边形是菱形．（对角线互相垂直平分的四边形是菱形）． 【变式6-3】（2026·江西抚州·二模）如图，在中，是对角线的交点，过点作对角线的垂线分别交于点，点在上，且，求证：四边形是菱形． 【答案】见解析 【分析】先结合平行四边形的性质得，，又因为，故，证明，得出，结合对角线互相平分的四边形是平行四边形得出四边形是平行四边形，最后由对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可作答． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ， ． 又， ． 在和中，， ， ． ∴四边形是平行四边形． ∵过点作对角线的垂线分别交于点， ， ∴四边形是菱形． 【题型7 利用菱形的判定与性质求线段长度】考点3 菱形的判定与性质综合 【例7】（2026·陕西渭南·二模）如图，菱形的对角线、相交于点，点、分别为、的中点，连接、、、，若四边形的周长为，，则菱形的边长为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】D 【分析】先证明四边形是菱形得到，再用勾股定理求出，从而求得，再用勾股定理求即可． 【详解】∵菱形的对角线、相交于点， ∴， 又∵点、分别为、的中点， ∴， 又∵即， ∴四边形是菱形， 又∵四边形的周长为，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即菱形的边长为． 【变式7-1】（2026·辽宁葫芦岛·一模）如图，中，，，分别以点和点为圆心，长为半径作弧，两弧交于点，连接，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，连接，则的长为（    ） A．5 B． C．6 D． 【答案】D 【分析】先由作图得，结合，可推出四边形是菱形，根据菱形的性质得，，则，再由勾股定理分别求出、即可． 【详解】解：如图，连接交于点， 由作图得， 又∵， ∴， ∴四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴． 【变式7-2】（25-26九年级下·河北邯郸·月考）某校举办的科技节活动中，“纸牌承重”项目受到同学们的广泛关注．琪琪所在小组用若干张图1中的纸牌无缝隙、无叠合搭建成可承重的两条桌腿，制成如图2所示的“纸牌承重桌”（桌面与地面平行，桌面厚度和纸牌厚度忽略不计），“纸牌承重桌”的高度为______． 【答案】 【分析】如图，连接，根据题意，得到是等边三角形，边长都为，进而得到四边形是菱形，推出，即“纸牌承重桌”的高度为的长度，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，连接， 根据题意，是等边三角形，边长都为， 四边形是菱形， ， ， ，即“纸牌承重桌”的高度为的长度， ． 【变式7-3】（24-25八年级下·全国·单元测试）如图所示，在四边形中，，，为的中点，连接，，．连接，若，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查菱形的判定和性质、平行四边形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的判定方法，属于中考常考题型．先证出四边形为菱形，得出，，再由勾股定理即可得出答案． 【详解】解：∵，E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形； ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形， ∴，， ∵， ∴． 故答案为：． 【题型8 利用菱形的判定与性质求角度大小】 【例8】（25-26九年级上·甘肃兰州·期末）如图，在中，，D是中点，，是的角平分线，连接、． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质与判定定理是解题的关键． （）由平行线的性质可得，由角平分线的定义得到，故有，所以，然后通过直角三角形的性质得，再证明四边形是平行四边形，进而可证明结论； （）先证明是等边三角形，则，由菱形的性质得，所以，然后得出是等边三角形，则有，，再通过角度和差求出，最后由勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵，是中点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）解：∵，是中点， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得． 【变式8-1】（25-26九年级上·内蒙古包头·期末）按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交，于点，；③分别以点，为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点；④连接，，．若，则的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质及判定，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键． 判定出四边形为菱形，再利用菱形的性质求解即可． 【详解】解：由题意可得：， ∴四边形为菱形， ∴， ∴， 故选：C． 【变式8-2】如图，已知四边形的四边都相等，等边的顶点E、F分别在上，且，则______．    【答案】/100度 【分析】根据题意得出菱形，根据菱形的性质推出，根据平行线的性质得出，根据等边三角形的性质得出，根据等边对等角得出，设，根据三角形的内角和定理得出方程即可求出答案． 【详解】解：∵四边形的四边都相等， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， ∵是等边三角形，， ∴， ∴， 由三角形的内角和定理得：， 设，则， ∵， ∴，解得：， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了菱形的判定和性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，平行线的性质等知识，熟练掌握相关图形的性质定理、构建方程求解是关键． 【变式8-3】（25-26九年级上·浙江台州·期末）如图，菱形纸片中，，将菱形沿剪开，不动，绕点A逆时针旋转度（）得到，其中点C与点对应． (1)如图1，当时，、的延长线交于点E． ①用α表示的度数； ②如图2，当时，求证：四边形是菱形； (2)如图3，连接、，当______时，． 【答案】(1)①；②证明见解析 (2)140 【分析】（1）①由菱形的性质可得是等腰三角形，结合，可得，从而得到，同理．由四边形的内角和为，可得； ②由可得，同理，从而证明四边形是平行四边形，结合，进一步证明四边形是菱形； （2）由，可以证明四边形是平行四边形，则．结合，可以计算出，结合三角形内角和定理，计算出，从而得到的值． 【详解】（1）解：①∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 由旋转的性质可得，，，， ∴， ∵， ∴； ②证明：由①可得，， ∵， ∴， ∴， 同理可得，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）解：由旋转的性质可得，， 在菱形中，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理与四边形的内角和定理，熟练掌握相关知识是解题关键． 【题型9 利用菱形的判定与性质求图形面积】 【例9】（25-26八年级下·广东江门·期中）如图，在平行四边形中，点E，F分别在上，且，． (1)证明：四边形为菱形； (2)在（1）的条件下，若，，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由平行四边形的性质得到，，再证明，则可证明四边形为平行四边形；由直角三角形的性质得到，据此可证明平行四边形为菱形； （2）由平行四边形的性质得到，求出，证明，，可得到，，则；可证明，，则． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，即， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴平行四边形为菱形； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式9-1】（24-25八年级下·福建福州·期中）如图，已知，分别以点 、 为圆心，以5为半径画弧，两条弧分别交于、两点，则以、、、四点为顶点的四边形的面积是（   ） A．12 B．24 C．30 D．48 【答案】B 【分析】此题考查了菱形的性质和判定，勾股定理，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 首先根据题意得到四边形是菱形，进而得到，，然后利用勾股定理得到，求出，最后利用菱形的面积公式求解即可． 【详解】解：根据题意可得，， ∴四边形 是菱形， ∴设 和 交于点O， ∴，， ∴ ∴ ∴四边形的面积． 故选：B． 【变式9-2】如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，若重合部分构成的四边形ABCD中，，．则四边形ABCD的面积为（    ） A．240 B．120 C．60 D．30 【答案】B 【分析】先证四边形ABCD是菱形，再由勾股定理可求BO的长，然后由菱形的面积公式可求解． 【详解】解：过点A作AE⊥CD于E，AF⊥BC于F，连接AC，BD交于点O，如图所示： ∵两条纸条宽度相同， ∴AE＝AF． ∵ABCD，ADBC， ∴四边形ABCD是平行四边形． ∵S▱ABCD＝BC•AF＝CD•AE． 又∵AE＝AF． ∴BC＝CD， ∴ABCD是菱形， ∴AO＝CO=，BO＝DO=，AC⊥BD， ∵， ∴CO＝AO＝5，BO＝＝=12， ∴BD＝24， ∴菱形ABCD的面积＝AC×BD＝×10×24＝120． 故选：B． 【点睛】此题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定和性质以及勾股定理等知识，解题的关键是证得四边形ABCD为菱形． 【变式9-3】（25-26八年级下·江西南昌·月考）如图，在矩形中，点E是的中点，延长至点G，使得 连接，的延长线与的延长线交于点F，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若平分，，求菱形的面积． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先结合矩形的性质以及点E是的中点，证明，则，再证明四边形是平行四边形，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形进行分析，即可作答． （2）结合矩形的性质以及角平分线的定义得，则，运用勾股定理列式得，由（1）得四边形是菱形，运用对角线的乘积的一半算出菱形的面积． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴ ∵点E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， 即， ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴ ∵平分， ∴ ∴ ∴ ∵点E是的中点， ∴ ∴ ∵四边形是矩形， ∴ 由（1）得四边形是菱形； ∴， ∴菱形的面积． 【题型10 利用菱形的判定与性质解决最值问题】 【例10】如图，是的边的中点，是对角线上一点．若，则的最小值是（    ）    A．1 B．2 C． D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查轴对称-最短路线问题，菱形的判定与性质，勾股定理等知识点．找出B点关于的对称点D，连接交于P，则就是的最小值，求出即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴是菱形， 连接，交于O，连接交于P，    由菱形的对角线互相垂直平分，可得B、D关于对称，则， ∴， 即就是的最小值． ∵四边形是菱形， ∴，， ∴是等边三角形， ∵， ∴． 在中，． 即的最小值为． 故选：C． 【变式10-1】如图，将两张长为8，宽为2的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的周长有最小值8，那么菱形周长的最大值是 (    ) A．17 B．16 C． D． 【答案】A 【分析】画出图形，设菱形的边长为x，根据勾股定理求出周长即可． 【详解】解：当两张纸条如图所示放置时，菱形周长最大，设这时菱形的边长为x， 在Rt△ABC中， 由勾股定理：x2＝（8−x）2＋22， 解得：x＝， ∴4x＝17， 即菱形的最大周长为17． 故选：A． 【点睛】考查了菱形的性质，本题的解答关键是怎样放置纸条使得到的菱形的周长最大，然后根据图形列方程． 【变式10-2】如图所示，在四边形中，于点O，，，点H为线段上的一个动点，过点H分别作于点M，作于点N，连接，在点H运动的过程中，的最小值为（    ） A．6 B．7.8 C．8 D．9.8 【答案】B 【分析】证四边形是菱形，可得，连接，由三角形面积关系求出为定值，由垂线段最短可知，当时，最短，即可求解． 【详解】∵，， ∴，四边形是平行四边形 ∵ ∴四边形是菱形， ∴ 连接，如图， ∵ ∴，即 ∴ ∴为定值 ∴当最短时，有最小值 由垂线段最短可知，当时，最短， 当点H与点O重合时，有最小值 最小值 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理、最小值问题以及三角形面积等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 【变式10-3】如图，中，对角线与相交于点F，，且，若点P 是对角线上一动点， 连接，将绕点 A 逆时针旋转使至，得连接，取的中点O，连接，则在点P的运动过程中，线段的最小值为______． 【答案】2 【分析】连接，由菱形的性质及，得出，，，由勾股定理求出，进而得出，证明，得出，进而得出当时，的值最小，求出此时的长度即可．本题考查了菱形的性质，旋转的性质，找出全等的三角形，证明是解决问题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是平行四边形，且 ∴四边形是菱形， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵将绕点A逆时针旋转使得， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是满足的线段， 当时，的值最小， ∵O是的中点， ∴ ∴， ∴在点P的运动过程中，线段的最小值为2， 故答案为：2 【题型11 利用菱形的判定与性质解决折叠问题】 【例11】（25-26九年级上·广东深圳·期末）如图，在四边形纸片中，，，点是上一点，将纸片沿折叠，点恰好落在点处，连接．    (1)判断四边形的形状并证明； (2)若，，求的长． 【答案】(1)四边形是菱形，见解析 (2) 【分析】本题主要考查了菱形的判定和性质，勾股定理： （1）根据平行线的性质以及折叠的性质可得，从而得到，进而得到，可证明四边形是平行四边形，再由，即可求证； （2）设，在中，利用勾股定理可得，连接，在中，利用勾股定理可得，然后根据，即可求解． 【详解】（1）解：四边形是菱形，理由如下： 如图，    ， ． 纸片沿折叠， ，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形． ， 是菱形． （2）解：由（1）得， 设， 在中，， ∴， ∴， 解得：， 即， 连接，    在中，， ． ， ， ． 【变式11-1】（24-25八年级下·广西贵港·期中）如图，将沿折叠，使点与点A重合．如果，，那么的边上的高为（   ） A． B． C．6 D．8 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理、菱形的判定与性质、平行四边形的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 如图：连接、，设的边上的高为h，与于点O，先证明得出，则可证明四边形是菱形得出，，，根据勾股定理求出，然后根据等面积法求解即可． 【详解】解：如图：连接、，设的边上的高为h，与于点O， ∵将沿折叠，使点与点A重合， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴，解得：，即的边上的高是． 故选：A． 【变式11-2】（24-25八年级下·贵州遵义·期中）如图，一张四边形纸片， 其中，， 沿对角线折叠， 点A恰好落在边上的点 E处． (1)连接，试判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，， 求四边形的面积． 【答案】(1)菱形，理由见解析 (2) 【分析】（1）根据折叠得出，，证明，根据等腰三角形的判定得出，先证明四边形为平行四边形，再证明四边形为菱形； （2）根据直角三角形的性质得出，根据勾股定理得出，求出，根据菱形的性质得出，最后根据菱形的面积公式求出结果即可． 【详解】（1）解：根据折叠可知：，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 根据勾股定理得：， 即， 解得：，负值舍去， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了菱形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，解题的关键是熟练掌握菱形的判定方法． 【变式11-3】综合与探究 【问题情境】圆圆与方方运用折叠纸片研究平行四边形． 【操作判断】如图1，将沿着对角线折叠，若此时点A与点C恰好重合，证明：． 【类比探究】如图2，在的一边上取一点E，沿着折叠，点A的对称点恰好落在对角线上，若点与点C，E共线，，求的长． 【问题解决】如图3，在的一边上取一点E，沿着折叠，点A的对称点恰好落在的中点处，若，求的长． 【答案】[操作判断]见解析；[类比探究]1；[问题解决]2 【分析】[操作判断]根据折叠的性质得，结合平行四边形的性质可得四边形是菱形，即有； [类比探究]根据平行四边形的性质得和，则，有折叠得，，由结合等腰三角形的性质有，则有，即可得； [问题解决]延长交的延长线于点，由（2）得，设，由平行四边形，，则有和，进一步证明，有和，根据列方程求解即可． 【详解】解： [操作判断]∵将沿着对角线折叠，若此时点A与点C恰好重合， ∴， 又∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形， ∴． [类比探究]∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵沿着折叠点A的对称点恰好落在对角线上， ∴，， ∴， ∴， ∵点与点C，E共线， ∴， 即， [问题解决]延长交的延长线于点， 由（2）得， ∵沿着折叠，点A的对称点恰好落在的中点处， 设， ∵四边形是平行四边形 ∴， ∴， ∵恰好落在的中点处， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴，解得， ∴． 【点睛】本题主要考查折叠的性质、平行四边形的性质、菱形的判定和性质、平行线的性质、等腰三角形的性质以及全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握折叠的性质和特殊四边形的性质． 【题型12 利用菱形的判定与性质解决动点与存在性问题】 【例12】（24-25八年级下·河北秦皇岛·期中）将两个全等的直角三角形如图摆放，其中，，，动点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿射线运动，同时点从点出发以每秒个单位长度的速度沿向终点运动，点到达终点后点也停止运动，设点运动时间为（秒）： (1)当时，求的长； (2)是否存在的值，使得以，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由； (3)是否存在的值，使得与互相平分？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， (3)不存在，见解析 【分析】（1）先根据勾股定理求出，再根据运动速度，求出，最后求出结果即可； （2）根据菱形的性质，得出，且，然后列出方程，解方程即可； （3）根据与互相平分时，，列出方程，解方程得出答案，然后进行判断即可． 【详解】（1）解：在中 ∵，， ∴由勾股定理得：， ∴， ∵点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿射线运动，点从点出发以每秒个单位长度的速度沿向终点运动， ∴，当时，， ∴． （2）解：存在；理由： 依题意，若以，，，为顶点的四边形是菱形，则满足，且 即， 解得， 当时，， ∴当时，以，，，为顶点的四边形是菱形； （3）解：不存在；理由： 若与互相平分，则在的左侧，且四边形为平行四边形， ∴，即， 解得， 由（1）知， ∴不存在的值，使得与互相平分． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，一元一次方程的应用，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 【变式12-1】已知：如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，B（5，2），点D是OA中点，点P在BC上以每秒2个单位的速度由C向B运动，设动点P的运动时间为t秒． （1）t为何值时，四边形PODB是平行四边形？ （2）在直线CB上是否存在一点Q，使得O、D、Q、P四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求t的值，并求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）t=1.25；（2）存在；t=0.75，Q（4，2）；或t=0.5，Q（-1.5，2），或t=2，Q（1.5，2）． 【分析】（1）先求出OA，进而求出OD=2.5，再由运动知BP=5-2t，进而由平行四边形的性质建立方程5-2t=2.5即可得出结论； （2）分三种情况讨论，利用菱形的性质和勾股定理即可得出结论； 【详解】（1）∵四边形OABC为矩形，B（5，2）， ∴BC=OA=5，AB=OC=2， ∵点D时OA的中点， ∴OD=OA=2.5， 由运动知，PC=2t， ∴BP=BC-PC=5-2t， ∵四边形PODB是平行四边形， ∴PB=OD=2.5， ∴5-2t=2.5， ∴t=1.25； （2）①当Q点在P的右边时，如图1， ∵四边形ODQP为菱形， ∴OD=OP=PQ=2.5， ∴在Rt△OPC中，由勾股定理得：PC=1.5， ∴2t=1.5； ∴t=0.75， ∴Q（4，2）； ②当Q点在P的左边且在BC线段上时，如图2， 同①的方法得出t=2， ∴Q（1.5，2）， ③当Q点在P的左边且在BC的延长线上时，如图3， 同①的方法得出，t=0.5， ∴Q（-1.5，2）； 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，平行四边形的性质，极值的确定，解（1）的关键是求出OD的值，解（2）的关键时分类讨论的思想． 【变式12-2】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝9cm，点P 从点B出发，沿BA方向以每秒cm的速度向终点A运动；同时，动点Q从点C出发沿CB方向以每秒1cm 的速度向终点B运动，将△BPQ沿BC翻折，点P的对应点为点P′，设Q点运动的时间t秒，若四边形QPBP′为菱形，则t的值为（    ） A．2 B．3 C．2 D．4 【答案】B 【分析】由折叠可知，BP=BP'，QP=QP'，则只要当BP=QP时，即可得四边形QPBP′为菱形．作PD⊥BC于点D，由三线合一的性质及等腰三角形性质可得△PDQ为等腰直角三角形，用t分别表示出DQ和PQ，由BP=QP即可建立方程求解即可． 【详解】解：由折叠可知，BP=BP'，QP=QP'， ∴只要当BP=QP时，即可得四边形QPBP′为菱形． 作PD⊥BC于点D，如图所示． 由∠C=90°，AC=BC=9cm可得，∠ABC=∠BAC=45°， 当BP=QP时，∠ABC=∠PBQ=∠PQB=45°． ∴由三线合一的性质可得DQ=BQ=（BC-CQ）=（9-t）， ∴PQ=DQ=（9-t）， ∵BP=t， 即t=（9-t），解得t=3． 故选：B． 【点睛】本题以动点问题为背景考查了菱形的判定与性质、等腰直角三角形性质、轴对称的性质，掌握菱形的判定方法是解题的关键． 【变式12-3】如图，O为原点，四边形为矩形，已知，，点D是的中点，动点P在线段上以每秒2个单位长的速度由点C向B运动．设动点P的运动时间为t秒． (1)当 时，四边形是平行四边形； (2)在线段上是否存在一点Q，使得O，D，Q，P四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求t的值，并求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)在线段上有一点M，且，求四边形周长的最小值． 【答案】(1) (2)存在，，或， (3) 【分析】（1）根据平行四边形的判定与性质，即可解答； （2）分点P在点Q的左侧和右侧两种讨论，利用菱形的判定与性质及勾股定理即可求得答案； （3）连结，过点O作直线的对称点E，连结，先证明四边形是平行四边形，得到，，然后证明，再根据两点之间线段最短，可得到点P在上时，取最小值，求出此最小值，由此即可求得答案． 【详解】（1）解：，点D是的中点， ，， 四边形为矩形， ， 由已知，，则， 若四边形是平行四边形， 则， ， ， 故答案为：； （2）解：存在；理由如下： 当点P在点Q的左侧时， 若O，D，Q，P四点为顶点的四边形是菱形， 则， 在中，， ， ，， Q点的坐标为， 当点P在点Q的右侧时， 若O，D，Q，P四点为顶点的四边形是菱形， 则， 在中，， ， ，， ， 综上所述，在线段上存在一点Q，使得O，D，Q，P四点为顶点的四边形是菱形，且，或，． （3）解：连结，过点O作直线的对称点E，连结，， ，， ， 又， 四边形是平行四边形， ，， 点O和点E关于直线的对称， 垂直平分， ， ， 当点P在上时，取最小值，此时， 即当点P在上时，四边形周长的最小值为． 【点睛】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理，线段和的最值问题等知识，平移线段是解题的关键． 【题型13 利用菱形的判定与性质解决尺规作图问题】 【例13】（25-26八年级下·福建福州·期中）如图，矩形 (1)求作菱形，使点，分别落在边上；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若．求的长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】（1）作线段的垂直平分线与的交点即为点，由线段垂直平分线的性质可得，，然后可证明，则，那么可由四边相等的四边形是菱形证明； （2）先得到，则，求出，则，再证明是等边三角形即可求解． 【详解】（1）解：如图，菱形即为所求 （2）解：如图， ∵四边形是菱形， ∴ ∴ ∵ ∴， ∵矩形中， ∴ ∴ ∴， ∵， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴ ∵四边形是菱形， ∴， ∴ ∴是等边三角形， ∴． 【变式13-1】（25-26九年级上·福建漳州·期末）如图，在等腰中，． (1)尺规作图：作关于所在直线对称的（保留作图痕迹，不写作法）； (2)连接，交于点，若，四边形周长为，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题考查尺规作三角形，轴对称的性质，菱形的判定与性质，勾股定理，菱形的面积．熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． （1）分别以点A、C为圆心，为半径画弧，两弧相交于点D，连接、即可； （2）先根据菱形得，，则可求得，根据菱形的周长可求得，由勾股定理，可求出，从而求得，然后由菱形的面积公式可求解． 【详解】（1）解：即为所求， 由作图可知：， ∵ ∴ ∴四边形为菱形， ∴与关于直线对称； （2）解：如图， 由（1）知四边形为菱形， ∴，，， ∵四边形周长为， ∴， 由勾股定理，得， ∴． ∴四边形的面积． 【变式13-2】如图，在中，尺规作图：以点为圆心，的长为半径画弧交于点，分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧交于点，作射线交与点，若，，则的值为________． 【答案】26 【分析】证明四边形是菱形，利用勾股定理求出即可解决问题． 【详解】解：由题意可知：，， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ，， 在中，， ， ． 故答案为：26． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是判定四边形是菱形． 【变式13-3】（24-25八年级下·吉林·期末）下面是小明设计的“在一个三角形中作内接菱形”的尺规作图过程． 已知：．求作：菱形使点在上，点在上，点在上． 作法：①作的角平分线，交于点；②作线段的垂直平分线，交于点，交于点；③连接，． 所以四边形为所求的菱形． (1)请你根据小明的作法使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） (2)若，，则四边形的周长为______，它的面积为______． 【答案】(1)见解析 (2)8， 【分析】（1）根据小明的作法，按照尺规作图的要求补全图形即可； （2）由，，证明是等边三角形，则，所以，由，得，由，求得，则，所以，，于是得到问题的答案． 【详解】（1）解：根据小明的作法补全图形如图所示， 理由：设交于点， 垂直平分，交于点，交于点， ，，， 平分，交于点， ， ，， ， ， ， 四边形为所求的菱形 （2）解：，， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， 四边形的周长为8，它的面积为， 故答案为：8；． 【点睛】此题重点考查线段的垂直平分线的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质、等角的余角相等、菱形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出图形并且证明是等边三角形是解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.2 菱形的性质与判定（举一反三讲义） 【新教材北师大版】 题型归纳 【题型1 利用菱形的性质求线段长度】 2 【题型2 利用菱形的性质求角度大小】 3 【题型3 利用菱形的性质计算图形面积】 4 【题型4 利用菱形的性质证明几何关系】 5 【题型5 添一个条件使四边形是菱形】 6 【题型6 证明四边形是菱形】 7 【题型7 利用菱形的判定与性质求线段长度】 8 【题型8 利用菱形的判定与性质求角度大小】 10 【题型9 利用菱形的判定与性质求图形面积】 11 【题型10 利用菱形的判定与性质解决最值问题】 12 【题型11 利用菱形的判定与性质解决折叠问题】 13 【题型12 利用菱形的判定与性质解决动点与存在性问题】 14 【题型13 利用菱形的判定与性质解决尺规作图问题】 16 知识点1 菱形的性质考点1 菱形的性质 图示 性质 数学语言描述 边 对边平行 AB∥CD，AD∥BC 四条边都相等 角 对角相等 ， 对角线 对角线互相垂直平分 ，， 每条对角线平分一组对角 , 对称性 轴对称图形，对称轴是对角线所在的直线 中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点 知识点2 菱形面积的计算 计算方法 符号表示 主要依据 菱形的面积=底高 菱形是特殊的平行四边形 菱形的面积= 两条对角线 乘积的一半 【题型1 利用菱形的性质求线段长度】 【例1】（2026·河南商丘·一模）如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，连接．若，菱形的面积为16，则菱形的边长为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26八年级下·湖南邵阳·期中）中国结不仅是一种装饰品，还是一种文化符号，寓意团圆、美满，彰显了中国智慧和深厚的文化底蕴．如图，这是个菱形中国结，测得对角线，，则菱形的周长是______cm． 【变式1-2】（2026·北京平谷·一模）如图，在菱形中，对角线相交于点，对角线的长为是的中点，是上一点，连接．若，则的长为______． 【变式1-3】（25-26八年级下·黑龙江佳木斯·期中）如图，在菱形中，为的中点，则对角线上的动点到两点的距离之和的最小值为（    ） A． B． C． D． 【题型2 利用菱形的性质求角度大小】 【例2】（25-26八年级下·甘肃张掖·期中）如图，在菱形中，点E是对角线上一点，，连接，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26八年级下·湖北武汉·期中）如图，在菱形的外侧，作等边三角形，若，则______． 【变式2-2】（2026·河北唐山·一模）如图，点G在菱形纸板的对角线上，且，夕夕准备沿纸板上的虚线裁出“翼型”三角板（阴影部分）． (1)求证：； (2)若，求“翼角”的度数． 【变式2-3】（2026·黑龙江哈尔滨·一模）在菱形中，对角线，相交于点O，点E在菱形的边上，若，则的度数为_____________． 【题型3 利用菱形的性质计算图形面积】 【例3】（25-26八年级下·湖北黄石·期中）如图，在菱形中，对角线、交于点O，过点C作交的延长线于点E，连接且，，则四边形的面积为（    ） A．3 B．6 C．12 D．24 【变式3-1】（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，是菱形的对角线，已知，求菱形的面积． 【变式3-2】（25-26八年级下·湖南娄底·期中）如下图1，小明用四根相同长度的木条制作了一个正方形学具（正方形），测得其对角线，利用四边形的不稳定性将其变形为如下图2所示的四边形，且，则下图2中四边形的面积为___________． 【变式3-3】（25-26八年级下·上海·期中）如图，在菱形中，E是的中点，且，． (1)求的度数； (2)求菱形的面积． 【题型4 利用菱形的性质证明几何关系】 【例4】（25-26八年级下·上海·期中）如图，在平行四边形中，点E、F分别是边的中点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若四边形是菱形，求证：． 【变式4-1】如图，在菱形中，过点分别作于点，于点，连接． 求证：． 【变式4-2】如图，在菱形中，E是边的中点，连接并延长交的延长线于点F． (1)求证：． (2)若，且，求的长． 【变式4-3】（25-26九年级上·陕西榆林·期末）如图，菱形的对角线交于点O，延长至点F、E，连接 ．求证：． 知识点3 菱形的判定考点2 菱形的判定 拓展：（1）对角线互相垂直平分的四边形是菱形． （2）对角线平分一组内角的平行四边形是菱形． 【题型5 添一个条件使四边形是菱形】 【例5】（25-26八年级下·广东东莞·期中）已知四边形是平行四边形，要添加一个条件，使它成为一个菱形．在下列所给的条件中，不能添加的条件是（  ） A． B． C．平分 D． 【变式5-1】下列平行四边形中，根据图中所标出的数据，不一定是菱形的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】如图，在中，点D、E、F分别在边上，且．下列四种说法：①四边形是平行四边形；②如果，那么四边形是矩形；③如果平分，那么四边形是菱形；④如果且，那么四边形是菱形．其中，正确的有_________（只填写序号）．    【变式5-3】（2025·河南开封·三模）如图，在中，，将沿直线平移，得到，连接，，若添加一个条件可使四边形是菱形，则这个条件可以是（   ） A． B． C． D． 【题型6 证明四边形是菱形】 【例6】（2026·江苏南京·一模）如图，在中，的平分线交边于点E，F是边上一点，．求证：四边形是菱形． 【变式6-1】（25-26八年级下·云南昆明·期中）如图，在四边形中，．求证：四边形是菱形． 【变式6-2】（2026·重庆大足·一模）我们知道，通过对特殊三角形作图可以得到菱形．如图，是等边三角形． (1)尺规作图：作的平分线交于点E，在射线上截取，连接． (2)根据下面的思路完成证明过程． 证明：∵是等边三角形，平分， ∴且① ＝② ，（三线合一） 又∵， ∴四边形是菱形．（③ ）（填理由） 【变式6-3】（2026·江西抚州·二模）如图，在中，是对角线的交点，过点作对角线的垂线分别交于点，点在上，且，求证：四边形是菱形． 【题型7 利用菱形的判定与性质求线段长度】考点3 菱形的判定与性质综合 【例7】（2026·陕西渭南·二模）如图，菱形的对角线、相交于点，点、分别为、的中点，连接、、、，若四边形的周长为，，则菱形的边长为（    ） A． B． C．4 D． 【变式7-1】（2026·辽宁葫芦岛·一模）如图，中，，，分别以点和点为圆心，长为半径作弧，两弧交于点，连接，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，连接，则的长为（    ） A．5 B． C．6 D． 【变式7-2】（25-26九年级下·河北邯郸·月考）某校举办的科技节活动中，“纸牌承重”项目受到同学们的广泛关注．琪琪所在小组用若干张图1中的纸牌无缝隙、无叠合搭建成可承重的两条桌腿，制成如图2所示的“纸牌承重桌”（桌面与地面平行，桌面厚度和纸牌厚度忽略不计），“纸牌承重桌”的高度为______． 【变式7-3】（24-25八年级下·全国·单元测试）如图所示，在四边形中，，，为的中点，连接，，．连接，若，，求的长． 【题型8 利用菱形的判定与性质求角度大小】 【例8】（25-26九年级上·甘肃兰州·期末）如图，在中，，D是中点，，是的角平分线，连接、． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的长． 【变式8-1】（25-26九年级上·内蒙古包头·期末）按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交，于点，；③分别以点，为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点；④连接，，．若，则的大小是（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】如图，已知四边形的四边都相等，等边的顶点E、F分别在上，且，则______．    【变式8-3】（25-26九年级上·浙江台州·期末）如图，菱形纸片中，，将菱形沿剪开，不动，绕点A逆时针旋转度（）得到，其中点C与点对应． (1)如图1，当时，、的延长线交于点E． ①用α表示的度数； ②如图2，当时，求证：四边形是菱形； (2)如图3，连接、，当______时，． 【题型9 利用菱形的判定与性质求图形面积】 【例9】（25-26八年级下·广东江门·期中）如图，在平行四边形中，点E，F分别在上，且，． (1)证明：四边形为菱形； (2)在（1）的条件下，若，，求菱形的面积． 【变式9-1】（24-25八年级下·福建福州·期中）如图，已知，分别以点 、 为圆心，以5为半径画弧，两条弧分别交于、两点，则以、、、四点为顶点的四边形的面积是（   ） A．12 B．24 C．30 D．48 【变式9-2】如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，若重合部分构成的四边形ABCD中，，．则四边形ABCD的面积为（    ） A．240 B．120 C．60 D．30 【变式9-3】（25-26八年级下·江西南昌·月考）如图，在矩形中，点E是的中点，延长至点G，使得 连接，的延长线与的延长线交于点F，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若平分，，求菱形的面积． 【题型10 利用菱形的判定与性质解决最值问题】 【例10】如图，是的边的中点，是对角线上一点．若，则的最小值是（    ）    A．1 B．2 C． D．4 【变式10-1】如图，将两张长为8，宽为2的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的周长有最小值8，那么菱形周长的最大值是 (    ) A．17 B．16 C． D． 【变式10-2】如图所示，在四边形中，于点O，，，点H为线段上的一个动点，过点H分别作于点M，作于点N，连接，在点H运动的过程中，的最小值为（    ） A．6 B．7.8 C．8 D．9.8 【变式10-3】如图，中，对角线与相交于点F，，且，若点P 是对角线上一动点， 连接，将绕点 A 逆时针旋转使至，得连接，取的中点O，连接，则在点P的运动过程中，线段的最小值为______． 【题型11 利用菱形的判定与性质解决折叠问题】 【例11】（25-26九年级上·广东深圳·期末）如图，在四边形纸片中，，，点是上一点，将纸片沿折叠，点恰好落在点处，连接．    (1)判断四边形的形状并证明； (2)若，，求的长． 【变式11-1】（24-25八年级下·广西贵港·期中）如图，将沿折叠，使点与点A重合．如果，，那么的边上的高为（   ） A． B． C．6 D．8 【变式11-2】（24-25八年级下·贵州遵义·期中）如图，一张四边形纸片， 其中，， 沿对角线折叠， 点A恰好落在边上的点 E处． (1)连接，试判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，， 求四边形的面积． 【变式11-3】综合与探究 【问题情境】圆圆与方方运用折叠纸片研究平行四边形． 【操作判断】如图1，将沿着对角线折叠，若此时点A与点C恰好重合，证明：． 【类比探究】如图2，在的一边上取一点E，沿着折叠，点A的对称点恰好落在对角线上，若点与点C，E共线，，求的长． 【问题解决】如图3，在的一边上取一点E，沿着折叠，点A的对称点恰好落在的中点处，若，求的长． 【题型12 利用菱形的判定与性质解决动点与存在性问题】 【例12】（24-25八年级下·河北秦皇岛·期中）将两个全等的直角三角形如图摆放，其中，，，动点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿射线运动，同时点从点出发以每秒个单位长度的速度沿向终点运动，点到达终点后点也停止运动，设点运动时间为（秒）： (1)当时，求的长； (2)是否存在的值，使得以，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由； (3)是否存在的值，使得与互相平分？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【变式12-1】已知：如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，B（5，2），点D是OA中点，点P在BC上以每秒2个单位的速度由C向B运动，设动点P的运动时间为t秒． （1）t为何值时，四边形PODB是平行四边形？ （2）在直线CB上是否存在一点Q，使得O、D、Q、P四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求t的值，并求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式12-2】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝9cm，点P 从点B出发，沿BA方向以每秒cm的速度向终点A运动；同时，动点Q从点C出发沿CB方向以每秒1cm 的速度向终点B运动，将△BPQ沿BC翻折，点P的对应点为点P′，设Q点运动的时间t秒，若四边形QPBP′为菱形，则t的值为（    ） A．2 B．3 C．2 D．4 【变式12-3】如图，O为原点，四边形为矩形，已知，，点D是的中点，动点P在线段上以每秒2个单位长的速度由点C向B运动．设动点P的运动时间为t秒． (1)当 时，四边形是平行四边形； (2)在线段上是否存在一点Q，使得O，D，Q，P四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求t的值，并求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)在线段上有一点M，且，求四边形周长的最小值． 【题型13 利用菱形的判定与性质解决尺规作图问题】 【例13】（25-26八年级下·福建福州·期中）如图，矩形 (1)求作菱形，使点，分别落在边上；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若．求的长． 【变式13-1】（25-26九年级上·福建漳州·期末）如图，在等腰中，． (1)尺规作图：作关于所在直线对称的（保留作图痕迹，不写作法）； (2)连接，交于点，若，四边形周长为，求四边形的面积． 【变式13-2】如图，在中，尺规作图：以点为圆心，的长为半径画弧交于点，分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧交于点，作射线交与点，若，，则的值为________． 【变式13-3】（24-25八年级下·吉林·期末）下面是小明设计的“在一个三角形中作内接菱形”的尺规作图过程． 已知：．求作：菱形使点在上，点在上，点在上． 作法：①作的角平分线，交于点；②作线段的垂直平分线，交于点，交于点；③连接，． 所以四边形为所求的菱形． (1)请你根据小明的作法使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） (2)若，，则四边形的周长为______，它的面积为______． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $