精品解析：江苏省南通市2025-2026学年高一上学期10月调研测试数学试题

2025~2026学年（上）高一10月调研测试 数学 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共4页，包含单项选择题（第1题~第8题，共40分）、多项选择题（第9题~第11题，共18分）、非选择题（第12题~第19题，共92分）三部分.本次考试满分为150分，考试时间为120分钟.考试结束后，请将答题卡交回. 2.答题前，请您务必将自己的姓名、考试号等用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填在答题卡上. 3.请认真核对答题卡表头规定填写或填涂的项目是否准确. 4.作答非选择题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效.作答选择题必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案. 5.如有作图需要，可用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（　　） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 若，，则（　　） A. B. C. D. 4. 不等式的解集是（　　） A. B. C. D. 5. 若二次函数在区间上有且仅有一个零点，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 6. “，”的一个必要不充分条件是（　　） A. B. C. D. 7. 已知正数，满足，则（　　） A. B. C. D. 8. 若存在，使得不等式成立，则实数的最大值为（　　） A. B. C. 2 D. 4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，，若，则的值可能是（　　） A. －1 B. 0 C. D. 1 10. 设，若关于的不等式的解集为，则（　　） A. B. 关于的不等式的解集为 C. 关于的不等式的解集为 D. 的最大值为 11. 已知全集，若集合，且对任意，均存在使得，其中，则称集合为“共轭点集”.则下列集合是“共轭点集”的有（　　） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合满足，则的个数为______. 13. 已知集合的所有元素之和为3，则实数_____. 14. 若，，，则的最小值为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，，. （1）求； （2）若，求实数的值； （3）若，求实数的值. 16. 设集合，. （1）若，求； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围. 17. 记集合. （1）若，求集合； （2）若，求集合； （3）若集合中有且仅有一个整数，求的取值范围. 18. 如图，某市市政部门要在矩形区域上规划出一块矩形地块建造儿童游乐中心.为了保护绿化，游乐场不能超越四个全等直角三角形的绿化区域边界，其中为的边界.由实地测量知，，，，.点在线段上，设的长度为，矩形地块的面积为. （1）若为线段的中点，求及的值； （2）试用的式子表示，并求的取值范围； （3）求矩形地块面积的最大值. 19. 已知关于的方程的两个根为，. （1）若，且，求，的值； （2）若，求的最小值； （3）若，证明：当时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年（上）高一10月调研测试 数学 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共4页，包含单项选择题（第1题~第8题，共40分）、多项选择题（第9题~第11题，共18分）、非选择题（第12题~第19题，共92分）三部分.本次考试满分为150分，考试时间为120分钟.考试结束后，请将答题卡交回. 2.答题前，请您务必将自己的姓名、考试号等用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填在答题卡上. 3.请认真核对答题卡表头规定填写或填涂的项目是否准确. 4.作答非选择题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效.作答选择题必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案. 5.如有作图需要，可用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】化简集合，再根据集合的交集运算即可得答案. 【详解】集合，， 则. 故选：C. 2. 命题“，”的否定是（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定直接写出结果即可. 【详解】命题“，”是存在量词命题，其否定是全称量词命题， 所以命题“，”的否定是：，. 故选：B. 3. 若，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用不等式的性质逐项判断即可得结论. 【详解】因为，所以，所以，即，故A错误； 因为，所以，故B错误； 因为，所以，所以，所以，即，故C错误； 因为，所以，所以， 又因为，即，所以， 所以，即，故D正确. 故选：D. 4. 不等式的解集是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】不等式可变形为，等价于，求解即可. 【详解】由，可得，即，所以， 所以，解得， 所以原不等式的解集为. 故选：A. 5. 若二次函数在区间上有且仅有一个零点，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出二次函数的对称轴，结合开口方向得到不等式，求出答案. 【详解】二次函数的对称轴为，开口向下， 要想满足区间上有且仅有一个零点，需当时，， 解得. 故选：A 6. “，”的一个必要不充分条件是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求得“，”的充要条件，进而逐项判断即可. 【详解】若，为真命题，则， 解得，所以“，”的充要条件是，故A不正确； 所以是“，”的既不充分也不必要条件，故B不正确； 所以是“，”的必要不充分条件，故C正确； 所以是“，”的充分不必要条件，故D不正确. 故选：C. 7. 已知正数，满足，则（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据基本不等式由和为定值求乘积的最大值即可判断A；根据基本不等式将式子转化为再求解最值即可判断B；根据基本不等式将式子取平方转化为再求解最值即可判断C；利用基本不等式“1”的巧用求解的最值即可判断D. 【详解】对于A，因为正数，满足，所以，当且仅当时，等号成立，故A不正确； 对于B，因为， 又，所以，当且仅当时，等号成立，故B正确； 对于C，因为， 又，所以，当且仅当时，等号成立， 所以，故C不正确； 对于D，因为，所以， 则， 当且仅当，即时，等号成立，所以，故D不正确. 故选：B. 8. 若存在，使得不等式成立，则实数的最大值为（　　） A. B. C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】利用参变分离可得，分和两种情况求解即可. 【详解】由，可得，所以， 当时，； 当时，， 当且仅当，即时取等号， 综上所述：实数的最大值为. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，，若，则的值可能是（　　） A. －1 B. 0 C. D. 1 【答案】BCD 【解析】 【分析】分和两种情况讨论，结合求解即可． 【详解】因为，，且， 当时，，符合题意， 当时，，则或， 解得或， 综上所述，的值可能是0或1或． 故选：BCD． 10. 设，若关于的不等式的解集为，则（　　） A. B. 关于的不等式的解集为 C. 关于的不等式的解集为 D. 的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由已知以及根与系数的关系可得，和的关系以及，即可判断A；然后把，分别代入B，C，D所求的表达式，结合一元一次不等式、一元二次不等式、基本不等式即可得所求，从而判断B，C，D． 【详解】因为不等式的解集为， 则，解得，，且，故A正确； 关于的不等式转化为，即不等式为，则其解集为，故B不正确； 关于的不等式转化为，即不等式为，则其解集为，故C正确； ， 当且仅当，即时，的最大值为，故D正确. 故选：ACD． 11. 已知全集，若集合，且对任意，均存在使得，其中，则称集合为“共轭点集”.则下列集合是“共轭点集”的有（　　） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】AC可举出反例；B选项，推导出对任意，取，使得，其中，B正确；D选项，推导出对任意，取时，满足要求，D正确. 【详解】A选项，显然，当时，取，， 此时， 即不存在使得，其中，A错误； B选项，，需满足，， 对任意，，， 有，要使得， 又，需满足，即，且， 所以对任意，取，使得，其中，B正确； C选项，显然，不妨取，此时对于任意的，， ，不满足要求，所以C错误； D选项，显然，对任意的，，，， ，， 要使得 因为，需满足，即，且， 故对任意，，取时，满足要求，D正确. 故选：BD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合满足，则的个数为______. 【答案】4 【解析】 【分析】根据子集的定义求解，解题时可根据集合中元素个数分类讨论． 【详解】当集合中只有1个元素时，集合可以为， 当集合中只有2个元素时，集合可以为， 当集合中只有3个元素时，集合可以为， 故满足的集合的个数为4． 故答案为：4. 13. 已知集合的所有元素之和为3，则实数_____. 【答案】0或1或2 【解析】 【分析】分类讨论求得集合，利用集合所有元素之和为3，可求得的值. 【详解】由，可得， 当且时，方程的根为，，， 根据题意可得，解得， 当时，方程的根为，，此时， 两根之和为，符合题意， 当时，方程的根为，，此时， 两根之和为，符合题意， 综上所述：实数或1或2. 故答案为：0或1或2. 14. 若，，，则的最小值为_____. 【答案】9 【解析】 【分析】根据已知等式可得，代入所求式子结合基本不等式即可得最值. 【详解】因为，所以， 则， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，，. （1）求； （2）若，求实数的值； （3）若，求实数的值. 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）解方程得集合，再根据并集的定义即可求解； （2）根据交集和子集的定义即可求解； （3）由可得，进而得出即可求解. 【小问1详解】 集合， 集合， 得. 【小问2详解】 由（1）得. 因为，所以. 将代入， 得， 化简，得， 解得或. 【小问3详解】 因为，所以. 又因为，且中至多两个元素， 所以. 所以 解得. 16. 设集合，. （1）若，求； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）若，可得集合，再根据补集与交集运算得所求； （2）根据充分不必要条件确定集合间的关系，从而得的取值范围.． 【小问1详解】 因为不等式的解集为， 所以集合， 所以， 当时，， 所以， 所以. 【小问2详解】 因为“”是“”的充分不必要条件， 所以且. 又因为集合， 所以或， 解得. 所以的取值范围是. 17. 记集合. （1）若，求集合； （2）若，求集合； （3）若集合中有且仅有一个整数，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 当时，集合； 当时，集合； 当时，集合. （3） 【解析】 【分析】（1）将代入，对一元二次不等式求解即可. （2）对因式分解，由，分情况讨论即可. （3）由集合中有且仅有一个整数，可知，再由，进行计算即可. 【小问1详解】 当时，， 所以集合 【小问2详解】 由不等式，得， 因为，所以当时，，解得或. 当时，由不等式，解得. 当时，，解得或. 综上，当时，集合； 当时，集合； 当时，集合. 【小问3详解】 因为集合中有且仅有一个整数，所以， 所以集合， 所以，解得， 所以的取值范围为. 18. 如图，某市市政部门要在矩形区域上规划出一块矩形地块建造儿童游乐中心.为了保护绿化，游乐场不能超越四个全等直角三角形的绿化区域边界，其中为的边界.由实地测量知，，，，.点在线段上，设的长度为，矩形地块的面积为. （1）若为线段的中点，求及的值； （2）试用的式子表示，并求的取值范围； （3）求矩形地块面积的最大值. 【答案】（1），. （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）延长交于，若为线段的中点，则为线段的中点，结合三角形的性质，以及矩形的面积公式，求及的值； （2）设的长度为，结合三角形相似的几何性质，以及矩形的面积公式，用的式子表示，从而得所求； （3）根据与的关系，利用二次函数或者基本不等式求解最值即可得结论. 【小问1详解】 延长交于， 若为线段的中点，则为线段的中点， ，， 由得， 又， 所以， 所以矩形的面积为； 【小问2详解】 因为点在线段上，的长度为，则， 则， 因为，所以，得， 则， 所以矩形的面积， 综上， 答：矩形地块的面积，. 【小问3详解】 方法一：由（2）得， 因为，所以当时，取最大值， 答：时，矩形地块面积的最大值为； 方法二：由（1）得， 因为，所以， 由基本不等式，得， 当且仅当，即时，等号成立， 答：时，矩形地块面积的最大值为. 19. 已知关于的方程的两个根为，. （1）若，且，求，的值； （2）若，求的最小值； （3）若，证明：当时，. 【答案】（1）， （2） （3） 因为， 所以，，所以， 即， 因为， 因为，所以，，，所以， 所以，即证得， 所以，当时，. 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系可得，，结合条件确定，的值； （2）由，根据根与系数的关系将转化为关于的二次函数从而得最值；或者转化为关于的二次函数，从而求得最值； （3）根据根与系数的关系及不等式的性质求证即可. 【小问1详解】 由题意，，，且， 时，，所以， ， 所以，所以，； 【小问2详解】 法一：因为， 所以， 所以时，的最小值等于，此时. 法二：因为，，， 所以，， 所以， 当时，的最小值等于， 此时，，方程为有两个根. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $