4.1 相交线 课件2025-2026学年 华东师大版（2024）七年级数学上册

该初中数学课件围绕相交线展开，涵盖对顶角、垂线、同位角等概念及性质。通过象棋图片观察直线位置关系，转动木条探究夹角变化，从邻补角、对顶角到垂线再到三线八角，层层递进，用表格归纳和动手操作搭建学习支架。 其亮点在于融合数学眼光、思维与语言培养。量角器测量验证对顶角相等发展几何直观，几何推导证明性质体现推理意识，“F”“Z”“U”型记法和表格梳理特征优化表达。如跳远成绩联系垂线段最短，助学生理解应用，教师可借结构化流程提升教学效率。

4.1 相交线 4.1.1 对顶角 1.知道对顶角的概念，会判断两个角是对顶角 2.会通过简单说理得到对顶角的性质 3.会利用对顶角的性质解题 观察下列图片，说一说直线与直线的位置关系. 象棋 把四个角两两组合，按照两个角的位置关系将角分类. ∠1 和 ∠2，∠1 和 ∠4； ∠2 和 ∠3，∠3 和 ∠4. 有一条公共边， 另一条边互为反向延长线. 角 ∠1 与∠2 ∠2 与∠3 … 位置关系 … 数量关系 … 看一看，想一想，将你的发现填入下面的表中： 相邻 相邻 互补 互补 总结 如果两个角既相邻又互补，那么这两个角互为邻补角. ∠1 的邻补角有___________. 1 2 3 A B C D O 有一条公共边 另一边互为____________ 反向延长线 ∠2，∠3 邻补角 ∠1和∠2互补 归纳总结 从位置关系与数量关系上看，图中还有哪些角之间存在某种关系呢? ∠1 和 ∠3；∠2 和 ∠4. 顶点相同，角的两边互为反向延长线. 它们存在怎样的位置关系和数量关系呢？ ） （ 1 3 4 2 ） （ 思考 看一看，想一想，将你的发现填入下面的表中： 似乎相等，但如何证明呢？ 角 … 位置关系 … 数量关系 … ∠1 与∠3 ∠2 与∠4 相对 相对 ） （ 1 3 4 2 ） （ 方法一：量角器测量各个角的度数： ∠1 ∠2 ∠3 ∠4 ） （ 1 3 4 2 ） （ 只测量出一个角也可以验证哦，你知道怎么做吗？ 例1 在图中，∠1 = 30°，那么∠2、∠3 和∠4 各等于多少度？图中存在哪些相等关系？ 解：∠2 = 180°－∠1＝180°－30°＝150°. ∠3 = 180° -∠2 = 180° - 150° = 30°， 由此，我们得到∠3 =∠1，∠4 =∠2. ） （ 1 3 4 2 ） （ ∠4 = 180° -∠1 = 180° - 30° = 150°， 方法二：几何推导证明： 因为 ∠1 与∠2 互补，∠3 与∠2 互补 （邻补角的定义）， ） （ 1 3 4 2 ） （ 所以 ∠1=∠3 （同角的补角相等）. ∠1 的对顶角是______. 1 2 A B C D O 一个公共顶点 一个角的两边是另一个角的两边的____________ 反向延长线 ∠2 对顶角 对顶角相等. 归纳总结 例1 在图中，∠1 = 30°，那么∠2、∠3 和∠4 各等于多少度？利用刚刚所学的知识解答. 解：因为∠1 与∠2 互补 (已知)， 所以 ∠2 = 180°－∠1＝180°－30°＝150°(互补的定义). 因为 ∠1与∠3， ∠2 与∠4 分别是对顶角， 所以∠3 =∠1 = 30° (对顶角相等)，  ∠4 =∠2 = 150° (对顶角相等).  ） （ 1 3 4 2 ） （ 1. 判断下列各图中∠1 和∠2 是否为对顶角，并说明理由. √ × × × × × 1 2 ） （ 1 2 ） （ 1 2 ） （ 1 2 ） （ 1 2 ） （ 1 2 ） （ 例2 如图，直线 AB、CD 相交于点 E，∠AEC = 50°，求∠BED 的度数. 解：因为直线 AB、 CD 相交于点 E， 所以∠AEC 与∠BED 是对顶角. 根据顶角相等，得∠BED =∠AEC = 50°. A B C D E 2. 如图，直线 AB、CD、EF 相交于点 O，∠1＝40°， ∠BOC＝110°，求∠2 的度数. 解：因为∠1＝40°，∠BOC＝110° (已知)， 所以∠BOF＝∠BOC－∠1＝110°－40°＝70° 因为∠BOF＝∠2 (对顶角相等)， 所以∠2＝70° (等量代换). 3. 下列说法中，正确的有 (　 ) ① 对顶角相等 ② 相等的角是对顶角 ③ 不是对顶角的两个角就不相等 ④ 不相等的角不是对顶角 A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．0 个 B 相交线 邻补角 定义 邻补角______ 对顶角 定义 对顶角______ 互补 相等 4.1.2 垂线 1.知道垂线的概念，会用三角板、量角器过一点画一条直线的垂线 2.知道点到直线的距离的概念，并会度量点到直线的距离 3.能说出关于垂线的基本事实，并会用它解题 ） α a b b b b ） α ） α ） α ） α ） α ） α ） α 取两根木条 a、b，将它们钉在一起，固定木条 a ，转动木条 b，观察a、b 所成的夹角 α 的变化. 垂线的概念 ） α ） α b b b b ） α ） α 问题1 转动木条 b，当木条夹角分别为 35°、60°时，∠α有几种可能？ 存在∠α 使两木条的位置确定一种情况吗？ 问题2 如图，直线 AB、CD 相交于点 O，当∠AOC = 90°时，∠BOD、∠AOD、∠BOC 的度数是多少？为什么？ A B C D O 解：由对顶角的性质和平角的定义可知， 当∠AOC = 90° 时， ∠BOD =∠AOD =∠BOC = 90°. A B C D O 符号语言： ① 判定：当两条直线 AB、CD 所构成的四个角中有一个为直角时，其他三个角也都成为直角，此时，直线 AB、CD 互相垂直. 因为∠AOD = 90°（已知）， 所以 AB⊥CD（垂直的定义）. 垂线的定义 记作“AB⊥CD” 垂足 ↑ 我们把其中的一条直线叫做另一条直线的垂线. 知识要点 ② 性质：若直线 AB⊥CD ，垂足为 O，则∠AOD = 90°. 因为 AB⊥CD（已知）， 所以∠AOD = 90°（垂直的定义）. (∠AOC = ∠BOC = ∠BOD =90°) 符号语言： A B C D O 日常生活中，有哪些经常看到的线线互相垂直的图形？ 垂线的画法及基本事实 1.放 l O 如图，已知直线 l，画 l 的垂线. A 2.靠 3.移 … 4.画 l P 1.放 2.靠 3.移 4.画 一条 如图，经过直线 AB 外一点 P，画出垂直于直线 AB 的直线. 这样的垂线能画多少条呢？ l P B 1.放 2.靠 3.移 4.画 一条 如图，你能经过直线 AB 上一点 P，画出垂直于直线 AB 的直线吗？这样的垂线能画多少条呢？ 基本事实：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 归纳总结 用尺规作图：画一条线段 AB，找到线段中点 O，过点 O 作线段 AB 的垂线 CD. A B C D O 我们把垂直并且平分一条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线. AO=BO AB⊥CD 垂线段及点到直线的距离 方格图中，点 A 是直线 l 外一点，AB 与直线 l 垂直，点 B 为垂足. 线段 AB 叫做点 A 到直线 l 的垂线段. 线段AB最短 从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离. 线段AB 的长度即点A到直线l的距离 体育课上是怎样测量跳远成绩的？你知道其中的原因吗？ 起跳线 点到直线的距离 思考 如图，下列说法正确的是（ ） A.线段 AB 叫做点 B 到直线 AC 的距离 B.线段 AB 的长度叫做点 A 到直线 BC 的距离 C.线段 BD 的长度叫做点 D 到直线 BC 的距离 D.线段 BD 的长度叫做点 B 到直线 AC 的距离 A B C D D 如图，小海龟位于图中点 A 处，按下述口令移动：前进 3 格； 向右转 90°，前进 5 格； 向左转 90°，前进 3 格； 向左转 90°，前进 6 格； 向右转 90°，后退 6 格； 最后向右转 90°，前进 1 格. 用粗线将小海龟经过的路线描出来，看一看是什么图形. A 1. 如图，已知直线 AB、CD 都经过 O 点，OE 为射线，若∠1 ＝ 50°，∠2 ＝ 40°，则 OE 与 AB 的位置关系是 . C A B O E 1 2 D 垂直 2. 在下列条件中：①两直线相交所成的四个角都是直角；②两直线相交，对顶角互补；③两直线相交所成的四个角都相等，可以判定两条直线互相垂直的是（ ） A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ D 3. 如图，平原上有 A，B，C，D 四个村庄，为解决当地缺水问题，政府准备修建一个蓄水池. (1) 不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池 M 点的位置，使它到四个村庄距离之和最小； (2) 计划把河水引入蓄水池 M 中，怎样开渠最短并说明根据. 分析: (1) 两点之间，线段最短； (2) 垂线段最短. M N 解：如下图所示. 垂线 垂线的定义 垂线的性质 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 垂线段最短 垂线的画法 一放二靠三移四画 点到直线的距离 4.1.3 同位角、内错角、同旁内角 1.理解同位角、内错角、同旁内角的概念，能识别同位角、内错角、同旁内角. 2.在根据不同的位置特点寻找同位角、内错角、同旁内角的过程中，养成善于观察、勤于动脑的好习惯. 问题1 直线 AB 和 EF 相交，能形成什么关系的角？ 3 2 2 1 3 4 1 4 A B E F 1 3 4 2 1. 邻补角 A B E F 3 4 2 4 2 1 1 3 2. 对顶角 6 7 5 8 简称“三线八角” 问题2 若再添加一条直线，即直线 EF 被第三条直线 CD 所截，构成了几个角？有什么特点？ B A F E C D 4 3 1 2 如图形成的三线八角中上面四个角与下面四个角是不共顶点的 l3 2 b a 1 3 4 5 6 7 8 截线 被截直线 没有公共顶点的两个角之间会有怎样的位置关系？ 观察∠1 与∠5 的位置关系： ②从直线 a、b 来看，∠1与∠5 处于 (上方) ①从直线 l 来看，∠1与∠5 处于 (左侧) a b l 2 1 4 3 6 5 8 7 1 5 ∠1 与∠5 处于直线 l 的同一侧，且分别在直线 a、b 的同一方. 这样位置的一对角叫做同位角. 图中还有哪些同位角？ ∠2和∠6，∠3和∠7，∠4和∠8. 图形特征：在形如字母“F ”的图形中有同位角. 变式图形：下图中的∠1 与∠2 都是同位角关系. 1 2 1 2 1 2 1 2 观察∠3 与∠5 的位置关系： 图中这样的角还有哪些？ a b l 2 1 4 3 6 5 8 7 这样位置的一对角叫做内错角. ∠3 与∠5 处于直线 l 的 ，直线a、b的 . 3 5 两侧 ∠4 和∠6. 中间 变式图形：下图中的∠1 与∠2 都是内错角关系. 图形特征：在形如字母“Z”的图形中有内错角. 1 2 1 1 1 2 2 2 1.如图，与∠1 是内错角的是（ ） A. ∠2 B. ∠3 C. ∠4 D. ∠5 B 观察∠4 与∠5 的位置关系： a b F 2 1 4 3 6 5 8 7 4 5 ∠3 和∠6 这样位置的一对角叫做同旁内角. ∠4 与∠5 处于直线 l 的 ，直线a、b的 . 同侧 中间 图中这样的角还有哪些？ 变式图形：下图中的∠1 与∠2 都是同旁内角的关系. 图形特征：在形如字母“U”的图形中有同旁内角.　 1 1 1 1 2 2 2 2 2.下列图形中，∠1 和∠2 是同旁内角的（ ） A C D A B 角的名称 角的特征 基本 图形 形象记法 相同点 共同特征 同位角 同旁内角 内错角 F Z U 截线:同侧 被截线:同旁 截线:同侧 被截线:之间 截线:两侧 被截线:之间 1 2 1 2 1 2 都在截线同侧 都在被截线之间 ①必有三条直线 ②这三类角都没有公共顶点 ③都表示角之间的位置关系 归纳总结 图中，∠1是直线 a、b 相交所成的一个角，用量角器量出∠1 的度数；画一条直线 c，使直线 c 与直线 b 相交所成的角中有一个与 ∠1 是一对同位角，且这对同位角的度数相等. 1 a b c 1. (漳州期末)如图，下列说法错误的是( ) A. ∠2 和 ∠6 是同位角 B. ∠3 和 ∠4 是内错角 C. ∠1 和 ∠3 是对顶角 D. ∠3 和 ∠5 是同旁内角 A 2. 如图，∠1 与∠2、∠3 与∠4 各是哪两条直线被一条直线所截而形成的什么角？ 分析：描角 判断角的类型 找公共边 “Z” 型：内错角 “Z” 型：内错角 ∠1与∠2 “U” 型：同旁内角 “Z” 型：内错角 ∠3与∠4 同位角、内错角、同旁内角 图中判断三线八角(描图法) 把两个角描出来 找到两个角的公共直线 结构特征 内错角：___型 同旁内角：___型 同位角：___型 “F” “Z” “U” 观察判断两个角类型 $