精品解析：河南省漯河市召陵区青年镇初级中学2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题

2025－2026学年九年级上册数学第一次月考试卷 一、选择题（本大题共计10小题，每题3分，共计30分） 1. 下列属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程． 根据一元二次方程的定义判断即可． 【详解】解：A、含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； B、未知数的最高次数是1，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； C、是一元二次方程，故此选项符合题意； D、不是整式方程，即不是一元二次方程，故此选项不符合题意； 故选：C． 2. 关于x的方程中，二次项系数和一次项系数分别是（ ） A. 3，－2 B. 3，4 C. 3，－4 D. －4，－2 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的概念，方程的解的概念即可求求解．一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【详解】解：，化为一般式为 则二次项系数和一次项系数分别是 故选C 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 3. 关于二次函数的图象与性质，下列说法正确的是（ ） A. 抛物线的开口向下 B. 抛物线的对称轴为直线 C. 抛物线的顶点坐标为 D. 当，随的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，根据解析式得出开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，y随x的增大而减小，即可求解． 【详解】解：关于二次函数， ，开口向上，A不符合题意； 对称轴为直线，B不符合题意； 顶点坐标为，C不符合题意； 当时，随的增大而减小，D符合题意； 故选：D． 4. 抛物线是由抛物线平移得到的，下列平移正确的是（　　） A. 向上平移2个单位长度 B. 向下平移2个单位长度 C. 向左平移2个单位长度 D. 向右平移2个单位长度 【答案】D 【解析】 【分析】直接根据抛物线平移法则判断即可． 【详解】抛物线是由抛物线向右平移2个单位长度得到的. 故选：D 【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，其规律是：将二次函数解析式转化成顶点式(a，b，c为常数，)，“左加右减括号内，上加下减括号外”，熟练掌握这一规律是解答本题的关键． 5. 若是关于的一元二次方程的一个解．则的值是（　　） A. 6 B. 5 C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】方程的根即方程的解，就是能使方程两边相等的未知数的值，利用方程解的定义就可以得到关于的方程，从而求得的值． 【详解】把代入方程得：， 解得， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了方程的解的定义，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，即用这个数代替未知数所得式子仍然成立． 6. 若点、、三点在二次函数的图象上，则、、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征可求出，，的值，比较后即可得出结论． 【详解】解：点、、三点在二次函数的图象上， ，，． ， ． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数图象上点的坐标特征求出，，的值是解题的关键． 7. 用配方法解，配方后可得到的方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了配方法，熟练掌握配方法的一般步骤是解题的关键；二次系数为1的时候，在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，配方即可得． 【详解】解：； ； 两边同时加上4，得， 故选：A． 8. 在同一平面直角坐标系中，一次函数（a，b为常数，且）的图象与二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象等知识点，灵活运用利用一次函数的性质和二次函数的性质是解题的关键． 根据各个选项中的图象，可以判断出一次函数中a、b的正负情况与二次函数中a、b的正负情况，然后逐项判断即可解答． 【详解】解：A、由二次函数图象可知：，由一次函数图象可知：，故选项A错误，不符合题意； B、由二次函数图象可知：，由一次函数图象可知：，故选项B正确，符合题意； C、由二次函数图象可知：，由一次函数图象可知：，故选项C错误，不符合题意； D、由二次函数图象可知：，由一次函数图象可知：，故选项D错误，不符合题意． 故选：B． 9. 在一幅长，宽的矩形字画的四周镶上等宽的白色纸边，制成一幅如图所示的矩形挂图，整个挂图的面积是，设白色纸边的宽度为，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据题意可知：矩形挂图的长为，宽为；则运用面积公式列方程即可．解此类题的关键是看准题型列面积方程，矩形的面积矩形的长矩形的宽． 【详解】解：挂图长为，宽为， 所以根据矩形的面积公式可得：． 故选：D． 10. 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，下列结论：（1）abc＜0；（2）4a+c＞2b；（3）3b﹣2c＞0；（4）若点A（﹣2，y1）、点B（﹣，y2）、点C（，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；（5）4a+2b≥m（am+b）（m为常数）．其中正确的结论有（　　） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 【答案】C 【解析】 【分析】由图象可知，对称轴为直线，与x轴的一个交点为，然后可得，则有，进而可判断（1）（2）（3），最后根据函数的性质可进行判断（4）（5）． 【详解】解：由图象及题意得：，对称轴为直线，与x轴的一个交点为， ∴， ∴，即， ∴，故（1）（3）正确； 由图象可知当x=-2时，则有，即，故（2）错误； ∵点A（﹣2，y1）、点B（﹣，y2）、点C（，y3）在该函数图象上， ∴根据二次函数开口向下，离对称轴的距离越近，其所对应的函数值越大， ∴，故（4）错误； 由图象可知当x=2时，该函数有最大值，最大值为， ∴当x=m时，（m为常数），则有， ∴，即为，故（5）正确； 综上所述：正确的有（1）（3）（5）共3个； 故选C． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 二、填空题（本大题共计5小题，每题3分，共计15分） 11. 请写出一个二次函数，使它的图象同时满足下列两个条件：①开口向下，②与y轴的交点是（0，1），你写出的函数表达式是____． 【答案】（不唯一） 【解析】 【分析】设二次函数为，由题意可得，，写出符合条件的二次函数即可． 【详解】解：设二次函数为， 由题意可得， 二次函数可为： 故答案为：（不唯一） 【点睛】此题考查了二次函数的图像与系数的关系，解题的关键是掌握二次函数的图像与性质． 12. 已知是关于的一元二次方程的一个根，则代数式的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的解，代数式求值，熟练掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解是解题的关键，解题时应注意把当成一个整体，利用了整体的思想． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴ ∴， 故答案为：． 13. 已知关于x的方程，当方程总有实数根时．则m的范围为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，以及一元二次方程根的判别式． 当时，方程为一元一次方程，有一个实数解；当时，方程为一元二次方程，则，解得且，然后综合两种情况得到m的取值范围． 【详解】解：当时，即，方程变形为，解得； 当时， 解得且， 综上所述，m的取值范围为． 故答案为：． 14. 国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加．2021年至2023年我国快递业务收入由5000亿元增加到7200亿元．则我国2021年至2023年快递业务收入的年平均增长率为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是掌握平均变化率的方法，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为．设我国2021年至2023年快递业务收入的年平均增长率为x，根据2021年至2023年我国快递业务收入由5000亿元增加到7200亿元，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设我国2021年至2023年快递业务收入的年平均增长率为x， 由题意得：， 解得：，（舍去）， ∴我国2021年至2023年快递业务收入的年平均增长率为， 故答案为：． 15. 如图所示，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，且，点、是直线上的两个动点，且（点在点的上方），则的最小值是_____ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数综合，平行四边形的性质与判定，已知两点坐标求两点距离等等，正确作出辅助线是解题的关键． 先求出点的坐标，求出求出点的坐标即可求出抛物线解析式，从而求出点的坐标，取，连接，，，可证四边形是平行四边形，得到，则四边形的周长，再由点，关于直线对称，得到，则，故当、、三点共线时，最小，最小为，即此时最小，据此求解即可． 【详解】解：点是抛物线与轴交点， 点的坐标为， ， 点的坐标为， ， ， 抛物线解析式为， 抛物线对称轴为直线， 令，则， 解得或， 点的坐标为， 取，连接，，， ， 又， 四边形是平行四边形， ， 点，关于直线对称， ， ， 当、、三点共线时，最小，最小为，即此时最小， ， 四边形的最小值为． 故答案为：． 三、解答题（本大题共计8小题，共计75分） 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了直接开方法解一元二次方程，公式法解一元二次方程， （1）根据直接开方法求出解即可； （2）先求出，再根据求出解即可． 【小问1详解】 解：整理，得， 开方，得， ∴或， 则； 【小问2详解】 解：， 由， 可知， ∴， ∴． 17. 已知函数． 当为何值时，是的二次函数？ 当为何值时，是的一次函数？ 【答案】 ； ． 【解析】 【分析】（1）根据二次函数的定义可知：m2-4≠0，从而可求得m的取值范围； （2）根据一次函数的定义可知：m2-4=0，且m2-3m+2≠0，从而可求得m的值． 【详解】∵是的二次函数， ∴． 解得：； ∵是的一次函数， ∴，且． 解得：． 【点睛】本题考查了二次函数的定义, 一次函数的定义，解题的关键是掌握函数的定义. 18. 已知关于x的一元二次方程的根为． （1）若，求及m的值； （2）若一个等腰三角形的一边长为5，另两边恰好是此方程的两个实数根，求m的值． 【答案】（1） （2）m的值为5或7 【解析】 【分析】（1）先把代入原方程得，解得，此时方程化为，然后利用因式分解法解方程得到的值； （2）利用因式分解法解方程得到，讨论：当时，此时等腰三角形三边长为3、3、5，符合三角形三边的关系；当时，此时等腰三角形三边长为5、5、3，符合三角形三边的关系，从而得到满足条件的m的值． 【小问1详解】 把代入方程得， 解得， 方程化为， ， 或， 所以； 【小问2详解】 ， ， 或， 所以， 当时，解得，此时等腰三角形三边长为3、3、5，符合三角形三边的关系； 当时，解得，此时等腰三角形三边长为5、5、3，符合三角形三边的关系； 综上所述，m的值为5或7． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了等腰三角形的性质． 19. 已知抛物线． （1）请用配方法将化为的形式，并写出对称轴和顶点的坐标； （2）如果该抛物线沿x轴向左或向右平移个单位后经过原点，求m的值； （3）当时，求y的取值范围． 【答案】（1），对称轴为直线，顶点坐标为 （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，配方法，二次函数图象的平移等知识，掌握这些知识是解题的关键． （1）直接配方即可化为的形式，从而可写出对称轴与顶点坐标； （2）抛物线沿x轴向左或向右平移个单位后的解析式为，根据抛物线过原点即可求得m的值； （3）求出当与时的函数值，根据顶点坐标即可确定y的取值范围． 【小问1详解】 解： ； 对称轴为直线，顶点坐标为； 【小问2详解】 解：抛物线沿x轴向左或向右平移个单位后的解析式， 由于抛物线过原点，则， 即， ∴， 解得：或或或， ∵， ∴或； 【小问3详解】 解：当时，；当时，， 抛物线的开口向下，顶点坐标为，即当，函数取得最大值8， ∴当时，． 20. 经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具，设该种品牌玩具的销售单价为x元，销售量为y（件），销售该品牌玩具获得利润为w元 ． （1）销售量为y与x关系式为 ； （2）若商场获得了10000元销售利润，求该玩具销售单价x应定为多少元； （3）若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于540件的销售任务，求该商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）50元或80元 （3）8640元 【解析】 【分析】（1）根据销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具，可知销售单价为x元时，就会少售出件玩具，进而表示出销量即可； （2）结合（1）以及获得了10000元销售利润可得方程，解方程即可； （3）易得，结合二次函数的性质分析，即可解答． 【小问1详解】 解：根据销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具， 可知销售单价为x元时，就会少售出件玩具， 则销量为， 故答案为：； 【小问2详解】 依题意得：， 化简得：， ∴， ∴ ∵， ∴销售价应定为50元或80元 【小问3详解】 ∵该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于540件的销售任务 ∴， ∴解得： 而， ∵， ∴开口向下，有最大值， ∴， ∴当时，w随x的增大而增大 ∴时，w最大 ∴元 答：该商场销售该品牌玩具获得的最大利润是8640元 【点睛】本题考查一次函数的应用，二次函数的应用，一元二次方程的应用，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质以及利用二次函数最值求解． 21. 如图，在矩形中，，，点P是边上一点，连接，过点P作的垂线分别交，于点E，F．设的长度为，的长度为，的长度为． 小东同学根据学习函数的经验对，随x的变化规律进行了探究． 下面是小东同学的探究过程，请补充完整． x 0 0 m 0 （1）根据几何知识，可得关于x的函数解析式为______． （2）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了的几组对应值． 通过计算可知，表格中m的值约为______（结果精确到）． （3）在如图（2）所示的平面直角坐标系中，画出了与x之间的函数关系图象．请根据（2）中表格里的数据描点、连线，画出与x之间的函数关系图象． （4）结合函数图象解决问题：当时， ______（结果精确到）． 【答案】（1） （2） （3） 根据（2）中表格里的数据描点、连线，画出与x之间的函数关系图如图， （4）或或 【解析】 【分析】（1）先证明，利用相同角的正切值相同得出对应边的比相同，即可求出二次函数的解析式． （2）先证明和均为腰长为3的等腰直角三角形，过点E作于点H，利用等腰三角形的性质和正切的定义得出，，设，则，，根据，求出x的值，再利用勾股定义求出的值，再估计无理数的大小即可． （3）利用描点法画出函数图象即可； （4）利用数形结合的思想解决问题即可； 【小问1详解】 ∵，， ∴， ∴，即， ∴，解得， 故答案为． 【小问2详解】 当时，点P在的中点，则， ∵，， ∴和均为腰长为3的等腰直角三角形， ∴， 在中，过点E作于点H， ∵，，， 设，则，， 在， 解得， 则， 故答案为； 【小问3详解】 略 【小问4详解】 根据图象可得，当时，即两个函数相交时，或或． 故答案为：或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质综合问题，以及正切的定义和无理数的大小估算，勾股定理等知识．理解题意，求出函数解析式是解题的关键． 22. 如图，在矩形中，，，点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止．点P、Q的速度的速度都是，连接，，，设点P、Q运动的时间为． （1）当t为何值时，四边形是矩形？ （2）当t为何值时，四边形是菱形？此时菱形的面积是多少？ （3）当t为何值时，是以为一条腰的等腰三角形？ 【答案】（1）当时，四边形是矩形 （2）当时，四边形是菱形，菱形面积为 （3）当或3时，是以为一腰的等腰三角形 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的定义等知识，解题的关键是： （1）根据矩形的判定得出当时，四边形是矩形，然后列出关于t的方程求解即可； （2）先证明四边形AQCP为平行四边形，然后根据菱形的判定得出时，四边形为菱形，后列出关于t的方程求解即可； （3）分，两种情况讨论即可． 【小问1详解】 解：四边形是矩形， ，， 当时，四边形是矩形，即：， 解得． 答：当时，四边形是矩形； 【小问2详解】 解：，， ，即 ， 四边形为平行四边形， 在矩形中， 当，即时，四边形为菱形． 解得：． 答：当时，四边形是菱形； 当时，，面积为：； 【小问3详解】 解：①当，即时，为等腰三角形， 解得：； ②法一：当，即时，为等腰三角形， 整理得：， 解得， 法二：过点作交于点， ，， ， ， 四边形为矩形， ， ， 又， ， 解得， 综上所述，当或3时，是以为一腰的等腰三角形． 23. 已知二次函数经过点，与x轴交于点，点，点D为抛物线的顶点． （1）求此二次函数解析式； （2）连接，求证：是直角三角形； （3）若点P是直线上方抛物线的一动点，当面积取最大值时，求点P的坐标． 【答案】（1） （2） 证明：∵， ∴， ∵，， ∴，，， ∴， ∴是直角三角形； （3） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键： （1）写出两点式，利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出，利用勾股定理逆定理进行证明即可； （3）求出直线的解析式，过点作轴，交于点，利用，列出二次函数解析式，求最值即可． 【小问1详解】 解：∵二次函数经过点，与x轴交于点，点， ∴，把代入，得：， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ∵，， ∴设直线的解析式为：，把代入，得：， ∴， 过点作轴，交于点，设，则：， ∴， ∴， ∴当时，面积最大， 此时：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年九年级上册数学第一次月考试卷 一、选择题（本大题共计10小题，每题3分，共计30分） 1. 下列属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 关于x的方程中，二次项系数和一次项系数分别是（ ） A. 3，－2 B. 3，4 C. 3，－4 D. －4，－2 3. 关于二次函数的图象与性质，下列说法正确的是（ ） A. 抛物线的开口向下 B. 抛物线的对称轴为直线 C. 抛物线的顶点坐标为 D. 当，随的增大而减小 4. 抛物线是由抛物线平移得到的，下列平移正确的是（　　） A. 向上平移2个单位长度 B. 向下平移2个单位长度 C. 向左平移2个单位长度 D. 向右平移2个单位长度 5. 若是关于的一元二次方程的一个解．则的值是（　　） A. 6 B. 5 C. 2 D. 6. 若点、、三点在二次函数的图象上，则、、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 用配方法解，配方后可得到的方程为（　　） A. B. C. D. 8. 在同一平面直角坐标系中，一次函数（a，b为常数，且）的图象与二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 9. 在一幅长，宽的矩形字画的四周镶上等宽的白色纸边，制成一幅如图所示的矩形挂图，整个挂图的面积是，设白色纸边的宽度为，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，下列结论：（1）abc＜0；（2）4a+c＞2b；（3）3b﹣2c＞0；（4）若点A（﹣2，y1）、点B（﹣，y2）、点C（，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；（5）4a+2b≥m（am+b）（m为常数）．其中正确的结论有（　　） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 二、填空题（本大题共计5小题，每题3分，共计15分） 11. 请写出一个二次函数，使它的图象同时满足下列两个条件：①开口向下，②与y轴的交点是（0，1），你写出的函数表达式是____． 12. 已知是关于的一元二次方程的一个根，则代数式的值为______． 13. 已知关于x的方程，当方程总有实数根时．则m的范围为_______． 14. 国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加．2021年至2023年我国快递业务收入由5000亿元增加到7200亿元．则我国2021年至2023年快递业务收入的年平均增长率为______． 15. 如图所示，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，且，点、是直线上的两个动点，且（点在点的上方），则的最小值是_____ ． 三、解答题（本大题共计8小题，共计75分） 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 已知函数． 当为何值时，是的二次函数？ 当为何值时，是的一次函数？ 18. 已知关于x的一元二次方程的根为． （1）若，求及m的值； （2）若一个等腰三角形的一边长为5，另两边恰好是此方程的两个实数根，求m的值． 19. 已知抛物线． （1）请用配方法将化为的形式，并写出对称轴和顶点的坐标； （2）如果该抛物线沿x轴向左或向右平移个单位后经过原点，求m的值； （3）当时，求y的取值范围． 20. 经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具，设该种品牌玩具的销售单价为x元，销售量为y（件），销售该品牌玩具获得利润为w元 ． （1）销售量为y与x关系式为 ； （2）若商场获得了10000元销售利润，求该玩具销售单价x应定为多少元； （3）若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于540件的销售任务，求该商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？ 21. 如图，在矩形中，，，点P是边上一点，连接，过点P作的垂线分别交，于点E，F．设的长度为，的长度为，的长度为． 小东同学根据学习函数的经验对，随x的变化规律进行了探究． 下面是小东同学的探究过程，请补充完整． x 0 0 m 0 （1）根据几何知识，可得关于x的函数解析式为______． （2）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了的几组对应值． 通过计算可知，表格中m的值约为______（结果精确到）． （3）在如图（2）所示的平面直角坐标系中，画出了与x之间的函数关系图象．请根据（2）中表格里的数据描点、连线，画出与x之间的函数关系图象． （4）结合函数图象解决问题：当时， ______（结果精确到）． 22. 如图，在矩形中，，，点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止．点P、Q的速度的速度都是，连接，，，设点P、Q运动的时间为． （1）当t为何值时，四边形是矩形？ （2）当t为何值时，四边形是菱形？此时菱形的面积是多少？ （3）当t为何值时，是以为一条腰的等腰三角形？ 23. 已知二次函数经过点，与x轴交于点，点，点D为抛物线的顶点． （1）求此二次函数解析式； （2）连接，求证：是直角三角形； （3）若点P是直线上方抛物线的一动点，当面积取最大值时，求点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $