第14讲同角三角函数基本关系和诱导公式课件-2026年广东省学考数学备考复习

该高中数学高考复习课件聚焦同角三角函数基本关系和诱导公式核心考点，依据高考评价体系梳理关系式应用、诱导公式化简、综合变形三大考查方向，通过考点精析明确平方关系、商数关系及“符号看象限”口诀的高频权重，归纳弦切互化、知一求二、化简求值等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于高考真题驱动与应试技巧提炼，如2023年高考诱导公式化简题，用“符号看象限”口诀和方程思想突破，培养数学思维与运算能力。综合提升中“知一求二”题型解析，助学生掌握弦切互化技巧，教师可据此指导学生高效突破三角函数基础题，提升高考得分率。

第14讲　同角三角函数基本关系和诱导公式 必备知识 1 考点精析 2 综合提升 3 必备知识 PART 01 第一部分 ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 2．下列各角的终边与角α的终边的关系 ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 考点精析 PART 02 第二部分 √ ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 √ ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 考点二　诱导公式的应用 (1)sin 1 500°＝________． ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 √ ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 归纳总结　利用同角三角函数基本关系式和诱导公式化简三角函数的基本思路和化简要求： (1)基本思路：①分析结构特点，选择恰当公式；②利用公式化成单角三角函数；③整理得最简形式． (2)化简要求：①化简过程是恒等变形；②结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值． ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 综合提升 PART 03 第三部分 √ ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 √ ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 √ ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 √ ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 5．tan 540°的值为(　　) A．－1 B．0 C．1 D．不存在 解析：tan 540°＝tan (360°＋180°)＝tan 180°＝0. 故选B. √ ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1. (2)商数关系： eq \f(sin α,cos α) ＝tan α(α≠kπ＋ eq \f(π,2) ，k∈Z). 角 2kπ＋α (k∈Z) π＋α －α 图示 与角α终 边的关系 相同 关于原点 对称　　 关于x轴对称 角 π－α eq \f(π,2) －α eq \f(π,2) ＋α 图示 与角α终 边的关系 关于y轴对称 关于直线y＝x对称 — 3.诱导公式 角 2kπ＋α (k∈Z) π＋α －α π－α eq \f(π,2) －α eq \f(π,2) ＋α 正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α 正切 tan α tan α －tan α －tan α — — 口诀 符号看象限，奇变偶不变( eq \f(π,2) k±α，看k的奇偶) 考点一　同角三角函数关系式的应用 (1)若tan α＝3，则 eq \f(cos α－sin α,sin α＋cos α) ＝(　　) A．2 B．－2 C． eq \f(1,2) D．－ eq \f(1,2) 解析：因为tan α＝3， 所以 eq \f(cos α－sin α,sin α＋cos α) ＝ eq \f(1－tan α,tan α＋1) ＝ eq \f(1－3,3＋1) ＝－ eq \f(1,2) . 故选D. 解析：因为tan α＝2，所以 eq \f(1－3cos2α,sin2α) ＝ eq \f(sin2α－2cos2α,2sinαcos α) ＝ eq \f(tan2α－2,2tanα) ＝ eq \f(2,4) ＝ eq \f(1,2) .故选A. (2)已知tan α＝2，则 eq \f(1－3cos2α,sin2α) ＝(　　) A． eq \f(1,2) B． eq \f(1,4) C．2 D．4 (3)若角α是第二象限角，且sin α＝ eq \f(2\r(5),5) ，则cos α＝________． － eq \f(\r(5),5) 解析：因为角α是第二象限角，且sin α＝ eq \f(2\r(5),5) ， 所以cos α＝－ eq \r(1－sin2α) ＝－ eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(5),5)))\s\up12(2)) ＝－ eq \f(\r(5),5) . 归纳总结　(1)利用sin 2 α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用 eq \f(sin α,cos α) ＝tan α可以实现角α的弦切互化． (2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二． (3)注意公式逆用及变形应用：sin2α＋cos2α＝1，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α. eq \f(\r(3),2) 解析：sin 1 500°＝sin (4×360°＋60°)＝sin 60°＝ eq \f(\r(3),2) . eq \r(3) (2)若f(α)＝ eq \f(2sin （π＋α）cos （3π－α）＋cos （4π－α）,1＋sin2α＋cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α))－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))) (1＋2sinα≠0)，则 f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23π,6))) ＝________． 解析：因为1＋2sin α≠0， 所以f(α)＝ eq \f(－2sin α（－cos α）＋cos α,1＋sin2α＋sinα－cos2α) ＝ eq \f(2sinαcos α＋cos α,2sin2α＋sinα) ＝ eq \f(cos α（2sin α＋1）,sin α（2sin α＋1）) ＝ eq \f(cos α,sin α) ， 又因为sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23π,6))) ＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4π＋\f(π,6))) ＝sin eq \f(π,6) ＝ eq \f(1,2) ， 且cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23π,6))) ＝cos eq \f(π,6) ＝ eq \f(\r(3),2) ， 所以f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23π,6))) ＝ eq \f(cos \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23π,6))),sin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23π,6)))) ＝ eq \f(\f(\r(3),2),\f(1,2)) ＝ eq \r(3) . 归纳总结　(1)诱导公式用法的一般思路：符号看象限，奇变偶不变． ①负角化正角． ②大角化小角，小角化锐角． (2)常见的互余和互补的角： ①常见的互余的角： eq \f(π,3) －α与 eq \f(π,6) ＋α； eq \f(π,3) ＋α与 eq \f(π,6) －α； eq \f(π,4) ＋α与 eq \f(π,4) －α等． ②常见的互补的角： eq \f(π,3) ＋θ与 eq \f(2π,3) －θ； eq \f(π,4) ＋θ与 eq \f(3π,4) －θ等． 考点三　同角三角函数关系式、诱导公式的综合应用 (1)已知角α为锐角，且2tan (π－α)－3cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋β)) ＋5＝0，tan (π＋α)＋6sin (π＋β)－1＝0，则sin α＝(　　) A． eq \f(3\r(5),5) B． eq \f(3\r(7),7) C． eq \f(3\r(10),10) D． eq \f(1,3) 解析：由已知得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3sin β－2tan α＋5＝0，,tan α－6sin β－1＝0，)) 消去sin β，解得tan α＝3，所以sin α＝3cos α，代入sin2α＋cos2α＝1，化简得sin2α＝ eq \f(9,10) ，因为α为锐角，所以sinα＝ eq \f(3\r(10),10) . (2)已知－π＜x＜0，sin (π＋x)－cos x＝－ eq \f(1,5) .求 eq \f(sin 2x＋2sin2x,1－tanx) 的值． 解：由已知得sin x＋cos x＝ eq \f(1,5) ， 等式两边同时平方得sin2x＋2sinx cos x＋cos2x＝ eq \f(1,25) ， 整理得2sinx cos x＝－ eq \f(24,25) . 所以(sin x－cos x)2＝1－2sin x cos x＝ eq \f(49,25) ， 由－π＜x＜0，得sin x＜0， 又2sin x cos x＝－ eq \f(24,25) ＜0， 所以cos x＞0，所以sin x－cos x＜0， 故sin x－cos x＝－ eq \f(7,5) ， 所以 eq \f(sin 2x＋2sin2x,1－tanx) ＝ eq \f(2sin x（cos x＋sin x）,1－\f(sin x,cos x)) ＝ eq \f(2sin x cos x（cos x＋sin x）,cos x－sin x) ＝ eq \f(－\f(24,25)×\f(1,5),\f(7,5)) ＝－ eq \f(24,175) . 1．已知角α是第四象限角，sin α＝－ eq \f(12,13) ，则tan (π＋α)＝(　　) A．－ eq \f(5,13) B． eq \f(5,13) C．－ eq \f(12,5) D． eq \f(12,5) 解析：由题得cos α＝ eq \r(1－sin2α) ＝ eq \f(5,13) ， 所以tan(π＋α)＝tan α＝ eq \f(sin α,cos α) ＝－ eq \f(12,5) .故选C. 2．(2024·广东学考)已知α是第一象限角，且sin α＝ eq \f(4,5) ，则cos α＝(　　) A．－ eq \f(3,5) B． eq \f(3,5) C．－ eq \f(4,3) D． eq \f(4,3) 解析：因为α是第一象限角，所以cos α>0，所以cos α＝ eq \r(1－sin2α) ＝ eq \f(3,5) . 3．已知tan α＝2，则3sin αcos α＝(　　) A． eq \f(5,7) B． eq \f(3,10) C． eq \f(6,5) D． eq \f(8,5) 解析：因为tanα＝2， 所以3sin αcos α＝ eq \f(3sin αcos α,sin2α＋cos2α) ＝ eq \f(3tan α,tan2α＋1) ＝ eq \f(3×2,22＋1) ＝ eq \f(6,5) . 故选C. 4．已知sin α－cos α＝ eq \r(2) ，α∈(0，π)，则tan α＝(　　) A．－1 B．－ eq \f(\r(2),2) C． eq \f(\r(2),2) D．1 解析：由 \r(2) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(sin α－cos α＝，, sin2α＋cos2α＝1，)) 消去sin α，得2cos2α＋2 eq \r(2) cosα＋1＝0， 即( eq \r(2) cos α＋1)2＝0， 所以cos α＝－ eq \f(\r(2),2) . 又α∈(0，π)，所以α＝ eq \f(3π,4) ， 所以tan α＝tan eq \f(3π,4) ＝－1. 故选A. 6．已知sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α)) ＝ eq \f(1,2) ，那么cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－α)) ＝ ________．　 － eq \f(1,2) 解析：因为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－α)) － eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α)) ＝ eq \f(π,2) ，所以 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－α)) ＝ eq \f(π,2) ＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α)) 所以cos ( eq \f(2π,3) －α)＝cos [ eq \f(π,2) ＋( eq \f(π,6) －α)]＝－sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α)) ＝－ eq \f(1,2) . － eq \f(3,4) 7．已知角α的终边经过点P(4，y)，且sin α＝－ eq \f(3,5) .则tan α＝________， eq \f(sin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))·tan （π－α）,sin （α＋π）·cos （3π－α）) ＝________． － eq \f(5,4) 解析：第一空，设点P与原点的距离为r. 由题意得，y＜0， 因为sin α＝ eq \f(y,r) ＝ eq \f(y,\r(42＋y2)) ＝－ eq \f(3,5) ， 所以y＝－3， 所以cos α＝ eq \f(y,r) ＝ eq \f(4,\r(42＋（－3）2)) ＝ eq \f(4,5) ， tan α＝ eq \f(y,x) ＝－ eq \f(3,4) . 第二空， eq \f(sin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))·tan （π－α）,sin （α＋π）·cos （3π－α）) ＝ eq \f(cos α·（－tan α）,（－sin α）·（－cos α）) ＝ eq \f(tan α,－sin α) ＝ eq \f(1,－cos α) ＝－ eq \f(5,4) . 8．已知关于x的方程2x2－bx＋ eq \f(1,4) ＝0的两根为sin θ和cos θ，θ∈( eq \f(π,4) ， eq \f(3π,4) ). (1)求实数b的值； 解：因为sin θ，cos θ为关于x的方程2x2－bx＋ eq \f(1,4) ＝0的两根， 所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ＝b2－2≥0，,sin θ＋cos θ＝\f(b,2)，,sin θcos θ＝\f(1,8)，)) 所以(sin θ＋cos θ)2＝ eq \f(b2,4) ＝1＋2sin θ·cos θ＝1＋ eq \f(1,4) ＝ eq \f(5,4) ，即 eq \f(b2,4) ＝ eq \f(5,4) ， 解得b＝± eq \r(5) ，此时Δ＝5－2>0， 又θ∈( eq \f(π,4) ， eq \f(3π,4) )，所以sin θ＞|cos θ|， 所以sin θ＋cos θ＝ eq \f(b,2) >0， 所以b＝ eq \r(5) . (2)求 eq \f(2sin θcos θ＋1,cos θ－sin θ) 的值． 解：因为θ∈( eq \f(π,4) ， eq \f(3π,4) )， 所以sin θ>cos θ， 所以sin θ－cos θ＝ eq \r(（sin θ－cos θ）2) ＝ eq \r(1－2sin θcos θ) ＝ eq \f(\r(3),2) ， 所以 eq \f(2sin θcos θ＋1,cos θ－sin θ) ＝ eq \f(2×\f(1,8)＋1,－\f(\r(3),2)) ＝－ eq \f(5\r(3),6) . $