第21讲复数的概念和运算课件-2026年广东省学考数学备考复习

该高中数学高考复习课件聚焦复数的概念、几何意义、运算三大核心考点，依据高考评价体系梳理考查要求。通过系统整合复数定义、分类、模、运算律等必备知识，结合近5年高考真题分析考点权重，明确复数运算占比最高，归纳纯虚数判定、复平面内点的位置判断等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题精析+技巧归纳+素养提升”，如以2024新课标Ⅰ卷复数除法题为例，解析分母实数化步骤，培养数学思维中的运算能力。归纳“代数形式转化法”突破复数相等问题，用数学语言中的符号意识规范解题过程，帮助学生掌握i的周期性简化计算等技巧，教师可依托课件系统开展专题复习，提升备考效率。

第21讲　复数的概念和运算 必备知识 1 考点精析 2 综合提升 3 必备知识 PART 01 第一部分 1．复数的有关概念 (1)定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a叫做实部，b叫做虚部．(i为虚数单位) (2)复数的分类： 复数的 分类 满足条件(a，b为实数) a＋bi为实数⇔b＝0 a＋bi为虚数⇔b≠0 a＋bi为纯虚数⇔a＝0且b≠0 返回导航 2026年广东省学考数学 (3)复数相等：_________________________ (a，b，c，d∈R). (4)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R). 2．复平面及其几何意义 (1)复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面．x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；各象限内的点都表示非纯虚数． a＋bi＝c＋di⇔a＝c，b＝d 返回导航 2026年广东省学考数学 返回导航 2026年广东省学考数学 3．复数的加、减、乘、除运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)则： (1)加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝__________________ ． (2)减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝__________________ ． (3)乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝___________________________ ． (a＋c)＋(b＋d)i (a－c)＋(b－d)i (ac－bd)＋(ad＋bc)i 返回导航 2026年广东省学考数学 返回导航 2026年广东省学考数学 考点精析 PART 02 第二部分 考点一　复数的有关概念 (1)已知复数z＝(a2－a－2)＋(a2＋3a＋2)i(i为虚数单位)为纯虚数，则实数a＝(　　) A．2　　　　　　　　　 B．－1 C．－1或2 D．－2 √ 返回导航 2026年广东省学考数学 返回导航 2026年广东省学考数学 √ 返回导航 2026年广东省学考数学 返回导航 2026年广东省学考数学 (3)已知i为虚数单位，则i2 022＋i2 024＝________． 解析：因为i2＝－1，i3＝－i，i4＝1， 所以i2 022＋i2 024＝i4×505＋2＋i4×506＝i2＋1＝－1＋1＝0. 0 返回导航 2026年广东省学考数学 归纳总结　求解与复数概念相关问题的技巧 复数的分类、复数的相等、复数的模及共轭复数的概念都与复数的实部、虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即a＋bi(a，b∈R)的形式，再根据题意求解． 返回导航 2026年广东省学考数学 考点二　复数的几何意义 (1)复数z＝4＋3i(其中i为虚数单位)，则z在复平面上对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 √ 解析：复数z＝4＋3i(其中i为虚数单位)，则z在复平面上对应的点为(4，3)，位于第一象限．故选A. 返回导航 2026年广东省学考数学 (2)(2023·新课标Ⅱ卷)在复平面内，(1＋3i)·(3－i)对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 √ 解析：(1＋3i)(3－i)＝3－i＋9i＋3＝6＋8i，则在复平面内，(1＋3i)(3－i)对应的点的坐标为(6，8)，位于第一象限． 故选A. 返回导航 2026年广东省学考数学 (3)已知m∈R，若复数z＝m(3＋i)－(2＋i)在复平面内对应的点位于第三象限，则实数m的取值范围是______________． 返回导航 2026年广东省学考数学 返回导航 2026年广东省学考数学 返回导航 2026年广东省学考数学 考点三　复数的运算 (1)(2023·全国甲卷)设a∈R，(a＋i)(1－ai)＝2，则a＝(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 √ 返回导航 2026年广东省学考数学 (2)若z1＝2＋i，z2＝3＋ai(a∈R)，且z1＋z2所对应的点在实轴上，则a的值为(　　) A．3 B．2 C．1 D．－1 √ 解析：z1＋z2＝2＋i＋3＋ai＝(2＋3)＋(1＋a)i＝5＋(1＋a)i. 因为z1＋z2所对应的点在实轴上， 所以1＋a＝0，所以a＝－1.故选D. 返回导航 2026年广东省学考数学 √ 返回导航 2026年广东省学考数学 √ 返回导航 2026年广东省学考数学 返回导航 2026年广东省学考数学 综合提升 PART 03 第三部分 1．复数z＝2－i(i是虚数单位)的虚部为(　　) A．－i B．i C．－1 D．2 √ 解析：复数z＝2－i的虚部为－1.故选C. 返回导航 2026年广东省学考数学 2．(2023·广东模拟)已知复数z满足(z－1)i＝1＋i，则z＝(　　) A．－2－i B．－2＋i C．2－i D．2＋i √ 返回导航 2026年广东省学考数学 √ 返回导航 2026年广东省学考数学 返回导航 2026年广东省学考数学 4．已知2－i(i是虚数单位)是关于x的方程x2＋bx＋c＝0(b，c∈R)的一个根，则b＋c＝(　　) A．9 B．1 C．－7 D．－5 √ 返回导航 2026年广东省学考数学 √ 返回导航 2026年广东省学考数学 √ 返回导航 2026年广东省学考数学 返回导航 2026年广东省学考数学 返回导航 2026年广东省学考数学 8．在复平面内，复数z＝i(a＋i)对应的点在直线x＋y＝0上，则实数a＝________． 1 解析：在复平面内，复数z＝i(a＋i)＝－1＋ai对应的点(－1，a)在直线x＋y＝0上，所以－1＋a＝0，解得a＝1. 故答案为1. 返回导航 2026年广东省学考数学 －1－5i 返回导航 2026年广东省学考数学 －2i 返回导航 2026年广东省学考数学 (2)复数的几何意义： ①复数z＝a＋bi eq \o(――→,\s\up17(一一对应)) 复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R). ②复数z＝a＋bi eq \o(――→,\s\up17(一一对应)) 平面向量 eq \o(OZ,\s\up16(→)) (a，b∈R).　 (3)复数的模：向量 eq \o(OZ,\s\up16(→)) 的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝_________． eq \r(a2＋b2) (4)除法： eq \f(z1,z2) ＝ eq \f(a＋bi,c＋di) ＝ eq \f(（a＋bi）（c－di）,（c＋di）（c－di）) ＝ ___________________________ (c＋di≠0). eq \f(（ac＋bd）＋（bc－ad）i,c2＋d2) 1．在复数范围内，正整数指数幂的运算仍然成立，对于任意复数z，z1，z2和正整数m，n有zm·zn＝zm＋n，(zm)n＝zmn，zm·zn＝zm＋n，(z1·z2)n＝z eq \o\al(n,1) ·z eq \o\al(n,2) . 2．复数代数运算中常用的两个结论： ①(1±i)2＝±2i； eq \f(1＋i,1－i) ＝i； eq \f(1－i,1＋i) ＝－i. ②虚数单位i的周期：i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N*. 解析：因为复数z＝(a2－a－2)＋(a2＋3a＋2)i(i为虚数单位)为纯虚数， 所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2－a－2＝0，,a2＋3a＋2≠0，)) 由a2－a－2＝0，得a＝－1或a＝2， 由a2＋3a＋2≠0，得a≠－1且a≠－2， 所以a＝2. 故选A. (2)若复数z＝ eq \f(2,1＋i) ，其中i为虚数单位，则下列结论不正确的是(　　) A．z的虚部为－1 B．|z|＝ eq \r(2) C．z2为纯虚数 D．z的共轭复数为－1－i 解析：z＝ eq \f(2,1＋i) ＝ eq \f(2（1－i）,（1＋i）（1－i）) ＝1－i，z的虚部为－1，|z|＝ eq \r(2) ，故A，B正确；因为z2＝(1－i)2＝－2i，所以z2为纯虚数，故C正确；z的共轭复数为1＋i，故D错误． 解析：z＝m(3＋i)－(2＋i)＝(3m－2)＋(m－1)i， 因为复数z在复平面内对应的点位于第三象限， 所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3m－2<0，,m－1<0，)) 解得m＜ eq \f(2,3) . (－∞， eq \f(2,3) ) 归纳总结　(1)复数z、复平面上的点Z及向量 eq \o(OZ,\s\up16(→)) 相互联系，即z＝a＋bi(a，b∈R)⇔Z(a，b)⇔ eq \o(OZ,\s\up16(→)) . (2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观． (3)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．复数z＝a＋bi eq \o(――→,\s\up17(一一对应)) 复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R).复数z＝a＋bi(a，b∈R) eq \o(――→,\s\up17(一一对应)) 平面向量 eq \o(OZ,\s\up16(→)) . (4)提醒：|z|的几何意义：令z＝x＋yi(x，y∈R)，则|z|＝ eq \r(x2＋y2) ，由此可知表示复数z的点到原点的距离就是|z|的几何意义；|z1－z2|的几何意义是复平面内表示复数z1，z2的两点之间的距离． 解析：因为复数(a＋i)(1－ai)＝2， 所以2a＋(1－a2)i＝2， 即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a＝2，,1－a2＝0，)) 解得a＝1.故选C. (3)设a，b为实数，若复数 eq \f(1＋2i,a＋bi) ＝1＋i，则(　　) A．a＝ eq \f(3,2) ，b＝ eq \f(1,2) B．a＝3，b＝1 C．a＝ eq \f(1,2) ，b＝ eq \f(3,2) D．a＝1，b＝3 解析：由 eq \f(1＋2i,a＋bi) ＝1＋i可得1＋2i＝(a－b)＋(a＋b)i， 所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－b＝1，,a＋b＝2，)) 解得a＝ eq \f(3,2) ，b＝ eq \f(1,2) . 故选A. (4)(2024·新课标Ⅰ卷)若 eq \f(z,z－1) ＝1＋i，则z＝(　　) A．－1－i B．－1＋i C．1－i D．1＋i 解析：因为 eq \f(z,z－1) ＝1＋i，所以z＝(z－1)(1＋i)，即z＝z－1＋zi－i，即zi＝1＋i，所以z＝ eq \f(1＋i,i) ＝ eq \f(（1＋i）（－i）,i（－i）) ＝1－i，故选C. 归纳总结　复数四则运算的解题策略 (1)复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式的运算． (2)复数的除法运算是分子、分母同乘以分母的共轭复数，即分母实数化． (3)在含有z， eq \o(z,\s\up16(－)) ，|z|中至少两个的复数方程中，可设z＝a＋bi，a，b∈R，变换方程，利用两复数相等的充要条件得出关于a，b的方程组，求出a，b，从而得出复数z. 解析：因为(z－1)i＝1＋i，所以z＝ eq \f(1＋2i,i) ＝ eq \f(（1＋2i）（－i）,－i2) ＝2－i.故选C. 3．如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是 eq \o(OA,\s\up16(→)) ， eq \o(OB,\s\up16(→)) ，则 eq \f(z1,z2) 对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：由复数的几何意义知z1＝2＋i，z2＝－1＋i，则 eq \f(z1,z2) ＝ eq \f(2＋i,－1＋i) ＝ eq \f(（2＋i）（－1－i）,（－1＋i）（－1－i）) ＝－ eq \f(1,2) － eq \f(3,2) i，在复平面内对应的点的坐标为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－\f(3,2))) ，位于第三象限．故选C. 解析：已知2－i(i是虚数单位)是关于x的方程x2＋bx＋c＝0(b，c∈R)的一个根，则(2－i)2＋b(2－i)＋c＝0，即4－4i－1＋2b－bi＋c＝0，即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3＋2b＋c＝0，,－4－b＝0，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝－4，,c＝5，)) 故b＋c＝1. 故选B. 5．复数z满足(z－2)·i＝z(i为虚数单位)， eq \x\to(z) 为复数z的共轭复数，则下列说法中正确的是(　　) A.z2＝2i B．z· eq \x\to(z) ＝2 C．|z|＝2 D．z＋ eq \x\to(z) ＝0 解析：由题意，得zi－2i＝z，z(i－1)＝2i，z＝ eq \f(2i,i－1) ＝ eq \f(2i（i＋1）,（i－1）（i＋1）) ＝ eq \f(2（i－1）,－2) ＝1－i，则z2＝－2i，z· eq \x\to(z) ＝(1－i)·(1＋i)＝2，|z|＝ eq \r(2) ，z＋ eq \x\to(z) ＝1－i＋1＋i＝2.故选B. 6．在复平面内，已知复数z＋2与 eq \o(z,\s\up16(－)) ＋2i对应的点关于y轴对称，则 eq \f(1,z) ＝(　　) A．－1＋i B．－ eq \f(1,2) － eq \f(1,2) i C． eq \f(1,2) － eq \f(1,2) i D．－ eq \f(1,2) ＋ eq \f(1,2) i 解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＋2＝(a＋2)＋bi， eq \o(z,\s\up16(－)) ＋2i＝a＋(2－b)i， 因为复数z＋2与 eq \o(z,\s\up16(－)) ＋2i对应的点关于y轴对称， 所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋2＋a＝0，,b＝2－b，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝1，)) 则z＝－1＋i， eq \f(1,z) ＝ eq \f(1,－1＋i) ＝ eq \f(－1－i,（－1＋i）（－1－i）) ＝ eq \f(－1－i,2) ＝－ eq \f(1,2) － eq \f(1,2) i.故选B. 解析： eq \f(1＋ai,2－i) ＝ eq \f(（1＋ai）（2＋i）,（2－i）（2＋i）) ＝ eq \f(2＋i＋2ai－a,5) ＝ eq \f(2－a,5) ＋ eq \f(1＋2a,5) i，因为 eq \f(1＋ai,2－i) 为实数，所以 eq \f(1＋2a,5) ＝0， 解得a＝－ eq \f(1,2) ，所以 eq \f(1＋ai,2－i) ＝ eq \f(1,2) . 7．已知a∈R，若 eq \f(1＋ai,2－i) 为实数，则a＝________， eq \f(1＋ai,2－i) ＝________． － eq \f(1,2) 　 eq \f(1,2) 9．已知在△ABC中， eq \o(AB,\s\up16(→)) ， eq \o(AC,\s\up16(→)) 对应的复数分别为－1＋2i，－2－3i，则 eq \o(BC,\s\up16(→)) 对应的复数为________________． 解析：因为 eq \o(AB,\s\up16(→)) ， eq \o(AC,\s\up16(→)) 对应的复数分别为－1＋2i，－2－3i， 所以 eq \o(AB,\s\up16(→)) ＝(－1，2)， eq \o(AC,\s\up16(→)) ＝(－2，－3)， 又 eq \o(BC,\s\up16(→)) ＝ eq \o(AC,\s\up16(→)) － eq \o(AB,\s\up16(→)) ＝(－2，－3)－(－1，2)＝(－1，－5)， 所以 eq \o(BC,\s\up16(→)) 对应的复数为－1－5i. 10．已知z是纯虚数， eq \f(z＋2,1－i) 是实数，那么z＝ ________．　 解析：设z＝bi(b∈R，b≠0)， 则 eq \f(z＋2,1－i) ＝ eq \f(bi＋2,1－i) ＝ eq \f(bi＋2,1－i) · eq \f(1＋i,1＋i) ＝ eq \f(（2－b）＋（b＋2）i,2) ＝ eq \f(2－b,2) ＋ eq \f(b＋2,2) i是实数，所以b＋2＝0，b＝－2，所以z＝－2i. $