第18讲平面向量的概念和运算课件-2026年广东省学考数学备考复习

该高中数学高考复习课件聚焦平面向量核心考点，覆盖向量概念、线性运算、数量积等高考必查内容。依据高考评价体系梳理考点，分析向量概念辨析、共线条件判断等高频考点权重，归纳选择填空常考题型，构建系统复习框架，体现高考备考的针对性和实用性。 课件亮点在于高考真题训练与应试技巧结合，如例1深入剖析单位向量与平行向量的易错点，培养学生数学思维，综合提升题中向量垂直问题通过数量积建立方程求参数，强化数学语言表达。帮助学生掌握答题技巧，教师可据此精准教学，助力高考冲刺。

第18讲　平面向量的概念和运算 必备知识 1 考点精析 2 综合提升 3 必备知识 PART 01 第一部分 1．向量的有关概念 名称 定义 备注 向量 __________________的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模) 平面向量是自由向量 零向 量 长度为0的向量；其方向是任意的 记作0 单位 向量 长度等于1个单位长度的向量 非零向量a的单位向量为_______ 既有大小又有方向 ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 名称 定义 备注 平行 向量 方向相同或相反的非零向量 0与任一向量平行或共线 共线 向量 _____________________的非零向量又叫做共线向量 相等 向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小 相反 向量 长度相等且方向相反的向量 0的相反向量为0 方向相同或相反 ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 2.向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加 法 求两个向量和的运算   三角形法则   平行四边形法则 (1)交换律： a＋b＝b＋a. (2)结合律： (a＋b)＋c＝______________ a＋(b＋c) ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 减 法 求两个向量差的运算叫做向量的减法   三角形法则 a－b＝a＋(－b) ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 数 乘 规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa (1)|λa|＝|λ|·|a|；　 (2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同； 当λ<0时，λa的方向与a的方向相反； 当λ＝0时，λa＝0 (1)λ(μa)＝_______ ； (2)(λ＋μ)a＝ _______； (3)λ(a＋b)＝ _______ (λμ)a λa＋μa λa＋λb ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 [0，π] ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 6．平面向量数量积满足的运算律 (1)a·b＝b·a. (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ为实数)． (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c. ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 考点精析 PART 02 第二部分 考点一　平面向量的概念 (1)设a0为单位向量，①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.上述命题中，假命题的个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 √ ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 解析：向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|·a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.故选D. ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 √ ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 √ ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 √ ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 √ ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 归纳总结　平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略 (1)向量加法或减法的几何意义．向量加法和减法均适合三角形法则． (2)求已知向量的和．一般共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则． (3)求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较求参数的值． ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 √ ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 √ ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 归纳总结　(1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系．当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线． (2)向量a，b共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0成立，若λ1a＋λ2b＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量a，b不共线． ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 综合提升 PART 03 第三部分 1．对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 √ 解析：若a＋b＝0，则a＝－b，所以a∥b. 若a∥b，则a＋b＝0不一定成立，故前者是后者的充分不必要条件．故选A. ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 2．已知a，b是两个不共线的向量，向量xa＋yb，2b－a共线，则实数x，y满足的关系式为(　　) A．x＋y＝0 B．x－y＝0 C．2x＋y＝0 D．2x－y＝0 √ ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 √ ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 √ ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 5．已知向量a，b不共线，且向量λa＋b与a＋(2λ－1)b的方向相反，则实数λ＝________. ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 b－a　 －a－b ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 8．化简：(1)5(3a－2b)＋4(2b－3a)＝________． 3a－2b 解析：原式＝15a－10b＋8b－12a＝3a－2b.　 ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 (3)(x＋y)a－(x－y)a＝________． 解析：原式＝xa＋ya－xa＋ya＝2ya. 2ya ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 9．若a，b是夹角为60°的两个向量，且|a|＝3，|b|＝1，设m＝a－3b与n＝a＋kb.若m⊥n，则实数k＝________． 3 ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 ±eq \f(a,|a|) 3.共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa. 4．平面向量的数量积 (1)向量的夹角 已知两个非零向量a和b，作eq \o(OA,\s\up16(→))＝a，eq \o(OB,\s\up16(→))＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角，向量夹角的范围是_______． (2)投影、投影向量 如图，设a，b是两个非零向量，eq \o(AB,\s\up16(→))＝a，eq \o(CD,\s\up16(→))＝b，过eq \o(AB,\s\up16(→))的起点A和终点B，分别作eq \o(CD,\s\up16(→))所在直线的垂线，重足分别为A1，B1，得到eq \o(A1B1,\s\up16(→))，我们称上述变换为向量a向向量b投影，eq \o(A1B1,\s\up16(→))叫做向量a在向量b上的投影向量． eq \f(a·b,|a||b|) 5．平面向量数量积的性质 设a，b都是非零向量，e是单位向量，θ为a与b(或e)的夹角．则 (1)e·a＝a·e＝|a|cos θ. (2)a⊥b⇔______________． (3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|； 当a与b反向时，a·b＝－|a||b|. 特别地，a·a＝|a|2或|a|＝_______． (4)cos θ＝_______． (5)|a·b|≤|a||b|. a·b＝0 eq \r(a·a) 1．若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则eq \o(OP,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)(eq \o(OA,\s\up16(→))＋eq \o(OB,\s\up16(→)))． 2．若G为△ABC的重心，则有 (1)eq \o(GA,\s\up16(→))＋eq \o(GB,\s\up16(→))＋eq \o(GC,\s\up16(→))＝0；(2)eq \o(AG,\s\up16(→))＝eq \f(1,3)(eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(AC,\s\up16(→)))． 3.eq \o(OA,\s\up16(→))＝λeq \o(OB,\s\up16(→))＋μeq \o(OC,\s\up16(→))(λ，μ为实数)，若点A，B，C共线，则λ＋μ＝1. (2)(2024·广东学考模拟)给出下列命题，其中叙述正确的为(　　) A．向量eq \o(AB,\s\up16(→))的长度与向量eq \o(BA,\s\up16(→))的长度相等 B．向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反　 C．|a|＋|b|＝|a－b|⇔a与b方向相反 D．若非零向量a与非零向量b的方向相同或相反，则a＋b与a，b之一的方向相同 解析：eq \o(AB,\s\up16(→))与eq \o(BA,\s\up16(→))是相反向量，长度相等，故A正确；当a，b其中之一为0时，B，C不成立，故B，C错误；当a＋b＝0时，D不成立，故D错误．故选A. 归纳总结　(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性． (2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关． (3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象的移动混为一谈． (4)非零向量a与eq \f(a,|a|)的关系：eq \f(a,|a|)是与a同方向的单位向量． 考点二　平面向量的运算 (AB,\s\up16(→)) INCLUDEPICTURE "F:\\2024课件徐\\6.25 广东学考\\学业水平政治\\例2.tif" \* MERGEFORMAT (1)已知正六边形ABCDEF中，＋eq \o(CD,\s\up16(→))＋eq \o(EF,\s\up16(→))＝(　　) A.eq \o(AF,\s\up16(→)) B.eq \o(BE,\s\up16(→)) C.eq \o(CD,\s\up16(→)) D．0 解析：如图，连接AD，BE，设AD与BE交于O点，则： eq \o(BO,\s\up16(→))＝eq \o(CD,\s\up16(→))，eq \o(OA,\s\up16(→))＝eq \o(EF,\s\up16(→))， 所以eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(CD,\s\up16(→))＋eq \o(EF,\s\up16(→))＝eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(BO,\s\up16(→))＋eq \o(OA,\s\up16(→))＝eq \o(AO,\s\up16(→))＋eq \o(OA,\s\up16(→))＝0. 故选D. (2)eq \o(AB,\s\up16(→))－eq \o(AC,\s\up16(→))－eq \o(CD,\s\up16(→))＋eq \o(BD,\s\up16(→))＝(　　) A．0 B.eq \o(AD,\s\up16(→)) C.eq \o(AC,\s\up16(→)) D.eq \o(BC,\s\up16(→)) 解析：根据题意，eq \o(AB,\s\up16(→))－eq \o(AC,\s\up16(→))－eq \o(CD,\s\up16(→))＋eq \o(BD,\s\up16(→))＝eq \o(CB,\s\up16(→))－eq \o(CD,\s\up16(→))＋eq \o(BD,\s\up16(→))＝eq \o(DB,\s\up16(→))＋eq \o(BD,\s\up16(→))＝0. 故选A. (3)如图所示，P是平行四边形ABCD内任意一点，平行四边形ABCD的对角线交于点E，则eq \o(PA,\s\up16(→))＋eq \o(PB,\s\up16(→))＋eq \o(PD,\s\up16(→))－4eq \o(PE,\s\up16(→))＝(　　) A.eq \f(1,4) eq \o(CE,\s\up16(→)) B.eq \f(1,2) eq \o(CP,\s\up16(→)) C.eq \o(CE,\s\up16(→)) D.eq \o(CP,\s\up16(→)) 解析：平行四边形ABCD的对角线交于点E， 可得eq \o(PA,\s\up16(→))＋eq \o(PC,\s\up16(→))＝2eq \o(PE,\s\up16(→))，eq \o(PB,\s\up16(→))＋eq \o(PD,\s\up16(→))＝2eq \o(PE,\s\up16(→))， 所以eq \o(PA,\s\up16(→))＋eq \o(PB,\s\up16(→))＋eq \o(PD,\s\up16(→))－4eq \o(PE,\s\up16(→))＝ eq \o(PA,\s\up16(→))＋eq \o(PC,\s\up16(→))＋eq \o(PB,\s\up16(→))＋eq \o(PD,\s\up16(→))－eq \o(PC,\s\up16(→))－4eq \o(PE,\s\up16(→))＝ 2eq \o(PE,\s\up16(→))＋2eq \o(PE,\s\up16(→))－4eq \o(PE,\s\up16(→))－eq \o(PC,\s\up16(→))＝－eq \o(PC,\s\up16(→))＝eq \o(CP,\s\up16(→)). 故选D. 考点三　平面向量共线定理的应用 (1)已知向量eq \o(AB,\s\up16(→))＝a＋3b，eq \o(BC,\s\up16(→))＝5a＋3b，eq \o(CD,\s\up16(→))＝－3a＋3b，则(　　) A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线 C．A，C，D三点共线 D．B，C，D三点共线 解析：因为eq \o(BD,\s\up16(→))＝eq \o(BC,\s\up16(→))＋eq \o(CD,\s\up16(→))＝2a＋6b＝2(a＋3b)＝2eq \o(AB,\s\up16(→))，所以eq \o(BD,\s\up16(→))，eq \o(AB,\s\up16(→))共线，又有公共点B， 所以A，B，D三点共线．故选B. (2)如图，四边形ABCD为平行四边形，eq \o(AE,\s\up16(→))＝eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up16(→))，eq \o(DF,\s\up16(→))＝eq \f(1,2) eq \o(FC,\s\up16(→))，若eq \o(AF,\s\up16(→))＝λeq \o(AC,\s\up16(→))＋μeq \o(DE,\s\up16(→))，则λ－μ＝(　　) A．1 B.eq \f(2,3) C.eq \f(1,2) D.eq \f(1,3) 解析：由题意可知，在▱ABCD中， eq \o(DF,\s\up16(→))＝eq \f(1,3) eq \o(DC,\s\up16(→))＝eq \f(1,3) eq \o(AB,\s\up16(→))， 因为eq \o(AC,\s\up16(→))＝eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(AD,\s\up16(→))，eq \o(DE,\s\up16(→))＝eq \o(AE,\s\up16(→))－eq \o(AD,\s\up16(→))＝eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up16(→))－eq \o(AD,\s\up16(→))，　 所以eq \o(AF,\s\up16(→))＝λeq \o(AC,\s\up16(→))＋μeq \o(DE,\s\up16(→))＝λ(eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(AD,\s\up16(→)))＋μeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\o(AB,\s\up16(→))－\o(AD,\s\up16(→))))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(λ＋\f(1,2)μ)) eq \o(AB,\s\up16(→))＋(λ－μ)eq \o(AD,\s\up16(→))， 又eq \o(AF,\s\up16(→))＝eq \o(AD,\s\up16(→))＋eq \o(DF,\s\up16(→))＝eq \o(AD,\s\up16(→))＋eq \f(1,3) eq \o(AB,\s\up16(→)). 可得λ－μ＝1.故选A. 解析：由向量共线知xa＋yb＝λ(2b－a)，λ∈R，即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－λ，,y＝2λ，))所以y＝－2x，即2x＋y＝0. 3．下列命题中正确的是(　　) A．若a＝b，则3a>2b B.eq \o(BC,\s\up16(→))－eq \o(BA,\s\up16(→))－eq \o(DC,\s\up16(→))＝eq \o(AD,\s\up16(→)) C．若a，b都是非零向量，|a|＋|b|＝|a＋b|，则a与b的方向相反 D．若a，b，c都是非零向量，|a|＝|b|＝|c|，则a＝b＝c　 解析：对于A，向量不能比较大小，故A错误；对于B，eq \o(BC,\s\up16(→))－eq \o(BA,\s\up16(→))－eq \o(DC,\s\up16(→))＝eq \o(AC,\s\up16(→))－eq \o(DC,\s\up16(→))＝eq \o(AC,\s\up16(→))＋eq \o(CD,\s\up16(→))＝eq \o(AD,\s\up16(→))，故B正确；对于C，因为a，b都是非零向量，|a|＋|b|＝|a＋b|，所以a与b的方向相同，故C错误；对于D，由|a|＝|b|＝|c|，不能确定a，b，c的方向，故D错误．故选B. 4．在△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且eq \o(BD,\s\up16(→))＝2eq \o(DC,\s\up16(→))，eq \o(CE,\s\up16(→))＝3eq \o(EA,\s\up16(→))，若eq \o(AB,\s\up16(→))＝a，eq \o(AC,\s\up16(→))＝b，则eq \o(DE,\s\up16(→))等于(　　) A.eq \f(1,3)a＋eq \f(5,12)b B.eq \f(1,3)a－eq \f(13,12)b C．－eq \f(1,3)a－eq \f(5,12)b D．－eq \f(1,3)a＋eq \f(13,12)b 解析：作出示意图如图所示： eq \o(DE,\s\up16(→))＝eq \o(DC,\s\up16(→))＋eq \o(CE,\s\up16(→))＝eq \f(1,3) eq \o(BC,\s\up16(→))＋eq \f(3,4) eq \o(CA,\s\up16(→))＝ eq \f(1,3)(eq \o(AC,\s\up16(→))－eq \o(AB,\s\up16(→)))－eq \f(3,4) eq \o(AC,\s\up16(→))＝ －eq \f(1,3) eq \o(AB,\s\up16(→))－eq \f(5,12) eq \o(AC,\s\up16(→))＝－eq \f(1,3)a－eq \f(5,12)b. 故选C. 解析：因为向量λa＋b与a＋(2λ－1)b的方向相反，所以λa＋b＝k[a＋(2λ－1)b]，k<0，因为a，b不共线，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝k，,1＝k（2λ－1），))则2λ2－λ－1＝0，因为λ＝k<0，解得λ＝－eq \f(1,2). －eq \f(1,2) 6．已知向量a与b的夹角为eq \f(3π,4)，且|a|＝3，|b|＝4，则a·b的值为________． 解析：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝3×4×cos eq \f(3π,4)＝－6eq \r(2). －6eq \r(2) 7．已知▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且eq \o(OA,\s\up16(→))＝a，eq \o(OB,\s\up16(→))＝b，则eq \o(DC,\s\up16(→))＝____________，eq \o(BC,\s\up16(→))＝________．(均用a，b表示) 解析：如图，eq \o(DC,\s\up16(→))＝eq \o(AB,\s\up16(→))＝eq \o(OB,\s\up16(→))－eq \o(OA,\s\up16(→))＝b－a， eq \o(BC,\s\up16(→))＝eq \o(OC,\s\up16(→))－eq \o(OB,\s\up16(→))＝－eq \o(OA,\s\up16(→))－eq \o(OB,\s\up16(→))＝－a－b. (2)eq \f(1,3)(a－2b)－eq \f(1,4)(3a－2b)－eq \f(1,2)(a－b)＝ ________． 解析：原式＝eq \f(1,3)a－eq \f(2,3)b－eq \f(3,4)a＋eq \f(1,2)b－eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b＝－eq \f(11,12)a＋eq \f(1,3)b. －eq \f(11,12)a＋eq \f(1,3)b 解析：若a，b是夹角为60°的两个向量，且|a|＝3，|b|＝1， 则a·b＝3×1×cos 60°＝eq \f(3,2). 若m＝a－3b与n＝a＋kb，m⊥n， 则m·n＝(a－3b)·(a＋kb)＝a2＋(k－3)a·b－3kb2＝9＋(k－3)×eq \f(3,2)－3k＝0， 解得k＝3. $