第13讲任意角、弧度制及三角函数课件-2026年广东省学考数学备考复习

第13讲　任意角、 弧度制及三角函数 必备知识 1 考点精析 2 综合提升 3 必备知识 PART 01 第一部分 1．角的概念 (1)定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形． 分类：按旋转方向，角可以分成三类：_______、_______和_______． (2)象限角 在平面直角坐标系中，若角的顶点与_______重合，角的始边与_______轴的非负半轴重合，那么，角的_______在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在___________上，就认为这个角不属于任何一个象限． 正角 负角 零角 原点 x 终边 坐标轴 ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 (3)终边相同的角 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝_____________________，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与______________的和． {β|β＝α＋k·360°，k∈Z} 整数个周角 ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 π α·r ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 (2)设α是一个任意角，它的终边上任意一点P(不与原点O重合)的坐标为(x，y)，点P与原点的距离为r：sin α＝_______，cos α＝_______，tan α＝______． ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 1.象限角的集合 ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 2.轴线角的集合 ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 考点精析 PART 02 第二部分 考点一　任意角的概念 (1)已知角α在平面直角坐标系中如图所示，其中射线OA 与y轴正半轴的夹角为30°，则α的值为(　　) A．－480° B．－240° C．150° D．480° 解析：由角α按逆时针方向旋转，可知α为正角．又旋转量为480°，所以α＝480°.故选D. √ ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 (2)下列角中与390°终边相同的角是(　　) A．30° B．60° C．120° D．150° 解析：因为390°＝30°＋1×360°， 所以30°与390°角是终边相同的角，故A选项正确； 390°－60°＝330°≠k·360°，k∈Z，故B选项错误； 390°－120°＝270°≠k·360°，k∈Z，故C选项错误； 390°－150°＝240°≠k·360°，k∈Z，故D选项错误． 故选A. √ ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 (3)31°角为(　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 解析：将31°角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合， 那么角的终边在第一象限， 所以这个角是第一象限角． 故选A. √ ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 归纳总结　(1)象限角的判断方法 ①图象法：在平面直角坐标系中作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角． ②转化法：将已知角化为α＋2kπ(k∈Z，0≤α<2π)的形式，即找出与已知角终边相同的角α，由α所在象限判断已知角所在象限． ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 √ ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 (2)已知一扇形的圆心角为α(α>0)，弧长为l，周长为C，面积为S，半径为r. ①若α＝35°，r＝8 cm，求扇形的弧长； ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 ②若C＝16 cm，求S的最大值及此时扇形的半径和圆心角． ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 √ ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 √ ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 归纳总结　(1)利用三角函数的定义，求一个角的三角函数值，需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x；纵坐标y；该点到原点的距离r. (2)根据三角函数定义中x，y的符号来确定各象限内三角函数的符号，理解并记忆：“一全正、二正弦、三正切、四余弦”． (3)利用三角函数解三角不等式时要注意边界角的取舍，结合三角函数的周期性正确写出角的范围． ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 综合提升 PART 03 第三部分 √ ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 √ ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 √ ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 4．若角α满足sin αcos α<0，cos α－sin α<0，则α在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：因为sin αcos α<0，所以α是第二或第四象限角，当α是第二象限角时，cos α<0，sin α>0，满足cos α－sin α<0；当α是第四象限角时，cos α>0， sin α<0，则cos α－sin α>0，不符合题意，所以α是第二象限角．故选B. √ ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 5．已知扇形的周长是10 cm，面积为6 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是________． ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 6．已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，则2sin α＋cos α的值为________． ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 7．用弧度制表示终边落在如图所示的阴影部分内(含边界) 的角θ的集合是__________________________． ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 8．在一块顶角为120°，腰长为2的等腰三角形厚钢板废料OAB中用电焊切割出一个扇形，如图，现有两种方案，既要充分利用废料，又要使切割时间最短，问哪一种方案最优？ ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 eq \f(π,180) 2．弧度制的相关概念 (1)1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角． (2)角度制和弧度制的互化：180°＝_______ rad，1°＝_______ rad，1 rad＝ _______． (3)扇形的弧长公式：l＝_______，扇形的面积公式：S＝_______＝ eq \f(1,2) α·r2.其中r是半径，α(0＜α＜2π)为弧所对圆心角． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π))) ° eq \f(1,2) lr 3．三角函数 (1)设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y)时，sin α＝y，cos α＝x，tan α＝ eq \f(y,x) (x≠0). 三个三角函数的初步性质如下表： 三角 函数 定义域 第一象 限符号 第二象 限符号 第三象 限符号 第四象 限符号 sin α R ＋ ＋ － － cos α R ＋ － － ＋ tan α {α|α≠kπ＋ eq \f(π,2) ，k∈Z} ＋ － ＋ － eq \f(y,r) eq \f(x,r) eq \f(y,x) 3.α所在象限与 eq \f(α,2) 所在象限的关系, α所在象限 一 二 三 四 eq \f(α,2) 所在象限 一、三 一、三 二、四 二、四 (2)确定kα， eq \f(α,k) (k∈N*)的终边位置的步骤 ①用终边相同的角的形式表示出角α的范围． ②写出kα或 eq \f(α,k) 的范围． ③根据k的可能取值确定kα或 eq \f(α,k) 的终边所在的位置． 考点二　弧度制的应用 (1)将300°化为弧度是(　　) A．－ eq \f(π,3) B． eq \f(7π,6) C． eq \f(11π,6) D． eq \f(5π,3) 解析：300°＝300× eq \f(π,180) ＝ eq \f(5π,3) .故选D. 解：α＝35°＝35× eq \f(π,180) rad＝ eq \f(7π,36) rad，扇形的弧长l＝αr＝ eq \f(7π,36) ×8＝ eq \f(14π,9) (cm). 解：由题意知2r＋l＝16，所以l＝16－2r(0<r<8)，则S＝ eq \f(1,2) lr＝ eq \f(1,2) (16－2r)r＝－r2＋8r＝－(r－4)2＋16，当r＝4时，Smax＝16 cm2，l＝16－2×4＝8(cm)，α＝ eq \f(l,r) ＝2 rad，所以S的最大值是16 cm2，此时扇形的半径是4 cm，圆心角α＝2 rad. 解析：依题意，点P的坐标为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1)) ，则OP＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))\s\up12(2)＋12) ＝ eq \f(\r(5),2) (O为坐标原点)，故cos α＝ eq \f(－\f(1,2),\f(\r(5),2)) ＝－ eq \f(\r(5),5) . 考点三　三角函数的概念 (1)已知点P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos \f(2π,3)，1)) 是角α的终边上一点，则cos α＝(　　) A. eq \f(\r(5),5) B．－ eq \f(\r(5),5) C． eq \f(2\r(5),5) D．－ eq \f(\r(3),2) (2)若sin α＝ eq \f(4,5) 且tan α<0，则cos α＝(　　) A． eq \f(3,4) B．± eq \f(3,4) C．± eq \f(3,5) D．－ eq \f(3,5) 解析：因为sin α＝ eq \f(4,5) >0且tan α<0， 所以α为第二象限角， 故cos α＝－ eq \r(1－sin2α) ＝－ eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))\s\up12(2)) ＝－ eq \f(3,5) . 故选D. 1．时钟的分针在8点到10点20分这段时间里转过的弧度数为(　　) A． eq \f(14π,3) B．－ eq \f(14π,3) C． eq \f(7π,18) D．－ eq \f(7π,18) 解析：分针每分钟转6°，则分针在8点到10点20分这段时间里转过度数为－6°×(2×60＋20)＝－840°，所以－840°× eq \f(π,180°) ＝－ eq \f(14π,3) .故选B. 2．下列与角 eq \f(9π,4) 的终边相同的角的表达式中正确的是(　　) A．2kπ＋45°(k∈Z) B．k·360°＋ eq \f(9π,4) (k∈Z) C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋ eq \f(5π,4) (k∈Z) 解析：与角 eq \f(9π,4) 的终边相同的角可以写成2kπ＋ eq \f(9π,4) (k∈Z)，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有答案C正确． 3．设角α终边上的点的坐标为(3，－4)，则(　　) A．sin α＝ eq \f(3,5) B．tan α＝－ eq \f(3,4) C．cos α＝－ eq \f(4,5) D．tan α＝－ eq \f(4,3) 解析：设角α终边所在圆的半径为r，由题意得，r＝ eq \r(9＋16) ＝5， 所以sin α＝ eq \f(y,r) ＝－ eq \f(4,5) ，cos α＝ eq \f(x,r) ＝ eq \f(3,5) ，tan α＝ eq \f(y,x) ＝－ eq \f(4,3) ，所以D选项正确， 故选D. eq \f(4,3) 或3 解析：设扇形的弧长为l，半径为r，则2r＋l＝10， 因为扇形的面积S＝ eq \f(1,2) lr＝6，则 eq \f(1,2) (10－2r)r＝6， 解得r＝2或r＝3. 当r＝2时，l＝10－2r＝6，α＝ eq \f(6,2) ＝3， 当r＝3时，l＝10－2r＝4，α＝ eq \f(4,3) . 所以扇形的圆心角的弧度数是 eq \f(4,3) 或3. eq \f(2,5) 或－ eq \f(2,5) 解析：在直线3x＋4y＝0上任取一点P(4a，－3a)(a≠0).则r＝|OP|＝ eq \r(（4a）2＋（－3a）2) ＝5|a|. ①当a>0时，r＝5a，故sin α＝ eq \f(－3a,5a) ＝－ eq \f(3,5) ，cos α＝ eq \f(4a,5a) ＝ eq \f(4,5) ， 所以2sin α＋cos α＝2× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5))) ＋ eq \f(4,5) ＝－ eq \f(2,5) ； ②当a<0时，r＝－5a，故sin α＝ eq \f(－3a,－5a) ＝ eq \f(3,5) ，cos α＝ eq \f(4a,－5a) ＝－ eq \f(4,5) ， 所以2sin α＋cos α＝2× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5))) － eq \f(4,5) ＝ eq \f(2,5) . 故2sin α＋cos α等于 eq \f(2,5) 或－ eq \f(2,5) . eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,6)，2kπ＋\f(3π,4))) ，k∈Z 解析：由题图，终边OB对应角为2kπ－ eq \f(π,6) ，k∈Z，终边OA对应角为2kπ＋ eq \f(3π,4) ，k∈Z，所以角θ的集合是 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,6)，2kπ＋\f(3π,4))) ，k∈Z. 解：因为△AOB是顶角为120°即 eq \f(2π,3) ，腰长为2的等腰三角形，所以A＝B＝ eq \f(π,6) ，OM＝ON＝1，AD＝2， 所以方案一中扇形的弧长为2× eq \f(π,6) ＝ eq \f(π,3) ；方案二中扇形的弧长为1× eq \f(2π,3) ＝ eq \f(2π,3) ；　 方案一中扇形的面积为 eq \f(1,2) × eq \f(π,6) ×22＝ eq \f(π,3) ；方案二中扇形的面积为 eq \f(1,2) × eq \f(2π,3) ×12＝ eq \f(π,3) . 由此可见，两种方案中利用废料割出的扇形面积相等，方案一的切割时间短，因此方案一最优． $