专题1.11有理数的乘方（知识点总结+12大题型举一反三+同步练习）易错重难点培优同步讲义2025-2026学年华东师大版（2024）数学七年级上册

1.11有理数的乘方 【题型1】乘方三要素（底数/指数/幂）的识别与规范书写 1.核心知识点总结 乘方的定义：求n个相同因数a的积的运算叫做乘方，记作，结果叫做幂；其中是底数（相同因数），是指数（相同因数的个数）。 特殊规定：①指数为1时省略不写（如）；②负数、分数作底数时必须加括号（如的3次方记为，的4次方记为）。 2.高频考点梳理 判断给定乘方式子的底数、指数（如判断的底数是3而非）。 将多个相同因数的积转化为乘方形式（如写成）。 3.易错点警示 忽略负数/分数底数的括号（如误将写成，前者底数是，后者底数是2）。 混淆指数与底数的意义（如误将理解为2×3，实际是3个2相乘）。 4.解题技巧拆解 步骤1：找“相同因数”确定底数（负数/分数需加括号）； 步骤2：数“相同因数的个数”确定指数； 步骤3：按“底数^指数”规范书写乘方形式。 【例题1】．（2024-2025•荔城区期末）下列式子可以表示成34的是（　　） A．4×4×4 B．3×3×3×3 C．3+3+3+3 D．4+4+4 【变式题1-1】．（2024-2025•朝阳区校级二模）对于式子（﹣3）2，下列说法正确的是（　　） A．指数是﹣3 B．底数是3 C．幂是9 D．表示2个3相乘 【变式题1-2】．（2024-2025•红花岗区校级模拟）下列说法正确的是（　　） A．﹣35的底数是﹣3 B．23表示3个2相加 C．（﹣2）3与﹣23意义相同 D．﹣23的指数是3 【变式题1-3】．（2024-2025•望奎县校级开学）在|﹣2|，﹣2，（﹣2）3，﹣|﹣2|，﹣（﹣2），﹣22这六个数中，负数共有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【题型2】乘方运算的符号规律判断与基础计算 1.核心知识点总结 乘方符号法则：①正数的任何次幂都是正数；②负数的奇次幂是负数，偶次幂是正数；③0的任何正整数次幂都是0。 基础计算：先确定幂的符号，再计算底数绝对值的乘方（如）。 2.高频考点梳理 直接计算简单乘方（如、）； 不计算结果，仅判断乘方的符号（如判断的符号为负）。 3.易错点警示 混淆与的符号（如，结果巧合相等，但，结果不同）。 误将0的0次幂认为是0（实际0的0次幂无意义，仅0的正整数次幂为0）。 4.解题技巧拆解 “两步法”计算：①先根据底数正负和指数奇偶性定符号；②再计算“底数绝对值的n次幂”得结果； 符号快速判断口诀：“正不变，负看奇偶，0正次为0”。 【例题2】．（2024-2025•郯城县期末）﹣72的值是（　　） A．﹣49 B．49 C．﹣14 D．14 【变式题2-1】．（2024-2025•象州县期末）﹣25表示的意义是（　　） A．5个2相乘的相反数 B．﹣2与5相乘 C．2个﹣5相乘 D．2个5相乘的相反数 【变式题2-2】．（2024-2025•永寿县校级二模）计算：（﹣3）2＝（　　） A．6 B．﹣6 C．9 D．﹣9 【变式题2-3】．（2024-2025•兴隆县期末）（﹣2）4＝　 　 ． 【题型3】三类乘方式子（、、）的含义辨析与结果差异对比 1.核心知识点总结 含义区别：①表示n个a相乘（底数为a，聚焦“相同因数a的累积”）；②表示n个a相乘的相反数（底数仍为a，运算优先级“先乘方后取负”）；③表示n个(-a)相乘（底数为，聚焦“相同因数的累积”）。 结果联系：①当n为奇数时，与结果相等（均与互为相反数）；②当n为偶数时，与结果相等（均与互为相反数）。 2.高频考点梳理 给定具体a、n值，分别计算、、并对比（如a=-2，n=3或n=4）； 结合n的奇偶性，判断三者的大小关系或相等情况（如判断当n为偶数时，与是否一定相等）。 3.易错点警示 误将的底数归为（如的底数是3，而非，结果为-9；若底数为，需写为，结果为9）； 忽略n的奇偶性对结果的影响（如误将算成32，实际n为奇数，结果应为-32）。 4.解题技巧拆解 步骤1：“标底数定含义”——用“括号标注法”明确每个式子的实际底数（标a，标a，标），同步厘清运算优先级； 步骤2：“分奇偶算结果”——根据n的奇偶性，结合“负号的奇次幂为负、偶次幂为正”计算三者结果； 步骤3：“对比找关联”——将计算结果横向对比，总结“n奇/偶”时三者的相等或相反关系，避免混淆。 【例题3】．（2024-2025•淮滨县期末）下列各组数中，互为相反数的是（　　） A．﹣23与（﹣2）3 B．﹣（﹣2）与|﹣2| C．﹣52与﹣25 D．﹣32与（﹣3）2 【变式题3-1】．（2024-2025•忻府区期末）下列计算正确的是（　　） A．﹣22＝4 B．（﹣2）2＝4 C．（﹣3）3＝﹣9 D．（﹣1）3＝﹣3 【变式题3-2】．（2024-2025•老河口市期末）在﹣32，﹣|﹣5|，﹣（﹣3）2，﹣（﹣3）3中，是正数的是（　　） A．﹣32 B．﹣|﹣5| C．﹣（﹣3）2 D．﹣（﹣3）3 【变式题3-3】．（2024-2025•魏县期末）下面各对数中，结果相等的是（　　） A．﹣32和（﹣3）2 B．﹣（﹣3）2和﹣（2）3 C．﹣（﹣3）2和﹣32 D．﹣2×32和﹣3×22 【题型4】科学记数法的规范表示与底数、指数确定 1.核心知识点总结 科学记数法定义：将一个绝对值较大或较小的数表示为的形式（其中，为整数位数只有一位的数，为整数）。 指数规律：①表示绝对值大于10的数时，为正整数，且（如34600是5位整数，)；②表示绝对值小于1的数时，为负整数，且(如0.00025，第一个非零数字前有4个0，)。 2.高频考点梳理 将大数转化为科学记数法(如2023年新能源汽车产量944万辆，表示为)； 将小数转化为科学记数法(如0.000036，表示为)； 判断给定科学记数法表示是否规范(如判断是否规范，因，故不规范)。 3.易错点警示 突破的取值范围(如将34600表示为，；或表示为，)。 混淆的正负(如将0.0021误表示为，实际应为-3)； 计算时多减/少减1(如将5位整数12345的算成5，实际应为)。 4.解题技巧拆解 “定a三步法”：①找原数中“第一个非零数字”，确定的整数部分(保留1位整数)；②将原数小数点移到的位置，记录移动方向和位数；③根据移动方向定的正负(右移为正，左移为负)，移动位数即为； 验证：表示后还原数，检查是否与原数一致(如，与原数一致则规范)。 【例题4】．（2024-2025•龙华区校级期末）中国信息通信研究院测算2020﹣2025年，中国5G商用带动的信息消费规模将超过80000亿元，直接带动经济总产出达106000亿元，近似数106000用科学记数法表示为（　　） A．10.6×104 B．1.06×106 C．10.6×105 D．1.06×105 【变式题4-1】．（2024-2025•睢县期末）全球七大洲的总面积约为149480000km2，这个数据精确到百万位可表示为（　　）km2，结果用科学记数法表示． A．14.9×107 B．1.49×108 C．1.5×108 D．0.149×109 【变式题4-2】．（2024-2025•西峡县期末）用四舍五入法将数347825精确到千位，用科学记数法表示为 　 　 ． 【变式题4-3】．（2024-2025•海陵区校级开学）已知月球与地球的距离约为384000km，将384000精确到万位取近似值用科学记数法表示为 　 　 ． 【题型5】科学记数法与有效数字的综合应用及数值还原(提升) 1.核心知识点总结 有效数字定义：从一个数的左边第一个非零数字起，到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字(如0.0230的有效数字是2、3、0，共3个)。 科学记数法与有效数字的关联：科学记数法中，有效数字由决定(与无关)，如的有效数字是2、7、3，共3个； 数值还原：将还原为原数时，为正则将的小数点右移位，为负则左移位(位数不足补0)。 2.高频考点梳理 确定科学记数法表示的数的有效数字(如判断的有效数字个数为3个)； 还原科学记数法表示的数并确定有效数字(如将还原为3050，有效数字是3、0、5，共3个)； 结合乘方的科学记数法与有效数字(如计算，有效数字为1个)。 3.易错点警示 忽略中末尾的0(如误将的有效数字算成2个，实际末尾的0是有效数字，共3个)； 还原数时位数错误(如将还原为0.051，实际应左移3位，为0.0051)； 有效数字包含前导0(如误将0.00123的有效数字算成5个，实际前导0不算，共3个)。 4.解题技巧拆解 步骤1：“定有效数字”——若为科学记数法，直接看的数字(从第一个非零数字起，至末位止)；若为原数，先划去前导0，再数剩余数字； 步骤2：“还原数”——①：的小数点右移位，缺位补0(如)；②：的小数点左移位，缺位补0(如)； 步骤3：“验证有效数字”——还原后再次核对有效数字，确保与科学记数法中的有效数字一致(如还原为300，有效数字是3、0，共2个，与的有效数字一致）。 【例题5】．（2024-2025•东台市期末）把1062000精确到万位，用科学记数法表示为 　 　 ． 【变式题5-1】．（2024-2025•衡山县期末）近似数2.73×104精确到 　 　 位． 【变式题5-2】．（2024-2025•利辛县期末）近似数2.45×104，精确到 　 　 位． 【变式题5-3】．（2024-2025•阜宁县期末）某人一天饮水1980mL，请用四舍五入法将1980mL精确到1000mL，并用科学记数法表示为 　 　 mL． 【题型6】有理数偶次幂与绝对值的非负性综合应用求值(提升) 1.核心知识点总结 常见非负形式：①有理数的偶次幂(如、)；②绝对值(如)。 综合性质：若且，且，则且(可推广到多个非负项相加)。 2.高频考点梳理 已知，求的值； 结合非负性判断代数式的符号(如已知，判断的符号)。 3.易错点警示 混淆“非负项”与“负数项”(如误将认为是非负数，实际它是非正数)。 计算乘方时忽略字母的正负(如已知a=-2，求时误算为-16)。 4.解题技巧拆解 步骤1：“识别非负项”——标记式子中所有偶次幂、绝对值项； 步骤2：“列方程求解”——根据“非负和为0”得每个非负项=0，解出字母值； 步骤3：“代入计算”——将字母值代入目标代数式，先算乘方，再算加减。 【例题6】．（2024-2025•临邑县期末）已知a，b都是有理数，若（a+2）2+|b﹣1|＝0，则（a+b）2025的值是（　　） A．﹣2025 B．﹣1 C．1 D．2025 【变式题6-1】．（2024-2025•运河区校级期末）已知|x﹣5|+（x+y）2＝0，则xy的值为（　　） A．0 B．﹣20 C．25 D．﹣25 【变式题6-2】．（2024-2025•海南期末）若|a+1|+（b﹣2）2＝0，则（ab）3是（　　） A．8 B．﹣8 C．6 D．﹣6 【变式题6-3】．（2024-2025•渠县校级月考）若，求的值． 【题型7】含乘方的有理数混合运算步骤拆解与计算(提升) 1.核心知识点总结 混合运算顺序：①先算乘方(第三级运算)；②再算乘除(第二级运算，同级从左到右)；③最后算加减(第一级运算，同级从左到右)；④有括号时，先算小括号，再算中括号，最后算大括号。 2.高频考点梳理 基础混合运算(如)； 含多层括号的混合运算(如)。 3.易错点警示 跳步计算导致符号错误(如计算时，先算，再平方得36，实际应先算，再算)。 混淆括号内与括号外的运算顺序(如先算括号外的乘方，再算括号内的加减)。 4.解题技巧拆解 “标级法”解题：①用“3”标乘方、“2”标乘除、“1”标加减，明确运算级别；②按“3→2→1”的顺序计算，同级从左到右；③每步只算一种运算，记录中间结果，避免跳步。 【例题7】．（2024-2025•潜山市期中）计算： （1）； （2）． 【变式题7-1】．（2024-2025•平舆县校级期末）计算：． 【变式题7-2】．（2024-2025•金寨县期末）计算：． 【变式题7-3】．（2024-2025•石景山区校级期中）计算：（+3）÷（）3． 【题型8】乘方在对折/细胞分裂问题中的实际应用(提升) 1.核心知识点总结 常见模型：①对折模型：对折n次后，纸的层数为(初始层数为1)；②细胞分裂模型：1个细胞每t分钟分裂1次，n次分裂后细胞个数为。 延伸计算：总厚度=单层厚度×层数，总个数=初始个数×。 2.高频考点梳理 对折问题：如纸的单层厚度为0.05mm，求对折7次后的总厚度； 分裂问题：如细菌每20分钟分裂1次，1个细菌3小时后分裂的总个数。 3.易错点警示 混淆“对折次数”与“层数的关系”(如误将对折3次的层数算成3×2=6，实际是)。 单位换算错误(如总厚度算出后，未按要求换算成厘米或米)。 4.解题技巧拆解 步骤1：“确定模型”——判断是“对折”还是“分裂”，明确“每次变化的倍数”(均为2倍)； 步骤2：“计算次数”——根据总时间/操作次数，确定n(如3小时=9个20分钟，分裂次数n=9)； 步骤3：“列式计算”——用“初始量×”求结果，必要时进行单位换算。 【例题8】．（2024-2025•盘龙区校级模拟）如图是草履虫的细胞分裂示意图，这种细胞每过30分钟便由1个分裂成2个，根据此规律，请问一个草履虫8个小时后可分裂为（　　） A．16个 B．216个 C．8个 D．28个 【变式题8-1】．（2024-2025•巴楚县期中）制作拉面需将长方形面条摔匀拉伸后对折，并不断重复．随着不断地对折，面条根数不断增加．若一拉面店一碗面约有64根面条，一天能拉出2048碗拉面，用底数为2的幂表示拉面的总根数为（　　） A．217 B．211 C．214 D．264 【变式题8-2】．（2024-2025•市南区期中）科学家发现某种细菌的分裂能力极强，这种细菌每分钟可由1个分裂成2个，将一个细菌放在培养瓶中经过a（a＞5）分钟就能分裂满一瓶．如果将8个这种细菌放入同样的一个培养瓶中，那么经过 　 　 分钟就能分裂满一瓶． 【变式题8-3】．（2024-2025•柯桥区期末）如图是一纸条的示意图，第1次对折，使A，B两点重合后再打开，折痕为l1；第2次对折，使A，C两点重合后再打开，折痕为l2；第3次对折，使B，D两点重合后再打开，折痕为l3．已知CE＝2cm，则纸条原长为 　 　 cm． 【题型9】乘方结果末尾数字的周期性规律判断(培优) 1.核心知识点总结 末尾数字周期：①2的乘方末尾：2,4,8,6(周期4)；②3的乘方末尾：3,9,7,1(周期4)；③4的乘方末尾：4,6(周期2)；④5的乘方末尾：5(周期1)；⑤6的乘方末尾：6(周期1)；⑥7的乘方末尾：7,9,3,1(周期4)；⑦8的乘方末尾：8,4,2,6(周期4)；⑧9的乘方末尾：9,1(周期2)。 2.高频考点梳理 求高次幂的末尾数字(如求、的末尾数字)； 结合末尾数字判断代数式的末尾数字(如求的末尾数字)。 3.易错点警示 找错末尾数字的循环周期(如误将7的乘方周期认为是2)。 计算指数除以周期的余数时，余数为0对应周期最后一个数字(如的末尾是1，而非0)。 4.解题技巧拆解 “周期法”解题：①确定底数对应的末尾数字周期T；②计算指数n除以T的余数r(r=0时r=T)；③根据余数r，对应周期中的第r个数字，即为末尾数字。 【例题9】．（2024-2025•五华区校级模拟）观察下列算式：21＝2 22＝4 23＝8 24＝16 25＝32 26＝64 27＝128 28＝256…，根据上述算式中的规律，你认为22011的末位数字是（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式题9-1】．（2024-2025•莲都区校级期中）观察算式71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401⋯，可以得出72024的末尾两位数字是　 　 ． 【变式题9-2】．（2024-2025•张掖期末）若规定f（n）＝2n的个位数字，例如21＝2，所以f（1）＝2，24＝16，所以f（4）＝6，那么计算f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+…+f（2023）＝　 　 ． 【变式题9-3】．（2024-2025•凉州区期末）计算31﹣1＝2，32﹣1＝8，33﹣1＝26，34﹣1＝80，35﹣1＝242，…通过各计算结果中个位数字的规律，猜测32025﹣1的个位数字是　 　 ． 【题型10】乘方在进制转换中的关联计算(培优) 1.核心知识点总结 进制转换本质：k进制数的第m位(从右往左，起始位为0)的位权是，如二进制，七进制。 2.高频考点梳理 非十进制转十进制(如将二进制、七进制转为十进制)； 十进制转非十进制(如将十进制23转为二进制，用“除k取余法”)。 3.易错点警示 混淆位权的起始位(如将二进制的位权算成，实际起始位为0)。 “除k取余法”中余数的排列顺序(如十进制转二进制时，余数应从下往上排列)。 4.解题技巧拆解 非十进制转十进制：①从右往左给每一位标位权指数(0,1,2…)；②每一位数字×，求和得十进制数； 十进制转非十进制：①用十进制数除以k，记录余数；②重复除k直到商为0；③将余数从下往上排列，得k进制数。 【例题10】．（2024-2025•海珠区校级期末）计算机是将信息转换成二进制数进行处理的，二进制即“逢2进1”，如（101）2表示二进制数，将它转换成十进制形式是：1×22+0×21+1×20＝5，则将二进制数（1101）2转换成十进制数是　 　 ． 【变式题10-1】．（2024-2025•汉川市期末）计算机利用的是二进制数，它共有两个数码0，1．将一个十进制数转化为二进制，只需把该数写出若干个2n数的和，依次写出1或0即可．如（19）10＝16+2+1＝1×24+0×23+0×22+1×21+1＝（10011）2为二进制下的五位数，则十进制45是二进制下的 　 　 位数． 【变式题10-2】．（2024-2025•武汉校级月考）进制也就是进位制，是人们规定的一种进位方法，对于任何一种进制﹣X进制，就表示某一位置上的数运算时是逢X进一位．我们常把用X进制表示的数a写成（a）X．类比于十进制，我们可以知道：X进制表示的数（1111）X中，右起第一位上的1表示1×X0，第二位上的1表示1×X1，第三位上的1表示1×X2，第四位上的1表示1×X3，故，，若一个五进制三位数（a4b）5与八进制三位数（ba4）8之和能被13整除（1≤a≤5，1≤b≤5，且a、b均为整数），则a的值为　 　 ． 【变式题10-3】．（2024-2025•龙岩校级月考）我国是最早采用十进制进行计算的国家，研究发现，使用十进制跟我们有十根手指头有关．进制也就是进位制，是人们规定的一种进位方法，对于任何一种进制；X进制，就表示某一位置上的数运算时是逢X进一位，十进制是逢十进一，二进制就是逢二进一，十六进制是逢十六进一，以此类作．X进制就是逢X进一．为与十进制进行区分，我们常把用X进制表示的数a写成（a）x． X进制的数转化为十进制数的方法；X进制表示的数（1111）x中，从右边数起，第一位上第三位上的1表示1×X0，第二位上的1的1表示1×X1，第三位上的1表示1×X2，第四位上的1表示表示1×X3，故（1111）x转化为十进制为：（1111）x＝1×X3+1×X2+1×X1+1×X0（规定当X≠0时，X0＝1） 例如：（101）2＝1×22+0×21+1×20＝5，（1023）5＝1×53+0×52+2×51+3×50＝138． 根据材料，完成以下问题： （1）把下列进制表示的数转化为十进制表示的数：（10101）3＝　 　 ，（257）8＝　 　 ； （2）一个四进制三位数（a3b）4与七进制三位数（3ba）7之和能被8整除（1≤a≤3，1≤b≤3．且a，b均为整数），求a的值． 【题型11】乘方运算与整数整除性的关联分析(培优) 1.核心知识点总结 整除性质：①若式子可拆为某数的倍数，则能被该数整除(如能被整除，(n为奇数)能被整除)；②含公共因数的乘方和/差，提取公共因数后判断整除性(如，能被7整除)。 2.高频考点梳理 判断含乘方的式子能否被某数整除(如判断能否被30整除)； 证明含乘方的式子是某数的倍数(如证明能被8整除)。 3.易错点警示 拆项时符号错误(如，误拆为)。 忽略“倍数的倍数仍为倍数”(如式子拆为3×10的倍数，误认为仅能被3整除，实际能被30整除)。 4.解题技巧拆解 步骤1：“统一底数”——将式子中不同底数的乘方化为相同底数(如）； 步骤2：“提取公因式”——提取相同底数的最低次幂，将式子拆为“公因式×（剩余项）”； 步骤3：“判断整除性”——看剩余项是否为目标数的倍数，或公因式与剩余项的乘积是否为目标数的倍数。 【例题11】．（2024-2025•天祝县校级开学）下列各数中，不能被512﹣510整除的是（　　） A．6 B．8 C．16 D．40 【变式题11-1】．（2024-2025•方城县月考）梅梅在计算77﹣75时，发现其计算结果能被三个连续整数整除，则这三个整数是（　　） A．7，8，9 B．5，6，7 C．6，7，8 D．4，5，6 【变式题11-2】．（2024-2025•宝安区期末）下列各数中，不能整除512﹣510的是（　　） A．12 B．8 C．6 D．16 【变式题11-3】．下列数中一定能整除32014﹣4×32013+10×32012的是（　　） A．7 B．8 C．10 D．11 【题型12】基于乘方的新定义运算规则解读与求解(培优) 1.核心知识点总结 新定义本质：将乘方运算融入自定义规则(如“a☆b=a^2+b^3”“aΔb=(-a)^b-ab”)，需按规则转化为熟悉的乘方、加减、乘除运算。 关键：严格遵循“先翻译规则，再代入计算”的原则，尤其是多层嵌套运算。 2.高频考点梳理 单层新定义计算(如定义“a※b=a^b-b”，求)； 多层嵌套计算(如定义“mΔn=(m^2)^n”，求)。 3.易错点警示 误解新定义的运算顺序(如定义“a#b=a-b^2”，误算为)。 多层嵌套时，先算外层再算内层(应先算最内层括号的新定义运算)。 4.解题技巧拆解 “翻译→代入→计算”三步法：①将新定义符号“※”“Δ”等翻译为具体运算(如“a☆b=a^2+b^3”翻译为“第一个数的平方加第二个数的立方”)；②代入具体数值(注意符号)；③先算乘方，再算加减乘除，多层嵌套从内到外算。 【例题12】．（2024-2025•如东县期末）定义：若正整数a，b，c满足a＝b2﹣c2，则称a为梦想数．例如，15＝82﹣72，40＝72﹣32，则15，40都是梦想数．下列各数中，不是梦想数的是（　　） A．98 B．87 C．76 D．65 【变式题12-1】．（2024-2025•仪征市期中）如果3m＝n，那么称m为n的“助力数”，记为T（n），由定义可知：T（n）＝m．例如，∵32＝9，∴T（9）＝T（32）＝2．若T（xy）＝18，T（x）＝16，则　 　 ． 【变式题12-2】．（2024-2025•龙凤区校级三模）定义：如果ax＝N（a＞0，a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN．例如：因为72＝49，所以log749＝2；因为53＝125，所以1og5125＝3．则下列说法中：①log61＝0；②若log2（14+a）＝4，则a＝﹣6；③log827＝log23；④．正确的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式题12-3】．（2024-2025•望奎县校级开学）【概念学习】 定义新运算：求若干个相同的非零有理数的商的运算叫做除方．比如，类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2写作2③，读作“2的圈3次方”；（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）写作（﹣3）④，读作“（﹣3）的圈4次方”．一般地，把记作；aⓝ，读作“a的圈n次方”．特别地，规定：a①＝a． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果：2②＝　 　 ，（﹣3）③＝　 　 ； （2）关于除方，下列说法错误的是　 　 ． A．任何非零数的圈2次方都等于1； B．对于任何正整数，1的圈n次方都等于1： C．3④＝4③； D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． 【深入思考】 有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 除方→→乘方幂的形式 （3）请把有理数a（a≠0）的圈n（n≥3）次方写成幂的形式：aⓝ＝　 　 ； （4）计算：． 同步练习 一．选择题（共3小题） 1．下面计算结果不相等的是（　　） A．（﹣5）2与52 B．（﹣2）3与﹣23 C．|﹣23|与|﹣2|3 D．﹣52与（﹣5）2 2．寒假期间，林林窝在家里看《西游记》，电视中“十万天兵对孙悟空兴师问罪”，林林联想到这学期学过的数学知识，提出了如下问题：（1）10万是个自然数，它的作用是什么？（2）10万用科学记数法怎么表示？（3）10万是准确数还是近似数？下列四个选项正确的是（　　） A．测量，10×104，准确数 B．标号，105，准确数 C．排列，105，近似数 D．计数，1×105，近似数 3．下列说法：①一个有理数不是整数就是分数，不是正数就是负数；②﹣a一定是负数；③|a|＝a，则a＞0；④若两个有理数的和小于0，则至少其中有一个加数是负数；⑤若n为正整数，则（﹣1）2n+（﹣1）2n+1＝﹣2．其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二．填空题（共4小题） 4．已知（x+y+3）2+|2x﹣4|＝0，则y＝ 　 　 ． 5．求值：（﹣1）2023×|﹣2|＝　 　 ． 6．数字234610000用科学记数法表示为　 　 ．（保留三位有效数字） 7．当今大数据时代，“二维码”已被广泛应用于我们的日常生活中．通常，一个“二维码”由1000个大大小小的黑白小方格组成，其中大约80%的小方格专门用做纠错码和其他用途的编码，这相当于1000个方格中只有200个作为数据码．根据相关数学知识，这200个作为数据码的方格可以生成2200个不同的数据二维码，有三个网友对2200的理解如下： JXND（觉醒年代）：2200就是200个2相乘，它是一个非常大的数； YYDS（永远的神）：2200的个位数字是6； QGYW（强国有我）：2200等于2002． 其中对2200的理解错误的网友是　 　 ．（填写网友姓名） 三．解答题（共5小题） 8．计算：． 9．方方与圆圆两位同学计算的过程如下： 方方： ＝﹣16÷（﹣8）×（）① ② ＝﹣16÷1③ ＝﹣16④ 圆圆： ＝（﹣8）÷（﹣6）×（）① ② ＝﹣6③ （1）以上计算过程中，方方开始出错的是第 　 　 步，圆圆开始出错的是第 　 　 步（填序号）； （2）写出你的计算过程． 10．为响应国家创业号召，小李准备新开一家拉面馆，选址后对这一地区的人流量进行了统计．以500人为标准，超过即为正，低于即为负．一周内同一位置同一时刻的人流表如图． 星期 一 二 三 四 五 六 日 人数 ﹣80 ﹣30 ﹣50 ﹣60 +160 +300 +180 （1）这一周人数最多的一天比人数最少的一天多 　 　 人． （2）若这些人中有30%的人来吃面，按照每人一碗，每碗面14元，则平均每天的销售额是多少？ （3）如图，拉面是将一根较粗的面条先对折成两根，再拉开，然后将两端捏紧，再对折成四根，再拉开，一直重复这个流程．面条的数量会不断增多，也会不断变细，拉面师傅一般重复该流程八次可做一碗拉面，拉面师傅拉完八次后有 　 　 根面． 11．对于一个正整数n1若存在正整数k，使得n能表示为k和k﹣2的平方差，那么称这个正整数n为k系平方差数．例如：24＝72﹣52，则24为7系平方差数． （1）直接写出8系平方差数； （2）已知M＝（3k﹣2）（3k+2）﹣3k（3k﹣1）+5为k系平方差数，求M的值； （3）已知x、y为正整数（x＞y），且（x+3y）2﹣4（2y2+3）﹣（8xy﹣3）为k系平方差数，请写出x与y之间的数量关系． 12．【数学材料】：“对数”是数学中的一个重要概念，通过将对数运算转化为指数运算的逆运算，进而简化了复杂运算，更方便地处理一些数学问题．定义：如果ax＝N（a＞0且a≠1），那么x叫作以a为底的N的对数，记作x＝logaN，其中a叫作对数的底． 【初步运用】： （1）请把下列算式改写成对数的形式：23＝8，对数的形式为 　 　 ；，对数的形式为 　 　 ； （2）若loga27＝3，则a＝ 　 　 ；loga，则a＝ 　 　 ； 【理解应用】： （3）若，log4（3x+y﹣1）＝2，若logt（5x+y）＝3，求t的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.11有理数的乘方 【题型1】乘方三要素（底数/指数/幂）的识别与规范书写 1.核心知识点总结 乘方的定义：求n个相同因数a的积的运算叫做乘方，记作，结果叫做幂；其中是底数（相同因数），是指数（相同因数的个数）。 特殊规定：①指数为1时省略不写（如）；②负数、分数作底数时必须加括号（如的3次方记为，的4次方记为）。 2.高频考点梳理 判断给定乘方式子的底数、指数（如判断的底数是3而非）。 将多个相同因数的积转化为乘方形式（如写成）。 3.易错点警示 忽略负数/分数底数的括号（如误将写成，前者底数是，后者底数是2）。 混淆指数与底数的意义（如误将理解为2×3，实际是3个2相乘）。 4.解题技巧拆解 步骤1：找“相同因数”确定底数（负数/分数需加括号）； 步骤2：数“相同因数的个数”确定指数； 步骤3：按“底数^指数”规范书写乘方形式。 【例题1】．（2024-2025•荔城区期末）下列式子可以表示成34的是（　　） A．4×4×4 B．3×3×3×3 C．3+3+3+3 D．4+4+4 【答案】B 【分析】根据乘方的定义运算即可． 【解答】解：34＝3×3×3×3． 故选：B． 【点评】本题考查有理数乘方，关键是理解乘方的含义，乘方表示几个相同因数的积的简便运算． 【变式题1-1】．（2024-2025•朝阳区校级二模）对于式子（﹣3）2，下列说法正确的是（　　） A．指数是﹣3 B．底数是3 C．幂是9 D．表示2个3相乘 【答案】C 【分析】根据有理数的乘方意义解答即可． 【解答】解：A．（﹣3）2的指数是2，故选项A错误； B．（﹣3）2的底数是﹣3，故选项B错误； C．（﹣3）2的幂是9，故选项C正确； D．（﹣3）2表示2个﹣3相乘，故选项D错误． 故选：C． 【点评】本题考查了有理数的乘方，掌握有理数的乘方意义是解题的关键． 【变式题1-2】．（2024-2025•红花岗区校级模拟）下列说法正确的是（　　） A．﹣35的底数是﹣3 B．23表示3个2相加 C．（﹣2）3与﹣23意义相同 D．﹣23的指数是3 【答案】D 【分析】A．根据幂的底数的定义进行判断即可； B、C选项均根据乘方的意义进行判断即可； D．根据幂的指数的定义进行判断即可． 【解答】解：A．∵﹣35的底数是3，∴此选项的说法错误，故此选项不符合题意； B．∵23表示3个2相乘，∴此选项的说法错误，故此选项不符合题意； C．∵（﹣2）3表示3个﹣2相乘，﹣23表示3个2相乘的相反数，∴这两个数表示的意义不同，∴此选项的说法错误，故此选项不符合题意； D．∵﹣23的指数是3，∴此选项的说法正确，故此选项符合题意； 故选：D． 【点评】本题主要考查了有理数的乘方运算，解题关键是熟练掌握乘方的意义和有关概念． 【变式题1-3】．（2024-2025•望奎县校级开学）在|﹣2|，﹣2，（﹣2）3，﹣|﹣2|，﹣（﹣2），﹣22这六个数中，负数共有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C． 【分析】根据正数和负数的定义判断即可，注意：0既不是负数也不是正数． 【解答】解：|﹣2|＝2＞0，是正数； ﹣2＜0，是负数； （﹣2）3＝﹣8＜0，是负数； ﹣|﹣2|＝﹣2＜0，是负数； ﹣（﹣2）＝2＞0，是正数； ﹣22＝﹣4＜0，是负数； ∴负数有﹣2，（﹣2）3，﹣|﹣2|，﹣22，共4个． 故选：C． 【点评】本题考查了对正数和负数定义的理解，难度不大，注意0既不是正数也不是负数． 【题型2】乘方运算的符号规律判断与基础计算 1.核心知识点总结 乘方符号法则：①正数的任何次幂都是正数；②负数的奇次幂是负数，偶次幂是正数；③0的任何正整数次幂都是0。 基础计算：先确定幂的符号，再计算底数绝对值的乘方（如）。 2.高频考点梳理 直接计算简单乘方（如、）； 不计算结果，仅判断乘方的符号（如判断的符号为负）。 3.易错点警示 混淆与的符号（如，结果巧合相等，但，结果不同）。 误将0的0次幂认为是0（实际0的0次幂无意义，仅0的正整数次幂为0）。 4.解题技巧拆解 “两步法”计算：①先根据底数正负和指数奇偶性定符号；②再计算“底数绝对值的n次幂”得结果； 符号快速判断口诀：“正不变，负看奇偶，0正次为0”。 【例题2】．（2024-2025•郯城县期末）﹣72的值是（　　） A．﹣49 B．49 C．﹣14 D．14 【答案】A 【分析】先求出72，继而可得出答案． 【解答】解：∵72＝7×7＝49， ∴﹣72＝﹣49 故选：A． 【点评】本题考查有理数的乘方与乘法运算的等同关系，属于基础题． 【变式题2-1】．（2024-2025•象州县期末）﹣25表示的意义是（　　） A．5个2相乘的相反数 B．﹣2与5相乘 C．2个﹣5相乘 D．2个5相乘的相反数 【答案】A 【分析】根据有理数的乘方，相反数的意义解答即可． 【解答】解：﹣25表示的意义是5个2相乘的相反数． 故选：A． 【点评】本题主要考查了乘方、有理数的乘法、相反数，熟练掌握定义是解题的关键． 【变式题2-2】．（2024-2025•永寿县校级二模）计算：（﹣3）2＝（　　） A．6 B．﹣6 C．9 D．﹣9 【答案】C 【分析】根据有理数的乘方运算，（﹣3）2表示2个（﹣3）的乘积． 【解答】解：（﹣3）2＝9． 故选：C． 【点评】本题考查了有理数的乘方，乘方是乘法的特例，乘方的运算可以利用乘法的运算来进行．负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数． 【变式题2-3】．（2024-2025•兴隆县期末）（﹣2）4＝　16　 ． 【答案】16． 【分析】根据有理数的乘方运算法则即可求出答案． 【解答】解：原式＝16， 故答案为：16． 【点评】本题考查有理数的乘方运算，解题的关键是熟练运用有理数的乘方运算，本题属于基础题型． 【题型3】三类乘方式子（、、）的含义辨析与结果差异对比 1.核心知识点总结 含义区别：①表示n个a相乘（底数为a，聚焦“相同因数a的累积”）；②表示n个a相乘的相反数（底数仍为a，运算优先级“先乘方后取负”）；③表示n个(-a)相乘（底数为，聚焦“相同因数的累积”）。 结果联系：①当n为奇数时，与结果相等（均与互为相反数）；②当n为偶数时，与结果相等（均与互为相反数）。 2.高频考点梳理 给定具体a、n值，分别计算、、并对比（如a=-2，n=3或n=4）； 结合n的奇偶性，判断三者的大小关系或相等情况（如判断当n为偶数时，与是否一定相等）。 3.易错点警示 误将的底数归为（如的底数是3，而非，结果为-9；若底数为，需写为，结果为9）； 忽略n的奇偶性对结果的影响（如误将算成32，实际n为奇数，结果应为-32）。 4.解题技巧拆解 步骤1：“标底数定含义”——用“括号标注法”明确每个式子的实际底数（标a，标a，标），同步厘清运算优先级； 步骤2：“分奇偶算结果”——根据n的奇偶性，结合“负号的奇次幂为负、偶次幂为正”计算三者结果； 步骤3：“对比找关联”——将计算结果横向对比，总结“n奇/偶”时三者的相等或相反关系，避免混淆。 【例题3】．（2024-2025•淮滨县期末）下列各组数中，互为相反数的是（　　） A．﹣23与（﹣2）3 B．﹣（﹣2）与|﹣2| C．﹣52与﹣25 D．﹣32与（﹣3）2 【答案】D 【分析】只有符号不同的两个数叫做互为相反数．分别计算每个选项，找到符合题意的即可． 【解答】解：A．﹣23＝﹣8，（﹣2）3＝﹣8， ∴﹣23＝（﹣2）3，不符合题意； B．﹣（﹣2）＝2，|﹣2|＝2， ∴﹣（﹣2）＝|﹣2|，不符合题意； C．﹣52＝﹣25，﹣25＝﹣32， ∴不符合题意； D．﹣32＝﹣9，（﹣3）2＝9， ∴﹣32＝﹣（﹣3）2，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查相反数的定义，熟练掌握相反数的定义，实数的运算是解题的关键． 【变式题3-1】．（2024-2025•忻府区期末）下列计算正确的是（　　） A．﹣22＝4 B．（﹣2）2＝4 C．（﹣3）3＝﹣9 D．（﹣1）3＝﹣3 【答案】B 【分析】根据有理数的乘方运算法则进行计算并判断即可． 【解答】解：A．﹣22＝﹣4，故选项A错误； B．（﹣2）2＝4，故选项B正确； C．（﹣3）3＝﹣27，故选项C错误； D．（﹣1）3＝﹣1，故选项D错误． 故选：B． 【点评】本题考查了有理数的乘方运算，解题的关键在于熟练掌握有理数的乘方运算法则． 【变式题3-2】．（2024-2025•老河口市期末）在﹣32，﹣|﹣5|，﹣（﹣3）2，﹣（﹣3）3中，是正数的是（　　） A．﹣32 B．﹣|﹣5| C．﹣（﹣3）2 D．﹣（﹣3）3 【答案】D． 【分析】先利用有理数的相应的法则进行化简运算，然后再根据正负数的定义即可判断． 【解答】解：A．﹣32＝﹣9＜0，是负数，不符合题意； B．﹣|﹣5|＝﹣5＜0，是负数，不符合题意； C．﹣（﹣3）2＝﹣9＜0，是负数，不符合题意； D．﹣（﹣3）3＝27＞0，是正数，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了对正数和负数定义的理解，难度不大，注意0既不是正数也不是负数． 【变式题3-3】．（2024-2025•魏县期末）下面各对数中，结果相等的是（　　） A．﹣32和（﹣3）2 B．﹣（﹣3）2和﹣（2）3 C．﹣（﹣3）2和﹣32 D．﹣2×32和﹣3×22 【答案】C 【分析】根据有理数的乘方的含义和求法，分别求出每组中两个算式的值，判断出结果相等的是哪组即可． 【解答】解：∵﹣32＝﹣9，（﹣3）2＝9，﹣9≠9， ∴选项A不符合题意； ∵﹣（﹣3）2＝﹣9，﹣（2）3＝﹣8，﹣9≠﹣8， ∴选项B不符合题意； ∵﹣（﹣3）2＝﹣9，﹣32＝﹣9， ∴选项C符合题意； ∵﹣2×32＝﹣18，﹣3×22＝﹣12， ∴选项D不符合题意． 故选：C． 【点评】此题主要考查了有理数的乘方的含义和求法，以及绝对值的含义和求法，要熟练掌握． 【题型4】科学记数法的规范表示与底数、指数确定 1.核心知识点总结 科学记数法定义：将一个绝对值较大或较小的数表示为的形式（其中，为整数位数只有一位的数，为整数）。 指数规律：①表示绝对值大于10的数时，为正整数，且（如34600是5位整数，)；②表示绝对值小于1的数时，为负整数，且(如0.00025，第一个非零数字前有4个0，)。 2.高频考点梳理 将大数转化为科学记数法(如2023年新能源汽车产量944万辆，表示为)； 将小数转化为科学记数法(如0.000036，表示为)； 判断给定科学记数法表示是否规范(如判断是否规范，因，故不规范)。 3.易错点警示 突破的取值范围(如将34600表示为，；或表示为，)。 混淆的正负(如将0.0021误表示为，实际应为-3)； 计算时多减/少减1(如将5位整数12345的算成5，实际应为)。 4.解题技巧拆解 “定a三步法”：①找原数中“第一个非零数字”，确定的整数部分(保留1位整数)；②将原数小数点移到的位置，记录移动方向和位数；③根据移动方向定的正负(右移为正，左移为负)，移动位数即为； 验证：表示后还原数，检查是否与原数一致(如，与原数一致则规范)。 【例题4】．（2024-2025•龙华区校级期末）中国信息通信研究院测算2020﹣2025年，中国5G商用带动的信息消费规模将超过80000亿元，直接带动经济总产出达106000亿元，近似数106000用科学记数法表示为（　　） A．10.6×104 B．1.06×106 C．10.6×105 D．1.06×105 【答案】D． 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：106000＝1.06×105． 故选：D． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 【变式题4-1】．（2024-2025•睢县期末）全球七大洲的总面积约为149480000km2，这个数据精确到百万位可表示为（　　）km2，结果用科学记数法表示． A．14.9×107 B．1.49×108 C．1.5×108 D．0.149×109 【答案】B 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数． 【解答】解：将149480000用科学记数法表示为：1.4948×108≈1.49×108． 故选：B． 【点评】本题考查科学记数法的表示方法以及近似数与有效数字，掌握形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数是关键． 【变式题4-2】．（2024-2025•西峡县期末）用四舍五入法将数347825精确到千位，用科学记数法表示为 　3.48×105　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据科学记数法的一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定出a，n的值． 【解答】解：由题意得，用四舍五入法将数347825精确到千位为： 347825 ≈348000 ＝3.48×105， 故答案为：3.48×105． 【点评】此题考查了运用科学记数法表示较大数字的近似值的能力，关键是能准确理解并运用该知识． 【变式题4-3】．（2024-2025•海陵区校级开学）已知月球与地球的距离约为384000km，将384000精确到万位取近似值用科学记数法表示为 　3.8×105　 ． 【答案】3.8×105． 【分析】科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【解答】解：根据题意可知，将384000精确到万位取近似值用科学记数法表示为：384000≈3.8×105（精确到万位）． 故答案为：3.8×105． 【点评】本题考查了科学记数法与有效数字，掌握形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数是关键． 【题型5】科学记数法与有效数字的综合应用及数值还原(提升) 1.核心知识点总结 有效数字定义：从一个数的左边第一个非零数字起，到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字(如0.0230的有效数字是2、3、0，共3个)。 科学记数法与有效数字的关联：科学记数法中，有效数字由决定(与无关)，如的有效数字是2、7、3，共3个； 数值还原：将还原为原数时，为正则将的小数点右移位，为负则左移位(位数不足补0)。 2.高频考点梳理 确定科学记数法表示的数的有效数字(如判断的有效数字个数为3个)； 还原科学记数法表示的数并确定有效数字(如将还原为3050，有效数字是3、0、5，共3个)； 结合乘方的科学记数法与有效数字(如计算，有效数字为1个)。 3.易错点警示 忽略中末尾的0(如误将的有效数字算成2个，实际末尾的0是有效数字，共3个)； 还原数时位数错误(如将还原为0.051，实际应左移3位，为0.0051)； 有效数字包含前导0(如误将0.00123的有效数字算成5个，实际前导0不算，共3个)。 4.解题技巧拆解 步骤1：“定有效数字”——若为科学记数法，直接看的数字(从第一个非零数字起，至末位止)；若为原数，先划去前导0，再数剩余数字； 步骤2：“还原数”——①：的小数点右移位，缺位补0(如)；②：的小数点左移位，缺位补0(如)； 步骤3：“验证有效数字”——还原后再次核对有效数字，确保与科学记数法中的有效数字一致(如还原为300，有效数字是3、0，共2个，与的有效数字一致）。 【例题5】．（2024-2025•东台市期末）把1062000精确到万位，用科学记数法表示为 　1.06×106　 ． 【答案】1.06×106． 【分析】根据有效数字的概念进行判断即可． 【解答】解：1062000精确到万位，用科学记数法表示1.06×106． 故答案为：1.06×106． 【点评】本题考查科学数法和有效数字，正确记忆相关知识点是解题关键． 【变式题5-1】．（2024-2025•衡山县期末）近似数2.73×104精确到 　百　 位． 【答案】百． 【分析】根据科学记数法将近似数还原，再根据近似数的数位进行判定即可求解． 【解答】解：先计算2.73×104的结果为27300， ∴近似数2.73×104精确到百位， 故答案为：百． 【点评】本题考查了科学记数法还原为原数，近似值，用科学记数法a×10n（1≤a＜10，n是正整数）表示的数的精确度的表示方法是：先把数还原，再看首数的最后一位数字所在的位数，即为精确到的位数． 例如：近似数4.10×105的有效数字是4，1，0；把数还原为410000后，再看首数4.10的最后一位数字0所在的位数是千位，即精确到千位． 【变式题5-2】．（2024-2025•利辛县期末）近似数2.45×104，精确到 　百　 位． 【答案】百． 【分析】近似数精确到哪一位，应当看末位数字实际在哪一位． 【解答】解：2.45×104＝24500， 故近似数2.45×104，精确到百位． 故答案为：百． 【点评】本题主要考查科学记数法与有效数字，有效数字的计算方法以及与精确到哪一位是需要识记的内容，经常会出错． 【变式题5-3】．（2024-2025•阜宁县期末）某人一天饮水1980mL，请用四舍五入法将1980mL精确到1000mL，并用科学记数法表示为 　2×103　 mL． 【答案】2×103． 【分析】先将原数写成整千数，进而得出答案． 【解答】解：1980≈2000＝2×103． 故答案为：2×103． 【点评】本题主要考查科学记数法与有效数字，熟记科学记数法是解题的关键． 【题型6】有理数偶次幂与绝对值的非负性综合应用求值(提升) 1.核心知识点总结 常见非负形式：①有理数的偶次幂(如、)；②绝对值(如)。 综合性质：若且，且，则且(可推广到多个非负项相加)。 2.高频考点梳理 已知，求的值； 结合非负性判断代数式的符号(如已知，判断的符号)。 3.易错点警示 混淆“非负项”与“负数项”(如误将认为是非负数，实际它是非正数)。 计算乘方时忽略字母的正负(如已知a=-2，求时误算为-16)。 4.解题技巧拆解 步骤1：“识别非负项”——标记式子中所有偶次幂、绝对值项； 步骤2：“列方程求解”——根据“非负和为0”得每个非负项=0，解出字母值； 步骤3：“代入计算”——将字母值代入目标代数式，先算乘方，再算加减。 【例题6】．（2024-2025•临邑县期末）已知a，b都是有理数，若（a+2）2+|b﹣1|＝0，则（a+b）2025的值是（　　） A．﹣2025 B．﹣1 C．1 D．2025 【答案】B 【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【解答】解：∵（a+2）2+|b﹣1|＝0， ∴a+2＝0，b﹣1＝0， ∴a＝﹣2，b＝1， ∴（a+b）2025＝﹣1． 故选：B． 【点评】本题考查了非负数的性质：掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键． 【变式题6-1】．（2024-2025•运河区校级期末）已知|x﹣5|+（x+y）2＝0，则xy的值为（　　） A．0 B．﹣20 C．25 D．﹣25 【答案】D． 【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【解答】解：∵|x﹣5|+（x+y）2＝0， ∴x﹣5＝0，x+y＝0， ∴x＝5，y＝﹣5， ∴xy＝5×（﹣5）＝﹣25． 故选：D． 【点评】本题考查了非负数的性质：掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键． 【变式题6-2】．（2024-2025•海南期末）若|a+1|+（b﹣2）2＝0，则（ab）3是（　　） A．8 B．﹣8 C．6 D．﹣6 【答案】B 【分析】根据非负数的性质求出a、b的值，再代入计算即可． 【解答】解：∵|a+1|+（b﹣2）2＝0， ∴a+1＝0，b﹣2＝0， ∴a＝﹣1，b＝2， ∴（ab）3＝（﹣2）3＝﹣8， 故选：B． 【点评】本题考查非负数的性质，根据非负数的性质求出a、b的值是解决问题的关键． 【变式题6-3】．（2024-2025•渠县校级月考）若，求的值． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【解答】解：∵， ∴a﹣2＝0，0， ∴a＝2，b， ∴1． 【点评】本题考查了非负数的性质：掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键． 【题型7】含乘方的有理数混合运算步骤拆解与计算(提升) 1.核心知识点总结 混合运算顺序：①先算乘方(第三级运算)；②再算乘除(第二级运算，同级从左到右)；③最后算加减(第一级运算，同级从左到右)；④有括号时，先算小括号，再算中括号，最后算大括号。 2.高频考点梳理 基础混合运算(如)； 含多层括号的混合运算(如)。 3.易错点警示 跳步计算导致符号错误(如计算时，先算，再平方得36，实际应先算，再算)。 混淆括号内与括号外的运算顺序(如先算括号外的乘方，再算括号内的加减)。 4.解题技巧拆解 “标级法”解题：①用“3”标乘方、“2”标乘除、“1”标加减，明确运算级别；②按“3→2→1”的顺序计算，同级从左到右；③每步只算一种运算，记录中间结果，避免跳步。 【例题7】．（2024-2025•潜山市期中）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）2；（2）﹣1． 【分析】（1）根据先括号和乘方、再乘除，最后加减运算的顺序求解即可； （2）先将除法运算转化为乘法运算，再利用乘法运算法则求解即可． 【解答】解：（1）原式 ＝﹣16÷（﹣12+4） ＝﹣16÷（﹣8） ＝2； （2）原式 ＝﹣1． 【点评】本题考查了有理数的乘方，有理数的乘除法，掌握运算法则和运算顺序是关键． 【变式题7-1】．（2024-2025•平舆县校级期末）计算：． 【答案】见试题解答内容 【分析】本题需先根据有理数的混合运算顺序和法则，分别进行计算，再把所得结果合并即可． 【解答】解：原式， ＝﹣8． 【点评】本题主要考查了有理数的混合运算，在解题时要注意运算顺序和符号是本题的关键． 【变式题7-2】．（2024-2025•金寨县期末）计算：． 【答案】． 【分析】根据混合运算法则，先算乘方，再算绝对值符号里面的，最后算乘除即可． 【解答】解：原式 ． 【点评】本题主要考查了实数的运算，解题关键是熟练掌握实数混合运算法则． 【变式题7-3】．（2024-2025•石景山区校级期中）计算：（+3）÷（）3． 【答案】见试题解答内容 【分析】原式先计算乘方运算，再计算乘除运算即可求出值． 【解答】解：原式3×（﹣8）＝6． 【点评】此题考查了有理数的乘方，以及有理数的乘除，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【题型8】乘方在对折/细胞分裂问题中的实际应用(提升) 1.核心知识点总结 常见模型：①对折模型：对折n次后，纸的层数为(初始层数为1)；②细胞分裂模型：1个细胞每t分钟分裂1次，n次分裂后细胞个数为。 延伸计算：总厚度=单层厚度×层数，总个数=初始个数×。 2.高频考点梳理 对折问题：如纸的单层厚度为0.05mm，求对折7次后的总厚度； 分裂问题：如细菌每20分钟分裂1次，1个细菌3小时后分裂的总个数。 3.易错点警示 混淆“对折次数”与“层数的关系”(如误将对折3次的层数算成3×2=6，实际是)。 单位换算错误(如总厚度算出后，未按要求换算成厘米或米)。 4.解题技巧拆解 步骤1：“确定模型”——判断是“对折”还是“分裂”，明确“每次变化的倍数”(均为2倍)； 步骤2：“计算次数”——根据总时间/操作次数，确定n(如3小时=9个20分钟，分裂次数n=9)； 步骤3：“列式计算”——用“初始量×”求结果，必要时进行单位换算。 【例题8】．（2024-2025•盘龙区校级模拟）如图是草履虫的细胞分裂示意图，这种细胞每过30分钟便由1个分裂成2个，根据此规律，请问一个草履虫8个小时后可分裂为（　　） A．16个 B．216个 C．8个 D．28个 【答案】B 【分析】根据题意得出规律第n个30分钟分裂为2n个细胞，即可求解． 【解答】解：根据题意可知，一个草履虫细胞第1个30分钟分裂成2个，即21个细胞， 一个草履虫细胞第2个30分钟分裂成4个，即22个；… 一个草履虫细胞第n个30分钟分裂为2n个细胞， 经过8小时即2×8＝16个30分钟，一个草履虫8个小时后可分裂为：216个细胞． 故选：B． 【点评】本题考查了有理数的乘方，掌握有理数的乘方的运算法则是关键． 【变式题8-1】．（2024-2025•巴楚县期中）制作拉面需将长方形面条摔匀拉伸后对折，并不断重复．随着不断地对折，面条根数不断增加．若一拉面店一碗面约有64根面条，一天能拉出2048碗拉面，用底数为2的幂表示拉面的总根数为（　　） A．217 B．211 C．214 D．264 【答案】A 【分析】拉面的总根数为（64×2048）根，而64＝26，2048＝211，即可求出其值． 【解答】解：拉面的总根数为：64×2048（根）， 64×2048＝26×211＝217， ∴用底数为2的幂表示拉面的总根数为217根． 故选：A． 【点评】本题考查了有理数的乘方，难度不大，仔细审题即可． 【变式题8-2】．（2024-2025•市南区期中）科学家发现某种细菌的分裂能力极强，这种细菌每分钟可由1个分裂成2个，将一个细菌放在培养瓶中经过a（a＞5）分钟就能分裂满一瓶．如果将8个这种细菌放入同样的一个培养瓶中，那么经过 　（a﹣3）　 分钟就能分裂满一瓶． 【答案】（a﹣3）． 【分析】通过列举得到将8个这种细菌放入同样的一个培养瓶中，可以少用3分钟，从而得到答案． 【解答】解：将1个细菌放在培养瓶中分裂1次，变成2个； 分裂2次，变成4个； 分裂3次，变成8个； ∴将8个这种细菌放入同样的一个培养瓶中，可以少用3分钟， 故答案为：（a﹣3）． 【点评】本题考查了有理数的乘方，得到将8个这种细菌放入同样的一个培养瓶中，可以少用3分钟是解题的关键． 【变式题8-3】．（2024-2025•柯桥区期末）如图是一纸条的示意图，第1次对折，使A，B两点重合后再打开，折痕为l1；第2次对折，使A，C两点重合后再打开，折痕为l2；第3次对折，使B，D两点重合后再打开，折痕为l3．已知CE＝2cm，则纸条原长为 　16　 cm． 【答案】见试题解答内容 【分析】由题意可得纸条原长AB＝8CE，再代入进行求解． 【解答】解：由题意得，AD＝CD＝（）2ABAB， ∴BD＝（1）ABAB，DEBDABAB， ∴CE＝DE﹣CDABABAB， 即AB＝8CE＝8×2＝16（cm）， 故答案为：16． 【点评】此题考查了几何图形中线段长度计算问题的解决能力，关键是能准确理解题目中线段间的数量关系并列式、求解． 【题型9】乘方结果末尾数字的周期性规律判断(培优) 1.核心知识点总结 末尾数字周期：①2的乘方末尾：2,4,8,6(周期4)；②3的乘方末尾：3,9,7,1(周期4)；③4的乘方末尾：4,6(周期2)；④5的乘方末尾：5(周期1)；⑤6的乘方末尾：6(周期1)；⑥7的乘方末尾：7,9,3,1(周期4)；⑦8的乘方末尾：8,4,2,6(周期4)；⑧9的乘方末尾：9,1(周期2)。 2.高频考点梳理 求高次幂的末尾数字(如求、的末尾数字)； 结合末尾数字判断代数式的末尾数字(如求的末尾数字)。 3.易错点警示 找错末尾数字的循环周期(如误将7的乘方周期认为是2)。 计算指数除以周期的余数时，余数为0对应周期最后一个数字(如的末尾是1，而非0)。 4.解题技巧拆解 “周期法”解题：①确定底数对应的末尾数字周期T；②计算指数n除以T的余数r(r=0时r=T)；③根据余数r，对应周期中的第r个数字，即为末尾数字。 【例题9】．（2024-2025•五华区校级模拟）观察下列算式：21＝2 22＝4 23＝8 24＝16 25＝32 26＝64 27＝128 28＝256…，根据上述算式中的规律，你认为22011的末位数字是（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】本题需先根据已知条件，找出题中的规律，即可求出22011的末位数字． 【解答】解：∵21＝2，22＝4，23＝8，24＝16， 25＝32，26＝64，27＝128，28＝256，…则每四个数循环一次． ∴22011的末位数字是8． 故选：D． 【点评】本题主要考查了有理数的乘方，根据题意找出规律是本题的关键． 【变式题9-1】．（2024-2025•莲都区校级期中）观察算式71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401⋯，可以得出72024的末尾两位数字是　01　 ． 【答案】01． 【分析】通过观察发现循环周期，然后推断即可． 【解答】解：71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401， 75＝16807，76＝117649，77＝823543，78＝8764801， ......， 发现：74k的末尾两位数字是01， ∵2024÷4＝506， ∴72024的末尾两位数字是01， 故答案为：01． 【点评】本题考查了有理数的乘方，找出幂的末尾数字周期性规律是解题的关键． 【变式题9-2】．（2024-2025•张掖期末）若规定f（n）＝2n的个位数字，例如21＝2，所以f（1）＝2，24＝16，所以f（4）＝6，那么计算f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+…+f（2023）＝　10114　 ． 【答案】10114． 【分析】先计算出f（1）＝2，f（2）＝4，f（3）＝8，f（4）＝6，f（5）＝2，f（6）＝4，于是可判断从21开始，2n的个位数每4个一循环，而2023＝4×505+3，所以f（2023）＝8，一个循环中的4个个位数的和为20，从而得到f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+…+f（2023）＝20×505+14． 【解答】解：∵f（1）＝2，f（2）＝4，f（3）＝8，f（4）＝6，f（5）＝2，f（6）＝4， 而2023＝4×505+3， ∴f（2023）＝8， ∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+…+f（2023）＝2+4+8+6+2+4+8+6+…+2+4+8 ＝20×505+14 ＝10114． 故答案为10114． 【点评】本题考查了有理数的乘方：有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方．也考查了数字规律型变换问题的解决方法． 【变式题9-3】．（2024-2025•凉州区期末）计算31﹣1＝2，32﹣1＝8，33﹣1＝26，34﹣1＝80，35﹣1＝242，…通过各计算结果中个位数字的规律，猜测32025﹣1的个位数字是　2　 ． 【答案】2． 【分析】通过观察可以发现，3n﹣1（n为正整数）的个位数字的规律是每4次一循环，依次为2、8、6、0，由此即可得出答案． 【解答】解：个位数字的规律是：每4次一循环，依次为2、8、6、0， ∵2025÷4＝506⋯⋯1， ∴32025﹣1的个位数字是2， 故答案为：2． 【点评】本题考查了数字类规律探索，通过观察发现并总结出一般规律是解题的关键． 【题型10】乘方在进制转换中的关联计算(培优) 1.核心知识点总结 进制转换本质：k进制数的第m位(从右往左，起始位为0)的位权是，如二进制，七进制。 2.高频考点梳理 非十进制转十进制(如将二进制、七进制转为十进制)； 十进制转非十进制(如将十进制23转为二进制，用“除k取余法”)。 3.易错点警示 混淆位权的起始位(如将二进制的位权算成，实际起始位为0)。 “除k取余法”中余数的排列顺序(如十进制转二进制时，余数应从下往上排列)。 4.解题技巧拆解 非十进制转十进制：①从右往左给每一位标位权指数(0,1,2…)；②每一位数字×，求和得十进制数； 十进制转非十进制：①用十进制数除以k，记录余数；②重复除k直到商为0；③将余数从下往上排列，得k进制数。 【例题10】．（2024-2025•海珠区校级期末）计算机是将信息转换成二进制数进行处理的，二进制即“逢2进1”，如（101）2表示二进制数，将它转换成十进制形式是：1×22+0×21+1×20＝5，则将二进制数（1101）2转换成十进制数是　13　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据转换方法列式算式，再根据有理数的乘方运算进行计算即可得解． 【解答】解：1×23+1×22+0×21+1×20， ＝8+4+0+1， ＝13． 故答案为：13． 【点评】本题考查了有理数的乘方，读懂题目信息，理解二进制转化为十进制的方法是解题的关键． 【变式题10-1】．（2024-2025•汉川市期末）计算机利用的是二进制数，它共有两个数码0，1．将一个十进制数转化为二进制，只需把该数写出若干个2n数的和，依次写出1或0即可．如（19）10＝16+2+1＝1×24+0×23+0×22+1×21+1＝（10011）2为二进制下的五位数，则十进制45是二进制下的 　六　 位数． 【答案】六． 【分析】根据题意，26＝64，25＝32，32＜45＜64，根据规律可知最高位应是1×25，故可求共有六位数． 【解答】解：根据题意可知，一个十进制数转化为二进制，需要把该数写出若干个2n数的和， ∵26＝64，25＝32，32＜45＜64， ∴最高位应是1×25， 故（101101）2， 故共有六位数． 故答案为：六． 【点评】本题考查了有理数的乘方，掌握有理数的乘方的运算法则是关键． 【变式题10-2】．（2024-2025•武汉校级月考）进制也就是进位制，是人们规定的一种进位方法，对于任何一种进制﹣X进制，就表示某一位置上的数运算时是逢X进一位．我们常把用X进制表示的数a写成（a）X．类比于十进制，我们可以知道：X进制表示的数（1111）X中，右起第一位上的1表示1×X0，第二位上的1表示1×X1，第三位上的1表示1×X2，第四位上的1表示1×X3，故，，若一个五进制三位数（a4b）5与八进制三位数（ba4）8之和能被13整除（1≤a≤5，1≤b≤5，且a、b均为整数），则a的值为　4　 ． 【答案】4． 【分析】先表示出（a4b）5和（ba4）8，再求和得出（a4b）5+（ba4）8＝33a+65b+24，结合能被13整除且1≤a≤5，即可得解； 【解答】解：∵，， ∴（a4b）5+（ba4）8＝33a+65b+24， ∵一个五进制三位数（a4b）5与八进制三位数（ba4）8之和能被13整除， ∴33a+24能被13整除， ∵1≤a≤5， ∴a＝4； 故答案为：4． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，掌握整式的加减的应用、列代数式是解题的关键． 【变式题10-3】．（2024-2025•龙岩校级月考）我国是最早采用十进制进行计算的国家，研究发现，使用十进制跟我们有十根手指头有关．进制也就是进位制，是人们规定的一种进位方法，对于任何一种进制；X进制，就表示某一位置上的数运算时是逢X进一位，十进制是逢十进一，二进制就是逢二进一，十六进制是逢十六进一，以此类作．X进制就是逢X进一．为与十进制进行区分，我们常把用X进制表示的数a写成（a）x． X进制的数转化为十进制数的方法；X进制表示的数（1111）x中，从右边数起，第一位上第三位上的1表示1×X0，第二位上的1的1表示1×X1，第三位上的1表示1×X2，第四位上的1表示表示1×X3，故（1111）x转化为十进制为：（1111）x＝1×X3+1×X2+1×X1+1×X0（规定当X≠0时，X0＝1） 例如：（101）2＝1×22+0×21+1×20＝5，（1023）5＝1×53+0×52+2×51+3×50＝138． 根据材料，完成以下问题： （1）把下列进制表示的数转化为十进制表示的数：（10101）3＝　91　 ，（257）8＝　175　 ； （2）一个四进制三位数（a3b）4与七进制三位数（3ba）7之和能被8整除（1≤a≤3，1≤b≤3．且a，b均为整数），求a的值． 【答案】（1）91，175； （2）1． 【分析】（1）根据进制的定义以及转化方法计算即可； （2）先转化为十进制数，再根据之和能被8整除求解． 【解答】解：（1）根据进制的定义以及转化方法计算可得： ， ； （2）四进制转化为十进制数得： ， 七进制转化为十进制数得： ， ∴（a3b）4+（3ba）7＝17a+8b+159＝17a+8b+8×19+7， ∵（a3b）4+（3ba）7能被8整除， ∴17a+7能被8整除， 当a＝1时，17a+7＝24，能被8整除； 当a＝2时，17a+7＝41，不能被8整除； 当a＝3时，17a+7＝58，不能被8整除； 综上可知，（a3b）4+（3ba）7能被8整除时，a的值是1． 【点评】本题考查了有理数的混合运算、列代数式以及求值、整式的加减，理解题意，从题目中获取信息，列出正确的代数式，再由数的特点求解是解题的关键． 【题型11】乘方运算与整数整除性的关联分析(培优) 1.核心知识点总结 整除性质：①若式子可拆为某数的倍数，则能被该数整除(如能被整除，(n为奇数)能被整除)；②含公共因数的乘方和/差，提取公共因数后判断整除性(如，能被7整除)。 2.高频考点梳理 判断含乘方的式子能否被某数整除(如判断能否被30整除)； 证明含乘方的式子是某数的倍数(如证明能被8整除)。 3.易错点警示 拆项时符号错误(如，误拆为)。 忽略“倍数的倍数仍为倍数”(如式子拆为3×10的倍数，误认为仅能被3整除，实际能被30整除)。 4.解题技巧拆解 步骤1：“统一底数”——将式子中不同底数的乘方化为相同底数(如）； 步骤2：“提取公因式”——提取相同底数的最低次幂，将式子拆为“公因式×（剩余项）”； 步骤3：“判断整除性”——看剩余项是否为目标数的倍数，或公因式与剩余项的乘积是否为目标数的倍数。 【例题11】．（2024-2025•天祝县校级开学）下列各数中，不能被512﹣510整除的是（　　） A．6 B．8 C．16 D．40 【答案】C 【分析】先根据乘方的意义，把512写成510×52，然后提取公因式，把所得结果前面的数分解质因数，根据分解的质因数，找出正确结果即可． 【解答】解：∵512﹣510 ＝510×52﹣510 ＝510×（52﹣1） ＝510×（25﹣1） ＝24×510 ＝4×6×510 ＝3×8×510 ＝3×40×59， ∴512﹣510既是4的倍数，也是6的倍数，也是40的倍数，但不是16的倍数， ∴不能被512﹣510整除的16， 故选：C． 【点评】本题主要考查了有理数的乘方，解题关键是熟练掌握乘方意义和分解质因数． 【变式题11-1】．（2024-2025•方城县月考）梅梅在计算77﹣75时，发现其计算结果能被三个连续整数整除，则这三个整数是（　　） A．7，8，9 B．5，6，7 C．6，7，8 D．4，5，6 【答案】C 【分析】利用有理数的乘方运算法则计算再选择． 【解答】解：77﹣75， ＝49×75﹣75 ＝48×75， 48×75的因数中有6、7、8， 故选：C． 【点评】本题考查了有理数的乘方运算，解题的关键是掌握有理数的乘方运算法则． 【变式题11-2】．（2024-2025•宝安区期末）下列各数中，不能整除512﹣510的是（　　） A．12 B．8 C．6 D．16 【答案】D 【分析】根据有理数乘方的运算法则可知原式等于24×510，从而可选出正确答案． 【解答】解：512﹣510＝510×（52﹣1）＝24×510， 24×510÷12＝2×510，所以A能整除512﹣510； 24×510÷8＝3×510，所以B能整除512﹣510； 24×510÷6＝4×510，所以C能整除512﹣510； 为小数，所以D不能整除512﹣510， 故选：D． 【点评】本题主要考查了有理数的乘方运算．本题的关键是结合法则将已知式子进行化简． 【变式题11-3】．下列数中一定能整除32014﹣4×32013+10×32012的是（　　） A．7 B．8 C．10 D．11 【答案】A 【分析】先将32014﹣4×32013+10×32012整理，结果是7×32012即可． 【解答】解：32014﹣4×32013+10×32012 ＝32×32012﹣4×3×32012+10×32012 ＝32012（9﹣12+10） ＝7×32012； 故选：A． 【点评】本题考查了有理数的乘方，提取公因数是本题的关键． 【题型12】基于乘方的新定义运算规则解读与求解(培优) 1.核心知识点总结 新定义本质：将乘方运算融入自定义规则(如“a☆b=a^2+b^3”“aΔb=(-a)^b-ab”)，需按规则转化为熟悉的乘方、加减、乘除运算。 关键：严格遵循“先翻译规则，再代入计算”的原则，尤其是多层嵌套运算。 2.高频考点梳理 单层新定义计算(如定义“a※b=a^b-b”，求)； 多层嵌套计算(如定义“mΔn=(m^2)^n”，求)。 3.易错点警示 误解新定义的运算顺序(如定义“a#b=a-b^2”，误算为)。 多层嵌套时，先算外层再算内层(应先算最内层括号的新定义运算)。 4.解题技巧拆解 “翻译→代入→计算”三步法：①将新定义符号“※”“Δ”等翻译为具体运算(如“a☆b=a^2+b^3”翻译为“第一个数的平方加第二个数的立方”)；②代入具体数值(注意符号)；③先算乘方，再算加减乘除，多层嵌套从内到外算。 【例题12】．（2024-2025•如东县期末）定义：若正整数a，b，c满足a＝b2﹣c2，则称a为梦想数．例如，15＝82﹣72，40＝72﹣32，则15，40都是梦想数．下列各数中，不是梦想数的是（　　） A．98 B．87 C．76 D．65 【答案】A 【分析】根据新定义，逐一判断即可． 【解答】解：A.98不能写成两数的平方差，故本选项符合题意； B.87＝162﹣132，故本选项不符合题意； C.76＝202﹣182，故本选项不符合题意； D.65＝92﹣42，故本选项不符合题意． 故选：A． 【点评】本题主要考查有理数的乘方，熟练掌握有理数的乘方是解题的关键． 【变式题12-1】．（2024-2025•仪征市期中）如果3m＝n，那么称m为n的“助力数”，记为T（n），由定义可知：T（n）＝m．例如，∵32＝9，∴T（9）＝T（32）＝2．若T（xy）＝18，T（x）＝16，则　﹣14　 ． 【答案】﹣14． 【分析】因为3m＝n，那么称m为n的“助力数”，记为T（n），由定义可知：T（n）＝m，因为T（xy）＝18，T（x）＝16，可得318＝xy，316＝x，求出y＝9，代入可得T（3﹣14）＝﹣14． 【解答】解：因为T（xy）＝18，T（x）＝16， 所以318＝xy，316＝x， 所以y＝318÷316＝9， ＝T（3﹣14） ＝﹣14． 故答案为：﹣14． 【点评】本题考查了有理数的乘方，解决本题的关键是根据“助力数”的定义解决问题． 【变式题12-2】．（2024-2025•龙凤区校级三模）定义：如果ax＝N（a＞0，a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN．例如：因为72＝49，所以log749＝2；因为53＝125，所以1og5125＝3．则下列说法中：①log61＝0；②若log2（14+a）＝4，则a＝﹣6；③log827＝log23；④．正确的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】①②根据对数的定义计算即可； ③设log827＝x，log23＝y，根据对数的定义及幂的乘方与积的乘方的运算法则证明即可； ④设log2x＝a，log2y＝b，根据对数的定义及同底数幂的除法运算法则证明即可． 【解答】解：∵60＝1， ∴log61＝0， ∴①正确，符合题意； ∵log2（14+a）＝4， ∴24＝14+a， ∴a＝2， ∴②不正确，不符合题意； 设log827＝x，log23＝y， 则8x＝27，2y＝3， ∴23x＝（2x）3＝33， ∴2x＝3， ∴2x＝2y， ∴x＝y， ∴log827＝log23， ∴③正确，符合题意； 设log2x＝a，log2y＝b， 则x＝2a，y＝2b， ∴2a﹣b， ∴log2a﹣b， ∴log2log2x﹣log2y， ∴④正确，符合题意． 综上，正确的个数为3，分别是①③④． 故选：C． 【点评】本题考查有理数的乘方，掌握对数的定义及幂的乘方与积的乘方的运算法则、同底数幂的除法运算法则是解题的关键． 【变式题12-3】．（2024-2025•望奎县校级开学）【概念学习】 定义新运算：求若干个相同的非零有理数的商的运算叫做除方．比如，类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2写作2③，读作“2的圈3次方”；（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）写作（﹣3）④，读作“（﹣3）的圈4次方”．一般地，把记作；aⓝ，读作“a的圈n次方”．特别地，规定：a①＝a． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果：2②＝　1　 ，（﹣3）③＝　　 ； （2）关于除方，下列说法错误的是　C　 ． A．任何非零数的圈2次方都等于1； B．对于任何正整数，1的圈n次方都等于1： C．3④＝4③； D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． 【深入思考】 有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 除方→→乘方幂的形式 （3）请把有理数a（a≠0）的圈n（n≥3）次方写成幂的形式：aⓝ＝　　 ； （4）计算：． 【答案】（1）； （2）C； （3）； （4）12． 【分析】（1）根据题意，计算出所求式子的值即可； （2）根据题意，可以分别判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题； （3）根据题意，可以计算出所求式子的值． （4）根据题意，可以计算出所求式子的值． 【解答】解：（1）2②＝2÷2＝1， ； （2）A、∵a②＝a÷a＝1（a≠0），所以任何非零数的圈2次方都等于1，正确； B、∵多少个1相除都等于1，对于任何正整数，1的圈n次方都等于1；正确； C、，故3④≠4③，错误； D、负数的圈奇数次方，相当于奇数个负数相除，则结果是负数，负数的圈偶数次方，相当于偶数个负数相除，则结果是正数．正确； 故选：C； （3）， 故答案为：； （4）原式 ＝﹣4+16 ＝12． 【点评】本题考查含乘方有理数的混合运算、新定义，理解除方的定义是解题关键． 同步练习 选择题答案快对 题号 1 2 3 答案 D D A 一．选择题（共3小题） 1．下面计算结果不相等的是（　　） A．（﹣5）2与52 B．（﹣2）3与﹣23 C．|﹣23|与|﹣2|3 D．﹣52与（﹣5）2 【答案】D 【分析】根据绝对值和乘方的意义化简后即可判断． 【解答】解：A．（﹣5）2＝25，52＝25，故本选项不符合题意； B．（﹣2）3＝﹣8，﹣23＝﹣8，故本选项不符合题意； C．|﹣23|＝8，|﹣2|3＝8，故本选项不符合题意； D．﹣52＝﹣25，（﹣5）2＝25，故本选项符合题意． 故选D． 【点评】本题考查了绝对值，有理数的乘方，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 2．寒假期间，林林窝在家里看《西游记》，电视中“十万天兵对孙悟空兴师问罪”，林林联想到这学期学过的数学知识，提出了如下问题：（1）10万是个自然数，它的作用是什么？（2）10万用科学记数法怎么表示？（3）10万是准确数还是近似数？下列四个选项正确的是（　　） A．测量，10×104，准确数 B．标号，105，准确数 C．排列，105，近似数 D．计数，1×105，近似数 【答案】D 【分析】根据自然数的意义，科学记数法以及近似数与有效数字，掌握然数的意义，科学记数法以及近似数与有效数字的意义进行计算即可． 【解答】解：（1）10万是个自然数，它的作用是计数，（2）10万用科学记数法表示为1×105，（3）10万是近似数， 故选：D． 【点评】本题考查自然数的意义，科学记数法以及近似数与有效数字，掌握自然数的意义，科学记数法以及近似数与有效数字的定义是正确解答关键． 3．下列说法：①一个有理数不是整数就是分数，不是正数就是负数；②﹣a一定是负数；③|a|＝a，则a＞0；④若两个有理数的和小于0，则至少其中有一个加数是负数；⑤若n为正整数，则（﹣1）2n+（﹣1）2n+1＝﹣2．其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据有理数的分类和绝对值的概念，有理数的运算法则，逐个分析即可． 【解答】解：①一个有理数不是整数就是分数，不是正数就是0或负数，故原说法错误； ②当a＜0时，﹣a为正数，故原说法错误； ③|a|＝a，则a≥0，故原说法错误； ④若两个有理数的和小于0，则至少其中有一个加数是负数，正确； ⑤若n为正整数，则（﹣1）2n+（﹣1）2n+1＝1+（﹣1）＝0故原说法错误． ∴正确的有1个， 故选：A． 【点评】本题考查了有理数的分类，绝对值的概念，有理数的运算，解题关键是注意有理数中的0． 二．填空题（共4小题） 4．已知（x+y+3）2+|2x﹣4|＝0，则y＝ 　﹣5　 ． 【答案】﹣5． 【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值即可． 【解答】解：∵（x+y+3）2+|2x﹣4|＝0， ∴x+y+3＝0，2x﹣4＝0， ∴x＝2，y＝﹣5． 故答案为：﹣5． 【点评】本题考查了非负数的性质：掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键． 5．求值：（﹣1）2023×|﹣2|＝　﹣2　 ． 【答案】﹣2． 【分析】根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值的定义求解． 【解答】解：原式＝﹣1＝﹣2． 故答案为：﹣2． 【点评】本题考查有理数的乘法，绝对值，有理数的乘方的概念，解题的关键是熟练掌握相关知识解决问题． 6．数字234610000用科学记数法表示为　2.35×108　 ．（保留三位有效数字） 【答案】2.35×108． 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．有效数字的计算方法是：从左边第一个不是0的数字起，后面所有的数字都是有效数字．用科学记数法表示的数的有效数字只与前面的a有关，与10的多少次方无关． 【解答】解：∵要保留三位有效数字，6需要四舍五入， ∴234610000＝2.3461×108≈2.35×108． 故答案为：2.35×108． 【点评】此题考查科学记数法、有效数字的概念．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．有效数字则是左边第一个不是0的数起到精确到的位数止，只与a有关，取舍时要注意遵循四舍五入的原则． 7．当今大数据时代，“二维码”已被广泛应用于我们的日常生活中．通常，一个“二维码”由1000个大大小小的黑白小方格组成，其中大约80%的小方格专门用做纠错码和其他用途的编码，这相当于1000个方格中只有200个作为数据码．根据相关数学知识，这200个作为数据码的方格可以生成2200个不同的数据二维码，有三个网友对2200的理解如下： JXND（觉醒年代）：2200就是200个2相乘，它是一个非常大的数； YYDS（永远的神）：2200的个位数字是6； QGYW（强国有我）：2200等于2002． 其中对2200的理解错误的网友是　强国有我　 ．（填写网友姓名） 【答案】强国有我． 【分析】根据题意列出算式即可． 【解答】解：2200就是200个2相乘，它是一个非常大的数，21＝1，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32， 200÷4＝50， 则2200的个位数字是6，2200表示200个2相乘， 2002表示2个200相乘． 故答案为：强国有我． 【点评】本题主要考查有理数的乘方，熟练掌握其知识点是解题的关键． 三．解答题（共5小题） 8．计算：． 【答案】见试题解答内容 【分析】分别根据有理数乘方的法则、绝对值的性质计算出各数，再根据实数混合运算的法则是解答此题的关键． 【解答】解：原式＝﹣4+4100 ＝﹣25． 【点评】本题考查的是有理数的乘方，熟知有理数乘方的法则、相反数的定义及绝对值的性质是解答此题的关键． 9．方方与圆圆两位同学计算的过程如下： 方方： ＝﹣16÷（﹣8）×（）① ② ＝﹣16÷1③ ＝﹣16④ 圆圆： ＝（﹣8）÷（﹣6）×（）① ② ＝﹣6③ （1）以上计算过程中，方方开始出错的是第 　②　 步，圆圆开始出错的是第 　①　 步（填序号）； （2）写出你的计算过程． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）由有理数乘方的运算法则，同级运算法则，即可判断； （2）由有理数混合运算的运算法则，即可计算． 【解答】解：（1）方方开始出错的是第②步，圆圆开始出错的是第①步， 故答案为：②，①； （2） ＝﹣16÷（﹣8）×（） ＝2×（） ． 【点评】本题考查有理数的乘方，有理数的乘法、除法，关键是掌握以上运算的运算法则． 10．为响应国家创业号召，小李准备新开一家拉面馆，选址后对这一地区的人流量进行了统计．以500人为标准，超过即为正，低于即为负．一周内同一位置同一时刻的人流表如图． 星期 一 二 三 四 五 六 日 人数 ﹣80 ﹣30 ﹣50 ﹣60 +160 +300 +180 （1）这一周人数最多的一天比人数最少的一天多 　380　 人． （2）若这些人中有30%的人来吃面，按照每人一碗，每碗面14元，则平均每天的销售额是多少？ （3）如图，拉面是将一根较粗的面条先对折成两根，再拉开，然后将两端捏紧，再对折成四根，再拉开，一直重复这个流程．面条的数量会不断增多，也会不断变细，拉面师傅一般重复该流程八次可做一碗拉面，拉面师傅拉完八次后有 　256　 根面． 【答案】（1）380； （2）平均每天的销售额是2352元； （3）256． 【分析】（1）由表格列式计算即可得出答案； （2）先计算出平均每天的游客人数，再根据这些人中有30%的人来吃面，按照每人一碗，每碗面14元，列式计算即可得出答案； （3）根据题意得出第n次捏合后可以拉出2n根，再令n＝8，计算即可得出答案． 【解答】解：（1）由表格可得：这一周人数最多的一天比人数最少的一天多300﹣（﹣80）＝380（人）， 故答案为：380； （2）（﹣80﹣30﹣50﹣60+160+300+180）÷7+500＝560（人） 560×30%×14＝2352（元） 答：平均每天的销售额是2352元． （3）由题意得： 第1次捏合后可以拉出2根， 第2次捏合后可以拉出22＝4根， 第3次捏合后可以拉出23＝8根， 第4次捏合后可以拉出24＝16根， …， 第n次捏合后可以拉出2n根， ∴拉面师傅拉完八次后有28＝256根面． 故答案为：256． 【点评】本题考查了有理数的混合运算的应用，理解题意，正确列式计算是解此题的关键． 11．对于一个正整数n1若存在正整数k，使得n能表示为k和k﹣2的平方差，那么称这个正整数n为k系平方差数．例如：24＝72﹣52，则24为7系平方差数． （1）直接写出8系平方差数； （2）已知M＝（3k﹣2）（3k+2）﹣3k（3k﹣1）+5为k系平方差数，求M的值； （3）已知x、y为正整数（x＞y），且（x+3y）2﹣4（2y2+3）﹣（8xy﹣3）为k系平方差数，请写出x与y之间的数量关系． 【答案】（1）28； （2）16； （3）x﹣y＝5． 【分析】（1）根据k系平方差数的计算方法求解即可； （2）根据k系平方差数的计算方法求解即可； （3）计算（x+3y）2﹣4（2y2+3）﹣（8xy﹣3）＝（x﹣y）2﹣32，则由题意得到（x﹣y）2﹣32＝k2﹣（k﹣2）2，则k﹣2＝3，则k＝5，即可求解． 【解答】解：（1）82﹣62＝28， ∴8系平方差数为28； （2）依题意可知，M＝（3k﹣2）（3k+2）﹣3k（3k﹣1）+5＝k2﹣（k﹣2）2， ∴3k+1＝4k﹣4， 解得k＝5， ∴M＝52﹣32＝16； （3）∵（x+3y）2﹣4（2y2+3）﹣（8xy﹣3）为k系平方差数，且x＞y， ∴（x+3y）2﹣4（2y2+3）﹣（8xy﹣3） ＝x2+6xy+9y2﹣8y2﹣12﹣8xy+3 ＝（x﹣y）2﹣32 ＝k2﹣（k﹣2）2， ∴k﹣2＝3，则k＝5， ∴x﹣y＝5． 【点评】本题主要考查新定义，整式的混合运算，理解新定义的运算方法，掌握整式的混合运算法则是解题的关键． 12．【数学材料】：“对数”是数学中的一个重要概念，通过将对数运算转化为指数运算的逆运算，进而简化了复杂运算，更方便地处理一些数学问题．定义：如果ax＝N（a＞0且a≠1），那么x叫作以a为底的N的对数，记作x＝logaN，其中a叫作对数的底． 【初步运用】： （1）请把下列算式改写成对数的形式：23＝8，对数的形式为 　log28＝3　 ；，对数的形式为 　　 ； （2）若loga27＝3，则a＝ 　3　 ；loga，则a＝ 　　 ； 【理解应用】： （3）若，log4（3x+y﹣1）＝2，若logt（5x+y）＝3，求t的值． 【答案】（1）log28＝3；；（2）3；；（3）t＝3或． 【分析】（1）根据23＝8，，结合新定义可得答案； （2）若loga27＝3，则a3＝27，若，则，据此求解即可； （3）根据新定义可得，42＝3x+y﹣1＝16，据此可得x、y的值，再由logt（5x+y）＝3，得到t3＝5x+y，据此可求出t的值． 【解答】解：（1）根据题意可知，对数的形式为log28＝3， ∵， ∴对数的形式为． 故答案为：log28＝3；； （2）根据题意可知，a3＝27， 解得：a＝3， ， 解得：或（负数舍去）． 故答案为：3；； （3）根据题意可知，， 42＝3x+y﹣1＝16， 解得：或， ∵logt（5x+y）＝3， ∴t3＝5x+y， 当x＝5，y＝2时，t3＝5x+y＝5×5+2＝27， t3＝33， 解得：t＝3； 当x＝﹣4，y＝29时，t3＝5x+y＝5×（﹣4）+29＝9， t3＝9， ； ∴t＝3或． 【点评】本题主要考查了有理数的乘方，掌握有理数的乘方的法则是关键． 学科网（北京）股份有限公司 $