专题06 有理数的乘方与混合运算重难点题型专训（4个知识点+14大题型+4大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年七年级数学上册重难点专题提升精讲精练（华东师大版2024）

专题06 有理数的乘方与混合运算重难点题型专训 （4个知识点+14大题型+4拓展训练+自我检测） 题型一 用科学记数法表示 题型二 有理数幂的相关概念 题型三 求一个数的近似数 题型四 求近似数的精确度 题型五 有理数的乘方运算 题型六 有理数乘方的逆运算 题型七 计算器——有理数 题型八 乘方运算的符号规律 题型九 有理数的四则混合运算 题型十 程序流程图与有理数计算 题型十一 算24点 题型十二 含乘方的有理数混合运算 题型十三 乘方的应用 题型十四 有理数四则混合运算的实际应用 拓展训练一 有理数乘方的规律计算探究 拓展训练二 二进制问题 拓展训练三 幻方问题 拓展训练四 有理数四则混合运算实际应用综合 知识点一：有理数的乘方 1.乘方的概念：一般地，n个相同的因数a相乘，记作，读作a的n次方。 求n个相同因数的积的运算，叫做乘方。 2.乘方的结果叫做幂（power）；在中，a叫做底数（base number），n叫做指数（exponent）。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·福建福州·期中）下列算式表示的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·四川宜宾·期中）若，则 ． 知识点二：有理数的混合运算 1.有理数混合运算法则：①先算乘方,再算乘除,最后算加减。 ②如果有括号,先算括号里面的。 2.混合运算顺序：· 先算乘方，再乘除，后加减； · 同级运算，从左到右进行； · 如有括号，先算括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。 【即时训练】 1．（2025·河北邢台·模拟预测）墨迹覆盖了等式“”中的运算符号，则覆盖的是（    ） A．＋ B．－ C．－或× D．＋或÷ 2．（24-25七年级上·湖北襄阳·期中）定义一种新运算：，则 ． 知识点三： 科学计数法 （1）把一个大于10的数记成的形式，其中a是整数数位只有一位的数（即），n是正整数，这样的记数方法叫科学记数法。 （2）把还原成原数时，只需把a的小数点往前移动n位。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·广东惠州·期中）去年我国城镇新增就业一千三百万人以上，将1300万人用科学记数法表示为（   ） A．人 B．人 C．人 D．人 2．（2025·湖南岳阳·模拟预测）人工智能分析平台最新发布的报告称，成为全球增长最快的工具，年月，其访问量达亿次．数据用科学记数法表示为 ． 知识点四： 近似数 1、近似数概念：在实际问题中，由“四舍五入”得到的数或大约估计的数都是近似数。（近似数小数点后的末位数是0的，不能去掉0.） 2、有效数字概念：一个近似数从左边第一位非0的数字起，到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字。一个近似数有几个有效数字，就称这个近似数保留几个有效数字。 3、精确度：表示一个近似数与准确数的接近程度，一个近似数，四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）0.730精确到（   ）． A．十分位 B．百分位 C．千分位 D．万分位 2．（2025·湖南张家界·模拟预测）圆周率精确到， ；精确到万分位， ． 【经典例题一 用科学记数法表示】 【例1】（24-25七年级上·河南周口·阶段练习）截至目前中国森林面积达到公顷，森林覆盖率为，人工林面积居世界首位，其中数字用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 1．（2025·河南新乡·模拟预测）据统计，2024年我国新能源汽车的产量为1316万辆，比上年增长，其中1316万用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·四川眉山·课后作业）你知道吗？我们赖以生存的美丽地球是一个近似于圆形的球体，它的半径长约千米．如果让你做一次旅行，沿着轨道乘“天宫一号”20天走完等于地球半径长的路程，则“天宫一号”平均每天要飞行 千米．（结果用科学记数法表示） 3．（24-25七年级上·河南周口·期中）现需要将长为，宽为，高为的大理石运往某地修建革命历史博物馆． (1)求每块大理石的体积．（结果用科学记数法表示） (2)如果一列火车总共运送了2000块大理石，每块大理石约重3500千克，估计这列火车总共运送了多少吨大理石． 【经典例题二 有理数幂的相关概念】 【例2】（24-25七年级上·山西临汾·期末）（    ） A． B． C． D． 1．（2025七年级上·河北·专题练习）我们知道相同加数可以写成乘法，如：，这样可以给我们解决问题带来方便．其实相同因数的乘法也可以写成乘方的形式，如，那么根据上述提示计算（ ） A．3 B．6 C．9 D．27 2．（24-25七年级上·江西宜春·阶段练习） 的底数是 指数是 表示 ． 3．（24-25七年级上·四川眉山·阶段练习）把下列各式写成乘方的形式，并指出底数、指数各是什么． (1) (2) (3) 【经典例题三 求一个数的近似数】 【例3】（24-25七年级上·广西南宁·期中）精确到百分位的近似数是（    ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·四川乐山·阶段练习）第七次四川眉山人口普查数据显示，江苏省常住人口约为8474.8万人，将84748000用科学记数法（精确到十万位）表示为 （  ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·山东枣庄·阶段练习）截止到2021年10月，我国注册志愿者达到217000000人次．把横线上的数改写成用“亿”作单位的数是 亿，保留一位小数约是 亿． 3．（2025七年级上·四川内江·专题练习）小亮：把按四舍五入法近似到千位，得．小明：把按四舍五入法近似到千位，可以先将按四舍五入法近似到百位，得到，接着再把按四舍五入法近似到千位，得到，你认为谁的说法正确？请说明你的理由． 【经典例题四 求近似数的精确度】 【例4】（24-25七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）下列近似数中，说法正确的是（   ） A．0.2与0.20精确度相同 B．精确到了十万位 C．精确到了十分位 D．1.2万精确到了万位 1．（2025七年级上·云南·专题练习）下列关于近似数的说法： ①近似数精确到十分位； ②近似数万精确到； ③近似数和近似数的精确度相同． 其中正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．（24-25七年级上·四川宜宾·阶段练习）圆周率，如果取近似数3.14，它精确到 位，有 个有效数字；如果取近似数3.1415926，它精确到 位，有 个有效数字． 3．（2025七年级上·江苏·专题练习）下面是博物馆内的一段对话： 馆员：这个化石距今已有600002年了； 参观者：先生，您怎么知道的这么确切呢？ 馆员：两年前有一个考古学家来这里说这个化石有60万年的历史了，现在过去两年了，不正是600002年吗？ 你是否同意这位馆员的说法，请说明理由． 【经典例题五 有理数的乘方运算】 【例5】（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）下列式子中，正确的是（   ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·山东德州·期末）我们常用的十进制，如：，表示十进制的数要用10个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．在计算机中用的是二进制，只有两个数码：0，1，如：二进制中．相当于十进制中的7，又如：．相当于十进制中的27．那么十进制中的25相当于二进制中的（   ） A．10011 B．11001 C．11010 D．11101 2．（24-25七年级上·福建厦门·期中）计算或化简： （1） ；（2） ；（3） ； （4） ；（5） ；（6） ； （7） ；（8） ． 3．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）阅读并解决下列问题： (1)验证：_______，_______． (2)猜想_______，_______，_______……（用“>”或“<”或“=”填空） (3)通过验证，归纳得出：_______，_______． (4)请应用上述性质计算：． 【经典例题六 有理数乘方的逆运算】 【例6】（24-25七年级上·四川内江·阶段练习）等于（    ） A． B．8 C．0.125 D． 1．（24-25七年级上·山东德州·阶段练习）计算的值是（        ） A． B． C．0 D． 2．（24-25七年级上·四川眉山·单元测试）如果，那么 ． 3．（24-25七年级上·云南昭通·阶段练习）阅读下列各式：，，，… 解答下列问题： (1)写出 ，猜想： ． (2)计算：． 【经典例题七 计算器——有理数】 【例7】（24-25七年级上·山东潍坊·期中）用我们数学课本上的科学计算器进行计算，当按键顺序如下时计算结果为(    ) A． B． C． D． 1．（2025七年级上·四川眉山·专题练习）如图，某计算器中三个按键，以下是这三个按键的功能： ：将荧幕显示的数变成它的算术平方根； ：将荧幕显示的数变成它的倒数； ：将荧幕显示的数变成它的平方． 小明输入一个数据后，按照如图步骤操作，依次按照从第一步到第三步循环按键． 若一开始输入的数据为10，则第2019步后，显示的结果是（    ） A． B．10 C． D． 2．（24-25七年级上·四川资阳·期中）计算器上的三个按键、、的功能分别是：将屏幕显示的数变成它的平方；将屏幕显示的数变成它的倒数；将屏幕显示的数变成它的算术平方根．小蕊输入一个数后，依次按照如下图所示的三步循环重复按键，则第2023次按键后，显示的结果是 ．    3．（2025七年级上·四川眉山·专题练习）用计算器求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 【经典例题八 乘方运算的符号规律】 【例8】（24-25七年级上·四川眉山·课堂例题）有下列各数：①；②；③；④，其中结果等于的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 1．（24-25七年级上·四川遂宁·期中）a，b互为相反数，，n为自然数，则下列叙述正确的有（    ）个 ①互为相反数                ②互为相反数 ③互为相反数               ④互为相反数 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25七年级上·甘肃白银·期中）观察下列算式：根据上述算式中的规律，你认为的末位数字是 ． 3．（24-25七年级上·辽宁沈阳·单元测试）记，……，（n个相乘，其中n为正整数）． (1)计算； (2)求的值； (3)证明：． 【经典例题九 有理数的四则混合运算】 【例9】（24-25七年级上·浙江温州·阶段练习）将下列运算符号填入算式的“”中，使运算结果最小的是（   ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）通过多次举例验证，发现取一个自然数，若它是奇数，则乘以3加上1，若它是偶数，则除以2，按此规则经过若干步的计算最终可得到1．例如：取自然数5．经过下面5步运算可得1，即：．如果自然数m恰好经过7步运算可得到1，则所有符合条件的m的值有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2．（24-25七年级上·四川巴中·期中）有两组数，第一组：，，，，；第二组：，，，．从第一组数中任取一个数与第二组数中任取一个数相乘，则所有乘积的总和是 ． 3．（24-25七年级上·四川眉山·阶段练习）计算下面各题． ① ② 【经典例题十 程序流程图与有理数计算】 【例10】（24-25七年级上·湖南张家界·期中）根据如图所示的程序计算，若输入x的值为0，则输出的值为（   ） A． B．2 C．6 D．70 1．（24-25七年级上·河北沧州·期中）按照如图所示的计算机程序计算，若开始输入的x值为2，第一次得到的结果为1，第二次得到的结果为4，…，第10次得到的结果为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25七年级上·河北邯郸·期中）如图是一个数学游戏活动，A，B，C，D分别代表一种运算，运算结果随着运算顺序的变化而变化．（每次游戏都涉及A，B，C，D四种运算各一次） （1）4经过的顺序运算后，结果是 ； （2）经过→D的顺序运算后，结果是，则被遮挡部分的运算顺序应是 ． 3．（24-25七年级上·四川遂宁·期中）根据下边的流程图回答下列问题：    (1)输入后，求输出结果是多少？ (2)如果输出的结果是，请你推测输入的数可能是哪些？直接写出这些数． 【经典例题十一 算24点】 【例11】（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）下面各组数中，不能通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24的是（　　） A．1，1，7，7 B．2，2，8，8 C．1，1，2，8 D．1，1，4，6 1．（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）“算24点”的游戏规则是：用“，，，”…四种运算符号把给出的4个数字连接起来进行计算，要求最终算出的结果是24，例如，给出2，2，2，8这四个数， 可以列式．以下的4个数用“，，，”四种运算符号不能算出结果为24的是（  ） A．1，6，8，7 B．1，2，3，4 C．4，4，10，10 D．6，3，3，8 2．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）“算24”是我国民间传统的益智游戏，游戏规则为：随机给出四个数，每个数必用且仅能用一次，只利用“加号、减号、乘号、除号”（可以重复使用）及括号（含小括号、中括号）连接，使得四个数的运算结果等于24．如：给出1、2、3、4四个数，则得到24的式子可以是：． 现给出“3、3、8、8”四个数，则得到24的式子可以是 ． 3．（24-25七年级上·广东佛山·期中）24点游戏是一种使用扑克牌来进行的益智类游戏，游戏内容是：从一副扑克牌（去掉大王、小王剩下52张）中任意抽取4张牌，把牌面上的数字进行混合运算，使得运算结果为24．每张牌必须用一次且只能用一次，可以加括号．其中♥，♦表示正，♣，♠表示负，分别代表1，11，12，13． （1）在玩“24点”游戏时，小明抽到图1的4张牌，请你帮他写出2个运算结果为24的算式：______，______； （2）在玩“24点”游戏时，小刚抽到图2的4张牌，请你帮他写出1个运算结果为24的算式：______． 【经典例题十二 含乘方的有理数混合运算】 【例12】 （24-25七年级上·江苏淮安·期末）我们把记作，记作，那么计算的结果为（    ） A．1 B．3 C． D． 1．（24-25七年级上·河南南阳·期中）要使算式的计算结果最大，在□里填入的运算符号应是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·山东济宁·期中）阅读下列例题： 计算：． 解：设，① 那么．② ②－①，得．所以原式． 仿照上面的例题计算： ． 3．（24-25七年级上·四川眉山·随堂练习）嘉嘉和琪琪用如图所示的A，B，C，D四张带有运算的卡片，做一个“我说你算”的数学游戏，规则如下：嘉嘉说一个数，并对这个数按这四张带有运算的卡片排列出一个运算顺序，然后琪琪根据这个运算顺序列式计算，并说出计算结果．例如，嘉嘉说2，对2按的顺序运算，则琪琪列式计算得：．嘉嘉说，对按的顺序运算，请列式并计算结果． 【经典例题十三 乘方的应用】 【例13】（24-25七年级上·山东青岛·期末）如图，某种卷筒纸的外直径为，内直径为，每层纸的厚度为．假如把这筒纸全部拉开，那么这筒纸的总长度大约是（π取3.14）（   ） A．3140米 B．31.4米 C．6280米 D．62.8米 1．（24-25七年级上·浙江·期中）任意大于1的正整数m的三次幂均可“分裂”成m个连续奇数的和，如：，，．……仿此，若的“分裂数”中有一个是271，则（    ） A．15 B．16 C．17 D．18 2．（24-25七年级上·四川宜宾·期中）观察下列等式：，，，，，，，，根据上述算式中的规律，你认为的末位数字是 ． 3．（24-25七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图是某种细胞分裂示意图，这种细胞每经过30分钟便由1个分裂成3个．根据此规律，通过计算解决以下问题：    (1)这样的一个细胞经过2小时后可分裂成多少个细胞？ (2)这样的一个细胞经过多少小时后可分裂成6561个细胞？ 【经典例题十四 有理数四则混合运算的实际应用】 【例14】（24-25七年级上·四川攀枝花·期末）小杰同学在本学期学习了有关“低碳生活”的内容后，查阅资料得到数据：一个普通快递包装约排放出200二氧化碳，一盆绿萝每天约吸收0.15二氧化碳．若要将一个快递包装排放出来的二氧化碳在一天内全部被吸收，至少需要绿萝（    ） A．1332盆 B．1333盆 C．1334盆 D．1335盆 1．（24-25七年级上·四川内江·期末）科学家针对蟋蟀鸣叫的次数与室外温度的数量关系进行了研究，记录如下： 蟋蟀每分钟鸣叫的次数次 温度 若室外温度为，依据表格中的数量关系，可以得出蟋蟀每分钟鸣叫的次数是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）课外兴趣小组要制作一批卡通图片，如果每天做30个，则要比计划晚12天完成，如果每天做40个，就可以提前4天完成，那么这批卡通图片共有 个． 3．（24-25七年级上·四川宜宾·期中）如图，小明家在点，学校在点，中间有道路相连，线段上的点，代表十字路口（十字路口处道路的长度忽略不计）．已知：，，；，两个路口都有红绿灯，对于方向的车辆和行人，每天早上、、、的时间段内，两个路口都是绿灯，其它时间段都是红灯；小明每天早上准时从家出发，不晚于到达学校；为确保安全，他的骑行速度不超过，并且只在绿灯时通过路口（如果到达路口时恰好遇到红灯变绿灯或绿灯变红灯，也可以立即通过路口）． (1)若小明的骑行速度保持为，他将在_____（填时刻）到达学校； (2)若小明骑行过程中不遇到红灯，并且骑行速度始终不变，那么他的骑行速度最大可以是_____，最小可以是_____． 【拓展训练一 有理数乘方的规律计算探究】 1．（24-25七年级上·安徽六安·期中）观察等式：①；②；③；… (1)按规律写出：______； (2)求．（结果保留幂的形式） 2．（24-25七年级上·四川眉山·课堂例题）求出下列各组中两个算式的值，找出两个算式之间的关系． （1）与； （2）与； （3）与； （4）与． 利用所得规律计算：． 3．（24-25七年级上·四川眉山·课后作业）（1）填空：________，________，________； （2）根据上题的规律猜想：当底数的小数点向右移动一位时，其平方的小数点怎样移动？ （3）利用上述规律，解答下列各题： 如果，那么________； 如果，那么________． 【拓展训练二 二进制问题】 1．（24-25七年级上·云南文山·阶段练习）用十进制记数法表示正整数，如：，用二进制记数法来表示正整数，如： ，记作：； ，记作：； 又如：，记作：． 观察规律，解答下列问题： (1)用二进制来表示十进制中的数15 (2)二进制中的数10101等于十进制中的哪一个数？ 2．（24-25七年级上·甘肃陇南·期中）生活中常用的十进制是用这十个数字来表示数，满十进一，例：；计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一，例：二进制数10000转化为十进制数：； 其他进制也有类似的算法…… (1)根据以上信息，将二进制数“101110”转化为十进制数是________； (2)在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示表示的五进制数为132，求孩子已经出生的天数． 3．（24-25七年级上·北京·期中）一所学校的学生编号构造为“毕业年份班级学号”，例如“20262919”就为2026届29班19号同学 为方便记录学生作业完成情况，编程社团的小李同学设计了一种识别码，如图1，这种识别码由的正方形网格构造，我们规定第行第列的正方形网格所代表的数据记为，每列编译后为代表信息，第行都代表相同的二进制数位． 每个网格有两种状态，分别为1和0，分别代表当前网格的二进制数位数字．如图2，第1列所代表的数据就计算为 如果学生编号中，毕业年份的前两位为“20”．如图2，第1、2列分别代表的是毕业年份的后两位数字，第3列代表的是班级，第4、5列分别代表学号的两位数字．那么根据这种计算方法，完成下列各题： (1)请计算出图2所代表的学生编号： ． (2)请在图1填写出学生编号为20251406的识别码图象． (3)这种编号系统一直适用吗？请说明理由． 【拓展训练三 幻方问题】 1．（24-25七年级上·四川绵阳·期末）幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”中，把“洛书”用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方．请你探究如图洛书三阶幻方中，奇数和偶数的位置、数和数之间的数量关系所呈现的规律，根据这一规律，求出，，则（    ） A．16 B．8 C． D． 2．（24-25七年级上·广东广州·期末）一般地，将连续的正整数，，…，填入个方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，就形成了一个阶幻方（如图是阶幻方的一种情况）．记阶幻方每行的数的和为，易知，那么 ． 4 9 2 3 5 7 8 1 6 3．（24-25七年级上·重庆·期中）填幻方：有人建议向火星发射如图1所示的图案，它叫做幻方，其9个方格中的点数分别是1，2，3，4，5，6，7，8，9．每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的点数的和都相等．如果火星上有智慧生物，那么他们可以从这种“数学语言”了解到地球上也有智慧生物（人）． (1)如图1，每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的点数的和都是_____； (2)请把，1，7，10，13，16，19填入图2剩余方格中，使其构成一个幻方； 拓展延伸： (3)如图3，在一个由9个圆圈组成的三角形里，把分别填入圆圈中，要求三角形的每条边上的4个数的和都相等．请填出使的值最大时的一种情形，并直接写出的最大值和最小值． 【拓展训练四 有理数四则混合运算实际应用综合】 1．（24-25七年级上·四川遂宁·阶段练习）龟兔赛跑，全程1800米．乌龟每分钟爬15米，兔子每分钟跑400米．发令枪响后，兔子一会儿就把乌龟远远地甩在后面，骄傲的兔子自以为跑得快，在途中美美地睡了一觉，结果乌龟到达终点时，兔子离终点还有200米．兔子在途中睡了多少分钟？ 2．（24-25七年级上·广西南宁·期末）某水果店进货7箱水果，以每箱为质量标准，超过的千克数记作正数不足的千克数记作负数，称重后的记录（单位：）如下: 第1箱 第2箱 第3箱 第4箱 第5箱 第6箱 第7箱 0 0.1 0.2 0.4 0.2 (1)根据记录，7箱水果中最重的是第__________箱，最轻的是第__________箱； (2)请你算出这7箱水果一共多少千克． 3．（24-25七年级上·四川乐山·期末）我们知道，一年四季中白昼时长和正午时刻都不是固定不变的．不同地点每天日出、日落的时刻各不相同，白昼时长是指从日出到日落的时间长度．理论上，一个地区日出、日落相对于当天的正午时刻应该是对称的，于是我们就能得到一个简单的白昼时长计算公式∶白昼时长=（正午时刻－日出时刻） （日落时刻－正午时刻）． 表1是2025年5月23日南平市四个县市的日出时刻与日落时刻 表1 县市 延平 建阳 邵武 浦城 日出时刻 日落时刻 白昼时长 13小时37分 表2 日出时间 日落时间 6月21日（夏至） 12月21日（冬至） (1)分别求出延平、邵武、浦城这一天的白昼时长，并按表格样式填入上表； (2)求延平区这一天的正午时刻； (3)表2是南平市某年冬至与夏至的日出与日落时刻，求夏至与冬至当天白昼时长的差． 1．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）的意义是（    ） A．乘以3 B．的相反数 C．3个相乘 D．3个相加 2．（2025·河北唐山·模拟预测）若，则n的值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．9 3．（24-25七年级上·四川眉山·课后作业）若，则（    ） A． B． C．6 D． 4．（24-25七年级上·甘肃庆阳·期末）定义一种对正整数n的“F运算”：①当n为奇数时，结果为；②当n为偶数时，结果为（其中k是使此次结果为奇数的正整数），并且运算可以重复进行．例如，取时，运算过程如图．若，则第2024次“F运算”后的结果是（   ） A．16 B．4 C．1 D．5 5．（2025·湖北随州·模拟预测）古巴比伦的记数法是六十进制的，用表示1，用表示10，这两种符号能表示1～59的数字，例如，32可以用表示．从60起，开始使用符号组，从右往左依次是个位、六十位、三千六百位…（每一位的数值都是上一位的60倍），例如，的个位表示23个1，六十位表示2个60，所以这个符号表示143.则下列表示3812的符号是（    ） A．   B．   C．   D．    6．（24-25七年级上·江西南昌·阶段练习）月球距离地球的平均距离为384000千米，数据384000用科学记数法表示为 ． 7．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若，，则的值为 ． 8．（24-25七年级上·湖南永州·阶段练习）用“◎”表示一种运算，对于任意数m，n都有．例如：．则 ． 9．（24-25七年级上·四川眉山·随堂练习）用十进制计数法表示正整数，如，用二进制计数法来表示正整数，如：，记作：，记作：，则表示数 ． 10．（24-25七年级上·河北邢台·阶段练习）某面粉厂生产一种面粉，每袋以为标准质量，现抽检5袋面粉的质量，其与标准质量的差值情况如下表所示：（超过记为“”，不足记为“”） 袋数 1 2 3 4 5 差值 0 这5袋面粉的平均质量是 ． 11．（24-25七年级上·四川眉山·随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4) 12．（24-25七年级上·四川眉山·课后作业）用四舍五入法，把下列各数按括号内的要求取近似值． （1）0.2595（精确到千分位）；      （2）3.592（精确到0.01）； （3）20049（精确到百位）；         （4）2330万（精确到百万位）． 13．（24-25七年级上·宁夏银川·期中）在学习了有理数的混合运算后，小明玩“点”游戏．游戏规则：从一副扑克牌去掉大、小王中任意抽取张，根据牌面上的数字进行加、减、乘、除、乘方混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次，可以加括号），使得运算结果为或．其中黑色扑克牌代表正数，红色扑克牌代表负数，，，，分别代表，，．小明抽到的四张牌分别是黑桃，黑桃，红桃2，红桃8，可以列出运算结果为的算式是 ．（写出一个即可） 14．（24-25七年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）观察下面三行数： 2，，8，，32，，…；① 0，，6，，30，，…；② ，2，，8，，32，…；③ 观察发现：每一行的数都是按一定的规律排列的．通过你发现的规律，解决下列问题． (1)第①行的第8个数是__________，第n个数是__________； (2)第②行的第n个数是__________； (3)取每行数的第10个数，计算这三个数的和． 15．（24-25七年级上·四川简阳·期末）阅读下列材料，回答问题． 小丽计划游玩十里蓝山的4个景点，这4个景点之间的路线如图1所示．景区内有一班观光车匀速在花海和雨林漂流之间来回载客． 小丽在游玩花海后，乘坐观光车前往彩虹滑道，在彩虹滑道游玩40分钟，接着乘坐观光车到欢乐谷，在欢乐谷游玩60分钟．图2呈现的是从开始，小丽和观光车离花海的路程（米）与时间（分）的情况（乘客上下车时间忽略不计）． 如果小丽需在之前返回花海，并且想在雨林漂流尽可能游玩更多时间，她接下来的游玩方案如下： 在欢乐谷乘坐 ① （时间点）的观光车前往雨林漂流， 在雨林漂流最多游玩 ② 分钟，再乘坐观光车直接回到花海． (1)这辆观光车的速度是多少？ (2)补全①②所缺的内容，并写出①的解答过程． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 有理数的乘方与混合运算重难点题型专训 （4个知识点+14大题型+4拓展训练+自我检测） 题型一 用科学记数法表示 题型二 有理数幂的相关概念 题型三 求一个数的近似数 题型四 求近似数的精确度 题型五 有理数的乘方运算 题型六 有理数乘方的逆运算 题型七 计算器——有理数 题型八 乘方运算的符号规律 题型九 有理数的四则混合运算 题型十 程序流程图与有理数计算 题型十一 算24点 题型十二 含乘方的有理数混合运算 题型十三 乘方的应用 题型十四 有理数四则混合运算的实际应用 拓展训练一 有理数乘方的规律计算探究 拓展训练二 二进制问题 拓展训练三 幻方问题 拓展训练四 有理数四则混合运算实际应用综合 知识点一：有理数的乘方 1.乘方的概念：一般地，n个相同的因数a相乘，记作，读作a的n次方。 求n个相同因数的积的运算，叫做乘方。 2.乘方的结果叫做幂（power）；在中，a叫做底数（base number），n叫做指数（exponent）。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·福建福州·期中）下列算式表示的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘方：求个相同因数的积的运算，叫做乘方，熟练掌握有理数乘方的定义是解题关键．根据有理数乘方的定义求解即可得． 【详解】解：， 故选：D． 2．（24-25七年级上·四川宜宾·期中）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘方计算，掌握运算法则是解题的关键．根据有理数的乘方计算即可． 【详解】解：， ∵7和的平方等于49， ∴， 故答案为：． 知识点二：有理数的混合运算 1.有理数混合运算法则：①先算乘方,再算乘除,最后算加减。 ②如果有括号,先算括号里面的。 2.混合运算顺序：· 先算乘方，再乘除，后加减； · 同级运算，从左到右进行； · 如有括号，先算括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。 【即时训练】 1．（2025·河北邢台·模拟预测）墨迹覆盖了等式“”中的运算符号，则覆盖的是（    ） A．＋ B．－ C．－或× D．＋或÷ 【答案】D 【分析】把选项中的运算符号代入等式，左右两边的值相等即可． 【详解】解：A选项中，，左右两边的值相等，A选项正确； B选项中，，左右两边的值不相等，B选项错误； C选项中，，，左右两边的值不相等，C选项错误； D选项中，，，左右两边的值相等，D选项正确； 所以覆盖的是D选项， 故选：D． 【点睛】本题主要考查的是有理数的运算法则，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． 2．（24-25七年级上·湖北襄阳·期中）定义一种新运算：，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查的是自定义运算，理解自定义运算的运算法则是解本题的关键，根据自定义运算列式为，再计算即可. 【详解】解：∵， ∴； 故答案为： 知识点三： 科学计数法 （1）把一个大于10的数记成的形式，其中a是整数数位只有一位的数（即），n是正整数，这样的记数方法叫科学记数法。 （2）把还原成原数时，只需把a的小数点往前移动n位。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·广东惠州·期中）去年我国城镇新增就业一千三百万人以上，将1300万人用科学记数法表示为（   ） A．人 B．人 C．人 D．人 【答案】B 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：1300万人人人， 故选：B． 2．（2025·湖南岳阳·模拟预测）人工智能分析平台最新发布的报告称，成为全球增长最快的工具，年月，其访问量达亿次．数据用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了科学记数法，根据科学记数法：（，为整数），先确定的值，再根据小数点移动的数位确定的值即可，根据科学记数法确定和的值是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 知识点四： 近似数 1、近似数概念：在实际问题中，由“四舍五入”得到的数或大约估计的数都是近似数。（近似数小数点后的末位数是0的，不能去掉0.） 2、有效数字概念：一个近似数从左边第一位非0的数字起，到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字。一个近似数有几个有效数字，就称这个近似数保留几个有效数字。 3、精确度：表示一个近似数与准确数的接近程度，一个近似数，四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）0.730精确到（   ）． A．十分位 B．百分位 C．千分位 D．万分位 【答案】C 【分析】本题主要考查了近似数，根据近似数的精确方法，进行判断即可，熟练掌握确定精确度时认清末尾数字所在的数位是解决此题的关键． 【详解】解：∵0.730的最末位所在的位置是千分位， ∴0.730精确到千分位， 故选：C ． 2．（2025·湖南张家界·模拟预测）圆周率精确到， ；精确到万分位， ． 【答案】 【分析】本题考查了近似数，熟练掌握四舍五入法是解题的关键； 根据四舍五入法，精确到即把万分位上的数字进行四舍五入，精确到万分位，即把小数点后第5位为进行四舍五入求解即可． 【详解】解：圆周率，精确到，；精确到万分位， 故答案为：，． 【经典例题一 用科学记数法表示】 【例1】（24-25七年级上·河南周口·阶段练习）截至目前中国森林面积达到公顷，森林覆盖率为，人工林面积居世界首位，其中数字用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查科学记数法，确定a的值以及n的值是解决问题的关键．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数． 【详解】解：． 故选：C． 1．（2025·河南新乡·模拟预测）据统计，2024年我国新能源汽车的产量为1316万辆，比上年增长，其中1316万用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了科学记数法，将数据表示成形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a、n的值是解题的关键． 将1316万写成其中，n为整数的形式即可． 【详解】解：1316万． 故选C． 2．（24-25七年级上·四川眉山·课后作业）你知道吗？我们赖以生存的美丽地球是一个近似于圆形的球体，它的半径长约千米．如果让你做一次旅行，沿着轨道乘“天宫一号”20天走完等于地球半径长的路程，则“天宫一号”平均每天要飞行 千米．（结果用科学记数法表示） 【答案】 【分析】用半径除以时间，得出“天宫一号”平均每天要飞行距离，再用用科学记数法表示即可． 【详解】解：千米千米， ∴“天宫一号”平均每天要飞行距离（千米）， 7480000用科学记数法表示为：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了用科学记数法表示绝对值大于1的数，解题的关键是掌握用科学记数法表示绝对值大于1的数的方法：将原数化为的形式，其中，n为整数，n的值等于把原数变为a时小数点移动的位数． 3．（24-25七年级上·河南周口·期中）现需要将长为，宽为，高为的大理石运往某地修建革命历史博物馆． (1)求每块大理石的体积．（结果用科学记数法表示） (2)如果一列火车总共运送了2000块大理石，每块大理石约重3500千克，估计这列火车总共运送了多少吨大理石． 【答案】(1) (2)7000吨 【分析】本题主要考查了长方体的体积公式，科学记数法的表示方法，及同底数的幂的乘法．解题的关键是明确同底数幂的乘法和除法的运算法则． （1）根据长方体的体积=长×宽×高，先求出它的体积，再用科学记数法表示．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数； （2）根据总重量÷大理石块数=每块大理石的重量列出代数式即可． 【详解】（1）根据题意．得每块大理石的体积， 答：每块大理石的体积为． （2）根据题意，得（千克）（吨） 答：这列火车总共运选了约7000吨大理石． 【经典例题二 有理数幂的相关概念】 【例2】（24-25七年级上·山西临汾·期末）（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数的运算，分别根据乘方和乘法的意义求解．找到变化规律是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：B． 1．（2025七年级上·河北·专题练习）我们知道相同加数可以写成乘法，如：，这样可以给我们解决问题带来方便．其实相同因数的乘法也可以写成乘方的形式，如，那么根据上述提示计算（ ） A．3 B．6 C．9 D．27 【答案】D 【分析】本题主要考查了乘方，表示个相乘，展开就是，一共有个相乘，所以，根据乘法法则计算即可． 【详解】解：. 故选：D. 2．（24-25七年级上·江西宜春·阶段练习） 的底数是 指数是 表示 ． 【答案】 2 3 2的3次方的相反数/的相反数 【分析】根据乘方的定义，中，是底数，是指数，是幂． 【详解】解：根据乘方的概念，则的底数是，指数是，表示2的3次方的相反数． 故答案为；；2的3次方的相反数． 【点睛】此题考查了有理数的乘方的概念，注意和的区别，前者底数是，后者底数是，正确区分乘方运算的底数是解题的关键． 3．（24-25七年级上·四川眉山·阶段练习）把下列各式写成乘方的形式，并指出底数、指数各是什么． (1) (2) (3) 【答案】(1)底数是，指数是3 (2)底数是，指数是4 (3)底数是m，指数是 【分析】本题主要考查了乘方的意义，解题的关键是掌握乘方是一种特殊的乘法运算，幂是乘方的结果，当底数是负数或分数时，要先用括号将底数括起来再写指数．表示n个a相乘． （1）首先化成幂的形式，再指出底数和指数各是什么即可； （2）首先化成幂的形式，再指出底数和指数各是什么即可； （3）首先化成幂的形式，再指出底数和指数各是什么即可． 【详解】（1）解：，底数是，指数是3． （2）解：，底数是，指数是4． （3）解：，底数是m，指数是． 【经典例题三 求一个数的近似数】 【例3】（24-25七年级上·广西南宁·期中）精确到百分位的近似数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了近似数和有效数字，利用四舍五入法解答是解题的关键． 利用四舍五入法将精确到百分位得到，即可得到答案． 【详解】解：精确到百分位的近似数是， 故选：D． 1．（24-25七年级上·四川乐山·阶段练习）第七次四川眉山人口普查数据显示，江苏省常住人口约为8474.8万人，将84748000用科学记数法（精确到十万位）表示为 （  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数． 【详解】解：． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值． 2．（24-25七年级上·山东枣庄·阶段练习）截止到2021年10月，我国注册志愿者达到217000000人次．把横线上的数改写成用“亿”作单位的数是 亿，保留一位小数约是 亿． 【答案】 2.17 2.2 【分析】改用“亿”作单位的数，就是在亿位数的右下角点上小数点，然后把小数末尾的0去掉再在数的后面写上“亿”字；保留一位小数，就是把百分位上的数进行四舍五入，据此解答． 【详解】解：亿， 2.17亿保留一位有效数字2.2亿， 故答案为：2.17；2.2． 【点睛】本题主要考查整数的改写和求近似数，注意改写和求近似数时要带计数单位． 3．（2025七年级上·四川内江·专题练习）小亮：把按四舍五入法近似到千位，得．小明：把按四舍五入法近似到千位，可以先将按四舍五入法近似到百位，得到，接着再把按四舍五入法近似到千位，得到，你认为谁的说法正确？请说明你的理由． 【答案】小亮的说法正确，理由见解析 【分析】本题考查了近似数，科学记数法，要精确到千位就是科学记数法的标准形式中的末尾数字所在的位置是原数的千位，然后根据四舍五入的原理进行取舍即可求解，掌握科学记数法中的近似数的取值是解题的关键． 【详解】解：小亮的说法正确．理由如下： 把按四舍五入法近似到千位，应该保留到千位，百位后面的舍去，得，所以小亮的说法正确； 而小明先将按四舍五入法近似到百位再按四舍五入法近似到千位是不对的， 故小亮的说法正确． 【经典例题四 求近似数的精确度】 【例4】（24-25七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）下列近似数中，说法正确的是（   ） A．0.2与0.20精确度相同 B．精确到了十万位 C．精确到了十分位 D．1.2万精确到了万位 【答案】B 【分析】本题考查近似数的精确度判断，需根据各选项还原数值并确定其最后一位有效数字所在的数位；根据题目要求逐项判断即可． 【详解】A. 0.2精确到十分位，0.20精确到百分位，精确度不同，错误； B. 还原为10,700,000，末位7位于十万位，故精确到十万位，正确； C. 还原为1100，末位0位于十位，精确到十位，而非十分位，错误； D. 1.2万还原为12000，末位2位于千位，精确到千位，而非万位，错误； 故选：B． 1．（2025七年级上·云南·专题练习）下列关于近似数的说法： ①近似数精确到十分位； ②近似数万精确到； ③近似数和近似数的精确度相同． 其中正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查了近似数，近似数精确到哪一位，看末位数字实际在哪一位即可，掌握近似数的有关知识是解题的关键． 【详解】解：近似数精确到百分位，故①错误； ∵万， ∴近似数万精确到百位，故②错误； 近似数精确到十分位，近似数精确到百分位，故③错误； 综上，正确的说法有个， 故选：． 2．（24-25七年级上·四川宜宾·阶段练习）圆周率，如果取近似数3.14，它精确到 位，有 个有效数字；如果取近似数3.1415926，它精确到 位，有 个有效数字． 【答案】 百分 三 千万分 八 【分析】根据数的精确度和近似数确定有效数字的方法即可解答．注意：有效数字从左边第一个不是0的数开始数起，到精确到的数位为止． 【详解】解：圆周率取近似数3.14，精确到百分位，有三个有效数字；如果取近似数3.1415926，精确到千万分位，有八个有效数字． 故答案为：百分，三；千万分，八． 【点睛】本题主要考查了近似数与有效数字的确定，解题关键是熟练掌握数的精确度和有效数字的知识． 3．（2025七年级上·江苏·专题练习）下面是博物馆内的一段对话： 馆员：这个化石距今已有600002年了； 参观者：先生，您怎么知道的这么确切呢？ 馆员：两年前有一个考古学家来这里说这个化石有60万年的历史了，现在过去两年了，不正是600002年吗？ 你是否同意这位馆员的说法，请说明理由． 【答案】不同意，见解析 【分析】本题考查了对精确度的掌握情况，精确度由所得近似数的最后一位有效数字在该数中的位置决定． 根据近似数的确定方法即近似数精确到哪一位，应当看末位数字实际在哪一位，即可得出答案． 【详解】解：不同意他的看法： 因为60万年是精确到万位的数，而600002年是精确到个位的数， 所以是不一样的． 【经典例题五 有理数的乘方运算】 【例5】（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）下列式子中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数的乘方，掌握知识点是解题的关键． 逐一分析各选项的运算是否正确，重点考查乘方运算的符号和计算规则． 【详解】解：选项A：表示先计算，再取负号，结果为；而，显然不等，故A错误． 选项B：，但，两者不等，故B错误． 选项C：表示三个相乘，即．右边的计算顺序不影响结果，同样为，故等式成立，C正确． 选项D：，，两者不等，故D错误． 故选C． 1．（24-25七年级上·山东德州·期末）我们常用的十进制，如：，表示十进制的数要用10个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．在计算机中用的是二进制，只有两个数码：0，1，如：二进制中．相当于十进制中的7，又如：．相当于十进制中的27．那么十进制中的25相当于二进制中的（   ） A．10011 B．11001 C．11010 D．11101 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的乘方读懂题目信息，理解二进制数的表示方法是解题的关键． 根据十进制中的25相当于二进制中的即可解答． 【详解】解：， 十进制中的25相当于二进制中的， 故选：B ． 2．（24-25七年级上·福建厦门·期中）计算或化简： （1） ；（2） ；（3） ； （4） ；（5） ；（6） ； （7） ；（8） ． 【答案】 4 0 1 【分析】（1）直接运用有理数加法运算法则计算即可； （2）直接运用有理数减法运算法则计算即可； （3）直接运用有理数乘法运算法则计算即可； （4）直接运用有理数除法运算法则计算即可； （5）先算乘方，然后根据有理数加法运算法则计算即可； （6）先按有理数减法运算法则计算，然后再求绝对值即可； （7）直接合并同类项即可； （8）直接去括号即可． 【详解】解：（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）． 故答案为：，，，4，0，1，，． 【点睛】本题主要考查了有理数加减运算、乘除运算、有理数的乘方、绝对值、整式的加减运算等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键． 3．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）阅读并解决下列问题： (1)验证：_______，_______． (2)猜想_______，_______，_______……（用“>”或“<”或“=”填空） (3)通过验证，归纳得出：_______，_______． (4)请应用上述性质计算：． 【答案】(1)1，1 (2)，， (3)， (4) 【分析】本题考查了乘方运算，理解题意是解题的关键． （1）分别计算和即可验证； （2）根据上面的验证计算即可； （3）根据上面的验证计算即可； （4）根据上面的验证计算即可． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：1，1； （2）解：猜想：，，， 理由：； ； ； 故答案为：，，； （3）解：依题意得：，； 验证：； ； 故答案为：，； （4）解：原式 ． 【经典例题六 有理数乘方的逆运算】 【例6】（24-25七年级上·四川内江·阶段练习）等于（    ） A． B．8 C．0.125 D． 【答案】B 【分析】根据有理数的乘方进行计算即可． 【详解】解：． 故选B 【点睛】本题考查了有理数的乘方运算，掌握有理数的乘方运算是解题的关键． 1．（24-25七年级上·山东德州·阶段练习）计算的值是（        ） A． B． C．0 D． 【答案】A 【分析】乘方的运算可以利用乘法的运算来进行，运用乘法的分配律简便计算． 【详解】解：原式= = =． 故选：A． 【点睛】本题考查了乘法分配律的逆用．乘方是乘法的特例，乘方的运算可以利用乘法的运算来进行．本题运用乘法的分配律计算． 2．（24-25七年级上·四川眉山·单元测试）如果，那么 ． 【答案】4 【分析】本题考查了有理数的乘方的定义及法则．熟练掌握有理数的乘方的定义是解题的关键．根据有理数乘方的定义，已知等式中的相当于的5次方，由此可以求出x的值为．已知等式中的8相当于2的3次方，由此可以求出y的值为2．进而可求出的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴． ∵， ∴， 因此． 故答案为：4． 3．（24-25七年级上·云南昭通·阶段练习）阅读下列各式：，，，… 解答下列问题： (1)写出 ，猜想： ． (2)计算：． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查的是新定义运算的含义，乘方的运算，理解题意，总结规律再运用规律解题是关键． （1）由题干阅读部分信息，再总结可得答案； （2）利用（1）中规律结合乘方的含义把原式化为，再计算即可． 【详解】（1）解：，； （2）解： ． 【经典例题七 计算器——有理数】 【例7】（24-25七年级上·山东潍坊·期中）用我们数学课本上的科学计算器进行计算，当按键顺序如下时计算结果为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了计算器计算有理数的混合运算，根据题目中的运算程序，可以计算出相应的结果． 【详解】解：由题意可得：． 故选：A． 1．（2025七年级上·四川眉山·专题练习）如图，某计算器中三个按键，以下是这三个按键的功能： ：将荧幕显示的数变成它的算术平方根； ：将荧幕显示的数变成它的倒数； ：将荧幕显示的数变成它的平方． 小明输入一个数据后，按照如图步骤操作，依次按照从第一步到第三步循环按键． 若一开始输入的数据为10，则第2019步后，显示的结果是（    ） A． B．10 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查数字变化规律，根据题意分别计算出第1，2，3，4，5，6步显示结果，从而得出数字的循环规律，再求解可得答案 【详解】解：由题意知第1步结果为， 第2步结果为， 第3步结果为， 第4步结果为， 第5步结果为， 第6步计算结果为10， 运算的结果以100、0.01、0.1、0.01、100、10六个数为周期循环， ， 第2019步之后显示的结果为0.1，即． 故选：C． 2．（24-25七年级上·四川资阳·期中）计算器上的三个按键、、的功能分别是：将屏幕显示的数变成它的平方；将屏幕显示的数变成它的倒数；将屏幕显示的数变成它的算术平方根．小蕊输入一个数后，依次按照如下图所示的三步循环重复按键，则第2023次按键后，显示的结果是 ．    【答案】4 【分析】根据题意分别计算出前六步显示的结果，从而得出数字的循环规律，利用周期规律求解． 【详解】解：输入一个数后， 第一步的结果为， 第二步的结果为， 第三步的结果为， 第四步的结果为， 第五步的结果为， 第六步的结果为， 第七步的结果为， 由此可知，运算的结果六步为一个周期，， ， 第2023次按键后，显示的结果是4， 故答案为4． 【点睛】本题考查了计算器，通过列举例子发现规律是解题的关键． 3．（2025七年级上·四川眉山·专题练习）用计算器求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)371293 (3) (4) 【分析】（1）根据有理数的运算顺序，计算器的操作方法求解即可． （2）根据有理数的运算顺序，计算器的操作方法求解即可． （3）根据有理数的运算顺序，计算器的操作方法求解即可． （4）根据有理数的运算顺序，计算器的操作方法求解即可． 本题考查了有理数的混合运算，计算器的操作方法，熟知计算器的操作方法是解本题的关键． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：． （4）解： ＝ ＝． 【经典例题八 乘方运算的符号规律】 【例8】（24-25七年级上·四川眉山·课堂例题）有下列各数：①；②；③；④，其中结果等于的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】根据有理数的乘方，以及相反数的求法，逐项判定即可． 【详解】解：①， ②， ③， ④， ∴其中结果等于的是：①②③④． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了有理数的乘方，以及相反数的求法，求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“”． 1．（24-25七年级上·四川遂宁·期中）a，b互为相反数，，n为自然数，则下列叙述正确的有（    ）个 ①互为相反数                ②互为相反数 ③互为相反数               ④互为相反数 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据有理数乘方的定义，负数的偶次方为正，奇次方为负，正数的任意次方都为正，再根据相反数的定义判断即可． 【详解】解：∵a，b互为相反数，a≠0，n为自然数， ∴-a，-b互为相反数，故①说法正确； 当n是奇数时，an与bn互为相反数，当n为偶数时，an与bn相等，故②说法错误； a2n与b2n相等，故③说法错误； a2n+1，b2n+1互为相反数，故④说法正确； 所以叙述正确的有2个． 故选：B． 【点睛】此题考查了相反数以及有理数的乘方，用到的知识点是正数的任何次是正数，负数的偶次幂是正数，奇数次幂是负数． 2．（24-25七年级上·甘肃白银·期中）观察下列算式：根据上述算式中的规律，你认为的末位数字是 ． 【答案】5 【分析】本题考查了尾数特征的应用，先分别得出前几个的末位数字，得出末位数字每4个为一组，依次为1、3、7、5，据此即可解答． 【详解】解：根据题意可得： 1的末位数字为1， 的末位数字为3， 的末位数字为7， 的末位数字为5， 的末位数字为1， 末位数字每4个为一组，依次为1、3、7、5， ， 则该式末位数字为第506组的第四个数字， 的末位数字是5， 故答案为：5． 3．（24-25七年级上·辽宁沈阳·单元测试）记，……，（n个相乘，其中n为正整数）． (1)计算； (2)求的值； (3)证明：． 【答案】(1)32 (2)0 (3)见解析 【分析】本题主要考查了数字变化规律，认真观察、仔细思考，解答本题的关键是理解题中的新定义： （1）利用新定义得到，然后利用乘方的意义计算； （2）利用新定义得到，然后根据同底数幂的乘法进行计算； （3）利用新定义得到，然后根据同底数幂的乘法计算出它们的和为0，从而可判断与互为相反数． 【详解】（1）解：∵， ， ， …… ∴， ∴； （2）解： （3）证明： 【经典例题九 有理数的四则混合运算】 【例9】（24-25七年级上·浙江温州·阶段练习）将下列运算符号填入算式的“”中，使运算结果最小的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数混合运算顺序和运算法则是解题的关键．分别计算出四种运算下的结果即可得． 【详解】解： 使运算结果最小的是 故选：D． 1．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）通过多次举例验证，发现取一个自然数，若它是奇数，则乘以3加上1，若它是偶数，则除以2，按此规则经过若干步的计算最终可得到1．例如：取自然数5．经过下面5步运算可得1，即：．如果自然数m恰好经过7步运算可得到1，则所有符合条件的m的值有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】本题主要考查探寻数列规律问题以及逆推法的应用，注意观察总结出规律，并能正确的应用规律是解题关键． 首先根据题意，应用逆推法，用乘以，得到；用乘以，得到；用乘以，得到；用乘以，得到；然后分类讨论，判断出所有符合条件的的值，即可． 【详解】解： 逆运算 第步后的数为 ； 第步后的数： ； 第步后的数： ； 第步后的数： ； 第步后的数： ； 第步后的数： 或 ； 第步后的数： （舍去）或 或 （舍去） 或 ； 则原数为 或 或 或 ； 综上：所有符合条件的的值有4个． 故选：B． 2．（24-25七年级上·四川巴中·期中）有两组数，第一组：，，，，；第二组：，，，．从第一组数中任取一个数与第二组数中任取一个数相乘，则所有乘积的总和是 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据题意列出算式，再逆运用乘法分配律进行计算即可得解． 【详解】解：第一组所有数的和为， 第二组所有数的和为， 第一组数中取与第二组数中任取一个数相乘，所有乘积的总和是， 同理可得从第一组数中任取一个数与第二组数中任取一个数相乘，则所有乘积的总和是， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·四川眉山·阶段练习）计算下面各题． ① ② 【答案】①；② 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则，把相同的算式看作一个整体进行计算是解题的关键． ①设，，代入原式，根据运算法则进行计算即可； ②设，，代入原式，根据运算法则进行计算即可． 【详解】解：①设，，则 原式 ． ②设，，则 原式 ． 【经典例题十 程序流程图与有理数计算】 【例10】（24-25七年级上·湖南张家界·期中）根据如图所示的程序计算，若输入x的值为0，则输出的值为（   ） A． B．2 C．6 D．70 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的程序计算，根据题干给出的程序计算即可作答． 【详解】解：输入0，， 输入，， 输出为， 故选：C． 1．（24-25七年级上·河北沧州·期中）按照如图所示的计算机程序计算，若开始输入的x值为2，第一次得到的结果为1，第二次得到的结果为4，…，第10次得到的结果为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查找数字规律，涉及程序计算，理解题中的计算机程序，按要求计算，找到结果呈现的规律即可得到答案，理解程序图是解决问题的关键． 【详解】解：当时，为偶数，则； 当时，为奇数，则； 当时，为偶数，则； 当时，为偶数，则； 当时，为奇数，则； 当时，为偶数，则； 当时，为偶数，则； ∴每3次一循环， ∴第10次得到的结果为1， 故选：A． 2．（24-25七年级上·河北邯郸·期中）如图是一个数学游戏活动，A，B，C，D分别代表一种运算，运算结果随着运算顺序的变化而变化．（每次游戏都涉及A，B，C，D四种运算各一次） （1）4经过的顺序运算后，结果是 ； （2）经过→D的顺序运算后，结果是，则被遮挡部分的运算顺序应是 ． 【答案】 23 【分析】本题考查有理数的运算． （1）按照运算顺序逐一进行计算即可； （2）用，得到经过三次运算后，最终结果是，进行判断即可． 【详解】解：（1），，，； 故答案为：23； （2）∵经过→D的顺序运算后，结果是， ∴经过的顺序运算后，结果为； ∵， ∴被遮挡部分的运算顺序应是； 故答案为：． 3．（24-25七年级上·四川遂宁·期中）根据下边的流程图回答下列问题：    (1)输入后，求输出结果是多少？ (2)如果输出的结果是，请你推测输入的数可能是哪些？直接写出这些数． 【答案】(1)； (2)或． 【分析】（1）从输入数字开始，根据运算顺序从上到下一步步计算，即可得出输出结果； （2）运用倒推法，从输出数字入手一步步计算，即可得出输入的数． 【详解】（1） ， ． 故输出结果是； （2）当输入数据除以小于1时， ， ； 当输入数据除以大于等于1时， ， ． 故输入的数可能是或． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，利用题目的程序进行计算． 【经典例题十一 算24点】 【例11】（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）下面各组数中，不能通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24的是（　　） A．1，1，7，7 B．2，2，8，8 C．1，1，2，8 D．1，1，4，6 【答案】A 【分析】本题考查有理数的四则运算，通过尝试不同的四则运算组合，判断每组数字是否能得到24． 【详解】解：A、无法通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24； B、，即可以通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24； C、，即可以通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24； D、，即可以通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24． 故选：A 1．（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）“算24点”的游戏规则是：用“，，，”…四种运算符号把给出的4个数字连接起来进行计算，要求最终算出的结果是24，例如，给出2，2，2，8这四个数， 可以列式．以下的4个数用“，，，”四种运算符号不能算出结果为24的是（  ） A．1，6，8，7 B．1，2，3，4 C．4，4，10，10 D．6，3，3，8 【答案】A 【分析】根据题意，逐项组合计算，即可作答． 【详解】A项，1，6，8，7，不能算出结果为24，故符合题意； B项，，能算出结果为24，故不符合题意； C项，，能算出结果为24，故不符合题意； D项，，能算出结果为24，故不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了数之间的混合运算，根据已有的数据灵活组合举例，是解答本题的关键． 2．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）“算24”是我国民间传统的益智游戏，游戏规则为：随机给出四个数，每个数必用且仅能用一次，只利用“加号、减号、乘号、除号”（可以重复使用）及括号（含小括号、中括号）连接，使得四个数的运算结果等于24．如：给出1、2、3、4四个数，则得到24的式子可以是：． 现给出“3、3、8、8”四个数，则得到24的式子可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是理解“算24”的游戏规则，灵活运用运算法则计算． 【详解】解： ， 故答案为：（答案不唯一）． 3．（24-25七年级上·广东佛山·期中）24点游戏是一种使用扑克牌来进行的益智类游戏，游戏内容是：从一副扑克牌（去掉大王、小王剩下52张）中任意抽取4张牌，把牌面上的数字进行混合运算，使得运算结果为24．每张牌必须用一次且只能用一次，可以加括号．其中♥，♦表示正，♣，♠表示负，分别代表1，11，12，13． （1）在玩“24点”游戏时，小明抽到图1的4张牌，请你帮他写出2个运算结果为24的算式：______，______； （2）在玩“24点”游戏时，小刚抽到图2的4张牌，请你帮他写出1个运算结果为24的算式：______． 【答案】（1），（答案不唯一）（2）（答案不唯一） 【分析】本题考查了有理数四则混合运算的应用，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先根据题意可得图1中的4张牌分别代表，再根据和列出算式即可得； （2）先根据题意可得图2中的4张牌分别代表，再根据列出算式即可得． 【详解】解：（1）由题意得：图1中的4张牌分别代表， 则运算结果为24的算式：，， 故答案为：，（答案不唯一）． （2）由题意得：图2中的4张牌分别代表， 则运算结果为24的算式：， 故答案为：（答案不唯一）． 【经典例题十二 含乘方的有理数混合运算】 【例12】 （24-25七年级上·江苏淮安·期末）我们把记作，记作，那么计算的结果为（    ） A．1 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查有理数的除法，解题的关键是理解并掌握新定义及有理数乘除运算法则．根据新定义列出算式，再根据有理数的乘除运算法则计算可得． 【详解】解：， 故选：A． 1．（24-25七年级上·河南南阳·期中）要使算式的计算结果最大，在□里填入的运算符号应是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的混合运算、有理数的大小比较，先分别计算各个选项添加的运算符号的结果，再比较大小即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ∵， ∴要使算式的计算结果最大，在□里填入的运算符号应是， 故选：C． 2．（24-25七年级上·山东济宁·期中）阅读下列例题： 计算：． 解：设，① 那么．② ②－①，得．所以原式． 仿照上面的例题计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了规律型：数字的变化类及有理数的混合运算，设①，那么②，再利用可求出原式的值． 【详解】解：设，① 则，② 得：， 所以． 故答案为：． 3．（24-25七年级上·四川眉山·随堂练习）嘉嘉和琪琪用如图所示的A，B，C，D四张带有运算的卡片，做一个“我说你算”的数学游戏，规则如下：嘉嘉说一个数，并对这个数按这四张带有运算的卡片排列出一个运算顺序，然后琪琪根据这个运算顺序列式计算，并说出计算结果．例如，嘉嘉说2，对2按的顺序运算，则琪琪列式计算得：．嘉嘉说，对按的顺序运算，请列式并计算结果． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据题意写出相应的算式，然后计算即可． 【详解】解：由题意可得，对按的顺序运算是 ． 【经典例题十三 乘方的应用】 【例13】（24-25七年级上·山东青岛·期末）如图，某种卷筒纸的外直径为，内直径为，每层纸的厚度为．假如把这筒纸全部拉开，那么这筒纸的总长度大约是（π取3.14）（   ） A．3140米 B．31.4米 C．6280米 D．62.8米 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的混合运算和圆柱的计算．用空心圆柱的底面积÷厚度即可． 【详解】解：纸的总长度 米． 故选：D． 1．（24-25七年级上·浙江·期中）任意大于1的正整数m的三次幂均可“分裂”成m个连续奇数的和，如：，，．……仿此，若的“分裂数”中有一个是271，则（    ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】B 【分析】观察规律，分裂成的数都是奇数，且第一个数是底数乘以与底数相邻的前一个数的积再加上1，奇数的个数等于底数，然后找出所在的奇数的范围，即可得解． 【详解】解：∵ ，，，…… ∴分裂后的第一个数是，共有个奇数， ∵，， ∴是底数为的数的立方分裂后的一个数， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查数字的变化类、有理数的乘方，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化规律，求出相应的数字的值． 2．（24-25七年级上·四川宜宾·期中）观察下列等式：，，，，，，，，根据上述算式中的规律，你认为的末位数字是 ． 【答案】 【分析】本题考查数字的规律探索，由题中可以看出，以为底的幂的末位数字是以，，，依次循环的，利用即可知的个位数字，即可得出结论．解题的关键是找到为底的幂的末位数字的循环规律． 【详解】解：∵以为底的幂的末位数字是以，，，依次循环的， 又∵， ∴的个位数字是， ∴的末位数字是：， 即的末位数字是． 故答案为：． 3．（24-25七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图是某种细胞分裂示意图，这种细胞每经过30分钟便由1个分裂成3个．根据此规律，通过计算解决以下问题：    (1)这样的一个细胞经过2小时后可分裂成多少个细胞？ (2)这样的一个细胞经过多少小时后可分裂成6561个细胞？ 【答案】(1)经过2小时后可分裂成81个细胞 (2)4小时后可分裂成个细胞 【分析】（1）根据已知，这种细胞每过30分钟便由1个分裂成3个，可得2小时后，即是求第四个30分钟后可分裂成的成本个数； （2）根据（1）中数据，可得出规律，列式计算即可得答案． 【详解】（1）∵这种细胞每经过30分钟便由1个分裂成3个，2小时为4个30分钟， ∴第2个30分钟分裂成9个，即个， 第3个30分钟分裂成27个，即个， 第4个30分钟分裂成81个，即个， 答：经过2小时后可分裂成81个细胞． （2）由（1）可知第个30分钟可分裂成个细胞， 当时， 解得：， ∴第8个30分钟可分裂成个细胞，即4小时后可分裂成个细胞． 答：4小时后可分裂成个细胞． 【点睛】本题主要考查有理数乘方的应用及规律问题，理解题意，找出相应规律是解题关键． 【经典例题十四 有理数四则混合运算的实际应用】 【例14】（24-25七年级上·四川攀枝花·期末）小杰同学在本学期学习了有关“低碳生活”的内容后，查阅资料得到数据：一个普通快递包装约排放出200二氧化碳，一盆绿萝每天约吸收0.15二氧化碳．若要将一个快递包装排放出来的二氧化碳在一天内全部被吸收，至少需要绿萝（    ） A．1332盆 B．1333盆 C．1334盆 D．1335盆 【答案】C 【分析】本题考查除法运算的实际应用．需根据题意确定是否需要向上取整． 【详解】解：一个快递包装排放200g二氧化碳，每盆绿萝每天吸收0.15g． 将总排放量除以每盆吸收量，即 由于绿萝盆数必须为整数，且1333盆仅能吸收， 剩余未被吸收， 因此需增加1盆，即至少需要1334盆， 1334盆可吸收满足全部吸收要求． 故选：C． 1．（24-25七年级上·四川内江·期末）科学家针对蟋蟀鸣叫的次数与室外温度的数量关系进行了研究，记录如下： 蟋蟀每分钟鸣叫的次数次 温度 若室外温度为，依据表格中的数量关系，可以得出蟋蟀每分钟鸣叫的次数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的运算，根据表格中温度每增加，鸣叫次数增加次，即温度每增加，鸣叫次数增加次，然后列出算式即可，掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：根据表格中温度每增加，鸣叫次数增加次，即温度每增加，鸣叫次数增加（次）， 当温度为时，蟋蟀每分钟鸣叫次数为（次）， 故选：． 2．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）课外兴趣小组要制作一批卡通图片，如果每天做30个，则要比计划晚12天完成，如果每天做40个，就可以提前4天完成，那么这批卡通图片共有 个． 【答案】1920 【分析】本题主要考查了有理数混合运算的应用，根据（盈+亏）除以两次做的个数差求出计划做的天数成为解题的关键． 如果每天多做个，则可把原来晚12天做的个做完，还能提前4天完成，就是每天多做10个，可以在规定天数内多做个，据此可求出计划完成的天数．进而可求出这批卡片的个数即可． 【详解】解： = 天； ） 个． 答：这批卡通图片共有1920个． 故答案为：1920． 3．（24-25七年级上·四川宜宾·期中）如图，小明家在点，学校在点，中间有道路相连，线段上的点，代表十字路口（十字路口处道路的长度忽略不计）．已知：，，；，两个路口都有红绿灯，对于方向的车辆和行人，每天早上、、、的时间段内，两个路口都是绿灯，其它时间段都是红灯；小明每天早上准时从家出发，不晚于到达学校；为确保安全，他的骑行速度不超过，并且只在绿灯时通过路口（如果到达路口时恰好遇到红灯变绿灯或绿灯变红灯，也可以立即通过路口）． (1)若小明的骑行速度保持为，他将在_____（填时刻）到达学校； (2)若小明骑行过程中不遇到红灯，并且骑行速度始终不变，那么他的骑行速度最大可以是_____，最小可以是_____． 【答案】(1) (2)225，150 【分析】本题主要考查有理数运算的应用，正确理解题意是解答本题的关键． （1）分别求出在段用时，段用时以及段用时，再加上等红灯的时间即可得出从出发到学校的总用时； （2）分别求出骑行完所用最长时间和最短时间，根据速度=路程÷时间即可得解． 【详解】（1）解：（分）， （分）， （分） （分）， 所以，从到所用总时间为（分）， （分）， 即小明的骑行速度保持为，他将在到达学校， 故答案为：； （2）解：因为小明骑行过程中不遇到红灯，并且骑行速度始终不变， 所以，他最少用时为（分）； 最多用时为（分）； 所以，他的骑行速度最大为； 骑行速度最小为； 故答案为：150；225． 【拓展训练一 有理数乘方的规律计算探究】 1．（24-25七年级上·安徽六安·期中）观察等式：①；②；③；… (1)按规律写出：______； (2)求．（结果保留幂的形式） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据规律直接写出结果即可； （2）将原式变形，然后利用（1）中结果求解即可． 【详解】（1）解：①； ②； ③； … 根据规律得：， 故答案为：； （2） ． 【点睛】本题主要考查数字规律探索及有理数的乘方运算，根据题意找出相应规律是解题关键． 2．（24-25七年级上·四川眉山·课堂例题）求出下列各组中两个算式的值，找出两个算式之间的关系． （1）与； （2）与； （3）与； （4）与． 利用所得规律计算：． 【答案】见解析 【分析】先分别求出各个式子，再根据结果即可总结出规律，然后根据规律即可得出答案． 【详解】解：（1）． （2），，． （3），． （4），． 由上述可得，两个数的相同次幂的积等于这两个数乘积的相同次幂，即 (m为正整数)． ∴． 【点睛】本题考查了有理数幂的计算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 3．（24-25七年级上·四川眉山·课后作业）（1）填空：________，________，________； （2）根据上题的规律猜想：当底数的小数点向右移动一位时，其平方的小数点怎样移动？ （3）利用上述规律，解答下列各题： 如果，那么________； 如果，那么________． 【答案】（1），144，14400；（2）当底数的小数点向右移动一位时，其平方的小数点向右移动两位；（3），． 【分析】本题主要考查了有理数乘方的运算法则和规律． （1）利用平方的概念填空； （2）由（1）中可以发现小数点的变化，从而找出规律． （3）利用这个规律计算这两题即可． 小数点的变化规律：当底数的小数点向右移动一位，其平方数的小数点向右移动两位． 【详解】（1），，； （2）根据上题的规律可知：当底数的小数点向右移动一位时，其平方的小数点向右移动两位． （3）如果，那么； 如果，那么． 【拓展训练二 二进制问题】 1．（24-25七年级上·云南文山·阶段练习）用十进制记数法表示正整数，如：，用二进制记数法来表示正整数，如： ，记作：； ，记作：； 又如：，记作：． 观察规律，解答下列问题： (1)用二进制来表示十进制中的数15 (2)二进制中的数10101等于十进制中的哪一个数？ 【答案】(1) (2)21 【分析】本题考查了有理数的混合运算，正确理解题目中介绍的二进制是关键，主要考查了学生的自学能力． （1）根据进行求解即可； （2）根据题目中提供信息将二进制中的数10101表示成十进制中的数即可． 【详解】（1）解：，即． （2）解：， ∴二进制中的数10101等于十进制中的21． 2．（24-25七年级上·甘肃陇南·期中）生活中常用的十进制是用这十个数字来表示数，满十进一，例：；计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一，例：二进制数10000转化为十进制数：； 其他进制也有类似的算法…… (1)根据以上信息，将二进制数“101110”转化为十进制数是________； (2)在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示表示的五进制数为132，求孩子已经出生的天数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的乘方运算，正确理解题中二进制转换十进制的计算方法是解题的关键． （1）根据二进制转换十进制的方法列式计算即可； （2）满五进一，类似于五进制数，仿照二进制转换十进制的计算方法进行计算即可． 【详解】（1）解：101110转化为十进制数是， 故答案为：； （2）解：由于满五进一，类似于五进制数，图示表示的五进制数为132，转化为十进制数为， 孩子已经出生了42天． 3．（24-25七年级上·北京·期中）一所学校的学生编号构造为“毕业年份班级学号”，例如“20262919”就为2026届29班19号同学 为方便记录学生作业完成情况，编程社团的小李同学设计了一种识别码，如图1，这种识别码由的正方形网格构造，我们规定第行第列的正方形网格所代表的数据记为，每列编译后为代表信息，第行都代表相同的二进制数位． 每个网格有两种状态，分别为1和0，分别代表当前网格的二进制数位数字．如图2，第1列所代表的数据就计算为 如果学生编号中，毕业年份的前两位为“20”．如图2，第1、2列分别代表的是毕业年份的后两位数字，第3列代表的是班级，第4、5列分别代表学号的两位数字．那么根据这种计算方法，完成下列各题： (1)请计算出图2所代表的学生编号： ． (2)请在图1填写出学生编号为20251406的识别码图象． (3)这种编号系统一直适用吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)这种编号系统不能一直适用，理由见解析 【分析】本题考查有理数乘方，有理数的加法，有理数的乘法以及图形的变化类，掌握有理数加法、乘法、乘方的运算的方法是正 确解答的关键． （1）根据编码规则以及二进制的计算方法进行计算即可； （2）根据编码规则以及二进制的计算方法将2，5，14，0，6分别用二进制表示即可； （3）根据的正方形网格中的第3列所能表示的最大数进行判断即可． 【详解】（1）解：第1列所代表的数据为：； 第2列所代表的数据为：； 第3列所代表的数据为：； 第4列所代表的数据为：； 第5列所代表的数据为：； 图2所代表的学生编号：； （2）解：∵学生编号为20251406，即2025届14班06号同学， 第1列所代表的数据为：； 第2列所代表的数据为：； 第3列所代表的数据为：； 第4列所代表的数据为：； 第5列所代表的数据为：； ∴编号为20251406的识别码图象如图所示： （3）解：这种编号系统不能一直适用， ∵第3列所能表示的最大数为：， 当班级数 超过31个班时就无法表示出来， ∴这种编号系统不能一直适用． 【拓展训练三 幻方问题】 1．（24-25七年级上·四川绵阳·期末）幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”中，把“洛书”用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方．请你探究如图洛书三阶幻方中，奇数和偶数的位置、数和数之间的数量关系所呈现的规律，根据这一规律，求出，，则（    ） A．16 B．8 C． D． 【答案】A 【分析】观察图1和图2，根据数字关系可得出幻方满足的条件是：每行每列和每条对角线上的数字之和都相等，然后算出图3中的a和b的值即可． 【详解】解：观察图1和图2，根据数字关系可得出幻方满足的条件是：每行每列和每条对角线上的数字之和都相等， ∴图2中满足：，解得：； ，解得：； 即， 故选：A． 【点睛】本题主要考查数字的变化规律，总结归纳出数字的变化规律是解题的关键． 2．（24-25七年级上·广东广州·期末）一般地，将连续的正整数，，…，填入个方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，就形成了一个阶幻方（如图是阶幻方的一种情况）．记阶幻方每行的数的和为，易知，那么 ． 4 9 2 3 5 7 8 1 6 【答案】 【分析】本题考查了数字的变化规律，解题关键是掌握幻方的特点．根据题意可知，幻方每行的数的和相等，等于1到的连续整数的和除以行数，由此解答即可得出结论． 【详解】解：阶幻方的数字为，，，……，，，有行列， 每行的数的和， ． 故答案为：． 3．（24-25七年级上·重庆·期中）填幻方：有人建议向火星发射如图1所示的图案，它叫做幻方，其9个方格中的点数分别是1，2，3，4，5，6，7，8，9．每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的点数的和都相等．如果火星上有智慧生物，那么他们可以从这种“数学语言”了解到地球上也有智慧生物（人）． (1)如图1，每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的点数的和都是_____； (2)请把，1，7，10，13，16，19填入图2剩余方格中，使其构成一个幻方； 拓展延伸： (3)如图3，在一个由9个圆圈组成的三角形里，把分别填入圆圈中，要求三角形的每条边上的4个数的和都相等．请填出使的值最大时的一种情形，并直接写出的最大值和最小值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)图见解析，， 【分析】本体考查有理数的运算，读懂题意，正确的列出算式，是解题的关键： （1）求出第一行三个数的和即可； （2）所有数据的和除以3，求出每一行，每一列和对角线上的点数和，将9个数排序，中间的数字填写在幻方的中央位置，再根据和的情况进行填写即可； （3）当3个顶点的数是13，16，19时，和最大，当3个顶点的数为，，1时，和最小，进行求解即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：15； （2）解：∵， ∴每一行，每一列和对角线上的点数和均为21， ∵，，1，4，7，10，13，16，19位于中间的数据为7， ∴幻方最中间的数为7， 填表如图： （3）当3个顶点处的数字为3个最大的数时，和最大， ∴当3个顶点的数是13，16，19时，和最大， ∴， 填表如下： 当3个顶点处的数字为3个最小的数字时，和最小， ∴当3个顶点的数为，，1时，和最小， ∴． 【拓展训练四 有理数四则混合运算实际应用综合】 1．（24-25七年级上·四川遂宁·阶段练习）龟兔赛跑，全程1800米．乌龟每分钟爬15米，兔子每分钟跑400米．发令枪响后，兔子一会儿就把乌龟远远地甩在后面，骄傲的兔子自以为跑得快，在途中美美地睡了一觉，结果乌龟到达终点时，兔子离终点还有200米．兔子在途中睡了多少分钟？ 【答案】兔子在途中睡了116分钟． 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用．根据“路程速度时间”计算出乌龟跑完全程总用时，再计算兔子离终点还有200米时用时，再计算出时间差即可求解． 【详解】解：乌龟跑完全程总用时：（分钟）， 兔子离终点还有200米时用时：（分钟）， ， ∴兔子在途中睡了116分钟． 2．（24-25七年级上·广西南宁·期末）某水果店进货7箱水果，以每箱为质量标准，超过的千克数记作正数不足的千克数记作负数，称重后的记录（单位：）如下: 第1箱 第2箱 第3箱 第4箱 第5箱 第6箱 第7箱 0 0.1 0.2 0.4 0.2 (1)根据记录，7箱水果中最重的是第__________箱，最轻的是第__________箱； (2)请你算出这7箱水果一共多少千克． 【答案】(1)6，5 (2)这7箱水果一共千克． 【分析】本题考查正数和负数，有理数混合运算在实际中的应用， （1）找到最重的和最轻的即可得出答案； （2）把题中的个数据相加，所得的结果再加上即得结果． 【详解】（1）解：∵， ∴7箱水果中最重的是第6箱，最轻的是第5箱； 故答案为：6，5； （2）解： ， ∴这7箱水果一共千克． 3．（24-25七年级上·四川乐山·期末）我们知道，一年四季中白昼时长和正午时刻都不是固定不变的．不同地点每天日出、日落的时刻各不相同，白昼时长是指从日出到日落的时间长度．理论上，一个地区日出、日落相对于当天的正午时刻应该是对称的，于是我们就能得到一个简单的白昼时长计算公式∶白昼时长=（正午时刻－日出时刻） （日落时刻－正午时刻）． 表1是2025年5月23日南平市四个县市的日出时刻与日落时刻 表1 县市 延平 建阳 邵武 浦城 日出时刻 日落时刻 白昼时长 13小时37分 表2 日出时间 日落时间 6月21日（夏至） 12月21日（冬至） (1)分别求出延平、邵武、浦城这一天的白昼时长，并按表格样式填入上表； (2)求延平区这一天的正午时刻； (3)表2是南平市某年冬至与夏至的日出与日落时刻，求夏至与冬至当天白昼时长的差． 【答案】(1)13小时34分；13小时38分；13小时40分，见表格 (2)12时04分 (3)3小时21分 【分析】本题主要考查有理数混合运算的应用，正确理解题意是解答本题的关键． （1）根据“白昼时长日落时刻日出时刻”解答即可； （2）根据“正午时刻白昼时长日出时刻” 解答即可； （3）分别求出夏至与冬至当天白昼时长，再作差即可得出结论． 【详解】（1）解：延平这一天的白昼时长为18时51分时17分=13时34分； 邵武这一天的白昼时长为18时56分时18分=13时38分； 邵武这一天的白昼时长为18时53分时13分=13时40分； 填表如下： 县市 延平 建阳 邵武 浦城 日出时刻 日落时刻 白昼时长 13小时34分 13小时37分 13小时38分 13小时40分 （2）解：∵白昼时长＝（正午时刻－日出时刻） ∴正午时刻白昼时长日出时刻     ∴延平区这一天的正午时刻为： 13小时34分时17分 6小时47分时17分 12时04分； （3）解：夏至日白昼时长时03分时14分小时49分 ，   冬至日白昼时长时19分时51分小时28分， 13小时49分小时28分小时21分 ， 答：夏至与冬至当天白昼时长的差为：3小时21分． 1．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）的意义是（    ） A．乘以3 B．的相反数 C．3个相乘 D．3个相加 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的乘方和有理数的乘法，相反数，解题的关键是掌握有理数的乘方和有理数的乘法，相反数的定义．利用有理数的乘方，有理数的乘法，相反数的定义判断． 【详解】解：的意义是的相反数， 只有选项B符合题意， 故选：B． 2．（2025·河北唐山·模拟预测）若，则n的值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．9 【答案】A 【分析】先根据已知式子，得到，利用幂的乘方的逆用，转化为关于的一元一次方程求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，解得：， 故选：A． 【点睛】本题考查了幂的乘方的逆用，一元一次方程的其他应用，解题关键熟悉幂的乘方的逆用． 3．（24-25七年级上·四川眉山·课后作业）若，则（    ） A． B． C．6 D． 【答案】D 【分析】根据绝对值和平方的非负性得到，，代入求解即可； 【详解】由题意，得，，解得，，所以． 故选D． 【点睛】本题主要考查了绝对值的非负性应用和代数式求值，准确计算是解题的关键． 4．（24-25七年级上·甘肃庆阳·期末）定义一种对正整数n的“F运算”：①当n为奇数时，结果为；②当n为偶数时，结果为（其中k是使此次结果为奇数的正整数），并且运算可以重复进行．例如，取时，运算过程如图．若，则第2024次“F运算”后的结果是（   ） A．16 B．4 C．1 D．5 【答案】B 【分析】本题考查有理数的新定义运算，程序流程图与有理数计算．根据新定义的运算法则，分别计算出当时，第一到九次运算的结果，发现循环规律即可解答，找到循环规律是解此题的关键． 【详解】解：当时，历次运算的结果是： ，，，，，，，，…… 运算结果为 从第七次开始1和4出现循环，偶数次为4，奇数次为1， 第2024次“F运算”后的结果是4， 故选B． 5．（2025·湖北随州·模拟预测）古巴比伦的记数法是六十进制的，用表示1，用表示10，这两种符号能表示1～59的数字，例如，32可以用表示．从60起，开始使用符号组，从右往左依次是个位、六十位、三千六百位…（每一位的数值都是上一位的60倍），例如，的个位表示23个1，六十位表示2个60，所以这个符号表示143.则下列表示3812的符号是（    ） A．   B．   C．   D．    【答案】A 【分析】根据题意，分别计算出个位、六十位、三千六百位上的数字即可求解． 【详解】解：由题意，， ∴个位表示32个1，六十位表示3个60，三千六百位表示1个3600， 选项A符合题意， 故选：A． 【点睛】本题考查新定义类型的理解能力，理解古巴比伦的记数法，并正确得到各位上的数是解答的关键． 6．（24-25七年级上·江西南昌·阶段练习）月球距离地球的平均距离为384000千米，数据384000用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了科学记数法“将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数的方法叫做科学记数法”，熟记科学记数法的定义是解题关键．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．根据科学记数法的定义即可得． 【详解】解：， 故答案为：． 7．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若，，则的值为 ． 【答案】2或8/8或2 【分析】根据题意易得，然后分类求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴当时，则， 当时，则， 当时，则， 当时，则； 故答案为：2或8． 【点睛】本题主要考查有理数的乘方及绝对值，熟练掌握有理数的乘方及绝对值是解题的关键． 8．（24-25七年级上·湖南永州·阶段练习）用“◎”表示一种运算，对于任意数m，n都有．例如：．则 ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算．读懂题意，掌握新定义的运算法则是解题关键．根据新定义的运算法则先计算得，再计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 9．（24-25七年级上·四川眉山·随堂练习）用十进制计数法表示正整数，如，用二进制计数法来表示正整数，如：，记作：，记作：，则表示数 ． 【答案】43 【分析】此题考查了有理数的混合运算，正确理解题目中介绍的二进制是关键． 根据二进制计数法计算出结果即可． 【详解】解：根据二进制转化成十进制法则得， ， 故答案为：43． 10．（24-25七年级上·河北邢台·阶段练习）某面粉厂生产一种面粉，每袋以为标准质量，现抽检5袋面粉的质量，其与标准质量的差值情况如下表所示：（超过记为“”，不足记为“”） 袋数 1 2 3 4 5 差值 0 这5袋面粉的平均质量是 ． 【答案】 【分析】本题考查了正负数的意义，有理数的加减乘除运算的应用，根据正负数的意义，将表格数据算出5袋面粉质量之和，再算平均数即可求解． 【详解】解：根据题意得， ， 故答案为：． 11．（24-25七年级上·四川眉山·随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了乘法运算，有理数的乘方运算，解题的关键是熟练掌握乘法运算的法则． （1）利用有理数的乘方运算法则进行运算即可； （2）利用有理数的乘方运算法则进行运算即可； （3）利用有理数的乘方运算法则进行运算即可； （4）利用有理数的乘方运算法则进行运算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 12．（24-25七年级上·四川眉山·课后作业）用四舍五入法，把下列各数按括号内的要求取近似值． （1）0.2595（精确到千分位）；      （2）3.592（精确到0.01）； （3）20049（精确到百位）；         （4）2330万（精确到百万位）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）2330万． 【分析】由四舍五入取近似值时，由精确的那个数位起，如果后面一位上的数字大于等于5，则向前入一个，如果后面一位上的数字小于5，则马上舍去． 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）2330万． 【点睛】本题考查了近似数和有效数字，科学计算法，注意对一个数进行四舍五入时，若要求近似到个位以前的数位时，首先要对这个数用科学记数法表示． 13．（24-25七年级上·宁夏银川·期中）在学习了有理数的混合运算后，小明玩“点”游戏．游戏规则：从一副扑克牌去掉大、小王中任意抽取张，根据牌面上的数字进行加、减、乘、除、乘方混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次，可以加括号），使得运算结果为或．其中黑色扑克牌代表正数，红色扑克牌代表负数，，，，分别代表，，．小明抽到的四张牌分别是黑桃，黑桃，红桃2，红桃8，可以列出运算结果为的算式是 ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据题意，用数字，，列出算式计算结果为，即可求解． 【详解】解：小明抽到的四张牌分别是黑桃，黑桃，红桃2，红桃8，则表示数字，可以列出运算结果为的算式是； 故答案为：（答案不唯一）． 14．（24-25七年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）观察下面三行数： 2，，8，，32，，…；① 0，，6，，30，，…；② ，2，，8，，32，…；③ 观察发现：每一行的数都是按一定的规律排列的．通过你发现的规律，解决下列问题． (1)第①行的第8个数是__________，第n个数是__________； (2)第②行的第n个数是__________； (3)取每行数的第10个数，计算这三个数的和． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）观察可得从第2个数开始，后面的数等于前面的数乘以，据此求解即可； （2）观察可得第②行每个数等于第①行对应的数减去2，据此求解即可； （3）观察可得第③行，从第2个数开始，后面的数等于前面的数乘以，据此求解即可； 【详解】（1）解：第①行，从第2个数开始，后面的数等于前面的数乘以， ∴第①行的第n个数可以表示为：， 第①行的第8个数是， 第①行的第n个数是， 故答案为：，； （2）解：观察可得，第②行每个数等于第①行对应的数减去2， ∴第②行的第n个数是； （3）解：第③行，从第2个数开始，后面的数等于前面的数乘以， ∴第③行的第n个数可以表示为：， 第①行的第10个数是，第②行的第10个数是，第③行的第10个数， ∴． 【点睛】本题考查了有理数的乘方和探究数的规律，找到并表示出数列的规律是解题的关键． 15．（24-25七年级上·四川简阳·期末）阅读下列材料，回答问题． 小丽计划游玩十里蓝山的4个景点，这4个景点之间的路线如图1所示．景区内有一班观光车匀速在花海和雨林漂流之间来回载客． 小丽在游玩花海后，乘坐观光车前往彩虹滑道，在彩虹滑道游玩40分钟，接着乘坐观光车到欢乐谷，在欢乐谷游玩60分钟．图2呈现的是从开始，小丽和观光车离花海的路程（米）与时间（分）的情况（乘客上下车时间忽略不计）． 如果小丽需在之前返回花海，并且想在雨林漂流尽可能游玩更多时间，她接下来的游玩方案如下： 在欢乐谷乘坐 ① （时间点）的观光车前往雨林漂流， 在雨林漂流最多游玩 ② 分钟，再乘坐观光车直接回到花海． (1)这辆观光车的速度是多少？ (2)补全①②所缺的内容，并写出①的解答过程． 【答案】(1)400米/分 (2)①，过程见解析；②80 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，理解题意是解题的关键． （1）利用路程除以时间即可； （2）①计算观光车的时间加上小丽游玩的时间即可； ②由图可知观光车在10分钟时第一次到达雨林漂流，然后每在20分钟一次到达雨林漂流，小丽要在前返回花海，则最晚乘坐分的观光车，据此求解即可． 【详解】（1）依题意，得 观光车一个往返耗时20分钟， 行驶的路程为（米）． 则观光车的速度为：（米/分）． 答：观光车的速度为400米/分； （2）①小丽在彩虹滑道游玩40分钟， （分钟） 小丽到达欢乐谷的时间是． 小丽在欢乐谷游玩60分钟， 小丽在欢乐谷乘坐的观光车前往雨林漂流． ②从到共用时200分钟， 次余10分钟， ∴小丽想在雨林漂流尽可能游玩更多时间需乘坐的观光车， ∴小丽在返回前共用时分钟， ∴小丽在雨林漂流最多游玩分钟． 故答案为：80 学科网（北京）股份有限公司 $$