精品解析：山西省金科大联考2025-2026学年高三上学期10月质量检测数学试题（A卷）

2025~2026学年高三10月质量检测卷 数学（A卷） 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：集合与常用逻辑用语，不等式，函数与导数，三角函数与解三角形，平面向量，复数，数列. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别求出集合，，由交集的定义求解即可. 【详解】由题可得：集合，则 故选：D 2. 若复数，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数除法运算可化简得到，由虚部定义可得结果. 【详解】，的虚部为. 故选：A. 3. 已知平面向量，若，则（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由向量垂直的坐标表示求得，再结合坐标运算及模长公式即可求解. 【详解】因为， 所以，解得， 所以， 所以， 故选：D 4. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据同角三角函数基本关系及正切二倍角公式计算即可求解. 【详解】由，，得，， 所以. 故选：B. 5. 已知，且．若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由单调性定义可列出相应不等式组，计算即可得. 【详解】由题意可得，解得， 故实数的取值范围是. 故选：C. 6. 将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据题意得到，再求即可. 【详解】由题知：. . 故选：A 7. 在平行四边形中，是的中点，点在线段上．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，结合向量的线性运算将用和表示出来即可求解. 【详解】设，所以， 则，，故; 故选：B 8. 若时，，则实数的最大值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】原不等式可化为，令，对符号进行分类讨论，当时，令，问题转化为，利用导数求出，当，根据单调性和极限可求出的范围. 【详解】由题意，原不等式可化为， 令，显然函数在上单调递增且连续， 且当时，，当时，，所以的值域为R， 当，原不等式显然成立； 当时，原不等式可化为， 令，则， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增，， 所以； 当时，原不等式可化为， ，所以函数在上单调递减， 又当时，，故. 综合时可知，故最大值为. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数在复平面内的对应点为，复数在复平面内的对应点为，且，则（ ） A. B. 的共轭复数是 C. 是纯虚数 D. 复数在复平面内的对应点位于第四象限 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据复数的几何意义和向量的坐标表示求出点坐标，可判断A；根据共轭复数的定义可判断B；根据复数运算和纯虚数的定义可判断C；根据复数乘法运算和复数的几何意义可判断D. 【详解】对A，由复数可得点， 设，则，即， 解得，所以，正确； 对B，的共轭复数为，错误； 对C，，是纯虚数，正确； 对D，复数，对应点为，在第四象限，正确. 故选：ACD 10. 已知等差数列的前项和为，前项积为.若，，则（ ） A. B. 最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】CD 【解析】 【分析】由等差数列通项公式基本量的计算可判断A，由A结合二次函数可判断B，由通项公式可判断C,D. 【详解】设的公差为，由，，得，， A错误； 因为，对称轴为：， 所以时，取得最小值，B错误； 由知，，，，都小于0，，，，都大于0， 所以的最小值为，C正确； 由知，，，都小于0， ，，，都大于0， 中，，，，都小于0，其他的都大于0，显然最小，D正确. 故选：CD. 11. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A：利用指数函数的单调性可得答案；对于B：换元令，转化成关于的不等式判断即可；对于C：举反例即可；对于D：利用对数函数的单调性可得答案. 【详解】对于选项 A： 由于 ，指数函数  是减函数， 给定 ，有 ，故选项 A 错误； 对于选项 B： 令 ，则不等式可化为 . 因为  且 （即 )，， 所以  恒成立，故选项 B 正确； 对于选项 C：当  时， ，，故选项 C 错误； 对于选项 D： 等价于 由，可得，  又因为，对数函数  是减函数， 所以，故选项D正确. 故选：BD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若函数的图象关于轴对称，则实数__________． 【答案】0 【解析】 【分析】根据偶函数的性质求解即可. 【详解】因为为偶函数，. 所以，即恒成立，解得. 故答案：0 13. 已知单位向量满足，则向量与的夹角为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据向量数量积定义和运算律，结合可求得，由此可得结果. 【详解】，， 又，. 故答案为：. 14. 在平面四边形中，，且，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】在三角形中，由余弦定理求得，再通过三角形中，由正弦定理即可求解. 【详解】 因为，可得：， 又，所以， 在三角形中，由余弦定理可得： ， 所以， 又， ， 在三角形中，由正弦定理可得： 即 所以， 展开可得： 即 即， 即，， 所以， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）求； （2）设函数，求的单调区间． 【答案】（1） （2）单调递增区间：，单调递减区间为：. 【解析】 【分析】（1）由题可知，根据可求得； （2）由（1）可知的解析式，化成的形式，根据复合函数单调区间的求法，可求得的单调区间. 【小问1详解】 因函数，且，所以， 又，所以. 【小问2详解】 由（1）知：，所以， 所以. 令，显然是增函数. 因为当时，函数单调递增； 当时，函数单调递减. 所以当，即时，函数单调递增； 当，即时，函数单调递减. 所以函数的单调递增区间为：， 单调递减减区间为：. 16. 已知数列是等比数列，数列满足，. （1）求的通项公式； （2）求的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由递推关系求出，结合等比数列的通项公式即可求解. （2）由递推关系求出，利用等差数列的前项和公式求解即可. 【小问1详解】 由，，得，所以， 又是等比数列，所以公比，所以的通项公式为. 【小问2详解】 由及（1）得， 所以， 由得是等差数列， 所以的前项和为. 17. 已知中，内角的对边分别为，且． （1）求； （2）设的面积为边上的高为，求． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理角化边化简已知等式，可得，再结合余弦定理，即可求得答案； （2）根据三角形面积可求出，再利用余弦定理，即可求得答案. 【小问1详解】 由，可得， 即，则, 由于，故； 【小问2详解】 由于的面积为边上的高为， 故； 又，故， 则 ， 故. 18. 设数列，满足，，且，. （1）求数列的通项公式； （2）求证：数列是等比数列； （3）求数列的前项和. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）确定是等差数列，进而可求解； （2）由等比数列的定义即可求证； （3）由（2）求得，再由错位相减法及等差数列求和公式即可求解. 【小问1详解】 因为，所以， 所以是等差数列， 设的公差为，由，，，得， 所以. 【小问2详解】 证明：因为，， 所以， 因为，所以， 所以数列是首项为2，公比为2的等比数列. 【小问3详解】 由（2）知， 所以， ， 令， 则， 两式相减得 ， 所以， 又因为， 所以. 19. 已知函数，其中是自然对数的底数． （1）求的最值； （2）若函数在区间上有2个零点，求实数的取值范围； （3）若，讨论函数的单调性． 【答案】（1）最小值为2，无最大值； （2）； （3）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）利用导数工具研究得到函数的单调性即可求解； （2）利用导数工具研究求出函数的单调性和最值以及端点值和即可得解. （3）先求出，再求导数，再分别讨论和，的正负，从而得到的单调性. 【小问1详解】 ，， 设，， ，，， 即为上的增函数，又， 当时，，即， 在上为单调递减函数； 当时，，即， 在上为单调递增函数， 在处取得最小值，且当时， 的最小值为，无最大值. 【小问2详解】 ，， 由（1）知当时，，在上为单调递减函数； 当时，，在上为单调递增函数， 在处取得最小值为. 在上有2个解， 又，， 的取值范围是. 【小问3详解】 ， ， 由（1）知在上单调递增，且. 所以当时，， 则当时，函数单调递减；当时，函数单调递增； 当时，令，解得. 若时，则. 当时，，故函数在上单调递减. 若时，， 当时，， 故函数在和上单调递减； 当时，，函数单调递增. 若时，，当时，， 故函数在和上单调递减； 当时，，函数单调递增. 综上，当时，函数在上单调递减；在上单调递增； 时，函数在上单调递减； 时，函数在和上单调递减，在上单调递增； 时，函数在和上单调递减，在上单调递增. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年高三10月质量检测卷 数学（A卷） 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：集合与常用逻辑用语，不等式，函数与导数，三角函数与解三角形，平面向量，复数，数列. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 已知平面向量，若，则（ ） A 2 B. C. 3 D. 4. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，且．若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ） A B. C. D. 7. 在平行四边形中，是的中点，点在线段上．若，则（ ） A. B. C. D. 8. 若时，，则实数的最大值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数在复平面内的对应点为，复数在复平面内的对应点为，且，则（ ） A. B. 的共轭复数是 C. 是纯虚数 D. 复数在复平面内的对应点位于第四象限 10. 已知等差数列的前项和为，前项积为.若，，则（ ） A. B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 11. 若，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若函数的图象关于轴对称，则实数__________． 13. 已知单位向量满足，则向量与的夹角为__________． 14. 在平面四边形中，，且，则__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）求； （2）设函数，求的单调区间． 16. 已知数列是等比数列，数列满足，. （1）求的通项公式； （2）求的前项和. 17. 已知中，内角的对边分别为，且． （1）求； （2）设的面积为边上的高为，求． 18. 设数列，满足，，且，. （1）求数列的通项公式； （2）求证：数列是等比数列； （3）求数列前项和. 19. 已知函数，其中是自然对数底数． （1）求的最值； （2）若函数在区间上有2个零点，求实数取值范围； （3）若，讨论函数的单调性． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $