辽宁省东北育才学校2025-2026学年高一上学期9月月考数学试题

东北育才高中2025—2026学年度上学期高一年级数学月考试卷 答题时间：120分钟 满分：150分 命题人 校对人：庞德艳，袁野 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A【详解】因为，所以. 故选：A. 2已知命题，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由全称命题的否定为特称命题，则. 故选：D 3.不等式的解集是（ ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【详解】原不等式可化为，解得或， 所以不等式的解集为或.故选：B. 4. 如果对于任意实数，表示不超过的最大整数，例如，那么是的(    ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A  【解答】解：因为表示不超过的最大整数， 所以即在某相邻的两个整数之间， 而表示这两个数可以在两个相邻整数之间，也可在某个整数两侧距离不超过1 例如与，但是，故“”是“”的充分不必要条件．故选：． 5．已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为（   ） A． B．4 C． D．2 【答案】C 【详解】由题意可知：，是方程的两根，且， 则，可得，，则，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 故选：C. 6. 已知集合为全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取，可得出，可判断A选项；取，可判断B选项；根据，可判断C选项；根据，可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为，则、均不为空集， 因为，所以，当时，则，  又因为为的真子集，A错； 对于B选项，若，则，B错； 对于C选项，因为， 所以，，C错； 对于D选项，因为，所以，，D对. 故选：D. 7. 设，，，则的大小顺序是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对作差可求出，再对作差可求出，即可得出答案. 【详解】解：， 因为，， 而，所以，所以，， 而，，，而，所以，综上，. 故选：D. 8. 已知关于x的不等式恰有3个整数解，则实数a的取值范围是    A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】A  【解答】解：因为恰有3个整数解，所以，解得或 又，即 ①当时，不等式的解集为，因为，故3个整数解为1，2，3，则，解得 ②当时，不等式的解集为，因为，故3个整数解为，则，解得 综上所述，实数a的取值范围为或 故选： 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中正确的是    A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】AC  解：对于A，，，，A正确； 对于B，若，，则，B错误； 对于C，，，又，，C正确； 对于D，若，，，，则，，，D错误. 故选 10. 下列命题为真命题的有(    ) A. ， B. 当时，， C. 成立的充要条件是 D. “”是“”的必要不充分条件 【答案】ABD  【解答】对于，因为，故A正确； 对于，由于，所以对于，， 所以方程有实数根，故B正确； 对于，由，得，整理得，所以，故成立的充要条件是，故C错误； 对于，因为， 所以等价于， 由，可得，因为， 所以“”是“”的必要不充分条件，故D正确． 故选：． 11. 已知，且，则的值可能为（ ）． A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】，， ，，， 当且仅当，即时等号成立，此时取最大值．故答案为：A D 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若“，使得”是假命题，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】由于“，使得”是假命题， 则“，使得”是真命题， 故，则， 故答案为： 13. 在实数范围内，不等式的解集为 【答案】 【详解】试题分析：解：由不等式|2x-1|+|2x+1|≤6，可得 ①-(2x-1)+(-2x-1)≤6, x＜-， 或 ②-(2x-1)+(2x+1)≤6 -≤x＜， 或③2x-1+2x+1≤6, x 解①得-≤x＜-，解②得-≤x＜，解③得≤x≤ 把①②③的解集取并集可得不等式的解集为 14. 若、、、均为正实数，则的最小值为          ． 【答案】  【解答】解：原式 ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值为． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（13分） 已知全集，集合，集合，其中. (1)当时，求； (2)若，求a的取值范围. 【详解】（1），故，， 或 . …………4分 （2）若，则， 当时，， . …………8分 当时，，解得， . …………12分 综上，. . …………13分 16．（15分） （1）命题“”，命题“”，当p和q都为真命题时，求实数的取值范围； （2）已知，，若是的充分而不必要条件，求实数m的取值范围． 【详解】若p是真命题，则，因为，所以； . …………2分 若q为真命题，则方程有实根， 所以，即或， . …………5分 由p真q也真时，所以或； 故实数的取值范围为： . …………7分 由得． 所以“”： . …………9分 由得，所以“”：或． . …………11分 由是的充分而不必要条件知:是的真子集，故 或,解得：或，结果为, 故m的取值范围为 . …………15分 17．（15分） （1）已知a，b，c是互不相等的非零实数，用反证法证明三个方程，，中至少有一个方程有两个相异实根. 设，，，证明： 【答案】（1）证明：假设三个方程都没有两个相异实根. 则， ， ， 上述三个式子相加得，， 即，即 所以，这与a，b，c是互不相等的非零实数相矛盾.因此假设不成立， 故三个方程，，中至少有一个方程有两个相异实根. . …………7分 （2）由不等式的性质知，，， ， 所以， 又根据糖水不等式，证出， 同理可得， ， 所以， 所以 . …………15分 18．（17分） 已知函数，， (1)若不等式恒成立，求实数的取值范围； (2)当时，求不等式的解集； (3)若关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围. 【详解】（1）不等式， 当时，恒成立，则； . …………2分 当时，，解得， 所以实数的取值范围是. . …………4分 （2）当时，， 当时，或； 当时，； 当时，或， 所以当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. . …………10分 （3） 方法一： 方程化为， 当时，，解得，原方程有且仅有两个实根，不合题意； 当时，关于的一元二次方程只有一个正根，原方程有且仅有两个实根，不合题意； 当时，原方程有4个不同的实根，则关于的一元二次方程有两个不同的正根， 因此，解得或， 所以实数的取值范围为或. . …………17分 方法二：方程化为，令， 则方程有两个不等正根。令 解得或， 所以实数的取值范围为或. . …………17分 19．（17分） 已知实数，，满足. (1)求证：. (2)将上述不等式加以推广，把的分子1改为另一个大于1的自然数，使得对任意的，，恒成立，求的值. (3)继续推广，自然数，，满足什么条件时，不等式对任意，，恒成立？ 【详解】（1）证明：因为，所以，，， 所以 ， 当且仅当，即，即时等号成立， 所以，所以. . …………5分 （2）可变形为， 由（1）知的最小值为4，所以. 又，且，所以或3. . …………10分 （3）类似（2），不等式恒成立，即恒成立， 而， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即，即. 所以当自然数，，满足时，不等式对任意，，恒成立. . …………17分 高一年级数学试卷答案第2页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $东北育才高中2025一2026学年度上学期 高一年级数学月考试卷 答题时间：120分钟满分：150分命题人校对人：庞德艳袁野 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的 1.已知集合A={1,2,3,5,B={2,3,5,7,11,则A∩B=（) A.{2,3,5} B.1,2,3,5} C.{2,3,5,7,11D.{1,2,3,5,7,11 2.已知命题p:x∈Rx≥0，则p:（) A.3xR,x≥0 B.x∈R,x<0C.3xgR,<0D.3r∈R,x<0 3.不等式行店小0的解类是《) {附 c贵 4.如果对于任意实数x,[x]表示不超过的x最大整数，例如[π]=3，[0.6]=0，[「-1.6]=-2， 那么"[x=["是"xyKk1"的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 5.已知关于x的不等式ax2-bx+1>0的解集为 -m2}U0m,+四)，其中m>0,则 3 b+三的最小值为() A.42 B.4 C.2√5 D.2 高一年级数学试卷第1页，共4页 6.已知集合U为全集，集合M∩N≠⑦，MUN≠U,则() A.MU(G,N）∈M B.MO(CN)=M C.C,(MUN2CN) D.C(MON)(CM) 7.设P=},Q=V万-5，R=而-3，则P,O,R的大小顺序是（) A.P>O>R B.O>R>P C.R>P>O D.O>P>R 8.已知关于x的不等式(ad-1)x2-2m+1<0恰有3个整数解，则实数a的取值范围是 () 3、3 A.(a 4 5 4 3 或 B(a1-3 或 ≤a< 4 4 3 33 2 ca-k-1或<a< 3 3 Dala-a< 4 3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.下列说法中正确的是() A.若a>b,则口、b >2 B.若-2<a<3,1<b<2,则-3<a-b<1 c C.若a>b>0,m>0,则"< D.若a>b,c>d,则ac>bd a b 10.下列命题为真命题的有() A.Hx∈R,x2+x+1>0 B.当ac>0时，x∈R,ax2+bx-c=0 C.|x-y川=|x+y川成立的充要条件是xy>0 D.“-2<x<3”是“(x2-2x|+4)(x2-2x-3)<0的必要不充分条件 1.已知a>-6,b>0,且a(a+2b-2）=(1+bj(3-b),则，b 产+16的值可能为() B.4 C.3 D. 5 高一年级数学试卷第2页，共4页 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.若“x∈[1,4，使得2x+a+1≥0”是假命题，则实数a的取值范围为 13.在实数范围内，不等式2x-1+2x+1≤6的解集为 14.若x1、x2、、x2025均为正实数，则x1+兰十十十…十x225十 4 x1X2X2024 1x2X2025 的最小值为 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(13分) 已知全集U=R,集合A={x|-3≤x≤7}，集合B={x3-2a≤x≤2a-5},其中a∈R. (1)当a=4时，求C(AUB): (2)若AUB=A,求a的取值范围. 16.(15分) (1)命题p:“x∈[1,2]，x2-a≥0”，命题9：“3x。∈R,x2+2a。+2-a=0”,当p和q都 为真命题时，求实数a的取值范围： (2)己知p 3 ≤2，x2-2x+1-m2≤0(>0)，若P是9的充分而不必要条 件，求实数m的取值范围. 17.(15分) (1)已知a,b,c是互不相等的非零实数，用反证法证明三个方程x2+2bx+c=0, bx2+2Cx+a=0,cx2+2ax+b=0中至少有一个方程有两个相异实根 (②设x>0,y>0,>0,证明：1<x+》+三<2 x+yy+二5+x 高一年级数学试卷第3页，共4页 18.(17分) 已知函数y=ax2-(a+2)x+2,a∈R, (1)若不等式y<3-2x恒成立，求实数a的取值范围； (2)当a>0时，求不等式y≥0的解集： (3)若关于x的方程2-(a+2)川x+2=-1有四个不同的实根，求实数a的取值范围. 19.(17分) 已知实数a,b,C满足a>b>c. 1+ 1+1>0. ①)求证：a-bb-c (因将上述不等式加以排广，把。a的分子1政为月一个大于1的自然数D,使得 1+,1+卫>0对任意的a,b,c恒成立，求P的值. a-b b-c c-a (3)继续推广，自然数m,n,卫满足什么条件时，不等式m十”+P>0对任意 Ma-b'b-cc-a a,b,c恒成立？ 高一年级数学试卷第4页，共4页