精品解析：黑龙江省哈尔滨市萧红中学校2025-2026学年九年级上学期9月考试数学试题

萧红中学20254—2026学年度上学期 九学年•数学 学科•阶梯作业 （同学们，请将所有试题答案完整书写在“答卷页”上，否则无效．） 一、单选题（每题3分，共30分） 1. ﹣6的相反数是（　　） A. ﹣6 B. ﹣ C. 6 D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线都是轴对称图形，其中有两条对称轴的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 分式方程的解是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，某小区规划在一个长为，宽的矩形场地上，修建三条同样宽的小路，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种草．若要使草坪部分的总面积为，设小路的宽为．则可列方程（ ） A. B. C. D. 7. 我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（）．如图，在中，，顶角的正对记作，这时，根据上述角的正对定义，则的值为（ ） A. B. C. D. 1 8. 在中，，，且的周长为36，则此三角形的面积为（ ） A. 12 B. 24 C. 48 D. 96 9. 下列命题是真命题的有（ ） ①三角形中一个角的对边与邻边的比叫做这个角的余弦；②相似三角形的面积之比等于相似比；③两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；④等角的同名三角函数值相等 A. ②③ B. ①④ C. ①② D. ③④ 10. A，B两地相距，甲、乙两人沿同一条路从A地到B地．甲、乙两人离开A地的距离S（单位：）与时间t（单位：h）之间的关系如图所示：下列说法错误的是（ ） A. 乙比甲提前出发 B. 甲行驶的速度为 C. 3h时，甲、乙两人相距 D. 或时，乙比甲多行驶 二、填空题（每题3分，共30分） 11. 华为是我国一家高科技公司，公司立足创新，生产的麒麟9000芯片采用的是5纳米工艺制造，拥有2000000000个晶体管，性能出色，能够轻松应对各种复杂的任务．数据2000000000用科学记数法表示为______． 12. 在函数中，自变量x的取值范围是________． 13. 计算：_____． 14. 把多项式分解因式的结果是_________． 15. 不等式组的解集为______． 16. 烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，如图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种甲烷如图①有4个氢原子，第2种乙烷如图②有6个氢原子，第3种丙烷如图③有8个氢原子，…按照这一规律，第8种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是_________． 17. ，，，的面积为，则的面积为__________． 18. 如图，某数学实践小组测量一棵垂直于地面的树的高度．在点A处测得树顶C的仰角为，在点B处测得树顶C的仰角为，且A、D、B三点在同一直线上，若米，则这棵树的高度是______米． 19. 在中，，，，则的长为______． 20. 如图，在矩形中，，，N为的中点，M在线段上，且，分别与，交于P，H两点，则的长是____________． 三、解答题（21－22题，每题7分，23－24题，每题8分，25－27题，每题10分） 21. 先化简，再求代数式的值，其中． 22. 如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段的端点均在小正方形的顶点上，请按要求画出图形，使得它们的顶点均在小正方形的顶点上； （1）画出一个以为一边的，点E在小正方形的顶点上，且； （2）画出以为一腰的等腰，点F在小正方形的顶点上，且的面积为，连接，请直接写出线段的长． 23. 为增强学生的身体素质，教育行政部门规定学生每天户外活动的平均时间不少于l小时，为了解学生参加户外活动的情况，对某校部分学生参加户外活动的时间进行抽样调查，并将调查结果绘制成如图所示中两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题： （1）求本次调查共抽取了多少名学生？ （2）通过计算补全条形统计图． （3）如果这个校共有1200名学生，请估计该校学生中户外活动的平均时间为2小时的学生有多少名？ 24. 如图，中，，于点，于点E，交于点F． （1）求证：； （2）在不添加任何辅助线的条件下，找出图中所有与相似的三角形． 25. 某商店购进A、B两种品牌的工具，若购进A种工具10件，B种工具20件，共需要280元；若购进A种工具15件，B种工具10件，共需要220元 （1）求该商店购进A、B两种品牌的工具每件各需要多少元？ （2）若该商店准备购进A、B两种品牌的工具共60件，且总预算费用不超过550元，那么该商店最多可购进B种品牌的工具多少件？ 26. 阅读下面材料，并解决问题： （1）如图1、等边内有一点P，若点P到顶点、、的距离分别为2，1，，求的度数． 为了解决本题，我们可以选择将作为“基础图形”，将理解为“基础图形”引发的“旁线”，选择以“旁线”为边构造一个与“基础图形”相似的三角形（即作等边，如图2所示），再连接对应线段，这样就可以利用旋转变换，将三条线段、、转化到一个三角形中，从而求出______； （2）思维进阶：如图3，为任意三角形，可视为“基础”引发的“旁线”，可选择以为边构造一个与“基础”相似的三角形，从而实现边角的转移． 如图4，即是按如上思路构造的与相似的三角形，连接．求证：； （3）尝试应用：如图5，中，，，在外，连接，若，，，求的长． 27. 在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点B． （1）如图1，求的度数； （2）如图2，以为边在第二象限内作等边，在延长线上，连接，设点P的横坐标为，的面积为S，求S与t的函数关系式；（不要求写出自变量的取值范围） （3）如图3，在（2）的条件下，D在上，，连接，E在上，连接，，在上，连接，，，，若，求点P坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 萧红中学20254—2026学年度上学期 九学年•数学 学科•阶梯作业 （同学们，请将所有试题答案完整书写在“答卷页”上，否则无效．） 一、单选题（每题3分，共30分） 1. ﹣6的相反数是（　　） A. ﹣6 B. ﹣ C. 6 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据相反数的意义，即可解答． 【详解】解：的相反数是6， 故选：C． 【点睛】本题考查了相反数，熟练掌握相反数的意义是解题的关键． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方和同底数幂的除法逐一判断即可． 【详解】解：A． ，故本选项错误； B． ，故本选项正确； C． ，故本选项错误； D． ，故本选项错误； 故选B． 【点睛】此题考查的是幂的运算性质，掌握同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方和同底数幂的除法是解决此题的关键． 3. 数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线都是轴对称图形，其中有两条对称轴的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，找对称轴，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形． 找出一条直线，沿该直线折叠使得直线两旁的部分能够完全重合，即为对称轴． 【详解】解：A、该图形只有1条对称轴，为轴所在的直线，故不符合题意； B、该图形只有1条对称轴，为第一、三象限的角平分线，故不符合题意； C、该图形有2条对称轴，为轴和轴所在的直线，故符合题意； D、该图形只有1条对称轴，为轴所在的直线，故不符合题意； 故选：C． 4. 如图，在中，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了求余弦，勾股定理，先根据勾股定理求出的长，再根据锐角三角函数的定义解答，掌握三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∴， 故选：B． 5. 分式方程的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，先把分式方程为一元一次方程，解出，注意要验根，即可作答． 【详解】考查目标 能解可化为一元一次方程的分式方程． 解：去分母，得； 移项，合并同类项，得； 系数化为1，得； 经检验，是原分式方程的解． 故选B． 6. 如图，某小区规划在一个长为，宽的矩形场地上，修建三条同样宽的小路，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种草．若要使草坪部分的总面积为，设小路的宽为．则可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，除了小路，其余部分拼为一个长，宽的矩形，根据矩形面积公式求解即可． 【详解】解：设小路的宽度为， 则草坪的总长度和总宽度应该为， 根据题意，得， 故选：B 7. 我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（）．如图，在中，，顶角的正对记作，这时，根据上述角的正对定义，则的值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，定义新运算，理解新定义运算的规则，掌握等边三角形的判定和性质是解题的关键． 根据顶角正对的概念，结合等边三角形三边关系即可求解． 【详解】解：∵在中，，， ∴是等边三角形，即， ∴，   故选：D ． 8. 在中，，，且的周长为36，则此三角形的面积为（ ） A. 12 B. 24 C. 48 D. 96 【答案】C 【解析】 【分析】过A作于D，设，则， 由勾股定理可得，再由的周长为36，可得，然后根据三角形的面积公式求出即可． 本题考查了解直角三角形、三角形的面积、勾股定理、等腰三角形的性质等知识点，关键是得出关于a的方程和构造直角三角形． 【详解】解：过A作于D， ∵， ∴可设，则， 由勾股定理得：， ∵， ， ∵的周长为36， ∴， 解得：， ∴， ∴的面积是 ， 故选：C． 9. 下列命题是真命题的有（ ） ①三角形中一个角的对边与邻边的比叫做这个角的余弦；②相似三角形的面积之比等于相似比；③两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；④等角的同名三角函数值相等 A. ②③ B. ①④ C. ①② D. ③④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及定理，难度不大． 利用平行线分线段成比例定理、相似三角形的性质、锐角三角函数分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：①在直角三角形中，一个锐角的邻边与斜边的比叫做这个角的余弦，原命题是假命题； ②相似三角形的面积之比等于相似比的平方，原命题是假命题； ③两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，是真命题； ④等角的同名三角函数值相等，是真命题． 故选：D． 10. A，B两地相距，甲、乙两人沿同一条路从A地到B地．甲、乙两人离开A地的距离S（单位：）与时间t（单位：h）之间的关系如图所示：下列说法错误的是（ ） A. 乙比甲提前出发 B. 甲行驶的速度为 C. 3h时，甲、乙两人相距 D. 或时，乙比甲多行驶 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，由图象可以直接判断A正确；根据图象可以求出甲车速度，可以判断B正确；求出乙车速度再求乙车走的路程和甲车走的路程即可判断C；分两种情况求出甲、乙走的路程即可判断D． 【详解】解：由图象可得，乙车比甲车早出发1小时，故A正确； 甲的速度是，故B正确； 乙的速度是， 甲车行走的路程为， 乙车行走的路程为， ∴后甲、乙相距，故C错误； 乙车走了， 甲车还在A地没出发，此时乙比甲多行驶，乙走了， 此时甲行走的路程为， 乙车比甲车多走了，故D正确． 故选：C． 二、填空题（每题3分，共30分） 11. 华为是我国一家高科技公司，公司立足创新，生产的麒麟9000芯片采用的是5纳米工艺制造，拥有2000000000个晶体管，性能出色，能够轻松应对各种复杂的任务．数据2000000000用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：2000000000用科学记数法表示为， 故答案为：． 12. 在函数中，自变量x的取值范围是________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式与分式有意义的条件及自变量的取值范围，熟练掌握二次根式与分式有意义的条件及自变量的取值范围是解题的关键；由题意易得且，然后进行求解即可． 【详解】解：由题意得：且， 解得：且； 故答案为且． 13. 计算：_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减运算． 先去括号，再计算减法即可． 【详解】解：， 故答案为：． 14. 把多项式分解因式的结果是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解．先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 15. 不等式组的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】分别求出两个不等式的解集，再取它们公共部分的解集，即可作答． 本题主要考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）是解题的关键． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为． 故答案为： 16. 烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，如图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种甲烷如图①有4个氢原子，第2种乙烷如图②有6个氢原子，第3种丙烷如图③有8个氢原子，…按照这一规律，第8种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是_________． 【答案】18 【解析】 【分析】本题考查图形变化的规律，发现规律是关键．根据所给图形，依次求出模型中氢原子的个数，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由所给图形可知， 第1种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：； 第2种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：； 第3种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：； 第4种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：； 第5种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：； …， 所以第n种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为个， 当时，（个）， 即第8种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为18个． 故答案为：18． 17. ，，，的面积为，则的面积为__________． 【答案】36 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 根据相似三角形的性质可得，据此即可得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵的面积为， ∴的面积为：， 故答案为：． 18. 如图，某数学实践小组测量一棵垂直于地面的树的高度．在点A处测得树顶C的仰角为，在点B处测得树顶C的仰角为，且A、D、B三点在同一直线上，若米，则这棵树的高度是______米． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用．设米，，根据三角形函数得出，，根据，得出，求出，据此计算即可得出答案． 【详解】解：由题意得：， 设米， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ， ∴， 解得：， ∴， 这棵树的高度约为米． 故答案为：． 19. 在中，，，，则的长为______． 【答案】19或29 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，利用分类思想解答是解题的关键． 过点C作，垂足为点D，然后分两种情况：当点D在边上时，当点D在边的延长线上时，即可求解． 【详解】解：如图，过点C作，垂足为点D， 当点D在边上时， 在中，，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴； 当点D在边的延长线上时， 在中，，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴； 综上所述，的长为19或29． 故答案为：19或29． 20. 如图，在矩形中，，，N为的中点，M在线段上，且，分别与，交于P，H两点，则的长是____________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据矩形的性质得 ，再结合题意可求出，并根据勾股定理求出，然后说明，可得，求出， 再取的中点，连接，可求出，再根据中位线的性质得，然后证明，根据对应边成比例得出答案． 【详解】∵四边形是矩形，，， ∴． ∵点M在线段上，且， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴，． 取的中点，连接，则． ∵N是的中点， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，相似三角形的性质和判定，准确的作出辅助线是解题的关键． 三、解答题（21－22题，每题7分，23－24题，每题8分，25－27题，每题10分） 21. 先化简，再求代数式的值，其中． 【答案】 【解析】 【分析】本题综合考查了分式的化简与特殊角的三角函数值的混合运算，解这类题的关键是利用分解因式的方法化简分式，将已知量与未知量联系起来． 可先将此代数式进行化简，再将代入计算即可． 【详解】解：原式 ， ． 原式． 22. 如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段的端点均在小正方形的顶点上，请按要求画出图形，使得它们的顶点均在小正方形的顶点上； （1）画出一个以为一边的，点E在小正方形的顶点上，且； （2）画出以为一腰的等腰，点F在小正方形的顶点上，且的面积为，连接，请直接写出线段的长． 【答案】（1） 即为所求； （2）即为所求 【解析】 【分析】本题主要考查作图-应用与设计作图，解题的关键是熟练掌握勾股定理及其逆定理、等腰三角形的判定． （1）以为直角边作等腰直角三角形即可得； （2）以为一腰的等腰，高为3，依据面积确定为5即可；由勾股定理可得线段的长． 【小问1详解】 解：如图， ， ， ∴是以为腰的等腰直角三角形， ， 故即为所求； 【小问2详解】 如图，，， ， 的面积为，， 故高为3， 故即为所求； ． 23. 为增强学生的身体素质，教育行政部门规定学生每天户外活动的平均时间不少于l小时，为了解学生参加户外活动的情况，对某校部分学生参加户外活动的时间进行抽样调查，并将调查结果绘制成如图所示中两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题： （1）求本次调查共抽取了多少名学生？ （2）通过计算补全条形统计图． （3）如果这个校共有1200名学生，请估计该校学生中户外活动的平均时间为2小时的学生有多少名？ 【答案】（1）在这次调查中共调查了80名学生 （2） 补全图形为如图： （3）户外活动时间为2小时的学生有180名 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体等知识，弄清题意，根据统计图得出解题所需数据是解本题的关键． （1）利用参加户外活动的时间为1小时的学生除以其所在百分比，即可获得答案； （2）首先计算出户外活动时间为0.5小时的学生人数，然后补全条形统计图即可； （3）用总人数乘以样本中户外活动为2小时的学生的百分比，可得答案． 【小问1详解】 解： （名）， 答：在这次调查中共调查了80名学生． 【小问2详解】 户外活动时间为0.5小时的学生有：（名）， 【小问3详解】 （名）， 答：户外活动时间为2小时的学生有180名． 24. 如图，中，，于点，于点E，交于点F． （1）求证：； （2）在不添加任何辅助线的条件下，找出图中所有与相似的三角形． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）、、 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定： （1）证明，即可求证； （2）根据相似三角形的判定定理解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， 同理， 综上所述，与相似的三角形有、、． 25. 某商店购进A、B两种品牌的工具，若购进A种工具10件，B种工具20件，共需要280元；若购进A种工具15件，B种工具10件，共需要220元 （1）求该商店购进A、B两种品牌的工具每件各需要多少元？ （2）若该商店准备购进A、B两种品牌的工具共60件，且总预算费用不超过550元，那么该商店最多可购进B种品牌的工具多少件？ 【答案】（1）8元，10元 （2）35件 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组和不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解． （1）设该商店购进A、B两种品牌的工具每件各需要x元、y元，根据购进A种工具10件，B种工具20件，共需要280元；若购进A种工具15件，B种工具10件，共需要220元，列方程组求解； （2）设该商店可购进B种品牌的工具m件，根据该商店准备购进A、B两种品牌的工具共60件，且总预算费用不超过550元，列出不等式，然后求出即可． 【小问1详解】 解：设该商店购进A、B两种品牌的工具每件各需要x元、y元． ， 解得， 答：该商店购进A、B两种品牌的工具每件各需要8元、10元． 【小问2详解】 该商店可购进B种品牌的工具m件． ， 解得， 答：该商店最多可购进B种品牌的工具35件． 26. 阅读下面材料，并解决问题： （1）如图1、等边内有一点P，若点P到顶点、、的距离分别为2，1，，求的度数． 为了解决本题，我们可以选择将作为“基础图形”，将理解为“基础图形”引发的“旁线”，选择以“旁线”为边构造一个与“基础图形”相似的三角形（即作等边，如图2所示），再连接对应线段，这样就可以利用旋转变换，将三条线段、、转化到一个三角形中，从而求出______； （2）思维进阶：如图3，为任意三角形，可视为“基础”引发的“旁线”，可选择以为边构造一个与“基础”相似的三角形，从而实现边角的转移． 如图4，即是按如上思路构造的与相似的三角形，连接．求证：； （3）尝试应用：如图5，中，，，在外，连接，若，，，求的长． 【答案】（1） （2） 证明：如图，作，交于点E，连接， ∴，， ∴， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）以为边在的右侧作等边，连接，证明，可得，，再由勾股定理逆定理可得，然后根据特殊角三角函数值可得，即可求解； （2）作，交于点E，连接，可得，，从而得到，即可求证； （3）作，过点E作，垂足为点E，连接，则，根据，可设，则，再由，可得，，然后根据，可得，，可证明，可得，再由，可得，然后根据勾股定理解答即可． 【小问1详解】 解：如图，以为边在的右侧作等边，连接， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，即， ∵， ∴， ∴； 故答案为： 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，作，过点E作，垂足为点E，连接，则， ∵， ∴， ∴， 可设，则， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理及其逆定理，相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，熟练掌握勾股定理及其逆定理，相似三角形的判定和性质，利用类比思想解答是解题的关键． 27. 在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点B． （1）如图1，求的度数； （2）如图2，以为边在第二象限内作等边，在延长线上，连接，设点P的横坐标为，的面积为S，求S与t的函数关系式；（不要求写出自变量的取值范围） （3）如图3，在（2）的条件下，D在上，，连接，E在上，连接，，在上，连接，，，，若，求点P坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求出点，，可得，，再由特殊角锐角三角函数解答即可； （2）根据直角三角形的性质可得，再根据等边三角形的性质，可得，然后根据三角形的面积公式，即可求解； （3）在上取点H，使，作，交的延长线于点M，连接，交x轴于点N，则，证明，可得，，再证明，可得，连接，延长交x轴于点G，再结合等腰三角形的判定和性质可得，然后根据三角形中位线定理可得，，从而得到，在上取点R，使， 证明，可得，然后证明，可得，过点F作于点S，过点P作于点T，则，设，，则，其中，根据，可得到，即，再由，列出方程，求出a的值，即可求解． 【小问1详解】 解：当时，， 当时，，解得：， ∴点，， ∴，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：在中，∵，， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∵点P的横坐标为，的面积为S， ∴， 即S与t的函数关系式为； 【小问3详解】 解：如图，在上取点H，使，作，交的延长线于点M，连接，交x轴于点N，则， ∵为等边三角形， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，轴， ∴， ∴， 连接，延长交x轴于点G， ∵， ∴， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 在上取点R，使， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵轴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 过点F作于点S，过点P作于点T，则， 设，，则，其中， ∴，， ∴， 整理得：，即， ∵，即， ∴， 整理得：， ∴， 即， 解得：或， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意； 此时， ∴点P的坐标为． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，全等三角形的判定和性质的综合应用，含30度直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等，难度大，是中考的压轴题，根据题意作出合适的辅助线构造全等三角形和特殊三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $