第十四章全等三角形-全等辅助线2025-2026学年人教版（2024）八年级数学上册

第3讲全等辅助线二 课时1截长补短 日知识梳理 截长补短法： 截长补短法分截长法与补短法两种，具体作法是在某条线段上截 取一条线段与特定线段相等，或将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用 三角形全等的有关性质加以说明. 使用场景在题目的条件或结论中，见线段的和或差，可考虑截长补短· 【举例】题目条件或求证结论中含有“AB=CD+EF时，可考虑截长补短. 辅线描述 B D E F 求证：EF=AB+CD B C D ● 截长法 E F IM 在EF上截取EM=AB,证明MF=CD E E D 补短法 B N 延长AB至点N,使得BN=CD,证明AN=EF 日实战演练 1.如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AD⊥BC于D,且AB+BD=DC,那么∠C= 度 B D 2.如图，在△ABC中，∠B=2∠C,AD⊥BC于D,求证：CD=BD+AB. A C 3.已知：如图，四边形ABCD是正方形，∠FAD=∠FAE.求证：BE+DF=AE. A D B E 4.己知四边形ABCD是正方形，E、F分别在CB、CD的延长线上，∠EAF=135°， 求证：BE=EF-DF. 课时1截长补短加油练习题 1.如图，△ABC的面积为S,AD平分∠BAC,AD⊥BD于D,连接CD,则△ACD的 面积 B D 2.在△ABC中，AD平分∠BAC,∠B=2∠ADB,AB=3,CD=5,则AC的长为(). D A.6 B.7 C.8 D.9 3.如图，等腰直角△ABC中，AC=BC,∠ACB=90°，∠A、∠C的平分线交于点P (1)求证：AB=CP+BC. B (2)若∠A的外角平分线以及∠C的平分线交于点P,(1)中结论是否仍成立？请画 出图形，写出结论，并说明理由. A B 4.如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AD⊥BC于D,且AB+BD=CD,则∠C的大 小是(). A.20 B.25° C.30° D.大于30 5.如图，∠C=2∠B,AD⊥BC,AC=5,CD=3,则BC为(). ⊙ A.7 4 B.9 C.11 D.13 课时2角平分线相关的辅助线 日知识梳理 利用角平分线构造对称型全等1.角分线分两边截取：以角平分线为轴将图形 翻折，在角平分线两侧构造全等三角形.如图：△PON≌△POM( M B 2.角分线垂两边作垂线：由角平分线上的一点向角的一边或两边作垂线构造全 等三角形.如图：△PON≌△POM( 3.角分线垂中间延长：当题设有角平分线及与角平分线垂直的线段时，可延长 这条线段与角的另一边相交构造全等三角形.如图：△PON≌△POM N M B 日实战演练 1.如图，∠AOP=∠0PC=15°，PC/DO,PD⊥OB,若0C=8,则PD等于 D B 2.如图，△ABC中，∠BAC的平分线交BC于点D,AB=AC+CD,∠C=80°，那 么∠B的度数是° D 3.如图所示，在△ABC中，AE平分∠BAC,BE⊥AE,∠ABE=2∠C,若BE=1, 则AC-AB=一 A B C 4.等腰△ABC底边上的高AD与底角平分线CE交于点P,EF⊥AD,F为垂足，若线 段EB=4,则线段EF=_一 F▣ 力 D 课时2角平分线相关的辅助线加油练习题 1.如图，AD是∠BAC的平分线，DF⊥AB,垂足为F,DE=DG,△ADG和△AED的 面积分别为50和39，则△EDF的面积为(). E C A.11 B.5.5 C.7 D.3.5 2.如图，AD是等腰△ABC底边BC边上的中线，BE平分∠ABC,交AD于点E, AC=12,DE=3,则△ABE的面积是(). E B A.16 B.18 C.32 D.36 3.如图，BP是∠ABC的平分线，AP⊥BP于P,连接PC,若△ABC的面积为1cm2, 则△PBC的面积为(). B A.0.4cm2 B.0.5cm2 C.0.6cm2 D.不能确定 4.如图，点E是BC的中点，AB⊥BC,DCLBC,AE平分∠BAD,下列结论： ①∠AED=90°；②∠ADE=∠CDE;③DE=BE;④AD=AB+CD 四个结论中成立的是(). A.①②④ B.①②③ C.②③④ D.①③ B E 5.如图，AB/CD,BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB,AD过点P,且与AB垂直.若 AD=8,则点P到BC的距离是· D 参考答案 课时1截长补短 日实战演练 1. 【答案】20 【解析】解：如图，在DC上截取DE=DB,连接AE, 设∠C=E, AB+BD=DC,DE=DB, ..CE=AB 又，AD⊥BC,DB=DE, ,直线AD是BE的垂直平分线， ∴.AB=AE ..CE=AE, ∴∠B=∠AEB,∠C=∠CAE】 又，∠AEB=∠C+∠CAE, .∠AEB=2x, .∠B+∠C=3z=180°-120°=60°， .∠C=20°. 故答案为：20 A B D E 2. 【答案】见解析 【解析】解：方法一：在CD上截取DE=BD,连接AE, A D E :AD⊥BC,.∠ADB=∠ADE=90°， ∴，△ABD≌△AED(SAS),∴AE=AB,∠AEB=∠B=2LC, .LCAE=LC,∴CE=AE=AB .CD=CE+DE=AB+BD. 方法二：延长CB到F,使BF=AB,连接AF, B D BZF=LBAR∠ABC=LO .AD⊥BC,.∠ADB=∠ADC=90°， ∴.△ADF≌△ADC(AA),∴.DF=DC. DF=BF+BD=AB+BD, ∴.CD=AB+BD 3. 【答案】见解析 【解析】证明：如图，延长CB至M,使得BM=DF,连接AM. A M C B .AB=AD,AD⊥CD,AB⊥BM,BM=DF, ∴.△ABM≌△ADF,.∴，∠AFD=∠AMB,∠DAF=∠BAM. :AB/CD,∠AFD=∠BAF=LEAF+∠BAE=∠BAE+∠BAM=LEAM, ∴.∠AMB=∠EAM, .AE=EM=BE+BM=BE+DF. 4 10