精品解析：四川省绵阳南山中学2025-2026学年高三上学期一诊模拟数学试题

四川省绵阳南山中学2025-2026学年高三上学期一诊模拟数学试题 （全卷满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在本试卷和答题卡相应位置上. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答.答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先画掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 4.考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知复数是的共轭复数，则（ ） A. B. C. D. 2. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 某学校为了庆祝建校60周年，计划对学校校门的梯形花坛进行美化.计划第一排摆放12个花盆，从第二排开始每排比前一排多摆放6个花盆，梯形花坛最多摆放10排，则该校花坛铺满一共需要的花盆数是（ ） A. 380 B. 390 C. 400 D. 600 4. 已知与的夹角为，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 将函数的图象先向左平移个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的，得到函数的图象，则（ ） A. B. C. D. 6. 设函数则满足的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 若l，m是两条不同的直线，平行于平面，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知函数，，若关于x的不等式在区间内有且只有两个整数解，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知、是随机事件，则下列结论正确的是（ ） A. 若、是互斥事件，则 B. 若、是对立事件，则、是互斥事件 C. 若事件、相互独立，则 D. 事件、至少有一个发生的概率不小于、恰好有一个发生的概率 10. 设曲线，点，点是曲线上的动点，则下列结论错误的是（ ） A. 曲线的离心率是 B. C. 面积的最大值为 D. 以线段为直径的圆与直线相切 11. 若四面体的三组对棱分别相等，即，则下列结论正确的是（ ） A. 四面体每组对棱相互垂直 B. 四面体每个面的面积相等 C. 连接四面体每组对棱中点的线段相互垂直平分 D. 从四面体每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于且小于 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 双曲线的右焦点和虚轴上的一个端点分别为F，A，点为双曲线左支上一点，若周长的最小值为6b，则双曲线的离心率为____________. 13. 某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x，y，10，11，9．已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x﹣y|的值为_____． 14. 已知定义在区间上的函数满足下列三个条件： ①对任意的，总有成立； ②； ③当时，总有， 那么，____________. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）若存在，使得成立，求实数的取值范围． 16. 如图，四棱锥中，底面是边长为3的菱形，，面，且，在棱上，且，在棱上. （1）若面，求的值； （2）求二面角的余弦值. 17. 绵阳市37家A级旅游景区，在2023年国庆中秋双节期间，接待人数和门票收入大幅增长．绵阳某旅行社随机调查了市区100位市民平时外出旅游情况，得到的数据如下表： 喜欢旅游 不喜欢旅游 总计 男性 20 30 50 女性 30 20 50 总计 50 50 100 （1）能否有的把握认为喜欢旅游与性别有关？ （2）将频率视为概率，从全市男性市民中随机抽取2人进行访谈，记这2人中喜欢旅游的人数为，求的分布列与数学期望． 附： 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 18. 已知双曲线的虚轴长为2，其中一条渐近线方程为.且，分别是双曲线的左、右顶点. （1）求双曲线的方程； （2）设过点的动直线交双曲线右支于，两点，若直线，的斜率分别为，. ①试探究与的比值是否为定值.若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由； ②设，，，若，（），求的面积. 19. 已知函数，其中． （1）讨论函数的单调性； （2）若，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省绵阳南山中学2025-2026学年高三上学期一诊模拟数学试题 （全卷满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在本试卷和答题卡相应位置上. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答.答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先画掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 4.考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知复数是的共轭复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据共轭复数的定义求出，再根据复数的乘法运算法则计算. 【详解】已知，所以， . 故选：A. 2. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由函数值域求出集合，解绝对值不等式求出集合，由交集定义求得结果. 【详解】因为，所以， 进而，即， 因为，所以，即， 由集合的交集定义可得， 故选：C. 3. 某学校为了庆祝建校60周年，计划对学校校门的梯形花坛进行美化.计划第一排摆放12个花盆，从第二排开始每排比前一排多摆放6个花盆，梯形花坛最多摆放10排，则该校花坛铺满一共需要的花盆数是（ ） A. 380 B. 390 C. 400 D. 600 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意将每排摆放花的盆数理解为等差数列，然后根据等差数列前项和进行求解即可. 【详解】记每排摆放的花盆数为，数列的前项和为. 由题意可知，数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以. 故将该花坛铺满一共需要盆花. 故选：B 4. 已知与的夹角为，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量点积的定义和运算律即可求解． 【详解】， 所以， 即，解得． 故选：B． 5. 将函数的图象先向左平移个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的，得到函数的图象，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数变化求出的表达式，再求的值. 【详解】函数的图象先向左平移个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的， 得到函数， 进而， 故选：B. 6. 设函数则满足的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对的取值范围分，，三种情况进行分类讨论，分别求解对应的不等式即可得到最终结果. 【详解】当，则， ，， 成立， 当时，， ， ，解得：. . 当时， ，， 成立， 综上所述：. 故选：C 7. 若l，m是两条不同的直线，平行于平面，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】首先利用长方体判断不满足充分性，再根据线面垂直的性质判断必要性，即可得到答案. 【详解】充分性：如图所示，在长方体中，满足：，， 此时不垂直平面，故不满足充分性. 必要性：可推出，满足必要性. 所以“”是“”的必要而不充分条件. 故选：B 8. 已知函数，，若关于x的不等式在区间内有且只有两个整数解，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将化为，再根据函数在区间内为增函数，化为，即.令，利用导数研究函数的性质，得函数的图象，根据图象列式可求出结果. 【详解】显然， 由，得，得， 得， 令，，则， 所以函数区间内为增函数， 所以可化为，即，即， 所以关于x的不等式在区间内有且只有两个整数解， 令，则， 令，得，令，得， 所以在上为减函数，在上为增函数， 因为关于x的不等式在区间内有且只有两个整数解， 结合图形可知，满足题意的整数解只能是和， 所以，即. 故选：D 【点睛】关键点点睛：利用函数的单调性，将化为，再构造函数，利用的图象求解是本题解题关键. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知、是随机事件，则下列结论正确的是（ ） A. 若、是互斥事件，则 B. 若、是对立事件，则、是互斥事件 C. 若事件、相互独立，则 D. 事件、至少有一个发生的概率不小于、恰好有一个发生的概率 【答案】BD 【解析】 【分析】利用互斥事件的定义可得出，进而可判断A选项；利用对立事件的定义可判断B选项；利用并事件的概率公式以及独立事件的概率公式可判断C选项；列举两个事件所包含的基本情况，可判断D选项. 【详解】对于A选项，若、是互斥事件，则，则，A错； 对于B选项，若、是对立事件，则、是互斥事件，B对； 对于C选项，若事件、相互独立， 则，C错； 对于D选项，事件、至少发生一个包含三种情况：、、， 事件、恰好发生一个包含两种情况：、， 因此，事件、至少有一个发生的概率不小于、恰好有一个发生的概率，D对. 故选：BD. 10. 设曲线，点，点是曲线上的动点，则下列结论错误的是（ ） A. 曲线的离心率是 B. C. 面积的最大值为 D. 以线段为直径的圆与直线相切 【答案】ABC 【解析】 【分析】先根据椭圆的定义得到曲线为椭圆，再分析椭圆的性质，逐项判断即可. 【详解】易知，所以曲线是一个椭圆，. 其标准方程是. 曲线的离心率是，所以A错误. 设，则， 所以， 因为，所以，故B错误； ，所以C错误； 以线段为直径的圆，圆心为，半径为， 圆心到直线的距离， 所以以线段为直径的圆与直线相切，因此D正确. 故选：ABC 11. 若四面体的三组对棱分别相等，即，则下列结论正确的是（ ） A. 四面体每组对棱相互垂直 B. 四面体每个面的面积相等 C. 连接四面体每组对棱中点的线段相互垂直平分 D. 从四面体每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于且小于 【答案】BC 【解析】 【分析】根据对边相等的四面体的性质,一般放到长方体中去分析，利用举反例和全等等性质判断各个选项. 【详解】易知，四面体为长方体的面对角线组成的三棱锥，如图所示. 对于A，当四面体棱长都相等时，四面体的每组对棱互相垂直，故A错误； 对于B，由四面体的对棱相等可知四面体的各个面全等，它们的面积相等，故B正确； 对于C，由长方体的性质可知四面体的对棱中点连线必经过长方体的中心， 由对称性知连接四面体每组对棱中点的线段相互垂直平分，故C正确； 对于D，当四面体的所有棱长相等时，过任意一个定点的两条棱的夹角均为， 则两两夹角之和为，故D错误. 故选：BC. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 双曲线的右焦点和虚轴上的一个端点分别为F，A，点为双曲线左支上一点，若周长的最小值为6b，则双曲线的离心率为____________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意求得 的坐标，设出，运用双曲线的定义可得，则的周长为，运用三点共线取得最小值，可得，由的关系，结合离心率公式，计算即可得到所求值. 【详解】由题意可得，设， 由双曲线的定义可得， ， ， 则的周长为， 当且仅当共线，取得最小值，且为， 由题意可得，即，， 则. 故答案为：. 13. 某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x，y，10，11，9．已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x﹣y|的值为_____． 【答案】4 【解析】 【分析】利用平均数、方差的概念列出关于的方程组，解方程即可得到答案． 【详解】由题意可得：， 设，，则，解得， ∴ 故答案为4． 【点睛】本题考查统计的基本知识，样本平均数与样本方差的概念以及求解方程组的方法，属于基础题． 14. 已知定义在区间上的函数满足下列三个条件： ①对任意的，总有成立； ②； ③当时，总有， 那么，____________. 【答案】 【解析】 【分析】令，，结合可求；再令，结合②③可得，再令，可排除，于是得：. 【详解】先求的值，在①中令可得，. 由②知，，所以，所以. 再求的值，在①中令可得， . 又由③知，，所以. 依题意可得， 但是若，则在①中令， 可得. 注意到，故由③可得，二者矛盾. 所以. 所以. 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）若存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）当时，求得，当时，得到，两式相减化简得到，结合叠加法，即可求得数列的通项公式； （2）由（1）得到，求得， 解法1：根据题意，转化为，结合，结合基本不等式，即可求解； 解法2：根据题意，转化为，结合二次函数的性质，即可求解. 【小问1详解】 解：当时，，解得， 当时，， 两式相减可得，， 则， 叠加可得，，则， 而时也符合题意， 所以数列的通项公式为． 【小问2详解】 解：由（1）知，可得， 故； 解法1：由，可得， 即，即则，又由， 当且仅当时取等号，故实数的取值范围为． 解法2：由， 可得， 当，即时，， 则，故实数的取值范围为． 16. 如图，四棱锥中，底面是边长为3的菱形，，面，且，在棱上，且，在棱上. （1）若面，求的值； （2）求二面角的余弦值. 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）先证明,再求比值；（2）建立空间直角坐标系,运用空间向量的数量积公式求解. 【详解】（1）法一：过作交于，连接，连接交于，连接. ∵，面，面， ∴面，又，面，面， ∴面面， 又面，∴面， 又面面，面， ∴. 又为中点，∴为中点，∴, ∴为中点，. 法二： 取中点，连接，∵是的菱形， ∴，又面，∴分别以为轴正方向建立空间直角坐标系如图所示. 则, ∴,, 设面的一个法向量， 则由可得，不妨令，则解得，， ∴. 设，则， ∵面，∴，即，解得. ∴. （2）法一：过点作直线交延长线于，过点作直线交于， ∵面,∴面面，∴面，由三垂线定理可得, ∴是二面角的平面角. 由题意得，，且，∴, ∴，∴二面角的余弦值为. 法二：接（1）法二，显然面的一个法向量， ∴，∴二面角的余弦值为. 【点睛】 立体几何是高中数学的重要内容之一,也理解高考必考的题型之一.本题考查是空间的直线与平面的平行的逆向型问题,解答时充分借助已知条件与判定定理进行合理分析推证,从而使本题获解.值得提出的是在证明直线与平面平行时,一定要注意判定定理中的面外的线和面内的线的表达,这是解答这类问题最容易出错的地方.本题是运用线面平行的性质定理推出线线平行,二面角的计算是运用几何定义法和空间向量法这两种方法进行求解的. 17. 绵阳市37家A级旅游景区，在2023年国庆中秋双节期间，接待人数和门票收入大幅增长．绵阳某旅行社随机调查了市区100位市民平时外出旅游情况，得到的数据如下表： 喜欢旅游 不喜欢旅游 总计 男性 20 30 50 女性 30 20 50 总计 50 50 100 （1）能否有的把握认为喜欢旅游与性别有关？ （2）将频率视为概率，从全市男性市民中随机抽取2人进行访谈，记这2人中喜欢旅游的人数为，求的分布列与数学期望． 附： 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）有的把握认为喜欢旅游与性别有关 （2）的分布列为： 【解析】 【分析】（1）将表中数据代入的计算公式并将计算结果与比较大小，由此可知结果； （2）根据条件判断出，然后计算出在不同取值下的概率，由此可求分布列，根据分布列可求. 【小问1详解】 因为， 所以有的把握认为喜欢旅游与性别有关. 【小问2详解】 由表中数据可知：从全市男性市名中随机抽取一人，该人喜欢旅游的概率为， 由题意可知：，的可能取值为0,1,2. 所以， ， ， 所以的分布列为： 所以（或者）. 18. 已知双曲线的虚轴长为2，其中一条渐近线方程为.且，分别是双曲线的左、右顶点. （1）求双曲线的方程； （2）设过点的动直线交双曲线右支于，两点，若直线，的斜率分别为，. ①试探究与的比值是否为定值.若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由； ②设，，，若，（），求的面积. 【答案】（1） （2）①定值，② 【解析】 【分析】（1）设出双曲线方程，结合渐近线方程及虚轴长求解即可. （2）①设直线的方程，联立其与双曲线方程，结合韦达定理可得，代入中计算即可；②设直线的斜率为可得，结合可得，进而可得，再结合可得，从而求得直线的方程，联立直线的方程与双曲线方程可求得点的纵坐标，进而可求得的面积. 【小问1详解】 由题意可设双曲线：（，）， 则解得， 所以双曲线的方程为. 【小问2详解】 如图所示， ①为定值.理由如下： 由题意知，， ， 设，，直线的方程为， 由消元得， 则，，且， 所以， 所以， 故为定值. ②由①知，，设直线的斜率为，则， 又，所以， 所以. 又，，所以， 由可得，即， 又，所以（舍），. 所以直线的方程为. 由可得：，即点的纵坐标为， 所以. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的定值问题的方法： （1）求代数式为定值．依题设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值． （2）求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得． （3）求某线段长度为定值．利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得． 19. 已知函数，其中． （1）讨论函数的单调性； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减． （2） 【解析】 【分析】（1）先求定义域，求导后，对进行分类讨论，即可得到函数的单调性； （2）根据题意，必有，又由，不等式可化为，构造函数，求导得到其单调性和最值，分离参数求出答案. 【小问1详解】 函数的定义域为， ①当时，解不等式，有，令，得， 故函数的减区间为，增区间为； ②当时．，若，可得； 若，可得； 若，可得． 故有，函数单调递增，增区间为，没有减区间； ③当时，解不等式，有或， 令，解得，故函数的增区间为，减区间为； ④当时，解不等式，有或， 令得， 故函数的增区间为，减区间为； 综上，当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减． 【小问2详解】 若，函数的减区间为，增区间为，且， 当时，由，有恒成立， 所以，必有． 又由，可得． 又由，不等式可化为， 设， 有， 当且时，，可得， 当且时，，可得， 当时，函数单调递增， 故存在正数使得． 若，有，有， 与矛盾，可得，当时，； 当时，，可得函数的减区间为，增区间为， 若，必有， 有， 又由，有， 有，有．又由，有，可得， 有，可得， 由，及，可得， 所以若则实数的取值范围为． 【点睛】函数与导数综合简答题常常以压轴题的形式出现，难度相对较大，主要考向有以下几点： 1、求函数的单调区间（含参数）或判断函数（含参数）的单调性； 2、求函数在某点处的切线方程，或知道切线方程求参数； 3、求函数的极值（最值）； 4、求函数的零点（零点个数），或知道零点个数求参数的取值范围； 5、证明不等式. 解决方法：对函数进行求导，结合函数导数与函数的单调性等性质解决，在证明不等式或求参数取值范围时，通常会对函数进行参变分离，构造新函数，对新函数求导，再结合导数与单调性等解决. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $