精品解析：安徽省淮南市西部地区 2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题

2025秋季九年级同步练习（一） 数学试卷 考生注意：本卷八大题，共23小题，满分150分，考试时间120分钟． 一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A. 1，1，3 B. 1，，3 C. ，1，3 D. ，1， 2. 下列各式中，是的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 一元二次方程的根的情况是（ ）． A. 没有实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 只有一个实数根 4. 用配方法解方程，则方程可变形为（ ） A. B. C. D. 5. 如果是关于的方程的一个根，那么关于的方程的解是（ ） A. B. C. D. 6. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干，支干、小分支的总数是91．设每个支干长出x个分支，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 已知两点，均在抛物线上，点是该抛物线的顶点，若，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，四边形的两条对角线互相垂直，，则四边形的面积最大值是（ ） A. 16 B. 32 C. 36 D. 64 10. 已知二次函数，当时，此函数最大值与最小值的差（    ） A. 与的值都有关 B. 与的值都无关 C. 与的值都有关，与的值无关 D. 与的值都有关，与的值无关 二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分） 11. 方程的解是________． 12. 将抛物线绕顶点旋转180°后的关系式为__________________． 13. 如果关于的一元二次方程的一个解是，则______． 14. 已知函数，解答下列问题： （1）此函数必过的固定点是______． （2）若该图象与坐标轴只有两个交点，则______． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 已知关于x的方程有两个实数根，，其中，求另一个根和k的值． 16. 已知关于x的一元二次方程 （1）求证：此方程总有两个实数根； （2）若此方程恰有一个根小于1，求m的取值范围． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 设二次函数（a，b是常数，），部分对应值如表： x … 0 1 2 … y … 5 0 … （1）试判断该函数图象的开口方向． （2）根据你的解题经验，直接写出的解． （3）当时，求函数y的值． 18. 如图，中，，点P从点A开始沿边向B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，经过的时间为t秒，的面积为S． （1）求S与t之间的函数关系式，并指出t的取值范围； （2）求当时，t的值． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 园林部门计划在某公园建一个长方形苗圃．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为14米），另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，分成两个区域，并在如图所示的两处各留2米宽的门（门不用木栏），建成后所用木栏总长32米，设苗圃的一边长为米． （1）长为________米（包含门宽，用含的代数式表示） （2）若苗圃的面积为，求的值； （3）苗圃的面积是否可以达到，请说明理由． 20. 已知二次函数的图象如图所示，顶点为A，抛物线与y轴交于点，与x轴交于和D两点． （1）求此抛物线的解析式； （2）结合图象填空： ①关于的一元二次方程的解是________； ②不等式的解集为______． 六、（本题满分12分） 21. 某淘宝网店销售台灯，成本为每个20元．销售大数据分析表明：当每个台灯售价为30元时，平均每月售出500个；若售价每下降1元，其月销售量就增加100个． （1）若售价下降1元，每月能售出______个台灯，若售价下降元，每月能售出______个台灯． （2）为迎接“双十一”，该网店决定降价促销，在库存为780个台灯的情况下，若预计月获利恰好为5600元，求每个台灯的售价． （3）月获利能否达到6000元，说明理由． 七、（本题满分12分） 22. 对于实数、，我们定义一种运算“※”为：，例如：． （1）若，则该函数是否为二次函数，若是请指出其开口方向，对称轴，顶点坐标； （2）解关于的方程：． 八、（本题满分14分） 23. 已知二次函数(a为常数) （1）若二次函数的图象经过点(2，3)，求函数y的表达式． （2）若a0，当时，此二次函数y随着x的增大而减小，求m的取值范围． （3）若二次函数在时有最大值3，求a的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025秋季九年级同步练习（一） 数学试卷 考生注意：本卷八大题，共23小题，满分150分，考试时间120分钟． 一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A. 1，1，3 B. 1，，3 C. ，1，3 D. ，1， 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的一般形式：（，，是常数且）中，叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项，直接进行判断即可． 【详解】解：一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是1，，3． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的一般形式．注意在说明二次项系数，一次项系数，常数项时，一定要带上前面的符号． 2. 下列各式中，是的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的定义依次判断． 【详解】解：A、不是二次函数，不符合题意； B、，不是二次函数，不符合题意； C、，是二次函数，符合题意； D、，不是二次函数，不符合题意； 故选：C． 【点睛】此题考查二次函数的定义：形如的函数是二次函数，解题的关键是正确掌握二次函数的构成特点． 3. 一元二次方程的根的情况是（ ）． A. 没有实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 只有一个实数根 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式 ，时，方程没有实数根；时，方程有两个不相等的实数根；时，方程 有两个相等的实数根，将相应的系数代入判别式便可判断. 【详解】∵ 根据一元二次方程根的判别式 ，当时，原方程没有实数根. 故选A 【点睛】本题旨在考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握该知识点是解此类题目的关键. 4. 用配方法解方程，则方程可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程的配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 方程整理后，利用完全平方公式变形即可得到结果． 【详解】解：方程移项得：， 配方得：， 即． 故选：D 5. 如果是关于的方程的一个根，那么关于的方程的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的定义以及解一元二次方程，理解题意，熟练掌握相关知识是解题关键． 根据一元二次方程的根的定义将代入方程解得，再将代入关于的方程并解该一元二次方程即可． 【详解】解：将代入方程， 可得， 解得， 将代入关于的方程， 可得， 解得． 故选：B． 6. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干，支干、小分支的总数是91．设每个支干长出x个分支，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，由题意设每个支干长出个小分支，因为主干长出个（同样数目）支干，则又长出个小分支，则共有个分支，即可列方程，要根据题意分别表示主干、支干、小分支的数目，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键． 【详解】解：设每个支干长出个小分支， 根据题意列方程得：． 故选：A． 7. 一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与二次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数与二次函数的图象与性质是解题的关键． 根据一次函数与二次函数的图象与性质进行逐项分析即可． 【详解】解：把一次函数和二次函数联立起来， ， 那么，， 移项可得，， 即， ， 即或， 解得或 一次函数与二次函数的交点在轴或点，两个交点应有一个交点在轴上和另外一个交点第一或四象限； A、由一次函数图象与二次函数的两个交点有一个在轴，但另一个交点在第二象限，故此选项错误； B、由于一次函数与二次函数的两个交点，在第一和三象限，故此选项错误； C、由一次函数与二次函数的两个交点，有一个交点在轴上和另一个交点在第四象限，故此选项正确； D、由一次函数与二次函数的两个交点，有一个交点在轴上，但另一个交点在第三象限，此选项错误； 故选：C． 8. 已知两点，均在抛物线上，点是该抛物线的顶点，若，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意和二次函数的性质，可以得到，然后即可得到x0的取值范围． 【详解】解：∵点，均在抛物线上，点是该抛物线的顶点，， ∴该函数图象开口向下，， 即， 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 9. 如图，四边形的两条对角线互相垂直，，则四边形的面积最大值是（ ） A. 16 B. 32 C. 36 D. 64 【答案】B 【解析】 【分析】利用对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半求解即可． 【详解】解：设，四边形面积为S，则， 则： 当时，S最大为：32﹔ 故选：B． 【点睛】本题主要考查二次函数的最大值，能够正确利用面积计算公式结合方程思想是解题关键． 10. 已知二次函数，当时，此函数最大值与最小值的差（    ） A. 与的值都有关 B. 与的值都无关 C. 与的值都有关，与的值无关 D. 与的值都有关，与的值无关 【答案】C 【解析】 【分析】由抛物线解析式可得抛物线顶点坐标，从而可得函数最小值及对称轴，由与及的关系可得函数最大值与最小值与及的值有关，进而求解． 【详解】解：， 抛物线开口上，对称轴为直线，函数最小值为， 将代入得， 将代入得， 当时，时取最大值，时取最小值， 当时，时取最大值，时取最小值， 都含有项， 函数取最大值与最小值与的值有关，与的值无关 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程的关系． 二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分） 11. 方程的解是________． 【答案】 【解析】 【分析】利用直接开平方法求解即可． 【详解】， 移项，得， 系数化为1，得， 解得． 【点睛】考查了直接开平方法解一元二次方程．解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2=a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解． 12. 将抛物线绕顶点旋转180°后的关系式为__________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线绕顶点旋转180°后，顶点坐标、对称轴不变，开口方向相反，得出答案即可． 【详解】解：∵抛物线绕顶点旋转180°后，顶点（3，5）仍然不变，对称轴不变，抛物线的开口方向相反， ∴旋转后的抛物线解析式为：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象的旋转变换，解题的关键是熟练掌握在绕抛物线顶点旋转过程中，二次函数的开口大小和顶点坐标都没有变化． 13. 如果关于的一元二次方程的一个解是，则______． 【答案】2025 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．利用一元二次方程解的定义得到，然后把变形为，再利用整体代入的方法计算． 【详解】解：把代入方程得， 所以， 所以． 故答案为：2025． 14. 已知函数，解答下列问题： （1）此函数必过的固定点是______． （2）若该图象与坐标轴只有两个交点，则______． 【答案】 ①. ②. 0或1或2 【解析】 【分析】本题考查了函数过定点问题，函数图象与坐标轴的交点问题，解题的关键是掌握分类讨论的思想． （1）将原函数解析式变形为，要使得经过定点，则与无关即可，那么只需，进而即可求解； （2）分类讨论和两种情况即可求解． 【详解】解：（1）， ∵此函数图象经过定点， ∴， ∴， ∴， ∴经过定点； 故答案为：； （2）①当时，，该一次函数与坐标轴有两个交点，满足题意； ②当时，为二次函数， 若图象经过原点，则，解得：， 此时，， 图象与轴还有一个交点，满足题意； 若函数的图象与轴只有一个交点， ∴， 解得： 当时，函数为，其图象与x轴的交点为，与y轴的交点为，共有两个交点，满足题意． 综上所述：或或， 故答案为：0或1或2． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 已知关于x的方程有两个实数根，，其中，求另一个根和k的值． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练运用根与系数的关系是解题的关键． 由题意得，，，由代入求出，再求出k． 【详解】解：由题意得，，， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴，． 16. 已知关于x的一元二次方程 （1）求证：此方程总有两个实数根； （2）若此方程恰有一个根小于1，求m的取值范围． 【答案】（1） 证明：∵， ∴此方程总有两个实数根； （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、解一元二次方程，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）计算根的判别式得到，然后根据根的判别式的意义得到结论； （2）解一元二次方程得出，，再结合此方程恰有一个根小于1得出，计算即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴或， 解得：，， ∵此方程恰有一个根小于1， ∴， 解得：． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 设二次函数（a，b是常数，），部分对应值如表： x … 0 1 2 … y … 5 0 … （1）试判断该函数图象的开口方向． （2）根据你的解题经验，直接写出的解． （3）当时，求函数y的值． 【答案】（1）向上 （2） （3）5 【解析】 【分析】（1）根据表格中数据即可直接判断该函数图象的开口方向向上； （2）由表格可求出该抛物线的对称轴为直线，从而可求出该抛物线与x轴的另一个交点坐标，进而可得出的解； （3）由抛物线的对称性可知当时，y的值与当时，y的值相等，进而得出答案． 【小问1详解】 ∵当时，；当时，；当时，， ∴该函数图象的开口方向向上； 【小问2详解】 ∵当时，；当时，， ∴该抛物线的对称轴为直线． 又∵当时，， ∴当时，， ∴的解为：； 【小问3详解】 ∵该抛物线的对称轴为直线， ∴当时，y的值与当时，y的值相等． ∵当时，， ∴当时，函数y的值为5． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质．由表格求出该二次函数的对称轴是解题关键． 18. 如图，中，，点P从点A开始沿边向B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，经过的时间为t秒，的面积为S． （1）求S与t之间的函数关系式，并指出t的取值范围； （2）求当时，t的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，列出函数关系式是解题的关键． （1）根据三角形的面积，即可求解； （2）当时，，解方程即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得，， ； 【小问2详解】 解：当时， ， 解得． 所以经过2秒或4秒时的面积为． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 园林部门计划在某公园建一个长方形苗圃．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为14米），另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，分成两个区域，并在如图所示的两处各留2米宽的门（门不用木栏），建成后所用木栏总长32米，设苗圃的一边长为米． （1）长为________米（包含门宽，用含的代数式表示） （2）若苗圃的面积为，求的值； （3）苗圃的面积是否可以达到，请说明理由． 【答案】（1） （2）的值为8 （3） 苗圃的面积不可以达到．理由如下： 若可以达到，则， 化简得：， ，无解， ∴苗圃的面积不可以达到． 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的实际应用，列代数式，解题的关键在于读懂题意，根据已知列方程求解． （1）根据木栏总长32米，如图所示的两处各留2米宽的门求出长； （2）根据题意得即可得到答案； （3）列出面积表达式，将代入判断即可． 【小问1详解】 解：依据题意，， 解得， 故答案为：； 【小问2详解】 解：根据题意得， 即， 化简得， 解得，， 当时，， （舍去）， ； 【小问3详解】 略 20. 已知二次函数的图象如图所示，顶点为A，抛物线与y轴交于点，与x轴交于和D两点． （1）求此抛物线的解析式； （2）结合图象填空： ①关于的一元二次方程的解是________； ②不等式的解集为______． 【答案】（1） （2）①；②或． 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数与方程、二次函数与不等式的关系，数形结合是解题的关键． （1）由图象可知抛物线顶点为，故设抛物线解析式为，代入点即可求得的值； （2）根据抛物线的对称性求得点的对称点，然后根据图象即可求得． 【小问1详解】 解：由图象可知抛物线顶点为， ∴设抛物线解析式为， ∵抛物线与轴交于点， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：①∵抛物线对称轴为直线， ∴关于直线的对称点是， ∴关于的一元二次方程的解是； 故答案为：； ②∵抛物线对称轴为直线， ∴的对称点是， ∴不等式的解集为或， 故答案为：或． 六、（本题满分12分） 21. 某淘宝网店销售台灯，成本为每个20元．销售大数据分析表明：当每个台灯售价为30元时，平均每月售出500个；若售价每下降1元，其月销售量就增加100个． （1）若售价下降1元，每月能售出______个台灯，若售价下降元，每月能售出______个台灯． （2）为迎接“双十一”，该网店决定降价促销，在库存为780个台灯的情况下，若预计月获利恰好为5600元，求每个台灯的售价． （3）月获利能否达到6000元，说明理由． 【答案】（1）600； （2）每个台灯的售价为28元； （3）月获利不能达到6000元． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． （1）根据售价每下降1元，其月销售量就增加200个，分别计算即可； （2）设每个台灯的售价为x元，根据每个台灯的利润×销售数量＝总利润列出方程并解答； （3）根据题意列出方程，求出根的判别式，可得方程无实数根，即月获利不能达到6000元． 【小问1详解】 解：∵售价每下降1元，其月销售量就增加100个， ∴若售价下降1元，每月能售出个台灯，售价下降元，每月能售出个台灯； 故答案为：600；； 【小问2详解】 解：设每个台灯的售价为x元， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，（符合题意）， 当时，（舍去）， 答：每个台灯的售价为28元； 【小问3详解】 解：月获利不能达到6000元， 理由：设每个台灯的售价为x元， 由题意得：， 整理得：， ∵， ∴方程无实数根，即月获利不能达到6000元． 七、（本题满分12分） 22. 对于实数、，我们定义一种运算“※”为：，例如：． （1）若，则该函数是否为二次函数，若是请指出其开口方向，对称轴，顶点坐标； （2）解关于的方程：． 【答案】（1）是，开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义运算、解一元二次方程和二次函数的图象与性质．准确理解新定义，掌握一元二次方程的解法和二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）根据新定义得到，然后根据二次函数的图象与性质进行求解即可； （2）根据新定义可得，然后解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意得， 即．该函数是二次函数， ， 开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为； 【小问2详解】 解：， ， ，即， 解得：． 八、（本题满分14分） 23. 已知二次函数(a为常数) （1）若二次函数的图象经过点(2，3)，求函数y的表达式． （2）若a0，当时，此二次函数y随着x的增大而减小，求m的取值范围． （3）若二次函数在时有最大值3，求a的值． 【答案】（1）；（2）；（3）或 【解析】 【分析】（1）把(2，3)代入，解方程即可； （2）根据抛物线的增减性，列出关于m的不等式求解即可； （3）根据开口方向分类讨论，利用最大值列方程求解即可． 【详解】（1）把(2，3)代入得， 解得： 二次函数解析式为：； （2） ∵抛物线的对称轴为直线，， ∴抛物线开口向上，当时，二次函数y随x的增大而减小 ∵时，此二次函数y随x的增大而减小 ∴， 解得：； （3）将二次函数化为顶点式得： ∵二次函数在时有最大值3 ①当时，开口向上， ∴当时，y有最大值，最大值为8a， ∴， ∴， ②当时，开口向下 ∴当时，y有最大值，最大值为， ∴， ∴， 综上，或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数增减性、二次函数最值等问题，解题关键是综合熟练的运用二次函数知识，结合分类讨论思想和数形结合思想准确进行解答． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $