精品解析：辽宁省沈阳市第一二0中学2025-2026学年高一上学期第一次质量监测（10月）数学试题

6学科网列组卷网 沈阳市第120中学2025-2026学年度上学期 高一年级第一次质量监测 数学试题 满分：150分时间：120分钟命题人：张丽娜孙爽校对人：孙爽 一、单项选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分在每小题提供的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的) 1.若集合M=xN压<4，N=x3x之，则MnN=() A.{x0≤x<2 {62 B.x 【答案】D 【解析】 【分析】求出集合 后可求MnN M,N 【保1M=0sx<1同.N=学.黄nw-6sx<16 故选：D 1 2.已知a∈R,则“a>1”是“a <1,的(） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件 【答案】A 【解析】 第1页/共23页 命学科网命组卷网 【分析】直接根据充分性和必要性的定义判断即可. 1<1 【详解】若a>l,得a, 1<11-a<0 若a,则a,解得a>1或a<0, 1∠1 所以“a>1”是“a”的充分非必要条件. 故选：A. ,b,c∈R 3.已知 ，那么下列命题中正确的是() a、b A.若a>b,则ac2>bc2 B.若cc,则a>b b2.a2 ≥a+b 11 一十 C.若a>0,b>0,则ab D.若a2>b2且ab>0,则ab 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质或通过举反例，对四个选项进行分析. 【详解】A.若a>b,当C=0时，ac=bc2,所A不成立， B.若cc,当c<O时，则a<b,所以B不成立； （o-p)(g-b)g-b）,g-b+D-,g-9-0-n+。中‘090 a b ab ab 所以C成立 a<0 11 D·若d>b2且ab>0,当b<0时，则a<b,所以a>方，则D不成立. 第2页/共23页 6学科网 命组卷网 故选：C」 4.已知函数f(x+)的定义域为【-l,3引，则/(x)的定义域为《) A【-2,2] B.[0,4 cl,9] D.[0,8] 【答案】A 【解析】 【分析】通过中间函数 过渡，即求出f刊 的定义域后可求， 【详解】在y=fx+中，x∈[-1,3).x+1∈[0,4 f(x 的定义域是0,4 赦在/(2)中0≤2≤4，解得2≤x52. f(r)的定义域是-2,2. 故选：A 5图数f()=x+(aeR) 图象不可能是() 第3页/共23页 6学科网命组卷网 【答案】D 【解析】 【分析】讨论a=0,a>0和a<0三种情况，讨论函数类型，即可判断函数的图象. 0 【详解】当a=0时， f(x)=x+0=x x,x≠0，为A的图象： 当>0时，f(国=x+为对勾函数，为B图象： 当a<0时，f()=x+ x,函数的零点是±√一a,函数的单调递增区间是(-0,0)和(0，+0)，为C图象； 不管a为何值，都不可能是D的图象 故选：D (2a+3)x-2a+2,x<1 6已知函数()= x2-+3,x≥1，满足：对任意x,x2∈R,当x≠x时，都有 fx)-f2>0 X-X2 成立，则实数a的取值范围是() 3 A.(-0,2] B.（22 D.[-1,2] 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得函数在R上单调递增，列出不等式组求解即可. fx)-f)>0 【详解】因为对任意x,x2∈R,当x≠x2时，都有七-x2 成立， 所以函数在R上单调递增， 2a+3>0 <1 所以2 ,解得3 2a+3-2a+2≤1-a+3 <a≤-1 第4页/共23页 6学科网6组卷网 3 所以实数a的取值范围是2-刂 故选：C 3 4<m-2m-3 7.若存在x≥0，y≥0，且3x+y=1,使不等式x+1y+ 成立，则实数m的取值范 围是() A（-4,2) B.（-0,-4)U(2,+o) c.（-2,4) D.（-0,-2U(4,+∞) 【答案】D 【解析】 34 3 4 【分析】首先将不等式恒成立转化为求x+1y+1的最小值，利用“1”的变换x+1y+1 36✉+40++. 展开后利用基本不等求最小值， 【详解】因为x+1y+1 (3+4 3+4<m2-2m-3能成立，所以x+1y+1m <m2-2m-3 又因为x≥0，y20,3x+y=1,所以3(x+)+(y+)=5 5,4-406明 3+x2x+=5 x+lx y+l y+14(x+1) 当且仅当x+1y+1,即x=0,y=1时等号成立， 第5页/共23页 命学科网组卷网 所以5<m-2m-3,即m-2m-8>0,所以m<-2或m>4 故选：D 8.已知函数1 =46.8(-r+2mx 1i.若x∈[2,4，都x2∈[2,4]，使f(x)≥g(x) 成立，则实数m的取值范围为() A(-0,4] B.[-4,-2] a n 【答案】D 【解析】 【分析】将问思转化为()≥g(),结合对勾函数单调性可确定(xm:通过对二次函数8() 对称轴位置的讨论可得8（的单调性，从而确定8(：），由此构适不等式求得结果 【详解1x∈2,4，都五∈[2,4使fx)2g)成立，f(≥g(): 当x∈[2,4]时， x+- y=x+ +至在2、同)上年酒造装在人6上华W毫前 告e利断.f以品。 57 ①当-m≤2，即m≥-2时，8(x)在2,4到上单调递销，8(m=8(2)=4m+7, 第6页/共23页 6学科网命组卷网 :2≥4m+ 57 111 品，m-2≤m手 4： ②当2<-m<4,即4<m<-2时，8（日在2，m）上单调递减，在（←m4刊上单调递增， ∴g()=8(-m）=-m㎡2+3÷2之-m2+3 +, 11,解得：m≤-1或m≥1， .-4<m<-2 @当-m≥4，即m≤-4时，8（四在2,4上单调道减，六g(以m=g(4）=8m+189 11 ≥8m+ 11 ,解得.ms 189 8,.m≤-4： 综上所述：m的取值范围为 4 故选：D 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数y=f()x∈[a,b],y=g(x),x∈[c,d] 1)若x∈[a,,x∈[c.d,总有()K8()成立，故f(<8()m: 2)若x∈[a,],3∈[c,d,有f)<8(x)成立，故f)s<g()r； 3)若x∈a,b,ec,d,有f)>g()成立，故f(m>8( (④若e[a,b,3五e[cd,有f()<8(s)成立，故f(m<g)m； (5)若x∈[a,],3,∈[c,d,有f(:)=8(:）,则f()的值域是8()值域的子集， 二、多项选择题（本大题共3小题，每题6分，共18分在每小题提供的四个选项中，有多项 第7页/共23页 6学科网命组卷网 是符合题目要求的全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.) 9.某校“五一田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100 米比赛”，有7人参加400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100 米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米都参加的有3人，则下列说法正确的是() A.三项比赛都参加的有2人 B.只参加100米比赛的有3人 C.只参加400米比赛的有3人 D.只参加1500米比赛的有3人 【答案】AB 【解析】 【分析】由题意先分析出3项都参加的人数，再分析只参加某项的人数即可： 【详解】根据题意，设A=(x是参加100米的同学)， B=(x是参加400米的同学，C=(x是参加1500米的同学， card()=8,card(B)=7,card(C)=5, card(B)=4,card(40C)=3,card(BoC)=3, 则cad(4nBnC)=l2-[(8+7+5)-(4+3+3]=2. 所以三项比赛都参加的有2人， 只参加100米比赛的有8-4-3+2=3人， 只参加400米比赛的有7-4-3+2=2人， 只参加1500米比赛的有5-3-3+2=1人 故选：AB 10.已知正数a,b满足4a+b+ab=12,则下列结论正确的是() ab 4a+b 8 A. 的最大值为 B. 的最小值为 第8页/共23页 6学科网列组卷网 1.1 3 C.a+b的最小值为3 D.a+1b的最小值4 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用基本不等式判断A、B:依题意可得（a+1)(6+4)=16 再由基本不等式判断C、D. 【详解】因为正数a,b满足4a+b+ab=12, 所以12-ab=4a+b≥24ab=4Nab,当且仅当4a=b,即a=l,b=4时等号成立， 解得0<Vab≤2，所以0<b≤4，故b的最大值为4，故A正确： 12-(a知+61=的-字ox6sa 即(4a+b}°+16(4a+b)-19220,又12-ab=4a+b<12,所以8≤4a+b<12, 所以4a+b的最小值为8，当且仅当4a=b,即a=1,b=4时等号成立，故B正确： 由4a+b+ab=12可得（a+(b+4)=16 所以a+b=(a+)+(b+4)-5≥2Va+1(b+4)-5=3 当且仅当a+1=b+4时等号成立，此时a=3,b=0,又b为正数，矛盾，故C错误： 1+_b+4+1=b+1+≥2,2+1-3 b 1 a+1b-16b16b4V16b44,当且仅当166，即a=1,b=4时等号成立， 故D正确 故选：ABD 1.已知函数()的定义域是(0，+o,且f(y)=f()+f(),当x>1时，f()<0,f(2)=-1】 则下列说法正确的是() 第9页/共23页 6学科网列组卷网 A.f()=0 B.函数f()在(0，+o)上是减函数 cfm3a+f/}/+++2+/22)-2 D不式日f心-列2≥2附来4回) 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用赋值法求得)=0，判断A:根据函数的单调性定义结合抽象函数的性质，可判断函数的 单调性，判断B,利用f()=(四+f),可求得c中式子的值，判断c:求出 )-份份2.*付)-列2桃为+3小得 即可解不等 式组求出其解集，判断D. 【详解1对于A,令x=y=1,得0-f0+f0=2f0,所以0=0，放A正确： 对于以.令士0，有0=+f日=0，所以日=-). k55则s)-)=)-f) >1，所以0，所以f)fx) 因为x 所以f(:)在(0，+o)上是减函数，故B正确： 第10页供23页 6学科网命组卷网 对rc.f++/r+/++2wm+2w) =×202/3a×22++/63小/合x2-/0+0*+0+0-0 故C错误； 对于D.因务f=,份)-f所m)-)-1 箭))=2 )x-小2等翰日+（小 x(x-3)4 1>0 又 在 上是减函数，且 ,所以 >0 f(x)(0,+o) f(xy)=f(x)+f(y) x-3 解得x≥4， 即不等式 日-f(-3)22附解集为[A,四，放D正疏 故选：ABD 三、填空题（本大题共3小题，每题5分，共15分.不需要写出解答过程，请将答案直接填写 在答题卡上相应位置上) 12不等式-5刘<6的解集为 【答案】（1,2U(3,6) 第11页/共23页 命学科网命组卷网 【解析】 【分析】由题忘得6<-5x<6,再解一元二=次不等式组，求出交集即可 【详解】因为r-5刘<6，所以-6<x-5x<6, ∫x2-5x-6<0∫-1<x<6 即x2-5x+6>0x(2或x)3, 所以-1<<2或3<x<6,则不等式的解集为(12U(3,6) 故答案为： (-1,2U(3,6) 13.已知命题 :m∈R且m+1s0,命9：xeR,r+m+1≠0恒成立，若P与9不同时为真金题， 则m的取值范围是 【答案】（o,-2小U(-1,+o) 【解析】 【分析】求出P与9同时为真命题的参数范围，然后再求补集. 【详解】P为真命题，则m≤-1， 9为真命题，则A=m-4<0,2<m<2」 所以P与9同时为真命题时，-2<m≤-1， 从而P与9不同时为真命慰时，m的范围是 -∞，-2]U(-1,+o) (-00,-2]U(-1,+0) 故答案为： 14.下列说法中正确的序号是 ①已知函数f)是一次蹈数，满足f((圳=9x+8,则f()的解折式可能为()-3x-4 3倒-与gu-化：0 -1,x≤0表示同一函数 第12页/共23页 命学科网命组卷网 ®函数f()=2x+4N1-的值域为(0,4] ④淀义在R上的函数f)满足2f()-(-)=x+1,则f()-+刊 ⑤设4,4，么，6,9,9都不为0，不等武4r+x+6>0 的解集为M,不等式 4=6=9 a2x2+bx+C2>0的解集为N,则a2b2C2”是“M=N”的充要条件. 【答案】①③④ 【解析】 【分析】①直接用待定系数法可得；②根据同一函数的定义可得；③用换元法求函数的值域可得； ④通过构造方程组求函数的解析式可得：⑤通过特殊分析法判断即可. 【详解】对于O:设f()=&+b.k≠0.则ff(》=k(c+b)+b=x+励+b k2=9 k=3「k=-3 因f(f(x)=9x+8,所以1h+b=8:解得1b=2或1b=-4: 所以f()=3x+2或f()=-3x-4,所以f()的解折式可能为()=-3x-4正确，故O正确： 对于②：因f()=因 一的定文域为00U0.+oy,而30四-仁LS0的定之域为n 所以f儿与86的定义不同，所以f)与8（是不同的至，救2错误 对于®：令1=-x,则1≥0，x=1-子，所以y=2-）+4=-22+4+2=-20-2+4,是 关于'的二次函数，且开口向下，在0，)上单调递道，在 ，+0)上单调递减· 所以1=山即x=0时，fx=4,所以两数f()=2x+41-x的值坟为-0,4， 故③正确： 对于④：由2f()f()=x+1,且定义域为R,所以用-x替换x得， 2f(-x)-f(x)=-x+1 第13页/供23页 命学科网命组卷网 2f(x)-f(-x)=x+1 联立2到fx+1,解得)-营+1，故③正确： 3 -各-8=k<0时，4r+hx+=k@,+hr+e) 对于⑤：当a2b2c2 4-6-9 此时ax2+bx+C>0等价于a2x2+b2x+C2<0,所以M≠N,所以“a2b2C2”不是“M=N”的充 要条件故⑤错误， 故答案为：①③④ 四、解答题（本大题共5小题，共77分请在答题卡指定区域作答，解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤) 15.(1)用分析法证明：1+2V2<V3+V6 2n2、(m+n)2 (2)若a>0:b>0,m>0:n>0,求证：a 十 a+b 【答案】(1) 欲证1+22<V5+6,只需证1+22°<(3+6， 即证9+4W2<9+62 只腊证V2>0,因为2>0显然成立，所l+25<V5+6成立 (2) (mtn)_bm(atb)+ari(atb)-ab(m+ny a b a+b ab(a+b) _abm2 +b'm2+a'n abn'2-abm2-2abmn-abn2 b'm2-2abmn+a'n?(bm-an)? ab(a+b) ab(a+b) ab(a+b) 第14页/供23页 6学科网命组卷网 :a>0b>0m>0n>0 ∴ab(a+b)>0,又(bm-am)'≥0（当且仅当bm=am时取等号） 世，a+n-0,则+片之四t a b a+b ab(a+b) a b a+b 【解析】 【分析】(1)由分析可得要证明证1+22<5+6，只需证+22<(V3+6,化简即可求 证： (2)作差化简即可证明. 【详解】(1)略 (2)略 16已知函数f()=-r2+ax+4.g(x)=x+1+x-1 （4)当a=1时，求不等武f()+≥8()的解集 (2)若不等式f(~)之g(:)的解集包含-，，求“的取值范围. 【答案】 w[ 24 【解析】 【分析】1)把函数8(9 化成分段函数，再分段解不等式即得. (2)由已知，结合(1)列出恒成立的不等式，再分离参数求解即可. 【小问1详解】 2x,x>1 当时， g)=x+1+x-1= 2,-1≤x≤1 a=1f(x)=-x2+x+4 -2x,x<-1 第15页供23页 命学科网命组卷网 当x>1时，不等式四+r≥g因化为，x+4≥2x,解得x≤4，于是l<x≤4 当1≤x≤1时，不等式武f因+≥8国化为，x+4≥2，解得x22,于是1≤x≤1， 4 4 当x<-1时，不等武)+≥g)化为.x+4≥-2x,解得之一3，于是 ≤x<-1 所以不等武f心+P≥)的解矣为一34。 【小问2详解】 由()知，当x∈-，1tg)=2 时， 依题室.+x+4≥2在eE成立.即r--2≤0，【-1 在 在 上恒成立， [12-a-1-2≤0 因此1-y-a(-1)-2≤0，解得-1≤a<1 所以“的取值范围是 [-1,1] 17.在辽阔的中华大地上，农村的医疗服务一直是国家关注的焦点随着时代的进步和社会的发展，国家正 致力于提高农村医疗服务水平，以保障广大农民的健康权益某公司为了满足市场需求，进一步增加市场竞 争力，计划自主研发新型基础型CT机·已知生产该产品的年固定成本为400万元，最大产能为200台.每生 x2-2x,0<x≤80 产x台，需另投入成 G(x)万元，且) 52900 151x+ 6200,80<x≤200由市场调研知，该产 x+80 品每台的售价为150万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完. (1)写出年利润” (:)(单位：万元)关于年产量x(单位：台)的函数解析式（利润=销售收入一成 本) (2)当该产品的年产量为多少时，该公司所获年利润 (:)最大？最大年利润是多少？ 第16页/供23页 6学科网 命组卷网 -x2+152x-400,0<x≤80 【答案】(1) W(x)= 52900 +5800,80<x≤200 x+80 (2)150台，5420万元 【解析】 【分析】(1)根据投入成本及销售收入写出利润函数即可； (2)分段分别利用二次函数配方法和基本不等式求最值，再比较大小得解即可 【小问1详解】 当0<x≤80时， W(x)=150x-(x2-2x)-400=-x2+152x-400 形(=150x-151x+ 290-6200 -400 当80<x≤200时， x+80 52900 +5800 x+80 -x2+152x-400,0<x≤80 则F() 52900. +5800,80<x≤200 x+80 【小问2详解】 当0<x≤80时，W(x)=-x2+152x-400=-(x-76)2+5376 当x=76时.W().m=5376万元 当80<x≤200时， ()=-x+80+5200 +5880 x+80 ≤-2V(x+80) 52900 +5880=5420 x+80 万元 52900 x+80= 当且仅当 x+80,即x=150时，上式等号成立 第17页/供23页 6学科网列组卷网 又5420>5376，则当该产品的年产量为150台时， 该公司所获年利润最大，最大年利润是5420万元 18设f(x)=mx2-mx-6+m 1)解关于x的不等式f()<-x+m-5 (2若对于x∈L,3],f()<0恒成立，求实数m的取值范围： (3)若对于m∈[-2,2习，()<0恒成立，求实数x的取值范围 【答案】(1) 当m<-所关对4的海为[0+o)】 当m=-l时，关于x的不等式解为o,l)U(儿+∞)】 当-1<m<0时，关于的不等式为@小（和】 当m=0时，关于x的不等式解为（0，)： 出m>O时，关于r的不等式解为m1月 6 3)（,2) 【解析】 【分析】(1)根据m的取值分类讨论： 6 、6 (2)问题转化为m<2-x+1在，3]上恒成立，再求得x-x+1的最小值即可得： m< 第18页/共23页 命学科网命组卷网 (3)f()大0恒成立，转化为关于m的不等式m(:-+)-6<0恒成立，结合一次函数性质求解可 得. 【小问1详解】 由()K-x+m-5化简得mr+1-m)x-1<0,即(mr+(x-)<0. 当m=0时，x-1<0,解得x<1. 当m>O时，对于不等式+(x-)<0,解得m<x 当=1长me0.于不有文m+x-<0,期<1女日 当m=-1时，对于不等式(m+lx-)<0,解得x<1或x>1, 当m<-1时，对于不等式(mx+x-)<0,解得x>1或七- 安上：当m-时，天十：的不孩你为)。 当m=-1时，关于x的不等式解为0，l小U(1,+0) 当-1<m<0时，关于：的不等成解为小(】月 当m=0时，关于x的不等式解为0，) 当m>O时，关于x的不等式解为m1月 【小问2详解】 要使f(:)=mr2-mr-6+m=m(t-x+小6在，3]上恒成立， 第19页/共23页 命学科网命组卷网 即m(x-x+)<6,x∈[l,3],因为当x∈[，3]时，-x+1∈[L,7], 6 则有m<一x+1在[L,3]上恒成立， xe同.)42号.4-)- 6 所ym<r-x+1在[l,3]上恒成立，则m<h(), 勋n 6 7,故实数m的取值范围为0, 【小问3详解】 设f(x)=8(m）=mx2-mr-6+m=m(x2-x+1)-6 则g侧)是关阳的一次国数。日-次项系数为2-+1-（+子0， 所以8(m)在-2,2上单调递增 所以8(m)<0等价于8(2)=2(t-x+)6<0,解得-1<x<2, 故实数的取值范围为 -1,2) 9三又戟是希脂神话中海神波案冬的武多，丽厨数》+日/ x+x(A>0,B>0)的图象恰如其形.牛顿最 早研究了函 f(x)=x2+2 x的图象，所以也称(x)的图象为牛顿三又戟曲线， （)判断：)在（山，+⊙)上的单调性，并用定义证明： (2)已知两个不相等的正数m,n满足：f(m)=f(m)）,求证：m<1: 第20页/共23页 6学科网命组卷网 （3)是否存在实数a,b,使得()在[a,]上的值域是Ba,3]?若存在，求出所有0b的值：若不存 在，说明理由 【答案】4山f(四在+o)单调递增，证明如下： 0网4)-+}+-（民名 6-+) 1<<,-550+5>2>2 2>0 x+520,f)f)K0, “f()在(，+0）单调递增 ②侧=f回，m+是-r+名 m n, 化筒得：m2-2=22_2m) n m mn, 又m-n≠0.mn(m+n)=2 而m≠n,m+n>2√mn ∴2=m(m+nm）>2(m, ∴.mn<1 (3)存在，a=1,b=V3+1 【解析】 第21页/供23页 6学科网列组卷网 【分析】(1)根据函数单调性的定义证明： (2)由f(m）=f网可行mm(m+m川=2，再由基本不等式得证 (3)根据已知结合函数的单调性求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 不妨设存在满足题意的实数4，b, 0g[a,b],.a<b<0或0<a<b 当0<a<b时，由(1)同理可证：f)在(0,1)单调递减。 /(四在(0，+o)上的最小值为0=3， 故a≥3，a≥1，f(四在[a,上单调递增， .((a)-3a f(b)=3b,a,b是f(x)=3x在(0，+∞)的两根， 西例=3书产+子 即：x3-3x2+2=0,(x-l(x2-2x-2=0 又b>a≥1，∴a=1.b=5+1 g60m有.兰550，-5+小0，因 在（，0)单调递减， 第22页/供23页 6学科网 命组卷网 a2+2-36 :0边助：公+名如即的 { a f(b)=3a b3+2=3ab .a3+2=b3+2∴.a=b ,矛盾， 综上所述，存在满足题意的正实数：a=l,b=V5+1 【点睛】关键点点睛：假设存在满足题意实数α，b,由定义域中无O,分类讨论， 再由定义法判断函数的单调性，利用单调性建立方程求解是解题的关键 第23页/共23页 沈阳市第120中学2025-2026学年度上学期 高一年级第一次质量监测 数学试题 满分：150分 时间：120分钟 命题人：张丽娜 孙爽 校对人：孙爽 一、单项选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 3. 已知，那么下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若且，则 4. 已知函数的定义域为，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 5. 函数的图象不可能是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 若存在，且，使不等式能成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，．若，都，使成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每题6分，共18分.在每小题提供的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 某校“五一田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则下列说法正确的是（ ） A. 三项比赛都参加的有2人 B. 只参加100米比赛的有3人 C. 只参加400米比赛的有3人 D. 只参加1500米比赛的有3人 10. 已知正数，满足，则下列结论正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值 11. 已知函数的定义域是，且，当时，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数在上是减函数 C. D. 不等式的解集为 三、填空题（本大题共3小题，每题5分，共15分.不需要写出解答过程，请将答案直接填写在答题卡上相应位置上.） 12. 不等式的解集为_____. 13. 已知命题且，命题，恒成立，若与不同时为真命题，则的取值范围是_____. 14. 下列说法中正确的序号是_____. ①已知函数是一次函数，满足，则的解析式可能为. ②与表示同一函数. ③函数的值域为. ④定义在上的函数满足，则. ⑤设，，，，，都不为0，不等式的解集为，不等式的解集为，则“”是“”的充要条件. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. （1）用分析法证明：； （2）若，，，，求证：. 16. 已知函数，． （1）当时，求不等式的解集； （2）若不等式的解集包含，求的取值范围． 17. 在辽阔的中华大地上，农村的医疗服务一直是国家关注的焦点.随着时代的进步和社会的发展，国家正致力于提高农村医疗服务水平，以保障广大农民的健康权益.某公司为了满足市场需求，进一步增加市场竞争力，计划自主研发新型基础型CT机.已知生产该产品的年固定成本为400万元，最大产能为200台.每生产x台，需另投入成本万元，且.由市场调研知，该产品每台的售价为150万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完. （1）写出年利润（单位：万元）关于年产量x（单位：台）的函数解析式.（利润销售收入成本） （2）当该产品的年产量为多少时，该公司所获年利润最大？最大年利润是多少？ 18. 设. （1）解关于的不等式； （2）若对于，恒成立，求实数的取值范围； （3）若对于，恒成立，求实数的取值范围. 19. 三叉戟是希腊神话中海神波塞冬的武器，而函数的图象恰如其形.牛顿最早研究了函数的图象，所以也称的图象为牛顿三叉戟曲线. （1）判断在上的单调性，并用定义证明； （2）已知两个不相等的正数m，n满足：，求证：； （3）是否存在实数a，b，使得在上的值域是？若存在，求出所有的值；若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $