精品解析：甘肃省靖远县第一中学2026-2027学年高三上学期9月月考数学试题

靖远一中2026-2027学年上9月月考试题 高三数学 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. “ ” 是 “ 是等比数列”的（ ）条件 A. 充要 B. 充分非必要 C. 必要非充分 D. 既非充分又非必要 2. 从1，3，5，7中任取2个数字，从0，2，4，6，8中任取2个数字，组成没有重复数字的四位数，其中能被5整除的四位数共有（ ） A. 252个 B. 300个 C. 324个 D. 228个 3. 已知函数的图象过点，且在上仅有1个极值点，若在区间上恒成立，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 定义在R上的函数与其导函数满足，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 设等比数列的前n项和为，若，则（ ） A. B. C. 4 D. 5 6. 已知数列的通项公式为，则“”是“为递增数列”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充要条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知多项式满足对任意，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 0 8. 在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，与均为以为斜边的直角三角形．若该三棱锥的外接球的表面积为，则此三棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每小题6分，共18分） 9. ，下列说法正确的是（ ） A. 在定义域内单调递增 B. ， C. 在定义域内恒有 D. 当时，恒有 10. 如图，正方体的棱长为2，点，分别是棱，的中点，点在四边形内，若，则下列结论正确的有（ ） A. B. // C. 点的轨迹长度为 D. 的最小值是 11. 关于幂函数，下列结论正确的是（ ） A. 的定义域为 B. 的值域为 C. 在区间上单调递减 D. 的图象关于点对称 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 已知是定义在上的增函数，若对于任意的，，均有，且，则不等式的解集为______. 13. 若直线与单位圆和曲线均相切，则直线的方程可以是___________.（写出符合条件的一个方程即可） 14. 记的内角，，，已知，求的取值范围为________. 四、解答题（共77分） 15. 某市共有所高中，各校高一学生占全市高一学生总数的比例如下面柱状图教研部门采用分层抽样的方法从一中、四中、十七中这三所学校抽取人调研，又从这人中随机抽取名同学调查选课情况，其中选择物理学科的是、，地理学科是、、，化学学科是. （1）应从三所学校分别抽取多少人？ （2）从这名同学中选出人进行测试，要求所选三人不能选择同一个学科，用所给字母列出所有可能的结果；在此条件下，设为事件“选出人中没有选择化学学科的同学”，求事件发生的概率. 16. 如图，在直三棱柱中，为的中点，求证：平面 17. 已知{}是各项都为正数的数列，其前n项和为，且满足. （1）求证:数列{}为等差数列； （2）设，求{}的前64项和. 18. 已知抛物线的焦点为F，过F的直线l交C于A，B两点，过F与l垂直的直线交C于D，E两点，其中B，D在x轴上方，M，N分别为AB，DE的中点． （1）证明：直线MN过定点； （2）设G为直线AE与直线BD的交点，求面积的最小值． 19. 已知函数． （1）求函数的极值； （2）求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 靖远一中2026-2027学年上9月月考试题 高三数学 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. “ ” 是 “ 是等比数列”的（ ）条件 A. 充要 B. 充分非必要 C. 必要非充分 D. 既非充分又非必要 【答案】D 【解析】 【分析】举反例可得充分性不成立，由等比中项可得必要性不成立. 【详解】若，则，但 不是等比数列，充分性不成立； 若 是等比数列，则，则，必要性不成立， 所以“ ” 是 “ 是等比数列”的既非充分又非必要条件. 故选：D 2. 从1，3，5，7中任取2个数字，从0，2，4，6，8中任取2个数字，组成没有重复数字的四位数，其中能被5整除的四位数共有（ ） A. 252个 B. 300个 C. 324个 D. 228个 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，分三种情况进行讨论，四位数中包含5和0的情况，四位数中包含5，不含0的情况，四位数中包含0，不含5的情况，再由分步计数原理，即可求解． 【详解】（1）若四位数中含有数字0不含数字5，则选法是，可以组成四位数个； （2）若四位数中含有数字5不含数字0，则选法是，可以组成四位数个； （3）若既含数字0，又含数字5，选法是，排法是若0在个位，有种， 若5在个位，有种，故可以组成四位数 个． 根据加法原理，共有个． 故选：Ｂ． 3. 已知函数的图象过点，且在上仅有1个极值点，若在区间上恒成立，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角函数的图像性质，分别代入，即可求出，进而利用数形结合，即可求出实数a的取值范围 【详解】函数的图象过点 ，可得 ，整理得，，且，， 在上仅有1个极值点，则， 综上，可得，又由于，得，则函数为，由于函数经过，可得，该函数为，因为 在区间上恒成立，所以，，则有 ，且，解得 ，故 故选：C 【点睛】关键点睛：1.代入，得，进而求出； 2.利用在上仅有1个极值点，求出，进而得出； 3.对于在区间上恒成立，即可利用三角函数的图像性质，即可求出实数a的取值范围，本题考查三角函数的图像性质，解题的关键在于充分利用三角函数的图像性质进行求解，属于难题 4. 定义在R上的函数与其导函数满足，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数，再利用单调性比较大小. 【详解】令，则， 则函数是R上的单调递增函数， 据此可得：，即：，所以A正确. 故选：A. 5. 设等比数列的前n项和为，若，则（ ） A. B. C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】 根据等比数列的前项和公式，由条件，求出公比即可得到结论． 【详解】解：设等比数列的公比为， 若，则不成立． ， 由，得， 即， ，解得， 则， 故选：A． 【点睛】本题主要考查等比数列前项和的计算，利用条件求出是解决本题的关键，要求熟练掌握等比数列的前项和公式，考查学生的计算能力，属于中档题． 6. 已知数列的通项公式为，则“”是“为递增数列”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充要条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】若为递增数列，则，可求得，即可求出，再由充分条件、必要条件的定义即可求出答案. 【详解】若为递增数列，则， 即，得，又， 所以，所以， 所以“”是“为递增数列”的必要不充分条件． 故选：A. 7. 已知多项式满足对任意，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】方法一：根据二倍角公式两角和余弦公式进行三角恒等变换，化简后可得，结合条件可求，由此可求结论； 方法二：由利用赋值法证明，再由通过取，可求由此可得结论. 【详解】由题意得： ， 由可知： ，，，，， . 方法二：因为， 所以，， 所以， 又对任意， 所以，， 所以， 故选：A. 8. 在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，与均为以为斜边的直角三角形．若该三棱锥的外接球的表面积为，则此三棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件，利用球的表面积公式求出外接球半径，结合三角形的性质和勾股定理求出，结合余弦定理、三角形面积公式及三棱锥体积公式计算求解． 【详解】 记三棱锥外接球的半径为，则，解得， 与均为以为斜边的直角三角形， 中点为外接球球心，故， 在中，，由勾股定理得： ， 同理可得， 取中点，连接， 为等边三角形，边长为2，则，， 中，，故； 又，平面， 故平面，则三棱锥体积为， 中，， 由余弦定理得：， 则， ， ． 二、多选题（每小题6分，共18分） 9. ，下列说法正确的是（ ） A. 在定义域内单调递增 B. ， C. 在定义域内恒有 D. 当时，恒有 【答案】AD 【解析】 【分析】将化简，利用导数判断的单调性可判断A；解关于的方程可判断B；分别判断不等式左右两边的符号可判断C；令，，利用导数判断函数单调性从而得到和，再利用作差法即可判断D. 【详解】，， 对于A，因为，所以， 所以在单调递增，故A正确； 对于B，，即， 因为，所以，即， 因为，所以方程无解， 所以不存在，使，故B错误； 对于C，当，，而当时，， 所以当时，，故C错误； 对于D，令，，则， 当时， ，所以在单调递减； 当时，，所以在单调递增， 所以，即，则时，. 令，，则， 所以在单调递减，所以，即， 因为，所以，所以，且， 所以， 所以， 即当时，恒有，故D正确. 故选：AD. 10. 如图，正方体的棱长为2，点，分别是棱，的中点，点在四边形内，若，则下列结论正确的有（ ） A. B. // C. 点的轨迹长度为 D. 的最小值是 【答案】ACD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，运用空间位置关系的向量证明，解决A,B，用解析法求出轨迹方程处理C，结合参数方程处理D即可. 【详解】 以为原点建立空间直角坐标系，故，，，， 故，， 则，，则，故A正确， 而，，显然与无倍数关系， 则//不成立，故B错误， 设，由两点间距离公式得， 化简得，又，故轨迹长度为，故C正确， 易知点的轨迹是圆，故该轨迹的参数方程为，，(是参数)， 故，由两点间距离公式得 ， 易知当时，取得最小值，此时，故D正确. 故选：ACD 11. 关于幂函数，下列结论正确的是（ ） A. 的定义域为 B. 的值域为 C. 在区间上单调递减 D. 的图象关于点对称 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项A和B，根据函数表达式，即可判断出正误；选项C，利用函数单调性的定义，任取，且，通过化简变形得，即可判断选项C的正误；对于选项D，根据奇偶函数的判断方法，可得为奇函数，即可判断选项D的正误. 【详解】对于选项A，因为，所以，得到的定义域为，所以选项A正确， 对于选项B，由知，所以选项B错误， 对于选项C，任取，且，则， 因为，所以，，又， 所以，即，所以选项C正确， 对于选项D，因为定义域关于原点对称，又，所以为奇函数，故选项D正确， 故选：ACD. 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 已知是定义在上的增函数，若对于任意的，，均有，且，则不等式的解集为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题中所给性质可将所求不等式转化为，结合函数的定义域以及单调性列出不等式组，解出即可得结果. 【详解】根据，，可得. 由，得，可化为. 由是定义在上的增函数，得解得. 所以不等式的解集为， 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：根据题中所给性质转化不等式，利用单调性解不等式. 13. 若直线与单位圆和曲线均相切，则直线的方程可以是___________.（写出符合条件的一个方程即可） 【答案】 【解析】 【分析】由题意设直线方程为，利用直线与单位圆和曲线均相切，联立直线与曲线方程，消去变量后整理为关于的一元二次方程，利用判别式为0，求得关系，解出的值，可得直线方程. 【详解】解：由题可知，直线的斜率存在，设直线方程为， 单位圆的方程为： 所以 则，整理得： 所以 则，整理得： 所以，解得 则 则直线的方程为：. 故答案为：. 14. 记的内角，，，已知，求的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意得，进一步，，由此即可求解. 【详解】因为， 所以， 所以，， ， 又因为，解得，所以， 而单调递减， 所以的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：关键是首先得到，，由此即可顺利求解. 四、解答题（共77分） 15. 某市共有所高中，各校高一学生占全市高一学生总数的比例如下面柱状图教研部门采用分层抽样的方法从一中、四中、十七中这三所学校抽取人调研，又从这人中随机抽取名同学调查选课情况，其中选择物理学科的是、，地理学科是、、，化学学科是. （1）应从三所学校分别抽取多少人？ （2）从这名同学中选出人进行测试，要求所选三人不能选择同一个学科，用所给字母列出所有可能的结果；在此条件下，设为事件“选出人中没有选择化学学科的同学”，求事件发生的概率. 【答案】（1）应从一中、四中、十七中三所学校学生中分别抽取人、人、人；（2）所有可能结果见解析，. 【解析】 【分析】（1）利用分层抽样的方法可计算得出从一中、四中、十七中三所学校所抽取的学生人数； （2）列举出所有的基本事件，并确定事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】（1）由已知，一中、四中、十七中三所学校学生人数之比为， 由于采取分层抽样的方法从中抽取人， 因此应从一中、四中、十七中三所学校学生中分别抽取人、人、人； （2）依题意，从名同学选出名的所有可能的结果为： 、、、、、、、、、、、、、、、、、、，共种. 选出人中没有选择化学学科的同学的所有可能结果为： 、、、、、、、、，共种， 所以，事件发生的概率. 16. 如图，在直三棱柱中，为的中点，求证：平面 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】根据线面平行的性质定理得证. 【详解】证明：连接，设，连接，在直三棱柱中，四边形为平行四边形，则为的中点，又因为为的中点，则，因为平面，平面，因此，平面. 17. 已知{}是各项都为正数的数列，其前n项和为，且满足. （1）求证:数列{}为等差数列； （2）设，求{}的前64项和. 【答案】（1）证明见解析； （2）的前64项和. 【解析】 【分析】(1)根据与的关系将条件转化为的关系，由此完成证明；(2)由(1)求出数列的通项公式，再利用组合求和法求和. 【小问1详解】 ∵ ，所以 当时，有，代入上式得 整理得. 又当时， 解得； 数列是首项为1，公差为1的等差数列. 【小问2详解】 由（1）可得， ∵是各项都为正数，∴， ∴， 又， ∴， 则， ， 即：. ∴的前64项和． 18. 已知抛物线的焦点为F，过F的直线l交C于A，B两点，过F与l垂直的直线交C于D，E两点，其中B，D在x轴上方，M，N分别为AB，DE的中点． （1）证明：直线MN过定点； （2）设G为直线AE与直线BD的交点，求面积的最小值． 【答案】（1）由，故，由直线AB与直线CD垂直， 故两直线斜率都存在且不为0， 设、、、、、， 则，且同时满足， 同理，且同时满足， 所以，则， 所以， 又直线MN方程为， 所以 ， 所以直线MN过定点. （2）8 【解析】 【分析】（1）分析可得两直线斜率都存在且不为0，设出各点坐标，根据斜率公式，可得，同时满足，，且同时满足，根据两直线垂直，斜率关系，可得，代入直线MN的方程，化简整理，即可得证. （2）由（1）知，可得直线AB方程，根据直线AB过点，可得，同理可得，求出直线AE和直线BD的方程，联立得：，即为G点横坐标，由于，化简计算，可得MN轨迹方程，过点G作轴，交直线MN于点Q，可得面积的表达式，结合基本不等式，可得，根据抛物线的性质，证明，综合即可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，直线AB的方程为， 即， 又直线AB过点，所以， 同理，，又直线DE过点，所以， 直线AE的方程为①， 直线BD的方程为②， 将直线AE的方程转化为，即， 和直线BD的方程，联立得：． 所以点G的横坐标为，即直线AE与BD的交点在定直线上． 由于，故，且， 同理，所以MN轨迹方程为， 过点G作轴，交直线MN于点Q， 则， 故，当且仅当时等号成立， 此时，，， 下证，即证，， 由抛物线的对称性，不妨设，则， 当时，有，则点G在x轴上方，点Q亦在x轴上方，有， 由直线MN过定点，此时， 同理，当时，有点G在x轴下方，点Q亦在x轴下方，有， 故此时， 当且仅当时，，故恒成立， 故， 19. 已知函数． （1）求函数的极值； （2）求证：． 【答案】（1）极小值为，无极大值 （2）设函数， 则，， 因为递增，递增， 可得在上单调递增，且， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， ，故， 即得证． 【解析】 【分析】（1）利用求导得出的递增区间和递减区间，即可得到结果； （2）构造新函数，利用导数判断函数的单调性，即可得证. 【小问1详解】 ，∴， 令，解得， 所以当时，， 当时，， 的单调递减区间为，单调递增区间为， 有极小值且为，无极大值． 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $