陕西省咸阳市实验中学2025-2026学年高二上学期第一次质量检测数学试卷

咸阳市实验中学2025一2026学年度第一学期第一次质量检测 高二数学参考答案及评分标准 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.D2.C3.A4.A5.B6.D7.C8.B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.若有两个正确选 项，则选对一个得3分，全部选对得6分；若有3个正确选项，则选对一个得2分，选对两个得4分，全部选对得6 分；有选错的得0分. 9.ACD 10.AD 11.ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.213.18x+y-51=0 14.3 3 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.解：(1)（方法一）由3 asin C=c(1+cosA)及正弦定理， 3sin Asin C=sin C(1+cos A). 又sinC≠0，得5sinA-cosA=1, 即sn(4石)=分 因为A∈(0，π)，所以A=T 3 (6分)》 (方法二)由3 asin C=c(1+cosA)及正弦定理， 3 sin Asin C=sin C(1+cos A). 又sinC≠0，得3sinA=1+cosA, 即26血子号-2a号 2, 因为Ae(0,m),所以号e(0,受)，放cos号0， A 所以tan A -做}石即4 sin =A3 3 (6分) CoS 2 (2)由(1)得4=号 由a=2,△ABC的周长为6，得b+c=4. 由cosA=6+c2-a2-1 2bc2' 所以b2+c2-4=bc,即(b+c)2-4=3bc, 故bc=4, 咸阳市实验中学高二数学第一次质量检测-答案-1（共4页） 所以5ac=cnA=24x号-5 (7分) 2 16.解：(1)由频率分布直方图，得(a+0.06+0.07+b+0.01)×5=1,则a+b=0.06,而b=2a, 所以a=0.02,b=0.04. (6分) (2)月销售额在[25,30]这一组的人数为100×0.01×5=5， 其中男职工3人，记为A,B,C,女职工2人，记为a,b, 从中随机抽取2人，基本事件有AB,AC,Aa,Ab,BC,Ba,Bb,Ca,Cb,ab,共10个， 事件“至少有一名女职工”含有的基本事件为Aa,Ab,Ba,Bb,Ca,Cb,ab,共7个， 所以所抽取的2人中至少有一名女职工的概率为 0………t4 10 (8分) 43 17.解：(1)设BC边上的中点为D,则D(6,),则中线斜率为kw=1-62, 21 则由点斜式可得BC边上的中线的直线方程为：y-4=子(-1)→7号=0→2+x-9=0.…(6分) (2)由题可得BC斜率为：kc=7-(-4)=-L。 5-7 2 则BC边上的高斜率为品，又BC边上的高的直线方程过点4， 则8C边上的高的直线方程为4品(-1→y品名-0-2-1y42=0…（5分) 衣6a高-（高器-字. 则而=(m+n)=(了，号)，所以c=(子，号)为AD的方向向量，则k如= 51 1 所以AD:y-4=-(x-1),整理得x+7y29=0, …(6分) 18.解：(1)如图，连接A1E,B1D1,过点A1作AG⊥BE,交B1E于G, 在直角三角形AD,中，AE=AD所+0E=√P+(产- 2 直角三角形nB,E中，4E=m+D医-，√人a+(2=, 因为直线A1B1⊥平面AA,D1D,AEc平面AA1D1D, 所以A1B1⊥A1E, 因为S4m=X1,BXA,B=2XB,BxAC, 所以B·AB=B,B·AG,所以x1=子G 所以A,G=5 3 故点4，到直线B,E的距离为5 (4分) 咸阳市实验中学高二数学第一次质量检测-答案-2（共4页） (2)如图，连接B,D1,C,E,AF,EF,在平面AEF中，作FH⊥AE,H为垂足， 因为E,F分别为DD1,BB1的中点， 因为D1C1=AB,D1E=BF, 所以Rt△D,EC1≌Rt△FBA,所以EC1=AF,同理AE=FC1, 所以四边形AFC,E是平行四边形，所以FC,∥AE, 所以，FH即为直线FC到直线AE的距离， 在三角形AEF中，由余弦定理得 COS L EAF=AE+AF-Er1 2XAEXAF5 因为cos∠EAF>0,所以∠EAF是锐角， 所以，sin E4F=26 5, 在直角三角形AFH中，FH=AF·sin∠EAF=5x26-V30 255, 故直线FC,到直线AE的距离为3 …(4分) (3)如图，以D为原点，分别以DA,DC,DD,所在直线为x,y,z轴建立空间直 角坐标系， 则A(1,0,0),4(1,0,1),E(0,0,7),B(11,1), A 所以，4=(0,0，-1)，应=(-1,0,7），瓜=(0,1,1)， 设平面AB,E的一个法向量为n=(a,b,c), (n·AE=0 则 -a+2c=0,令c=2得n=1,-2,2》, 1 ,所以 n·AB,= (b+c=0 所以，点A到平面B,B的距离为A·n 2 2 * (4分) 1n√2+(-2)2+23 (4)由(3)可知F(1,1,2),所以市=(01,2)， 直线FC到平面AB,E的距离即点F到平面AB,E的距离， |A.n=」 0x1+1x(-2)+2×2 1 n √12+(-2)2+22 3 所以，直线FG到平面AB,E的距离为了 (4分) 19.解：(1)因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,ABc平面ABCD,AB⊥AD, 所以AB⊥平面PAD 因为PDc平面PAD,所以AB⊥PD, 又因为PD⊥PA,AB∩PA=A,PA、ABc平面PAB,所以PD⊥平面PAB. (5分) (2)取AD中点为0，连接P0、C0, 又因为PD=PA,所以PO⊥AD, 则A0=P0=2, 因为AC=CD=22,AD=4,所以CD⊥CA,C01AD,则C0=√JAC2-A0=2, 以0为坐标原点，以0心，01,0币所在的直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系， 咸阳市实验中学高二数学第一次质量检测-答案-3（共4页） 则P(0,0,2),B(1,2,0),D(0,-2,0),C(2,0,0), 所以P8=(1,2,-2),Pi=(0,-2,-2),P元=(2,0，-2)，Ci=(-2,-2,0), 设平面PCD的法向量为n=(x1,1,),则n1Pi,n⊥P元， a0=w 所以〈 D 设PB与平面PCD所成角的角为O, 所以sm0=cos(n,Pi1=n·P应_1-2-2_5 …(6分) nPB 3x3 3 (3)假设在棱PB上存在点M,使得平面ADM与平面ABCD所成角的余弦值为 59 由(2)可知，A(0,2,0),B(1,2,0),P(0,0,2),D(0,-2,0), 所以A2=(0,-2,2),Ad=(0,-4,0),P=(1,2,-2), 设PM=APi=(x,2A,-2A),A∈[0,1]. 所以AM=AP+PM=(入，2入-2,2-2A)· 设平面ADM的法向量为m=(2,2,),则mLAi,m上A, (m·AM=0,x+(2λ-2)y+(2-2入)z=0, 所以由m·市=0，{-4y=0, 得 令z=入，则m=(2入-2,0，入)， 由题知，平面ABCD的一个法向量为O币=(0,0,2)， 设平面ADM与平面ABCD的夹角为a. 所以cs&=|cos<m,0本=m·0 2λ 5 |m川01V√(2A-2)2+2x25’ 所以A=子，即路子 PB 2 ……(7分） 咸阳市实验中学高二数学第一次质量检测-答案-4（共4页）咸阳市实验中学2025一2026学年度第一学期第一次质量检测 高二数学 注意事项： 1.本试卷共4页，满分150分，时间120分钟 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和准考证号填写在答题卡上. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.涂写在本试卷上无效 4.作答非选择题时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效， 5.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试卷不回收. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的， 1.若直线x+ay-1=0的倾斜角的大小为T,则实数a= 6 A.5 B.③ 3 C.3 D.-√3 3 2.在空间直角坐标系Oxy%中，点M(-1,4,2)关于平面x0z对称的点的坐标是 A.(1,4,2) B.(1,-4,-2) C.（-1,-4,2) D.(-1,4,-2) 3.已知直线l1:ax+y+6=0,2:(a+2)x-3ay+2a=0,则“a=1”是“1⊥l2”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 4.如图，平行六面体ABCD-A,B1CD,中，设AB=a,A⑦=b,AA=c,则BD,= A.-a+b+c B.a-b+c C.a+b-c D.-a-b+c 5.下列函数中，既是偶函数又在区间(-∞，0)上单调递增的是 A.y=x号 B=( (第4题图) C.y=-x2+2x D.y=l0g2x 6.圆心在直线l:x-y+1=0上，且过A(1,1),B(2,-2)两点的圆的方程为 A.(x-3)2+(y-2)2=5 B.(x+3)2+(y+2)2=5 C.(x-3)2+(y+2)2=25 D.(x+3)2+(y+2)2=25 咸阳市实验中学高二数学第一次质量检测-1-（共4页） 7.如图，在棱长为1的正四面体ABCD中，M,N分别为BC,AD的中点，则直线AM和CN夹角的正 弦值为 B.3 C. 5 D. 2 B D B E (第7题图) (第8题图) 8.如图，在直三棱柱ABC-A,B1C,中，△ABC为腰长为2的等腰直角三角形，且AB>AC,CC,=2,AB =2A正，P为平面A,BC内一动点，则PA+PE的最小值是 A.3 B.6 c.32 D.v②6 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知直线l:-x+y-1+3k=0(k∈R)过定点Q,则下列说法正确的是 A.直线1过定点Q(3,1) B.若直线1不经过第四象限，则k的取值范围为[0，+o) C.若直线1在x轴上的截距为-3，则k= 6 D.若直线1分别交x,y轴正半轴于A,B,则当A0·QB取得最小值时，直线1的方程为x+y-4=0 10.已知四面体ABCD满足AB=CD=√2，BC=AD=BD=AC=√3，则 A.直线AB与CD垂直 B.二面角C-AB-D平面角的余弦值为号 C向量花在向量励上的投影为号 D.四面体ABCD的体积为2 11.在棱长为2的正方体ABCD-A,B,C,D,中，点P满足B=ABC+uBB, D C 且0≤入≤1,0≤4≤1，则下列说法正确的是 B A.若入+u=1,则AP∥平面A1C,D ●P B.若A+u=1,则AP⊥BC1 D C若入=u=之，则P到平面A,BD的距离为号3 g=二 B (第11题图) D.若A=1,0≤≤1时，直线DP与平面4，D所议角为0，则s血0=停91 咸阳市实验中学高二数学第一次质量检测-2-（共4页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知向量a=(1,3),b=(x,y),y>0,若a与b共线，则+y的最小值为 3x 13.已知一束光线通过点A(-3,5),经直线1：3x-4y+4=0反射.如果反射光线通过点B(2,15),则 反射光线所在直线的方程是 D 14.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A,B1C1D1中，点P在B,C1上，点QA B 在平面ABB1A1内，设直线AA1与直线PQ所成角为Q.若直线PQ到平 面ACD,的距离为9，则sm9的最小值为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演 B (第14题图)》 算步骤。 15.(本小题满分13分) 记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且3 asin C=c(1+cosA). (1)求A; (2)若a=2,△ABC的周长为6，求△ABC的面积 16.（本小题满分14分) 某商场随机抽取了100名员工的月销售额x(单位：千元)，将x的所有取值分成[5,10)，[10， 15),[15,20),[20,25),[25,30]五组，并绘制得到如图所示的频率分布直方图，其中b=2a. (1)求a、b的值； 频率 组距 (2)若月销售额在[25,30]这一组中男女职工人数为3：2,0.07 现从中随机抽取2人，求所抽取的2人中至少有一名女职0.06 工的概率 0.01 051015202530月销售额x (第16题图) 17.（本小题满分16分) 已知△ABC的三个顶点是A(1,4),B(5,7),C(7,-4)· (1)求BC边上的中线的直线方程； (2)求BC边上的高的直线方程； (3)求角A的内角平分线所在的直线方程。 咸阳市实验中学高二数学第一次质量检测-3-（共4页） 18.（本小题满分16分) 如图，在棱长为1的正方体ABCD-A,BC,D1中，E为线段DD1的中点，F为线段BB1的中点. (1)求点A1到直线B,E的距离； (2)求直线FC到直线AE的距离； (3)求点A到平面AB,E的距离； E (4)求直线FC,到平面AB,E的距离. (第18题图) 19.（本小题满分18分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD,△PAD是斜边为AD的等腰直角三角形， AB LAD,AB=1,AD=4,AC=CD=22. (1)求证：PD⊥平面PAB; (2)求PB与平面PCD所成角的正弦值； (3)在棱PB上是否存在点M,使得平面ADM与平面ACD所成角的余弦值为气？若存在，求 出必的值，若不存在，请说明理曲。 (第19题图) 咸阳市实验中学高二数学第一次质量检测-4-（共4页）