精品解析：河南省郑州市外国语学校2025-2026学年高三上学期10月调研数学试题

郑州外国语学校2025-2026学年高三上期调研2考试试卷 数学 （120分钟 150分） 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，是实数集，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求得集合，进而得到，进而根据交集的定义计算即可. 【详解】因为或， 所以， 又， 所以. 故选：B. 2. 已知函数是奇函数，则下列关系中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据奇函数的性质，结合代入法逐一判断即可. 【详解】因为是奇函数，定义域为R， 所以 所以所以 满足题意， 故A正确，B、C、D错误. 故选：A 3. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性，以及特殊点处的函数值正负排除错误选项，即得答案. 【详解】因为，即， 所以函数的定义域为， 此时函数的定义域关于原点对称， 又， 所以函数为奇函数，故排除A； 当时，时，， 所以当时，，故排除C； 当时，，分子固定在内变化， 而分母单调递增，一直到，故，故排除D. 故选：B. 4. 设，，分别为函数，，的零点，则，，的大小关系为( ). A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】当时，，所以，然后在和时，分别判断和的零点，即，的取值范围，最后综合判断即可. 【详解】因为时，，又因为单调递增，所以； 若，则，所以时，，即； 若，则，所以时，，即. 综上所述，， 故选：D. 5. 某校数学建模兴趣小组收集了一组恒温动物体重 （单位: 克） 与心率（单位: 次/分钟）的对应数据. 根据生物学常识和散点图得出与近似满足 （ 为参数），令 ，计算得到. 由最小二乘法得到经验回归方程为 ，则的值为（ ） A. B. 0.4 C. D. 0.2 【答案】A 【解析】 【分析】根据回归直线方程必过样本中心点求出，即可求出. 【详解】因为，两边取对数可得， 又， 依题意回归直线方程必过样本中心点， 所以，解得，所以. 故选：A. 6. 若能被5整除，则x，n的一组值可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用二项式定理变形，再逐项判断得解. 【详解】依题意，， 对于A，，，不能被5整除，A不是； 对于B，，，不能被5整除，B不是； 对于C，，，能被5整除，C是； 对于D，，，不能被5整除，D不是. 故选：C 7. 已知随机变量，且，则当时，的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用正态曲线关于直线对称，得出，即，再利用基本不等式，即可求出结果． 【详解】由题意知，随机变量， 所以正态曲线关于直线对称， 又， 所以，即， 所以， 因为，则， 所以 ， 当且仅当，时取等号， 所以的最小值为． 故选：B． 8. 对于函数，下列结论中错误的是（ ） A. 任取，都有 B. ，其中 C. 对一切恒成立 D. 方程有两个相异实根和，则 【答案】B 【解析】 【分析】对于A，结合的函数图像即可求证；对于B，根据所给关系式，结合等比数列求和公式即可求解；对于C，根据所给关系式即可求解；对于D，结合的图像得到及，再通过二次函数的单调性即可求解． 【详解】作出函数的图象如图所示， 所以， 对于A，如图所示，在时，，任取，都有，故A正确； 对于B，因为， 所以，故B错误； 对于C，由，得到，即，故C正确； 对于D，函数有两个相异实根，如图所示， 则且，，， 当时，还有一个根，共三个根，此时满足，解得， 当时，只有一个根，此时满足，解得， 所以当有两个根时，满足， 所以，当时，函数为增函数，所以，故D正确． 故选：B． 二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列说法正确的有（ ） A. 若角的终边过点，则角的集合是 B. 若，则 C. 若，则 D. 若扇形的周长为，圆心角为，则此扇形的半径是 【答案】ABC 【解析】 【分析】由三角函数的定义判断A，根据诱导公式判断B，根据“1”的代换和弦切互化求解判断C，根据扇形弧长公式求解判断D. 【详解】因为角的终边过点，为第一象限角， 所以由三角函数的定义知，所以角的终边与终边相同， 所以角的集合是，故A选项正确； 因为，所以B选项正确； 因为，所以C选项正确； 设扇形的半径为，圆心角为，因为扇形所对的弧长为， 所以扇形周长为，故，所以D选项不正确． 故选：ABC 10. 甲、乙两个不透明的袋子中分别装有两种颜色不同但是大小相同的小球，甲袋中装有5个红球和5个绿球；乙袋中装有4个红球和6个绿球.先从甲袋中随机摸出一个小球放入乙袋中，再从乙袋中随机摸出一个小球，记表示事件“从甲袋摸出的是红球”，表示事件“从甲袋摸出的是绿球”，记表示事件“从乙袋摸出的是红球”，表示事件“从乙袋摸出的是绿球”.下列说法正确的是（ ） A. 是互斥事件 B. 是独立事件 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据互斥事件的定义可判断A；求出是否相等可判断B；计算出可判断C；计算出可判断D. 【详解】对于A，依题意，因为每次只摸出一个球，， 所以，是互斥事件，故A正确； 对于B，，， 则， 所以，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确. 故选：ACD. 11. 定义：在区间上，若函数是减函数，且是增函数，则称在区间上是“弱减函数”.根据定义可得（ ） A. 在上是“弱减函数” B. 若在上是“弱减函数”，则 C. 在上是“弱减函数” D. 若在上是“弱减函数”，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】按照“弱减函数”的定义，对AC两个选项通过导函数判断在对应区间和的增减性，即可； 对BD选项，根据“弱减函数”的定义，根据在区间是减函数，转化为导函数在对应区间小于或等于0恒成立， 根据在区间是增函数，转化为导函数在对应区间大于或等于0恒成立，进而求参数的范围. 【详解】A选项： 由得， 当时，，在区间上单调递减， 设， 故， 当时，，故在区间上单调递增， 故在上是“弱减函数”，A正确； B选项： 若在上是“弱减函数”， 设， 则在区间单调递减，在区间单调递增， ， 由得，故， 因在上单调递增，故， 综上，故B错误； C选项： ，设， 则， 设， 当时，，所以，所以，， 故在上单调递减，在上单调递增， 故在上是“弱减函数”，C正确； D选项： 由得， 当时，， 得在上恒成立， 设，则由C选项知在上单调递减， 故，故，即， 设，， 当时，， 得在上恒成立， 设，则， 当时，，故在上单调递增， 故，故， 综上，故D正确. 故选：ACD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知某射箭场馆共需要6名志愿者，其中3名会说韩语，3名会说日语．目前可供选择的志愿者中有4人只会韩语，5人只会日语，另外还有1人既会韩语又会日语，则不同的选人方案共有_________种．（用数字作答）． 【答案】 【解析】 【分析】对选出的3名会说韩语的志愿者分为2种情况讨论即只会韩语中选3人和选2人，分别求出其方法总数即可得出答案. 【详解】若从只会韩语中选3人，则种， 若从只会韩语中选2人，则种， 故不同的选人方案共有种． 故答案为： 13. 某市为了传承中华优秀传统文化，组织该市中学生进行了一次文化知识答题竞赛.已知某同学答对每道题的概率均为，且每次答题相互独立，若该同学连续作答20道试题后结束比赛，记该同学答对道试题的概率为，则当__________时，取得最大值. 【答案】13或14 【解析】 【分析】先得到，利用解不等式即可. 【详解】由题意得，且， 则，即 故又，所以或， 故当或时，取得最大值. 故答案为：13或14. 14. 已知函数，若存在两条不同的直线与曲线和均相切，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用导数的几何意义求出两曲线的切线方程，进而，利用方程根的个数与函数图象交点的个数之间的转化，结合导数讨论函数的单调性和数形结合的思想即可求解. 【详解】设曲线上的切点坐标为，又， 则公切线的方程为，即． 设曲线上的切点坐标为，又， 则公切线的方程为，即， 所以，消去，得． 若存在两条不同的直线与曲线均相切， 则关于的方程有两个不同的实数根． 设，则， 令，得，令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，由可得， 当且时，，当时，且， 则的大致图象如图所示， 由图可知，，解得， 即实数的取值范围为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键点是两曲线的切线方程相等，消去得，利用数形结合的思想将方程的根个数转化为函数图象的交点个数. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 的内角A､B､C的对边分别为a､b､c，已知． （1）求B； （2）若，，求的面积． 【答案】（1）； （2）﹒ 【解析】 【分析】(1)已知条件结合正弦定理边化角即可求B； (2)结合正弦定理、余弦定理和三角形面积公式即可求解﹒ 【小问1详解】 由正弦定理，得， 即， ∴， 又∵，∴， ∴， 又∵，∴， ∵B为三角形内角，∴； 【小问2详解】 ∵，∴由正弦定理得， ∴由余弦定理得，即， ∴，， ∴的面积为． 16. 已知函数在处有极大值. （1）求实数的值； （2）若函数有三个不同的零点，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意题干中的函数进行求导，根据极值与导数的关系建立方程，分别检验解得的根，可得答案； （2）由（1）明确函数解析式，利用导数求得其极值与单调性，并作图，根据零点定义，将问题等价转化为函数交点问题，可得答案. 【小问1详解】 由函数，求导可得， 由函数在处取极大值，则，解得或， 当时，可得， 易知当时，；当时，， 则此时函数在处取得极小值，不符合题意，舍去； 当时，可得， 易知当时，；当时，， 则此时函数在处取得极大值，符合题意. 综上所述，. 【小问2详解】 由（1）可得函数，求导可得， 令，解得或，可得下表： 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以函数的极大值为，极小值为， 函数存在三个零点，等价于函数图象与直线存在三个交点， 如下图： 由图可得，则. 17. 如图，在四棱锥中，，，平面ABCD，，M为PC的中点. （1）求证：平面PAD； （2）设点N在平面PAD内，且平面PBD，求直线BN与平面ABCD所成角的正弦值. 【答案】（1） 取PD的中点E，连接EM，AE，则且， 而，，则，又， 所以，，从而四边形ABME是平行四边形，故. 因为平面PAD，平面PAD，所以平面PAD. （2）. 【解析】 【分析】（1）取PD的中点E，连接EM，AE，易证ABME是平行四边形，则，根据线面平行的判定即可证结论. （2）（法一）利用线面垂直的性质及判定可得面ABME，作交AE于点N，易证面PBD，则，根据相似比求出N的位置，由线面角的定义求线面角的大小；（法二）构建空间直角坐标系，设，根据平面PBD求出参数，进而求、面的法向量，应用空间向量夹角的坐标表示求直线BN与平面ABCD所成角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当N为AE的中点时，面PBD，理由如下： （法一）面ABCD，面ABCD， ，又，，平面PAD， 所以面PAD，而面PAD，则， 又，E是PD的中点，即， 而，面ABME， 所以面ABME，在面ABME中作交AE于点N， 所以，又，面PBD， 所以面PBD，易知：，而，， ，即，而， N为AE的中点时，面PBD. 作于G，则面，是BN与平面ABCD所成角， 因为，， ，则. 即直线BN与平面AD所成角的正弦值为. （法二）易得AP，AB，AD两两垂直，故以A为原点，直线AB为x轴，直线AD为y轴，直线AP为z轴，建立空间直角坐标系， 则B(1，0，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，C(2，2，0)，M(1，1，1). 设，则，，. 因为平面PBD， 故，可得. ，又平面的法向量为， 设BN与平面ABCD所成角为，则. 即直线BN与平面ABCD所成角的正弦值为. 18. 为宣扬中国文化，某校组织古诗词知识比赛.比赛分为两阶段，第一阶段为基础知识问答，每位选手都需要回答3个问题，答对其中至少2个问题，进入第二阶段，否则被淘汰；第二阶段分高分组和低分组，第一阶段3个问题都答对的选手进入高分组，共回答4个问题，每答对一个得20分，答错不得分；第一阶段答对2个问题的选手进入低分组，共回答4个问题，每答对一个得10分，答错不得分.第一阶段，每个问题选手甲答对的概率都是；第二阶段，若选手甲进入高分组，每个问题答对的概率都是，若选手甲进入低分组，每个问题答对的概率都是. （1）求选手甲第一阶段不被淘汰的概率； （2）求选手甲在该次比赛得分数为40分的概率； （3）已知该次比赛选手甲进入了高分组，记选手甲在该次比赛中得分数为，求随机变量的分布列和期望值. 【答案】（1） （2） （3）X分布列为： X 0 20 40 60 80 P ，20【解析】 【分析】（1）根据比赛晋级第二阶段的规则，分析选手需要答对题的个数，然后根据独立概率公式进行计算即可； （2）根据比赛得分规则，选手得40分有两种情况：进入高分组，答对2个问题； 进入低分组，答对4个问题，然后根据独立概率公式进行计算即可； （3）由题的可能取值有，，，，，分别求出相应取值的概率，列出分布列表，计算数学期望即可. 【小问1详解】 选手甲第一阶段不被淘汰， 即甲回答三个问题答对其中2个或3个， 其概率为：； 【小问2详解】 选手甲在该次比赛得分数为40有两种情况：进入高分组，答对2个问题； 进入低分组，答对4个问题， 故概率为：； 【小问3详解】 由题意可知，的所有可能取值有0，20，40，60，80， 则， ， ， 所以X分布列为： X 0 20 40 60 80 P 所以. 19. 已知，动点满足与的斜率之积为定值. （1）求动点的轨迹的方程； （2）过点的直线与曲线交于 两点，且均在轴右侧，过点 作直线的垂线，垂足为. （i）求证：直线过定点； （ii）求面积的最小值. 【答案】（1） （2）（i）证明如下： 设，联立， 得， 设， 结合题意有， 解得，且， 又直线BD的方程为， 令，则 ， 故直线过定点； （ii） 【解析】 【分析】（1）设动点的坐标，由题意列式并化简，即可得答案； （2）（i）设直线方程，联立双曲线方程，可得根与系数的关系，求出m的范围，利用直线BD的方程求出其与x轴交点坐标的表达式，化简即可证明结论； （ii）结合根与系数的关系式，求出面积的表达式，利用换元，并结合函数的单调性，即可求得答案. 【小问1详解】 设动点的坐标为，由动点 满足与的斜率之积为定值， 得，即， 故动点的轨迹的方程为； 【小问2详解】 （i）略 （ii）由题意知， 故的面积为 ， 令，则， 则， 由于在上单调递减，故在上单调递增， 故当，即时，面积取最小值. 【点睛】难点点睛：本题考查了动点轨迹方程的求法，考查了直线过定点问题以及双曲线中的三角形面积的最值问题，综合性较强，解答时要设直线方程，并联立双曲线方程，结合根与系数的关系式进行化简，难点在于计算过程比较复杂，计算量较大，并且基本都是有关字母参数的运算，因此要十分细心. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 郑州外国语学校2025-2026学年高三上期调研2考试试卷 数学 （120分钟 150分） 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，是实数集，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数是奇函数，则下列关系中正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 4. 设，，分别为函数，，的零点，则，，的大小关系为( ). A. B. C. D. 5. 某校数学建模兴趣小组收集了一组恒温动物体重 （单位: 克） 与心率（单位: 次/分钟）的对应数据. 根据生物学常识和散点图得出与近似满足 （ 为参数），令 ，计算得到. 由最小二乘法得到经验回归方程为 ，则的值为（ ） A. B. 0.4 C. D. 0.2 6. 若能被5整除，则x，n的一组值可能为（ ） A. B. C. D. 7. 已知随机变量，且，则当时，的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 对于函数，下列结论中错误的是（ ） A. 任取，都有 B. ，其中 C. 对一切恒成立 D. 方程有两个相异实根和，则 二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列说法正确的有（ ） A. 若角的终边过点，则角的集合是 B. 若，则 C. 若，则 D. 若扇形的周长为，圆心角为，则此扇形的半径是 10. 甲、乙两个不透明的袋子中分别装有两种颜色不同但是大小相同的小球，甲袋中装有5个红球和5个绿球；乙袋中装有4个红球和6个绿球.先从甲袋中随机摸出一个小球放入乙袋中，再从乙袋中随机摸出一个小球，记表示事件“从甲袋摸出的是红球”，表示事件“从甲袋摸出的是绿球”，记表示事件“从乙袋摸出的是红球”，表示事件“从乙袋摸出的是绿球”.下列说法正确的是（ ） A. 是互斥事件 B. 是独立事件 C. D. 11. 定义：在区间上，若函数是减函数，且是增函数，则称在区间上是“弱减函数”.根据定义可得（ ） A. 在上是“弱减函数” B. 若在上是“弱减函数”，则 C. 在上是“弱减函数” D. 若在上是“弱减函数”，则 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知某射箭场馆共需要6名志愿者，其中3名会说韩语，3名会说日语．目前可供选择的志愿者中有4人只会韩语，5人只会日语，另外还有1人既会韩语又会日语，则不同的选人方案共有_________种．（用数字作答）． 13. 某市为了传承中华优秀传统文化，组织该市中学生进行了一次文化知识答题竞赛.已知某同学答对每道题的概率均为，且每次答题相互独立，若该同学连续作答20道试题后结束比赛，记该同学答对道试题的概率为，则当__________时，取得最大值. 14. 已知函数，若存在两条不同的直线与曲线和均相切，则实数的取值范围为______. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 的内角A､B､C的对边分别为a､b､c，已知． （1）求B； （2）若，，求的面积． 16. 已知函数在处有极大值. （1）求实数的值； （2）若函数有三个不同的零点，求实数的取值范围. 17. 如图，在四棱锥中，，，平面ABCD，，M为PC的中点. （1）求证：平面PAD； （2）设点N在平面PAD内，且平面PBD，求直线BN与平面ABCD所成角的正弦值. 18. 为宣扬中国文化，某校组织古诗词知识比赛.比赛分为两阶段，第一阶段为基础知识问答，每位选手都需要回答3个问题，答对其中至少2个问题，进入第二阶段，否则被淘汰；第二阶段分高分组和低分组，第一阶段3个问题都答对的选手进入高分组，共回答4个问题，每答对一个得20分，答错不得分；第一阶段答对2个问题的选手进入低分组，共回答4个问题，每答对一个得10分，答错不得分.第一阶段，每个问题选手甲答对的概率都是；第二阶段，若选手甲进入高分组，每个问题答对的概率都是，若选手甲进入低分组，每个问题答对的概率都是. （1）求选手甲第一阶段不被淘汰的概率； （2）求选手甲在该次比赛得分数为40分的概率； （3）已知该次比赛选手甲进入了高分组，记选手甲在该次比赛中得分数为，求随机变量的分布列和期望值. 19. 已知，动点满足与的斜率之积为定值. （1）求动点的轨迹的方程； （2）过点的直线与曲线交于 两点，且均在轴右侧，过点 作直线的垂线，垂足为. （i）求证：直线过定点； （ii）求面积的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $