1.2空间向量基本定理（3知识点+8题型）讲义-2025-2026学年高二上学期数学同步讲练（人教A版选择性必修第一册）

1.2 空间向量基本定理 内容导图预览 新知要点探究 知识点1 空间向量基本定理 1.空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p=xa+yb+zc. 2.基底：我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量. 3.单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i， j，k}表示. 4.正交分解：由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a，均可以分解为三个向量xi，y j，zk，使a=xi+y j+zk.像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解. 注意点： (1)空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底.基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示. (2)一个基底是一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量. (3)若三个向量不共面，就说明它们都不是零向量. 知识点2 空间向量基本定理的应用 1.证明平行、共面问题 (1)对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. (2)如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. (3)证明平行、共面问题的思路 ①利用向量共线的充要条件来证明点共线或直线平行． ②利用空间向量基本定理证明点线共面或线面平行． 2.计算夹角、垂直问题 (1)θ为a，b的夹角，则cos θ＝.(区分向量的夹角与异面直线所成的角的范围．） (2)若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0. (3)求夹角、证明线线垂直的方法 利用数量积定义可得cos〈a，b〉＝，求〈a，b〉的大小，进而求得线线角，两直线垂直可作为求夹角的特殊情况． 知识点3 空间向量的正交分解 1．单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示． 2．正交分解：由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk，使a＝xi＋yj＋zk.像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 思路方法总结 1.基底的判断思路 (1)判断空间三个向量能否作为一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，就可以作为一个基底. (2)在正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体中，我们通常选用它们从同一顶点出发的三条棱对应的方向向量为基底，有时，也在此基础上构造其他向量作基底. 2.用基底表示向量 (1)若基底已经明确，要充分利用向量加法的三角形法则和平行四边形法则、向量减法的几何意义，以及向量数乘运算的运算律. (2)若基底不明确，首先选择基底，选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角是否已知或易求. 3.空间向量基本定理的应用 (1)证明平行、共面问题的思路 ①利用向量共线的充要条件来证明点共线或直线平行. ②利用空间向量基本定理证明点线共面或线面平行. (2)求异面直线所成的角、证明线线垂直的方法 利用数量积定义可得cos〈a，b〉=求〈a，b〉的大小，进而求得异面直线所成的角，证明两直线垂直只需验证其方向向量的数量积为0即可. 典例·举一反三 题型一 空间向量基底的概念与理解 1．若，构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（    ） A． B． C． D． 2．若构成空间的一个基底，则下列向量能构成空间的一个基底的是（    ）. A．，， B．，， C．，， D．，， 3．下列命题中，为真命题的是（    ） ①若，与任何向量都不能构成空间的一个基底，则，共线； ②若非零向量，，不构成空间的一个基底，则四点共面； ③若向量，，构成空间的一个基底，则空间内的任意向量可表示为，． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 4．已知，，是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 5．设构成空间的一个基底，下列说法正确的是（    ） A．两两共面，但不可能共面 B．有且仅有一对实数，使得 C．对空间任一向量，总存在唯一的有序实数组，使得 D．，，一定能构成空间的另一个基底 题型二 用基底表示空间向量 6．如图，空间四边形OABC中，，，，点M在上，且，点N为BC中点，则（    ）    A． B． C． D． 7．如图，在三棱锥中，点D，E分别在棱OA，BC上，且，设，，则（    ） A． B． C． D． 8．如图，空间四边形中，，点在上，且，点为中点，则等于（    ） A． B． C． D． 9．四面体中，，，，且，，则等于（    ） A． B． C． D． 10．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图所示，已知四棱锥是阳马，平面，且，若，则（    ）    A． B． C． D． 题型三 空间向量的正交分解 11．已知是空间的一个单位正交基底，且，则与夹角的余弦值为 . 12．已知是空间的一个单位正交基底，向量是空间的另一个基底，用基底表示向量 . 13．定义：设是空间向量的一个基底，若向量，则称实数组为向量在基底下的坐标.已知向量是空间中的一个单位正交基底，向量是空间中的另一个基底，若向量在基底下的坐标为，则在基底下的坐标为 . 14．若是空间的一个基底，且向量，，不能构成空间的一个基底，则实数 ． 题型四 空间向量基本定理求参数 15．在平行六面体中，点为棱的中点，点为棱上靠近的三等分点．若，则的值为（       ） A． B． C． D． 16．正方体，点E是上底面的中心，若，则（   ） A． B． C．1 D．2 17．四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，点E为棱PC的中点，若，则等于（    ） A． B．1 C． D．2 18．《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱．如图，在堑堵，中，M是的中点，是的中点，若，则（   ） A．1 B．2 C． D． 19．如图，在三棱锥中，点为底面的重心，点是线段的中点，过点的平面分别交，，于点，，，若，，，则（   ） A． B． C． D． 题型五 利用基本定理求模、夹角和数量积 20．如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是1，，，为与的交点．设，，． (1)用，，表示，并求的值； (2)求的值． 21．如图所示，平行六面体中，. (1)用向量表示向量； (2)求； (3)求的长度. 22．如图，在直三棱柱中，，，. (1)用表示； (2)求直线与直线所成角的余弦值. 23．如图，在四面体中，平面，平面，为的中点，． (1)设，，，用表示； (2)若 （i）求 （ii）求． 24．已知在三棱柱中，，记，. (1)求证：四边形为矩形； (2)若，求异面直线与所成角的余弦值. 题型六 利用基本定理解决平行垂直问题 25．如图，三棱锥中，，分别是，上的点，且，，设，，． (1)试用，，表示向量； (2)已知，，且，若，求的值． 26．如图，在四棱锥中，底面是边长为3的菱形，. (1)利用空间向量证明； (2)求的长. 27．如图，已知四棱锥的底面为平行四边形， ，为的中点，设 ，，． (1)用，，表示； (2)求证：平面． 28．如图，在平行六面体中，， (1)求证：； (2)求的长. 29．如图所示，在三棱柱中，，，，，点是棱的中点，点在棱上，且. (1)用表示向量； (2)求； (3)求证：. 题型七 利用基本定理求共线共面问题 30．在空间四边形ABCD中，H，G分别是AD，CD的中点，E，F分别边AB，BC上的点，且，，， (1)求（用向量表示）； (2)求证：点E，F，G，H四点共面． 31．四棱柱的六个面都是平行四边形，点在对角线上，且，点在对角线上，且． (1)设向量，，，用、、表示向量、； (2)求证：、、 三点共线． 32．在正四面体中，，，，分别是，，，的中点．设，，． (1)用，，表示，； (2)求证：，，，四点共面； (3)求证：四边形为矩形． 33．如图，在底面为菱形的平行六面体中，分别在棱上，且，且． (1)用向量表示向量； (2)求证：共面； (3)当为何值时，． 题型八 利用基本定理解决动点问题 34．如图，在三棱柱中，，，，设，，，是的中点.    (1)用、、表示向量； (2)在线段上是否存在点，使得？若存在，求出的位置，若不存在，请说明理由. 35．如图，在正方体中，点E，F，M分别是线段，EC，的中点.设，，.    (1)用基底表示向量. (2)棱BC上是否存在一点G，使得？若存在，指出G的位置；若不存在，请说明理由. 36．如图，N是三棱柱的棱的中点， (1)若，求的值； (2)若，，平面，点M在棱上，使，求的值. 37．如图.在平行六面体中. (1)如图1，已知，点是侧面的中心，试用向量表示下列向量：. (2)如图2，点分别是的中点，请选择恰当的基底向量，证明：平面平面. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2 空间向量基本定理 内容导图预览 新知要点探究 知识点1 空间向量基本定理 1.空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p=xa+yb+zc. 2.基底：我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量. 3.单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i， j，k}表示. 4.正交分解：由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a，均可以分解为三个向量xi，y j，zk，使a=xi+y j+zk.像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解. 注意点： (1)空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底.基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示. (2)一个基底是一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量. (3)若三个向量不共面，就说明它们都不是零向量. 知识点2 空间向量基本定理的应用 1.证明平行、共面问题 (1)对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. (2)如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. (3)证明平行、共面问题的思路 ①利用向量共线的充要条件来证明点共线或直线平行． ②利用空间向量基本定理证明点线共面或线面平行． 2.计算夹角、垂直问题 (1)θ为a，b的夹角，则cos θ＝.(区分向量的夹角与异面直线所成的角的范围．） (2)若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0. (3)求夹角、证明线线垂直的方法 利用数量积定义可得cos〈a，b〉＝，求〈a，b〉的大小，进而求得线线角，两直线垂直可作为求夹角的特殊情况． 知识点3 空间向量的正交分解 1．单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示． 2．正交分解：由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk，使a＝xi＋yj＋zk.像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 思路方法总结 1.基底的判断思路 (1)判断空间三个向量能否作为一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，就可以作为一个基底. (2)在正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体中，我们通常选用它们从同一顶点出发的三条棱对应的方向向量为基底，有时，也在此基础上构造其他向量作基底. 2.用基底表示向量 (1)若基底已经明确，要充分利用向量加法的三角形法则和平行四边形法则、向量减法的几何意义，以及向量数乘运算的运算律. (2)若基底不明确，首先选择基底，选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角是否已知或易求. 3.空间向量基本定理的应用 (1)证明平行、共面问题的思路 ①利用向量共线的充要条件来证明点共线或直线平行. ②利用空间向量基本定理证明点线共面或线面平行. (2)求异面直线所成的角、证明线线垂直的方法 利用数量积定义可得cos〈a，b〉=求〈a，b〉的大小，进而求得异面直线所成的角，证明两直线垂直只需验证其方向向量的数量积为0即可. 题型一 空间向量基底的概念与理解典例·举一反三 1．若，构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量共面定理，即若三个向量，，共面，则存在实数，，使得通过列方程组判断是否有解，来确定向量是否共面，一一判定选项即可. 【详解】对于A，若共面，则存在， 使， 则，显然无解，故不共面，故A错误； 对于B，若共面，则存在， 使， 则，显然无解，故不共面，故B错误； 对于C，若共面，则存在， 使， 则，显然无解，故不共面，故C错误； 对于D，若共面，则存在， 使， 则，解得，故共面，故D正确． 故答案为：D． 2．若构成空间的一个基底，则下列向量能构成空间的一个基底的是（    ）. A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】要判断一组向量能否构成空间的一个基底，即判断这组向量是否不共面，逐一分析各选项，找出不共面的向量组即可． 【详解】对于A，因为， 所以，，共面，不能构成空间的一个基底，故A错误； 对于B，因为， 所以，，共面，不能构成空间的一个基底，故B错误； 对于C，假设，，共面，则存在实数，使得， 由于为空间的一个基底，所以可得实数的解为， 但与矛盾，假设不成立，即不共面，能构成空间的一个基底，故C正确； 对于D，因为， 所以共面，不能构成空间的一个基底． 故选：C． 3．下列命题中，为真命题的是（    ） ①若，与任何向量都不能构成空间的一个基底，则，共线； ②若非零向量，，不构成空间的一个基底，则四点共面； ③若向量，，构成空间的一个基底，则空间内的任意向量可表示为，． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】根据空间基底向量的性质逐个选项判断即可. 【详解】对①，若，不共线，则存在向量使得不在，所组成的面上，此时有，，不共面，可以构成空间的一个基底，故，共线，故①正确； 对②，若非零向量，，不构成空间的一个基底，则，，共面，即四点共面，故②正确 对③，由空间向量的基本定理可得③正确. 综上有①②③正确. 故选：D 4．已知，，是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】利用空间向量的基底的定义，逐项判断作答. 【详解】假定向量，，共面，则存在不全为0的实数， 使得，显然不成立， 所以向量不共面，能构成空间的一个基底，故A正确； 由于，则，，共面，故B错误； 由于，则，，共面，故C错误； 由于，则，，共面，故D错误； 故选：A. 5．设构成空间的一个基底，下列说法正确的是（    ） A．两两共面，但不可能共面 B．有且仅有一对实数，使得 C．对空间任一向量，总存在唯一的有序实数组，使得 D．，，一定能构成空间的另一个基底 【答案】ACD 【分析】根据基底向量的定义结合空间向量的基本定理逐项分析判断. 【详解】对于A，由基底的定义知不可能共面，故A正确； 对于B，因为是空间一个基底，所以不共面，所以不存在实数，使得，故B不正确； 对于C，因为是空间一个基底，由空间向量基本定理可知，对空间任一向量，总存在唯一的有序实数组，使得，故C正确； 对于D，因为不共面，且与平行，与平行，与平行，所以，，也不共面，因此一定能构成空间的一个基底，故D正确． 故选：ACD. 题型二 用基底表示空间向量 6．如图，空间四边形OABC中，，，，点M在上，且，点N为BC中点，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量的线性运算结合空间向量的基本定理运算求解. 【详解】因为，点N为BC中点，所以， 故 . 故选：B. 7．如图，在三棱锥中，点D，E分别在棱OA，BC上，且，设，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量的线性运算即可得出结果. 【详解】因为， 所以 . 故选：B 8．如图，空间四边形中，，点在上，且，点为中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量的线性运算法则求解. 【详解】 . 故选：B. 9．四面体中，，，，且，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合图形，根据向量的线性运算法则计算即得. 【详解】因为，， 所以， 所以， 故选：B. 10．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图所示，已知四棱锥是阳马，平面，且，若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的线性运算，利用空间向量基本定理即可求解. 【详解】由有， 所以， 故选：A. 题型三 空间向量的正交分解 11．已知是空间的一个单位正交基底，且，则与夹角的余弦值为 . 【答案】 【分析】根据单位正交基底的特征，结合数量积公式，即可求解. 【详解】由题意可知，， ，， 所有. 故答案为： 12．已知是空间的一个单位正交基底，向量是空间的另一个基底，用基底表示向量 . 【答案】 【分析】设，然后整理解方程组即可. 【详解】设， 即有， 因为是空间的一个单位正交基底， 所以有， 所以. 故答案为： 13．定义：设是空间向量的一个基底，若向量，则称实数组为向量在基底下的坐标.已知向量是空间中的一个单位正交基底，向量是空间中的另一个基底，若向量在基底下的坐标为，则在基底下的坐标为 . 【答案】 【分析】化简得到，得到答案. 【详解】， 故在基底下的坐标为， 故答案为：. 14．若是空间的一个基底，且向量，，不能构成空间的一个基底，则实数 ． 【答案】 【分析】根据题意，可知存在，使得，结合空间向量基本定理运算求解. 【详解】由不能构成空间的一个基底，则存在，使得， 即， 所以，解得. 故答案为：. 题型四 空间向量基本定理求参数 15．在平行六面体中，点为棱的中点，点为棱上靠近的三等分点．若，则的值为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】选一组基底，利用空间向量基本定理即可求解. 【详解】由题意有，所以 ， 所以，所以， 故选：B. 16．正方体，点E是上底面的中心，若，则（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据空间向量对应线段的关系，结合加减、数乘的几何意义用表示求出参数，即可得答案. 【详解】由， 所以，故. 故选：D 17．四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，点E为棱PC的中点，若，则等于（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】结合图形，利用向量的线性运算，即可求解. 【详解】 在四棱锥P-ABCD中，有， 再由点E为棱PC的中点，，所以， ， 由底面ABCD是平行四边形，得， 所以， 又因为，所以，即， 故选：A. 18．《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱．如图，在堑堵，中，M是的中点，是的中点，若，则（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】连接，根据空间向量法线性运算法则计算可得. 【详解】连接，因为是的中点，所以， 因为三棱柱是底面为直角三角形的直棱柱， 所以四边形为长方形，又因为是的中点， 所以， 则， 又，又，，不共面，所以，所以． 故选：D． 19．如图，在三棱锥中，点为底面的重心，点是线段的中点，过点的平面分别交，，于点，，，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由空间向量基本定理，用表示，由，，，四点共面，可得存在实数，使，再转化为，由空间向量分解的唯一性，列方程求其解可得结论. 【详解】由题意可知， 因为，，，四点共面， 所以存在实数，使， 所以， 所以 ， 所以 ，所以． 故选：B. 题型五 利用基本定理求模、夹角和数量积 20．如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是1，，，为与的交点．设，，． (1)用，，表示，并求的值； (2)求的值． 【答案】(1)， (2)2 【分析】（1）先根据平行六面体的性质找到向量之间的关系，用表示出，再通过向量模的计算公式求出的值； （2）先求出，再根据向量数量积的运算规则求出的值. 【详解】（1）因为平行六面体中，为与的交点， 所以是中点，也是中点， 又因为，且平行六面体中，， 那么， 因为，， 所以， ， 因为，所以，又，， 所以， ，所以. （2）因为， 所以 . 21．如图所示，平行六面体中，. (1)用向量表示向量； (2)求； (3)求的长度. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）结合图形，利用空间向量的线性运算即可得解； （2）（3）利用空间向量的线性运算，结合空间向量数量积的定义与运算法则即可解. 【详解】（1）在平行六面体中， . （2）因为，，， 所以，， ， 则 . （3）因为， 所以 ， 则. 22．如图，在直三棱柱中，，，. (1)用表示； (2)求直线与直线所成角的余弦值. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）利用空间向量基本定理得到； （2）两边平方，求出，得到，并求出，，利用异面直线向量夹角余弦公式求出答案. 【详解】（1）， 故 ； （2）由（1）知，，两边平方得 因为三棱柱为直三棱柱，， 所以，故， ， 所以， 故. 因为，故， 设直线与直线所成角为， ， 所以， 所以直线与直线所成角的余弦值为. 23．如图，在四面体中，平面，平面，为的中点，． (1)设，，，用表示； (2)若 （i）求 （ii）求． 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）连接，利用空间向量的线性运算，准确化简、运算，即可求解； （2）根据题意，利用空间向量的线性运算和向量的数量积的运算公式，准确计算，即可求解. 【详解】（1）如图所示， 连接，可得， 因为为的中点，， 所以， 所以 . （2）因为平面，平面，且平面，平面， 所以，所以， （i）. （ii）因为， 所以 ， 又因为， 所以， 所以. 24．已知在三棱柱中，，记，. (1)求证：四边形为矩形； (2)若，求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用空间向量的基本定理及线性运算可得，可得从而证得； （2）由向量的线性运算可得，，再根据异面直线与所成角的余弦值的公式求解即可. 【详解】（1）由已知该几何体是三棱柱， 所以四边形为平行四边形， 又， 所以， 故，即. 所以四边形为矩形. （2）由已知， 又， ； 同理， ， ， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 题型六 利用基本定理解决平行垂直问题 25．如图，三棱锥中，，分别是，上的点，且，，设，，． (1)试用，，表示向量； (2)已知，，且，若，求的值． 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）借助空间向量线性运算法则计算即可得； （2）由题意可得，结合数量积公式计算即可得. 【详解】（1） ． （2）由可得， 即， 即， 即， 即，． 26．如图，在四棱锥中，底面是边长为3的菱形，. (1)利用空间向量证明； (2)求的长. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）以为基底，表达出，计算出，证明出结论； （2）在（1）基础上，表达出，平方后得到，开方后得到答案. 【详解】（1）证明：设，则构成空间的一个基底， ， ， 所以 ， 所以. （2）由（1）知， 所以 . 所以. 27．如图，已知四棱锥的底面为平行四边形， ，为的中点，设 ，，． (1)用，，表示； (2)求证：平面． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）根据向量运算求解即可； （2）先根据向量运算关系得，进而得共面，再根据平面即可证明. 【详解】（1）解：因为四棱锥的底面为平行四边形， ，为的中点， 所以， ， （2）证明：因为， ， 所以，，即， 所以共面， 因为平面， 所以平面. 28．如图，在平行六面体中，， (1)求证：； (2)求的长. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据两个非零空间向量的数量积为，证明这两个空间向量垂直. （2）根据，求得的长. 【详解】（1）证明：以为基底向量，则，. 所以所以， 所以，所以． （2）由（1）可得，. 所以，， 所以，即的长为． 29．如图所示，在三棱柱中，，，，，点是棱的中点，点在棱上，且. (1)用表示向量； (2)求； (3)求证：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据向量的线性运算结合空间向量基本定理求解即可； （2）利用数量积的运算律求解模长即可； （3）先利用向量线性运算得，然后利用数量积的运算律及定义求得，即可证明. 【详解】（1）； （2）， 则； （3） ， 所以 ， 所以，即. 题型七 利用基本定理求共线共面问题 30．在空间四边形ABCD中，H，G分别是AD，CD的中点，E，F分别边AB，BC上的点，且，，， (1)求（用向量表示）； (2)求证：点E，F，G，H四点共面． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据向量的线性运算结合空间向量基本定理运算求解；（2）根据中位线和平行线的性质，结合平行线的传递性证明，即可证结论. 【详解】（1）∵ ∴ （2）连接 ∵分别是的中点，∴. 又∵，∴， ∴，则四点共面. 【点睛】 31．四棱柱的六个面都是平行四边形，点在对角线上，且，点在对角线上，且． (1)设向量，，，用、、表示向量、； (2)求证：、、 三点共线． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）借助空间向量的线性运算计算即可得； （2）借助向量共线定理证明∥即可得. 【详解】（1）因为，则， 所以， 又因为，则， 所以 ； （2）因为 ， ， 所以， 所以与共线， 因为这两个向量有公共点， 所以、、三点共线． 32．在正四面体中，，，，分别是，，，的中点．设，，． (1)用，，表示，； (2)求证：，，，四点共面； (3)求证：四边形为矩形． 【答案】(1)； (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）由题意可得，，由向量的减法可得答案. （2）用向量，，分别表示出，，，从而可得，从而可证. （3）由空间向量数量积的运算律求出，由，从而可证. 【详解】（1）解：因为，分别是，的中点， 所以且， 所以． 因为，分别是，的中点，所以且， 所以． （2）证明：， ，， 所以， 所以，，，四点共面． （3）证明：设正四面体的棱长为，由题意知向量，，中，两两之间的夹角均为，由（1）知， 因为，分别是，的中点， 所以，故， 所以，， 所以四边形为平行四边形． 又因为， 所以， 故． 所以平行四边形为矩形． 33．如图，在底面为菱形的平行六面体中，分别在棱上，且，且． (1)用向量表示向量； (2)求证：共面； (3)当为何值时，． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)1 【分析】（1）根据空间向量线性运算法则计算可得； （2）根据空间向量线性运算法则得到，即可证明共面； （3）设，因为底面为菱形，则当时，，由，即可得出答案. 【详解】（1）． （2）证明：，， ，共面． （3）当，， 证明：设， 底面为菱形，则当时，， ，， ， ， ． 题型八 利用基本定理解决动点问题 34．如图，在三棱柱中，，，，设，，，是的中点.    (1)用、、表示向量； (2)在线段上是否存在点，使得？若存在，求出的位置，若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在，当时， 【分析】（1）利用空间向量的加法可得出关于、、的表达式； （2）假设存在点，使得，设，将、用基底表示出来，根据题意可得出，利用空间向量数量积的运算性质求出的值，即可得出结论. 【详解】（1） （2）假设存在点，使得，设， 则， 因为，所以， 即， 所以，， 设，又，， 所以，， 即，解得， 所以当时，. 35．如图，在正方体中，点E，F，M分别是线段，EC，的中点.设，，.    (1)用基底表示向量. (2)棱BC上是否存在一点G，使得？若存在，指出G的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)不存在一点G，理由见解析 【分析】（1）结合空间向量的线性运算，由空间向量基本定理求解即可； （2）假设棱BC上存在点G，使得，设，由基底表示出向量，由即可求出. 【详解】（1）因为，， 所以． （2）假设棱BC上存在点G，使得，设． 因为， 所以． 因为，所以，化简得， 得，所以棱BC上不存在一点G，使得. 36．如图，N是三棱柱的棱的中点， (1)若，求的值； (2)若，，平面，点M在棱上，使，求的值. 【答案】(1)-1 (2) 【分析】（1）利用空间向量的基本定理求解即可； （2）设，先利用向量的基本定理求得，因为，所以，求解即可求得. 【详解】（1） ， 而，则，，， 所以 （2）假设存在点，使，设， . 由题意可知设， 又，， 则，， 因为，所以， 即， ∴ . ∴，即，解得， 即时， 则. 37．如图.在平行六面体中. (1)如图1，已知，点是侧面的中心，试用向量表示下列向量：. (2)如图2，点分别是的中点，请选择恰当的基底向量，证明：平面平面. 【答案】(1)， (2)基底向量见解析，证明见解析 【分析】（1）结合图形，利用空间向量的线性运算即可得解； （2）利用空间向量的线性运算得到，，进而利用线面平行与面面平行的判定定理即可得证. 【详解】（1）因为，点是侧面的中心， 所以， . （2）以为基底， 则， ， ，， 所以，， 则，， 又平面平面平面. 同理平面，又平面， 所以平面平面. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $