第3讲 空间向量的基本定理【知识梳理+题型总结】讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2025-2026年高二数学上学期常考题型归纳 【第3讲：空间向量的基本定理】 【学习目标】 一、课标要求（对标课标，明确学习基准） 1. 掌握空间向量基本定理的内容及符号表示，理解“三个不共面向量”作为基底的前提条件，能准确阐述定理中“唯一性”的内涵。 2. 能运用空间向量基本定理进行向量的线性表示，掌握空间向量正交分解的方法，会建立空间直角坐标系并进行向量坐标运算。 3. 能运用空间向量基本定理解决立体几何中“位置关系证明”“距离与夹角计算”两类基础问题，符合课标对立体几何与空间向量结合的教学要求。 二、核心素养（立足学科，落实素养培养） 1. 数学抽象：通过从空间几何关系中抽象出向量关系，理解空间向量基本定理的本质，提升数学抽象素养。 2. 逻辑推理：在证明定理、推导向量线性表示式、论证几何关系时，遵循逻辑链条，强化逻辑推理素养。 3. 直观想象：结合空间图形选择基底、进行向量分解，建立向量与几何图形的关联，发展直观想象素养。 4. 数学运算：熟练进行向量的线性运算、坐标运算（加、减、数乘、数量积），提升数学运算素养。 5. 数学建模：将立体几何实际问题、跨学科问题（如物理力的分解）转化为向量模型，培养数学建模素养。 三、关键能力（聚焦重点，强化能力突破） 1. 概念辨析能力：能准确区分基底与基向量、空间向量基本定理与平面向量基本定理的差异，快速判断向量组是否可作为空间基底。 2. 向量表示与运算能力：根据几何图形特征选择最优基底，高效完成向量线性表示；熟练掌握正交分解与坐标运算，确保运算准确性与速度。 3. 几何问题转化能力：能将立体几何中的“线面平行/垂直”“异面直线夹角”“点到平面距离”等问题，转化为向量语言并求解。 4. 综合应用能力：整合向量知识与立体几何知识，解决多条件、综合性问题，能关联物理等跨学科场景进行应用。 四、高考导航（对接考情，明确备考方向） 1. 高频考点：空间向量基本定理是高考立体几何解答题的“隐性工具”，常结合坐标系建立、向量坐标运算，考查线面位置关系证明（如2024年新课标Ⅰ卷第19题）、空间角（异面直线夹角、线面角、二面角）计算（如2023年全国甲卷第20题）。 2. 考法特征：多以棱柱、棱锥为背景，要求考生通过选择基底或建立坐标系，将几何问题转化为向量运算，注重对“转化思想”“运算能力”的考查，且题目常包含多问，逐步提升难度。 3. 备考建议：重点练习“基底选择与向量表示”“坐标系建立（尤其非常规坐标系）”“向量运算与几何结论衔接”三类题型；总结常见几何模型（如长方体、正三棱锥）的向量处理方法，提高解题效率。 【知识梳理】 一、空间向量基本定理内容 1. 核心表述：如果三个向量、、不共面，那么对空间任一向量，存在唯一的有序实数组，使得。 （注：此定理是空间向量的核心，可类比平面向量基本定理，从“二维平面”拓展到“三维空间”，为空间向量的线性表示提供依据。） 2. 符号解读：、、是实数，分别表示在、、方向上的“系数”，这种形式称为用基底的线性组合。 二、关键概念阐释 1. 基底与基向量 当、、不共面时，称为空间的一个基底，、、称为基向量。 核心要点：① 任意三个不共面的向量都能作为基底；② 零向量不能作为基向量（因零向量与任意向量共面，不满足“不共面”条件）。 2. 唯一性内涵 给定一组不共面的基向量，空间任一向量的线性表示式是唯一的。 （应用价值：确定线性表示的系数时，无需担心多解，可通过向量运算唯一求解、、。） 三、重要推论（四点共面判定） 设、、、是不共面的四点，则对空间任一点： 存在唯一有序实数组，使得； 四点共面判定：点在平面内的充要条件是。 （常用场景：证明空间四点共面，或利用共面条件求点的位置向量系数。） 四、与其他向量定理的关联（教材内知识衔接） 1. 与共线向量定理的关系 共线向量定理：若且，则存在实数，使。 （联系：共线向量定理是空间向量基本定理在“一维直线”上的特殊情况，仅需1个基向量即可表示共线向量。） 2. 与共面向量定理的联系 共面向量定理：若、不共线，且与、共面，则存在实数、，使。 （联系：共面向量定理是空间向量基本定理在“二维平面”上的特殊情况，仅需2个不共线基向量，而空间向量基本定理需3个不共面基向量，实现从“平面”到“空间”的拓展。） 五、基础向量运算（教材核心运算） 基于空间向量基本定理，可进行以下基础运算（设，，为实数）： 1. 加法： 2. 减法： 3. 数乘： 4. 数量积（基础公式）： （常用性质：① ；② ，可用于求向量模长和判断垂直。） 题型分类 知识讲解与常考题型 【考点1：三个向量构成基底的判断】 【例题】1．（24-25高二下·上海·阶段练习）已知向量，，是空间不共面的三个向量，则下列选项中能构成空间向量一组基底是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】根据空间向量的基本定理结合共面向量的定义逐项分析判断. 【详解】因为向量，，是不共面的三个向量， 对于A：因为，所以，，共面， 所以，，不能构成空间的一组基底，故A错误； 对于B：因为，所以，，共面， 所以，，不能构成空间的一组基底，故B错误； 对于C：因为，所以，，共面， 所以，，不能构成空间的一组基底，故C错误； 对于D ：假定向量，，共面， 则存在不全为的实数，，使得，整理得， 而向量，，不共面，则有，显然不成立，所以向量，，不共面， 即向量，，能构成空间的一个基底，故D正确； 故选：D 【针对训练】2．（24-25高二上·陕西西安·期末）若是空间的一个基底，且向量，，不能构成空间的一个基底，则实数 ． 【答案】 【分析】根据题意，可知存在，使得，结合空间向量基本定理运算求解. 【详解】由不能构成空间的一个基底，则存在，使得， 即， 所以，解得. 故答案为：. 3．（22-23高二上·安徽黄山·期末）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用空间向量共面定理逐项进行判断即可. 【详解】因为构成空间的一个基底，所以不共面， 对于A，因为，所以共面，故A错误； 对于B，因为，所以共面，故B错误； 对于C，设，则，方程组无解，所以不共面，故C正确； 对于D，因为，所以共面，故D错误； 故选：C. 4．（24-25高三上·江苏南通·开学考试）已知是空间的一组基，若是空间的另一组基，则不可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量基底的定义直接判断. 【详解】由可作为空间的一组基底， 则，，不共面， 当时，假设存在使，则，无解， 即，，不共面成立，A选项错误； 当时，由A分析同理可知不存在使，即，，不共面成立，B选项错误； 当时，，即，，共面，不可作为基底，C选项正确； 当时，假设存在使，则，无解， 即，，不共面成立，D选项错误； 故选：C. 【解题策略】 一、核心判断依据 三个向量能构成空间基底的充要条件：这三个向量不共面（即不存在一个平面，使三个向量都在该平面内）。 结合基底定义，需同时满足两个隐含条件：① 三个向量均为非零向量；② 三个向量中任意两个不共线（若存在两个向量共线，则三个向量必共面，无法构成基底）。 二、具体解题方法 方法1：定义法（直接判断“不共面”） 1. 适用场景：已知向量与空间几何图形关联（如在四面体、长方体中），可通过几何直观或向量关系判断是否共面。 2. 判断步骤： 第一步：先排除“含零向量”的情况——若三个向量中存在零向量，则直接判定无法构成基底（零向量与任意向量共面）。 第二步：排除“两向量共线”的情况——若三个向量中任意两个向量满足“一个向量是另一个向量的实数倍”（即，为实数），则两向量共线，三个向量必共面，无法构成基底。 第三步：判断“三向量是否共面”——若不存在实数、，使第三个向量能表示为另外两个向量的线性组合（即不存在，使），则三个向量不共面，可构成基底。 方法2：反证法（间接证明“不共面”） 1. 适用场景：直接判断共面关系较困难，可通过假设“共面”推出矛盾，间接证明“不共面”。 2. 推理步骤： 第一步：假设三个向量、、共面。 第二步：根据共面向量定理，若、不共线（若共线则直接判定共面，无需反证），则存在唯一有序实数组，使。 第三步：结合已知条件（如向量所在几何图形的边、棱关系，或已知的向量等式），推导是否存在这样的： 若推导得出矛盾（如系数不相等、与几何事实冲突等），则假设不成立，三个向量不共面，可构成基底； 若能找到满足条件的，则三个向量共面，无法构成基底。 方法3：利用“四点不共面”推导 1. 适用场景：已知三个向量由空间中不共面的四点生成（如、、，且、、、不共面）。 2. 判断逻辑：若三个向量分别对应从同一点出发的三条不共面的棱（或线段）的向量，则这三个向量不共面，可构成基底。 核心原理：不共面的四点确定唯一的空间几何体（如四面体），从顶点出发的三条棱对应的向量自然不共面。 三、关键注意事项 1. “零向量”是禁忌：只要三个向量中存在一个零向量，就绝对不能构成基底，无需进一步判断共面关系。 2. “两向量共线”必共面：若三个向量中有两个共线（如），则这两个向量确定一条直线，第三个向量无论位置如何，都与这条直线共面（直线与直线外一点确定一个平面），故三个向量必共面，无法构成基底。 3. “线性组合”是核心工具：判断三向量是否共面，本质是判断能否用其中两个向量的线性组合表示第三个向量，若不能，则满足基底条件。 【考点2：用基向量表示空间的某一向量】 【例题】1．（24-25高二下·安徽·阶段练习）已知在三棱锥中，是棱OA上靠近点的三等分点，为棱BC的中点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用空间向量的线性运算即可得出结果. 【详解】 根据题意， 故选：C. 【针对训练】1．（24-25高二下·甘肃甘南·期中）如图，空间四边形 中，，，，点 在线段 上，且 ，点 为 的中点，则 （   ）      A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量的线性运算结合空间向量的基本定理运算求解. 【详解】因为，所以；因为点为的中点，所以， 易知，， 所以 ， 又，，， 所以 ． 故选：A 2．（24-25高二下·广东·阶段练习）在三棱锥中，分别为线段的中点，为的重心，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由为的重心，得，根据空间向量的运算法则即可求解. 【详解】依题意， ， 故选：A. 3．（24-25高二下·云南曲靖·阶段练习）在空间四边形中，点在线段上，且为的中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量的基本运算分解向量即可. 【详解】因点在线段上，且，则， 因为的中点，则， 则. 故选：B. 【解题策略】 用基向量表示空间向量的核心解题步骤 1. 选基底：选已知条件多、与目标向量关联紧密的三个不共面向量作为基底。 2. 拆向量：从目标向量起点出发，按几何图形边/棱，将其拆为基底向量或可转化为基底的中间向量之和（用三角形/平行四边形法则）。 3. 化基底并合并：将中间向量全部替换为基底向量，合并同一基向量的系数，得到“目标向量=系数×基1+系数×基2+系数×基3”。 【考点3：应用空间向量的基底解决平行垂直的问题】 【例题】1.（24-25高二上·全国·课后作业）如图，在空间中平移到，连接对应顶点，设分别是的中点，是上一点． (1)若为的中点，用向量法证明：； (2)若，问是否存在点使得，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）以为基底表示出，根据向量相等来证得. （2）设，利用基底表示出，通过计算得到，从而判断出不存在符合题意的点. 【详解】（1）当为的中点时， ， ， 所以． （2）设，则 ， 由于，， 所以 ， 即，故不存在点使得． 【针对训练】1．（22-23高二上·湖北武汉·阶段练习）在正四棱锥中，点分别是棱上的点，且，其中． (1)若，且平面，求的值； (2)若，且点平面，求的值． 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）由平面利用共面定理可得再将转化为用来表示，再利用空间向量的基本定理即可求解. （3）由点平面，可知四点共面，再利用共面定理的推论即可求解. 【详解】（1）且， 在正四棱锥中， 可得， 即， 又平面所以存在实数使得， 即， 又且不共面， 解的. （2）由（2）可知 又且， 可得 又点平面，即四点共面 所以解得. 2．（2022高二上·全国·专题练习）如图，在底面为菱形的平行六面体中，分别在棱上，且，且． (1)用向量表示向量； (2)求证：共面； (3)当为何值时，． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)1 【分析】（1）根据空间向量线性运算法则计算可得； （2）根据空间向量线性运算法则得到，即可证明共面； （3）设，因为底面为菱形，则当时，，由，即可得出答案. 【详解】（1）． （2）证明：，， ，共面． （3）当，， 证明：设， 底面为菱形，则当时，， ，， ， ， ． 3．（2025高二·全国·专题练习）如图，已知斜三棱柱，，，点在底面上的投影恰为的中点，又知，求三棱锥的体积． 【答案】 【分析】以，，为基底，表示出，，再根据可求长度，再利用即可求解. 【详解】以，，为基底， 则， ． 因为， 所以． 又，则， 由已知，，平面， 所以平面， 所以． 【解题策略】 一、核心解题模板 第一步：选定并确定基底 1. 选基底：选取空间中不共面、已知条件多、与待证平行/垂直关系关联紧密的三个向量（如几何体中从同一顶点出发的棱对应的向量，记为）。 2. 明基底性质：若题干未明确基底向量关系，默认基底为任意不共面向量；若已知垂直/长度条件（如长方体棱垂直），可标注基底间特殊关系（如、等），简化后续运算。 第二步：用基底表示相关向量 1. 表直线方向向量：将待证关系中的直线，取其方向向量（如证明线线平行/垂直，取两条直线的方向向量、；证明线面垂直，取直线方向向量及平面内两条相交直线的方向向量、），按“拆向量—化基底”步骤，用选定基底表示为： ，，，。 第三步：套用平行/垂直的向量条件 1. 证明平行关系（仅线线平行）： 若存在实数，使（即系数对应成比例：、、），则两条直线平行。 2. 证明垂直关系（线线垂直、线面垂直）： 线线垂直：若（代入基底表示式，展开后合并同类项，利用基底特殊关系简化，如则含的项为0，最终结果为0），则两条直线垂直。 线面垂直：若直线方向向量与平面内两条相交直线的方向向量、均垂直（即且），则直线与平面垂直。 第四步：得出结论 根据第三步向量关系的推导结果，对应转化为几何中的平行/垂直关系，明确写出“故直线”“故直线”“故直线平面”等结论。 【考点4：用向量法求异面直线的夹角】 【例题】1．（24-25高二上·四川成都·阶段练习）如图，已知斜三棱柱中，，，，，，点是与的交点． (1)用向量，，表示向量； (2)求异面直线与所成的角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合题意根据空间向量的线性运算求解即可； （2）先利用空间向量的线性运算表示向量，，然后根据空间向量求异面直线所成角的公式求解即可. 【详解】（1）由题意可知：点是的中点，则， 所以， ； （2）设，，， 则，，， ，， ， 所以， 又因为，所以， 因为， 所以， 所以， 所以异面直线与所成的角的余弦值为. 【针对训练】1．（23-24高二上·湖北·阶段练习）如图：平行六面体中，，且，，记，，． (1)将用，，表示出来，并求； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用向量线性运算可得，由向量数量积的定义和运算律得，由此可得结果； （2）可知，，由数量积的运算律结合向量的夹角公式求异面直线夹角. 【详解】（1）， ，，，，． ． （2）， ， ，， ． 异面直线与所成角的余弦值为. 2．（23-24高二上·福建福州·阶段练习）如图，在平行六面体中，底面ABCD是边长为1的正方形，，，，，，M为中点. (1)用空间的一个基底表示，； (2)求，，异面直线DM与所成角的余弦值. 【答案】(1)， (2)；； 【分析】（1）根据题意空间向量的线性运算结合空间向量的基本定理分析运算； （2）根据向量的数量积的运算律可得，，，进而可得，即可得结果. 【详解】（1）由题意可得：， . （2）由题意可得：， 因为， ， ， 可得， 又因为异面直线夹角为锐角或直角，所以异面直线与所成角的余弦值. 3．（21-22高二上·山东聊城·期中）如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中以顶点A为端点的三条棱长均为1，且它们彼此的夹角都是. (1)求证：； (2)求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据平面向量转化基底，以及加减运算和数量积的运算性质，得到，即可证得； （2）根据平面向量转化基底，求出、、，再利用夹角公式即可求解. 【详解】（1）证明：∵以顶点A为端点的三条棱长均为1，且它们彼此的夹角都是， ∴， ∴ ， ∴. （2）∵，， ∴ ， ， ， ∴， ∴异面直线与所成角的余弦值为. 【解题策略】 一、核心解题模板 第一步：选定并确定基底 1. 选基底：选取空间中不共面、已知条件多、与两条异面直线关联紧密的三个向量（如几何体中从同一顶点出发的棱对应的向量，记为）。 2. 明基底性质：若题干给出垂直（如长方体棱垂直）、长度等条件，标注基底间特殊关系（如、、等），简化后续数量积与模长计算。 第二步：用基底表示异面直线的方向向量 1. 取方向向量：分别在两条异面直线上各取一个方向向量（记为、），确保向量方向不影响夹角结果（夹角为锐角或直角，与方向无关）。 2. 化基底表示：按“拆向量—化基底”的步骤，将、用选定基底表示为： ，。 第三步：计算方向向量的数量积与模长 1. 算数量积：代入基底表示式，展开后根据基底性质简化（如则含的项为0，），计算得具体数值（记为）。 2. 算模长、：利用公式，分别代入、的基底表示式，展开后结合基底性质计算，得具体数值（分别记为、）。 第四步：求异面直线的夹角 1. 套夹角公式：设异面直线的夹角为（），根据向量夹角与异面直线夹角的关系，代入公式： 。 2. 求夹角值：根据计算出的值，结合特殊角的三角函数值（如则），求出（结果用角度制或弧度制表示，按题干要求选择）。 二、关键注意事项 1. 方向向量选取：方向向量可任意选取（如取直线上两点构成的向量），但需确保是“直线的方向向量”（即能表示直线走向的向量）。 2. 绝对值的作用：因向量夹角可能为钝角，而异面直线夹角是“锐角或直角”，故公式中需加绝对值，保证。 3. 基底简化运算：若几何体为长方体、正方体等特殊图形，优先选从同一顶点出发的三条棱为基底（因棱两两垂直，基底间数量积为0，大幅简化计算）。 【考点5：空间向量基底的综合应用】 【例题】1．（24-25高二上·山东青岛·期中）为平面外一点，是平面内一点．下列说法中正确的有（    ） A．若，则 B．若为重心，则 C．若与所成的角为与平面所成的角为，则 D．若，则． 【答案】ABD 【分析】对于A,B,利用向量的几何运算可判断；对于C,通过举反例来判断；对于D,说明点在底面的投影为的垂心，即可得证. 【详解】    对于A，连接并延长交于点， 因三点共线，则存在实数，使得, 又三点共线，则存在实数，使得, 则 , 又，故，故，即A正确； 对于B，因为重心，故是的中点，故,且, 则 ,故B正确； 对于C，当平面时，，故C错误； 对于D，    如图，过点作平面,连接并延长交于点，连接 连接并延长交于点，连接；连接并延长交于点，连接； 因平面,则, 又，且,故平面, 因平面，故,即， 同理可证,即点为的垂心，故， 因平面,平面,则, 又，则平面， 又平面,故,即D正确. 故选：ABD. 【针对训练】1．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）在棱长为2的正方体中，动点满足，则下列说法正确的是（    ） A．当时，四棱锥的体积为 B．当时，线段的长的最小值为 C．当时，线段的长的最小值为 D．当时，的最小值为 【答案】ACD 【分析】由题意，根据空间向量的基本定理确定点的位置，结合锥体的体积公式、等体积法求点面距计算即可判断选项. 【详解】对于A：如图1，当时，， 则为的中点，所以，故A正确； 对于B：如图2，当时，，则在上， 当为线段的中点时，线段的长最小，最小值是，故B错误； 对于C：如图3，当时，则在平面内， 线段的长的最小值即为点A到平面的距离，设距离为， 则，得，即， 解得，所以点到平面的距离为，故C正确； 对于D：如图4，当时，， 则在正方形的中位线所在直线上， 将平面和展于同一平面内，当且仅当三点共线时最小， 最小值为，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是根据选项，利用空间向量的基本定理确定点M的位置. 2．（23-24高二上·辽宁·期中）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是2，且它们彼此的夹角都是为与的交点，若，则下列正确的是（    ） A． B． C． D．的长为 【答案】AC 【分析】A、B选项考查的是空间向量基本定理的应用，以，，为基底表示，就可以得到结论；C选项考查利用空间向量数量积求向量夹角的余弦，先用基底表示和，再求它们的数量积和模，利用可判断C是否正确；对D选项，先用基底表示，再结合可求的长. 【详解】 ∵，故A正确. ∵.故B错误. 又∵，. ，； ， . . ∴.故C正确. ∵，∴.故D错误. 故选：AC. 3．（23-24高二上·福建厦门·阶段练习）在四面体中（如图），平面平面，是等边三角形，，，M为AB的中点，N在侧面上（包含边界），若，（x，y，），则（    ） A．若，则平面ACD B．若，则 C．当最小时， D．当最大时， 【答案】CD 【分析】根据可证平面，设，且，进而可得，对于A：若，则点即为点，进而可得结果；对于B：若，可得点在线段上（包括端点），结合垂直关系分析判断；对于C、D：过作，垂足为，可证平面，则，结合图形分析判断. 【详解】由，平面平面，平面平面，平面，得平面， 又N在侧面上（包含边界），设，且， 于是 ， 而，则，且， 对于A，若，则，点即为点，显然平面，A错误； 对于B，若，则，即点在线段上（包括端点）， 由平面，知当且仅当点为点，，B错误； 过作，垂足为，得，，        由平面，平面，得，而，平面， 则平面，因此， 对于C，显然当点与点重合时，最小，此时，则，C正确； 对于D，显然当点与点重合时，最大，即最大，此时， 于是，D正确. 故选：CD 课后针对训练 一、单选题 1．（24-25高二下·江苏南京·期中）在平行六面体中，为与的交点．若，则下列向量中与相等的是（ ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·福建三明·期中）如图，在正方体中，若点是侧面的中心，且，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 3．（24-25高二下·甘肃金昌·期中）《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱．如图，在堑堵，中，M是的中点，是的中点，若，则（   ） A．1 B．2 C． D． 4．（22-23高二上·河北邢台·期中）若为空间的一个基底，则下列各项中能构成基底的一组向量是（    ） A． B． C． D． 5．（2023高二·全国·专题练习）我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥为阳马，平面，点是边上一点,且，若，则（   ） A．1 B．2 C． D． 6．（24-25高二上·广东湛江·期中）如图，在四面体中，．点在上，且为中点，则等于（ ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（24-25高二下·甘肃庆阳·期中）下列说法中正确的是（    ） A．若，则，与任何向量都不能构成空间的一组基 B．若是空间的一组基，则也是空间的一组基 C．A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若，则P，A，B，C四点不共面 D．若P，A，B，C为空间四点，且有（，不共线），则是A，B，C三点共线的充要条件 8．（2023·福建泉州·模拟预测）直四棱柱中，底面ABCD是菱形，，且，为的中点，动点满足，且，，则下列说法正确的是（    ） A．当时， B．若，则的轨迹长度为 C．若平面，则 D．当时，若点满足，则的取值范围是 三、填空题 9．（24-25高二下·江苏泰州·期中）已知向量在基底下的坐标为，则在基底下的坐标为 . 10．（23-24高二上·河南开封·期中）已知平行六面体中，，与的交点为，，，则 ， ． 11．（24-25高二上·四川成都·期中）已知三棱锥，如图所示，为重心，点，为，中点，点，分别在，上，，，若四点共面，则 ． 12．（24-25高二下·福建漳州·期中）在平行六面体中，，，则与所成角的正弦值为 ． 四、解答题 13．（24-25高二上·广东江门·期中）如图，已知平行六面体中，底面是边长为1的正方形， .设．    (1)试用 表示向量，， (2)求； (3)求证： 14．（24-25高二下·江苏南京·期中）如图，在三棱锥中，点为的中点，，设 (1)试用向量表示向量; (2)若，且， 求证: 平面. 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A D B A B ABD BCD 1．B 【分析】作图，然后根据空间向量基本定理求解即可. 【详解】根据题意，． 故选：B． 2．A 【分析】根据给定的几何体，利用空间向量的线性运算、结合空间向量基本定理计算得解. 【详解】在正方体中， ， 而， 因此，，， 所以. 故选：A. 3．D 【分析】连接，根据空间向量法线性运算法则计算可得. 【详解】连接，因为是的中点，所以， 因为三棱柱是底面为直角三角形的直棱柱， 所以四边形为长方形，又因为是的中点， 所以， 则， 又，又，，不共面，所以，所以． 故选：D． 4．B 【分析】由空间基底的概念逐个判断即可. 【详解】对于，因为，所以向量，，是共面向量，因此这三个向量不能构成基底，故A错误； 对于B，因为为空间的一个基底，所以这三个向量不共面，若不构成一个基底， 则有，即，所以向量，，是共面向量， 这与这三个向量不共面矛盾，故假设不正确，因此能构成一个基底，故B正确； 对于C，因为，所以向量，，是共面向量，因此这三个向量不能构成一个基底，故C错误； 对于D，因为，所以向量，，是共面向量，因此这三个向量不能构成一个基底，故D错误. 故选：B. 5．A 【分析】利用空间向量基本定理将用，和表示出来，对照各项系数计算即得. 【详解】∵，∴， ∴ ， 则，，，故． 故选:A. 6．B 【详解】连接，利用空间向量基本定理可得答案. 【分析】连接． 故选：B. 7．ABD 【分析】根据空间基底向量的概念与性质即可判断A，B；根据空间四点共面的充要条件及其推论即可判断C，D. 【详解】对于A，若，则，与任何向量都不能构成空间的一组基，故A正确； 对于B，与不共线，且不能用和表示，即，，不共面，故B正确； 对于C，由A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若， 因为，可得P，A，B，C四点共面，故C错误； 对于D，若P，A，B，C为空间四点，且有（，不共线）， 当时，即，可得，即， 所以A，B，C三点共线，反之也成立，即是A，B，C三点共线的充要条件，故D正确． 故选：ABD． 8．BCD 【分析】对于A，当与重合时，假设成立，结合线面垂直关系推出矛盾，进而判断； 对于B，分别取，的中点，，结合线面垂直关系推出的轨迹是线段，进而求解判断； 对于C，取的中点，连接，，结合线面平行关系推出的轨迹是线段，进而求解判断； 对于D，取的中点，连接交于点，过作交于点，结合，可知的轨迹是线段，结合垂直关系得到点为直线与线段的垂直平分线的交点，进而求解判断. 【详解】对于A，由题意，，，当与重合时， 假设，则， 又，，平面，则平面， 又平面，则， 因为底面ABCD是菱形，， 所以为等边三角形，与矛盾，则假设不成立，故A错误； 对于B，分别取，的中点，， 因为底面ABCD是菱形，所以， 又平面，且平面，所以， 又，平面，则平面， 又平面，则， 因为四边形为正方形，则， 又，平面，所以平面， 所以的轨迹是线段，而，故B正确； 对于C，取的中点，连接，， 因为为的中点，所以， 又平面，平面，所以平面， 同理，平面，平面， 所以平面， 又，平面， 所以平面平面， 若平面，则的轨迹是线段， 因为，所以，故C正确； 对于D，取的中点，连接交于点，过作交于点， 当时，的轨迹是线段， 因为为等边三角形，为的中点，所以， 又，所以点在直线上， 在中，，则点在线段的垂直平分线上， 所以点为直线与线段的垂直平分线的交点， 当与重合时，点为；当与重合时，点为；当在线段上时，点在线段上. 因为，所以，， 因为，，且，所以的取值范围是，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点睛：本题关键在于根据线面垂直关系、平行关系，结合空间向量推导出的轨迹，进而求解. 9． 【分析】根据空间向量的线性运算的坐标表示，可得答案. 【详解】由题意可得，设， 则，解得，所以坐标为. 故答案为：. 10． 1 / 【分析】由数量积定义直接计算，根据空间向量基本定理得到，平方后，利用向量数量积公式得到. 【详解】如图：    因为在平行六面体中，，， 所以； 因为； 所以. 故答案为：1； 11．4 【分析】先得到，进一步有，结合四点共面的充要条件即可求解. 【详解】如图所示：    设中点为，连接，因为点G为重心， 所以点在线段上面， 因为 ， 所以， 所以， 若M，D，E，F四点共面，则，解得， 故答案为：4. 12． 【分析】先利用基底表示向量，再利用向量的夹角公式和同角三角函数的平方关系即可求解. 【详解】由题意有，， 所以 ， ， 所以，又 ， 所以， 所以， 所以， 故答案为：. 13．(1)，； (2)； (3)证明见解析 【分析】（1）根据向量的加法、减法运算即可求解； （2）根据向量的数量积运算及模长公式即可求解； （3）根据向量的减法、数量积运算性质及垂直的向量表示即可证明. 【详解】（1）， . （2）因为， 所以， ， ， 所以. （3）因为． 所以. 14．(1) (2)证明见解析 【分析】（1）直接根据图形的几何性质分解向量即可； （2）只需证明，，再结合线面垂直的判定定理即可得证. 【详解】（1）为中点， ， ， ； （2）且， 为等边三角形且， 平面， 平面， 平面， ， ， 为重心， 同理可证， 平面， 平面. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$2025-2026年高二数学上学期常考题型归纳 【第3讲：空间向量的基本定理】 【学习目标】 一、课标要求（对标课标，明确学习基准） 1. 掌握空间向量基本定理的内容及符号表示，理解“三个不共面向量”作为基底的前提条件，能准确阐述定理中“唯一性”的内涵。 2. 能运用空间向量基本定理进行向量的线性表示，掌握空间向量正交分解的方法，会建立空间直角坐标系并进行向量坐标运算。 3. 能运用空间向量基本定理解决立体几何中“位置关系证明”“距离与夹角计算”两类基础问题，符合课标对立体几何与空间向量结合的教学要求。 二、核心素养（立足学科，落实素养培养） 1. 数学抽象：通过从空间几何关系中抽象出向量关系，理解空间向量基本定理的本质，提升数学抽象素养。 2. 逻辑推理：在证明定理、推导向量线性表示式、论证几何关系时，遵循逻辑链条，强化逻辑推理素养。 3. 直观想象：结合空间图形选择基底、进行向量分解，建立向量与几何图形的关联，发展直观想象素养。 4. 数学运算：熟练进行向量的线性运算、坐标运算（加、减、数乘、数量积），提升数学运算素养。 5. 数学建模：将立体几何实际问题、跨学科问题（如物理力的分解）转化为向量模型，培养数学建模素养。 三、关键能力（聚焦重点，强化能力突破） 1. 概念辨析能力：能准确区分基底与基向量、空间向量基本定理与平面向量基本定理的差异，快速判断向量组是否可作为空间基底。 2. 向量表示与运算能力：根据几何图形特征选择最优基底，高效完成向量线性表示；熟练掌握正交分解与坐标运算，确保运算准确性与速度。 3. 几何问题转化能力：能将立体几何中的“线面平行/垂直”“异面直线夹角”“点到平面距离”等问题，转化为向量语言并求解。 4. 综合应用能力：整合向量知识与立体几何知识，解决多条件、综合性问题，能关联物理等跨学科场景进行应用。 四、高考导航（对接考情，明确备考方向） 1. 高频考点：空间向量基本定理是高考立体几何解答题的“隐性工具”，常结合坐标系建立、向量坐标运算，考查线面位置关系证明（如2024年新课标Ⅰ卷第19题）、空间角（异面直线夹角、线面角、二面角）计算（如2023年全国甲卷第20题）。 2. 考法特征：多以棱柱、棱锥为背景，要求考生通过选择基底或建立坐标系，将几何问题转化为向量运算，注重对“转化思想”“运算能力”的考查，且题目常包含多问，逐步提升难度。 3. 备考建议：重点练习“基底选择与向量表示”“坐标系建立（尤其非常规坐标系）”“向量运算与几何结论衔接”三类题型；总结常见几何模型（如长方体、正三棱锥）的向量处理方法，提高解题效率。 【知识梳理】 一、空间向量基本定理内容 1. 核心表述：如果三个向量、、不共面，那么对空间任一向量，存在唯一的有序实数组，使得。 （注：此定理是空间向量的核心，可类比平面向量基本定理，从“二维平面”拓展到“三维空间”，为空间向量的线性表示提供依据。） 2. 符号解读：、、是实数，分别表示在、、方向上的“系数”，这种形式称为用基底的线性组合。 二、关键概念阐释 1. 基底与基向量 当、、不共面时，称为空间的一个基底，、、称为基向量。 核心要点：① 任意三个不共面的向量都能作为基底；② 零向量不能作为基向量（因零向量与任意向量共面，不满足“不共面”条件）。 2. 唯一性内涵 给定一组不共面的基向量，空间任一向量的线性表示式是唯一的。 （应用价值：确定线性表示的系数时，无需担心多解，可通过向量运算唯一求解、、。） 三、重要推论（四点共面判定） 设、、、是不共面的四点，则对空间任一点： 存在唯一有序实数组，使得； 四点共面判定：点在平面内的充要条件是。 （常用场景：证明空间四点共面，或利用共面条件求点的位置向量系数。） 四、与其他向量定理的关联（教材内知识衔接） 1. 与共线向量定理的关系 共线向量定理：若且，则存在实数，使。 （联系：共线向量定理是空间向量基本定理在“一维直线”上的特殊情况，仅需1个基向量即可表示共线向量。） 2. 与共面向量定理的联系 共面向量定理：若、不共线，且与、共面，则存在实数、，使。 （联系：共面向量定理是空间向量基本定理在“二维平面”上的特殊情况，仅需2个不共线基向量，而空间向量基本定理需3个不共面基向量，实现从“平面”到“空间”的拓展。） 五、基础向量运算（教材核心运算） 基于空间向量基本定理，可进行以下基础运算（设，，为实数）： 1. 加法： 2. 减法： 3. 数乘： 4. 数量积（基础公式）： （常用性质：① ；② ，可用于求向量模长和判断垂直。） 题型分类 知识讲解与常考题型 【考点1：三个向量构成基底的判断】 【例题】1．（24-25高二下·上海·阶段练习）已知向量，，是空间不共面的三个向量，则下列选项中能构成空间向量一组基底是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【针对训练】2．（24-25高二上·陕西西安·期末）若是空间的一个基底，且向量，，不能构成空间的一个基底，则实数 ． 3．（22-23高二上·安徽黄山·期末）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·江苏南通·开学考试）已知是空间的一组基，若是空间的另一组基，则不可以为（   ） A． B． C． D． 【解题策略】 一、核心判断依据 三个向量能构成空间基底的充要条件：这三个向量不共面（即不存在一个平面，使三个向量都在该平面内）。 结合基底定义，需同时满足两个隐含条件：① 三个向量均为非零向量；② 三个向量中任意两个不共线（若存在两个向量共线，则三个向量必共面，无法构成基底）。 二、具体解题方法 方法1：定义法（直接判断“不共面”） 1. 适用场景：已知向量与空间几何图形关联（如在四面体、长方体中），可通过几何直观或向量关系判断是否共面。 2. 判断步骤： 第一步：先排除“含零向量”的情况——若三个向量中存在零向量，则直接判定无法构成基底（零向量与任意向量共面）。 第二步：排除“两向量共线”的情况——若三个向量中任意两个向量满足“一个向量是另一个向量的实数倍”（即，为实数），则两向量共线，三个向量必共面，无法构成基底。 第三步：判断“三向量是否共面”——若不存在实数、，使第三个向量能表示为另外两个向量的线性组合（即不存在，使），则三个向量不共面，可构成基底。 方法2：反证法（间接证明“不共面”） 1. 适用场景：直接判断共面关系较困难，可通过假设“共面”推出矛盾，间接证明“不共面”。 2. 推理步骤： 第一步：假设三个向量、、共面。 第二步：根据共面向量定理，若、不共线（若共线则直接判定共面，无需反证），则存在唯一有序实数组，使。 第三步：结合已知条件（如向量所在几何图形的边、棱关系，或已知的向量等式），推导是否存在这样的： 若推导得出矛盾（如系数不相等、与几何事实冲突等），则假设不成立，三个向量不共面，可构成基底； 若能找到满足条件的，则三个向量共面，无法构成基底。 方法3：利用“四点不共面”推导 1. 适用场景：已知三个向量由空间中不共面的四点生成（如、、，且、、、不共面）。 2. 判断逻辑：若三个向量分别对应从同一点出发的三条不共面的棱（或线段）的向量，则这三个向量不共面，可构成基底。 核心原理：不共面的四点确定唯一的空间几何体（如四面体），从顶点出发的三条棱对应的向量自然不共面。 三、关键注意事项 1. “零向量”是禁忌：只要三个向量中存在一个零向量，就绝对不能构成基底，无需进一步判断共面关系。 2. “两向量共线”必共面：若三个向量中有两个共线（如），则这两个向量确定一条直线，第三个向量无论位置如何，都与这条直线共面（直线与直线外一点确定一个平面），故三个向量必共面，无法构成基底。 3. “线性组合”是核心工具：判断三向量是否共面，本质是判断能否用其中两个向量的线性组合表示第三个向量，若不能，则满足基底条件。 【考点2：用基向量表示空间的某一向量】 【例题】1．（24-25高二下·安徽·阶段练习）已知在三棱锥中，是棱OA上靠近点的三等分点，为棱BC的中点，若，则（    ） A． B． C． D． 【针对训练】1．（24-25高二下·甘肃甘南·期中）如图，空间四边形 中，，，，点 在线段 上，且 ，点 为 的中点，则 （   ）      A． B． C． D． 2．（24-25高二下·广东·阶段练习）在三棱锥中，分别为线段的中点，为的重心，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·云南曲靖·阶段练习）在空间四边形中，点在线段上，且为的中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【解题策略】 用基向量表示空间向量的核心解题步骤 1. 选基底：选已知条件多、与目标向量关联紧密的三个不共面向量作为基底。 2. 拆向量：从目标向量起点出发，按几何图形边/棱，将其拆为基底向量或可转化为基底的中间向量之和（用三角形/平行四边形法则）。 3. 化基底并合并：将中间向量全部替换为基底向量，合并同一基向量的系数，得到“目标向量=系数×基1+系数×基2+系数×基3”。 【考点3：应用空间向量的基底解决平行垂直的问题】 【例题】1.（24-25高二上·全国·课后作业）如图，在空间中平移到，连接对应顶点，设分别是的中点，是上一点． (1)若为的中点，用向量法证明：； (2)若，问是否存在点使得，并说明理由． 【针对训练】1．（22-23高二上·湖北武汉·阶段练习）在正四棱锥中，点分别是棱上的点，且，其中． (1)若，且平面，求的值； (2)若，且点平面，求的值． 2．（2022高二上·全国·专题练习）如图，在底面为菱形的平行六面体中，分别在棱上，且，且． (1)用向量表示向量； (2)求证：共面； (3)当为何值时，． 3．（2025高二·全国·专题练习）如图，已知斜三棱柱，，，点在底面上的投影恰为的中点，又知，求三棱锥的体积． 【解题策略】 一、核心解题模板 第一步：选定并确定基底 1. 选基底：选取空间中不共面、已知条件多、与待证平行/垂直关系关联紧密的三个向量（如几何体中从同一顶点出发的棱对应的向量，记为）。 2. 明基底性质：若题干未明确基底向量关系，默认基底为任意不共面向量；若已知垂直/长度条件（如长方体棱垂直），可标注基底间特殊关系（如、等），简化后续运算。 第二步：用基底表示相关向量 1. 表直线方向向量：将待证关系中的直线，取其方向向量（如证明线线平行/垂直，取两条直线的方向向量、；证明线面垂直，取直线方向向量及平面内两条相交直线的方向向量、），按“拆向量—化基底”步骤，用选定基底表示为： ，，，。 第三步：套用平行/垂直的向量条件 1. 证明平行关系（仅线线平行）： 若存在实数，使（即系数对应成比例：、、），则两条直线平行。 2. 证明垂直关系（线线垂直、线面垂直）： 线线垂直：若（代入基底表示式，展开后合并同类项，利用基底特殊关系简化，如则含的项为0，最终结果为0），则两条直线垂直。 线面垂直：若直线方向向量与平面内两条相交直线的方向向量、均垂直（即且），则直线与平面垂直。 第四步：得出结论 根据第三步向量关系的推导结果，对应转化为几何中的平行/垂直关系，明确写出“故直线”“故直线”“故直线平面”等结论。 【考点4：用向量法求异面直线的夹角】 【例题】1．（24-25高二上·四川成都·阶段练习）如图，已知斜三棱柱中，，，，，，点是与的交点． (1)用向量，，表示向量； (2)求异面直线与所成的角的余弦值． 【针对训练】1．（23-24高二上·湖北·阶段练习）如图：平行六面体中，，且，，记，，． (1)将用，，表示出来，并求； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 2．（23-24高二上·福建福州·阶段练习）如图，在平行六面体中，底面ABCD是边长为1的正方形，，，，，，M为中点. (1)用空间的一个基底表示，； (2)求，，异面直线DM与所成角的余弦值. 3．（21-22高二上·山东聊城·期中）如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中以顶点A为端点的三条棱长均为1，且它们彼此的夹角都是. (1)求证：； (2)求异面直线与所成角的余弦值. 【解题策略】 一、核心解题模板 第一步：选定并确定基底 1. 选基底：选取空间中不共面、已知条件多、与两条异面直线关联紧密的三个向量（如几何体中从同一顶点出发的棱对应的向量，记为）。 2. 明基底性质：若题干给出垂直（如长方体棱垂直）、长度等条件，标注基底间特殊关系（如、、等），简化后续数量积与模长计算。 第二步：用基底表示异面直线的方向向量 1. 取方向向量：分别在两条异面直线上各取一个方向向量（记为、），确保向量方向不影响夹角结果（夹角为锐角或直角，与方向无关）。 2. 化基底表示：按“拆向量—化基底”的步骤，将、用选定基底表示为： ，。 第三步：计算方向向量的数量积与模长 1. 算数量积：代入基底表示式，展开后根据基底性质简化（如则含的项为0，），计算得具体数值（记为）。 2. 算模长、：利用公式，分别代入、的基底表示式，展开后结合基底性质计算，得具体数值（分别记为、）。 第四步：求异面直线的夹角 1. 套夹角公式：设异面直线的夹角为（），根据向量夹角与异面直线夹角的关系，代入公式： 。 2. 求夹角值：根据计算出的值，结合特殊角的三角函数值（如则），求出（结果用角度制或弧度制表示，按题干要求选择）。 二、关键注意事项 1. 方向向量选取：方向向量可任意选取（如取直线上两点构成的向量），但需确保是“直线的方向向量”（即能表示直线走向的向量）。 2. 绝对值的作用：因向量夹角可能为钝角，而异面直线夹角是“锐角或直角”，故公式中需加绝对值，保证。 3. 基底简化运算：若几何体为长方体、正方体等特殊图形，优先选从同一顶点出发的三条棱为基底（因棱两两垂直，基底间数量积为0，大幅简化计算）。 【考点5：空间向量基底的综合应用】 【例题】【多选题】1．（24-25高二上·山东青岛·期中）为平面外一点，是平面内一点．下列说法中正确的有（    ） A．若，则 B．若为重心，则 C．若与所成的角为与平面所成的角为，则 D．若，则． 【针对训练】【多选题】1．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）在棱长为2的正方体中，动点满足，则下列说法正确的是（    ） A．当时，四棱锥的体积为 B．当时，线段的长的最小值为 C．当时，线段的长的最小值为 D．当时，的最小值为 【多选题】2．（23-24高二上·辽宁·期中）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是2，且它们彼此的夹角都是为与的交点，若，则下列正确的是（    ） A． B． C． D．的长为 【多选题】3．（23-24高二上·福建厦门·阶段练习）在四面体中（如图），平面平面，是等边三角形，，，M为AB的中点，N在侧面上（包含边界），若，（x，y，），则（    ） A．若，则平面ACD B．若，则 C．当最小时， D．当最大时， 课后针对训练 一、单选题 1．（24-25高二下·江苏南京·期中）在平行六面体中，为与的交点．若，则下列向量中与相等的是（ ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·福建三明·期中）如图，在正方体中，若点是侧面的中心，且，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 3．（24-25高二下·甘肃金昌·期中）《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱．如图，在堑堵，中，M是的中点，是的中点，若，则（   ） A．1 B．2 C． D． 4．（22-23高二上·河北邢台·期中）若为空间的一个基底，则下列各项中能构成基底的一组向量是（    ） A． B． C． D． 5．（2023高二·全国·专题练习）我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥为阳马，平面，点是边上一点,且，若，则（   ） A．1 B．2 C． D． 6．（24-25高二上·广东湛江·期中）如图，在四面体中，．点在上，且为中点，则等于（ ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（24-25高二下·甘肃庆阳·期中）下列说法中正确的是（    ） A．若，则，与任何向量都不能构成空间的一组基 B．若是空间的一组基，则也是空间的一组基 C．A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若，则P，A，B，C四点不共面 D．若P，A，B，C为空间四点，且有（，不共线），则是A，B，C三点共线的充要条件 8．（2023·福建泉州·模拟预测）直四棱柱中，底面ABCD是菱形，，且，为的中点，动点满足，且，，则下列说法正确的是（    ） A．当时， B．若，则的轨迹长度为 C．若平面，则 D．当时，若点满足，则的取值范围是 三、填空题 9．（24-25高二下·江苏泰州·期中）已知向量在基底下的坐标为，则在基底下的坐标为 . 10．（23-24高二上·河南开封·期中）已知平行六面体中，，与的交点为，，，则 ， ． 11．（24-25高二上·四川成都·期中）已知三棱锥，如图所示，为重心，点，为，中点，点，分别在，上，，，若四点共面，则 ． 12．（24-25高二下·福建漳州·期中）在平行六面体中，，，则与所成角的正弦值为 ． 四、解答题 13．（24-25高二上·广东江门·期中）如图，已知平行六面体中，底面是边长为1的正方形， .设．    (1)试用 表示向量，， (2)求； (3)求证： 14．（24-25高二下·江苏南京·期中）如图，在三棱锥中，点为的中点，，设 (1)试用向量表示向量; (2)若，且， 求证: 平面. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$