11.3.2两数和（差）的平方 讲义 2025-2026学年华东师大版数学八年级上册

本讲义聚焦“两数和（差）的平方”核心知识点，前承多项式乘法法则推导完全平方公式，后通过“首平方，尾平方，首尾二倍放中央”口诀解析结构特征，结合a、b可表代数式的扩展及正方形面积的几何意义构建学习支架，覆盖公式推导、特征辨析、灵活运用与逆用。 该资料亮点在于以推导过程培养推理意识，几何意义辅助发展抽象能力，口诀化结构与平方差公式对比强化模型认知。课中助力教师系统教学，课后练习与符号、中间项等注意事项帮助学生查漏补缺，提升公式运用准确性与数学表达规范性。

11.3.2两数和（差）的平方 学习目标 1. 理解并掌握完全平方公式的推导过程。 2. 熟记完全平方公式的结构特征，并能准确表述。 3. 能够熟练运用完全平方公式进行多项式的乘法运算。 4. 能利用完全平方公式解决简单的数学问题，并能进行公式的逆用。 知识点讲解 一、完全平方公式的推导 我们已经学习了多项式与多项式相乘的法则：。 现在，我们来计算 ((a + b)(a + b)) 和 ((a - b)(a - b))。 1. (a + b)(a + b)) (a - b)) 二、完全平方公式 通过以上推导，我们得到完全平方公式： 1. 两数和的平方公式： 2. 两数差的平方公式： 三、公式的语言叙述 1. 两数和的平方，等于它们的平方和，加上它们积的两倍。 2. 两数差的平方，等于它们的平方和，减去它们积的两倍。 四、公式的结构特征 1. 左边是一个二项式的完全平方，即的形式。 2. 右边是一个二次三项式，其中： · 第一项是左边二项式中第一项的平方，即。 · 第三项是左边二项式中第二项的平方，即。 · 第二项是左边二项式中两项乘积的两倍，即 (2ab)（当左边是“和”时，中间项是“+2ab”；当左边是“差”时，中间项是“-2ab”）。 可以简记为：“首平方，尾平方，首尾二倍放中央，中央符号回头望”。 五、公式中的 (a) 和 (b) 公式中的 (a) 和 (b) 可以表示具体的数，也可以表示单项式、多项式等代数式。例如： · 中，，。 · 中，，。 六、完全平方公式的几何意义（简述，不涉及图形题） 虽然我们不处理图形题目，但可以简单了解：可以看作边长为 (a + b) 的正方形的面积，它等于边长为 (a) 的正方形面积、边长为 (b) 的正方形面积以及两个长为 (a) 宽为 (b) 的长方形面积之和。同理可理解。 七、公式的灵活运用与注意事项 1. 注意与平方差公式的区别：完全平方公式的结果是三项式，平方差公式的结果是两项式。 2. 不要漏写中间项“(2ab)”或“(-2ab)”。 3. 注意中间项的符号：“和”平方得“+2ab”，“差”平方得“-2ab”。 4. 当 (a) 或 (b) 是负数或分数时，运用公式时要注意符号问题。例如：，也可以直接将 (-a) 看作公式中的 (a)，即。 例题解析 例1利用完全平方公式计算： 1) 2) 例2利用完全平方公式计算： 1) 2) 例3先化简，再求值：，其中 ，。 例4已知 ，，求下列各式的值： 1) 2) 巩固练习 一、选择题 (每题只有一个正确答案) 1. 下列各式中，与相等的是 A. B. C. D. 2. 计算的结果是 A. B. C. D. 3. 若，则 (k) 的值是 A. 6 B. -6 C. 3 D. -3 4. 下列计算正确的是 A. B. C. D. 5. 已知，，则的值是 A. 4 B. 16 C. 19 D. 25 6. 计算的结果是 A. B. C. D. 二、填空题 1. 。 2. 。 3. 若是一个完全平方式，则 ______________。 4. 已知，则。 5. 。 三、解答题 1. 利用完全平方公式计算： 1) 2) 2. 先化简，再求值：，其中，。 3. 已知，，求 (xy) 与的值。 4. 已知 ，，求代数式的值。 学科网（北京）股份有限公司 $