11.3.2两数和（差）的平方 讲义 2025-2026学年华东师大版数学八年级上册

11.3.2两数和（差）的平方

学习目标

1. 理解并掌握完全平方公式的推导过程。
2. 熟记完全平方公式的结构特征，并能准确表述。
3. 能够熟练运用完全平方公式进行多项式的乘法运算。
4. 能利用完全平方公式解决简单的数学问题，并能进行公式的逆用。

知识点讲解

一、完全平方公式的推导

我们已经学习了多项式与多项式相乘的法则：。

现在，我们来计算 ((a + b)(a + b)) 和 ((a - b)(a - b))。

1. (a + b)(a + b))

(a - b))

 

二、完全平方公式

通过以上推导，我们得到完全平方公式：

1. 两数和的平方公式：
2. 两数差的平方公式：

三、公式的语言叙述

1. 两数和的平方，等于它们的平方和，加上它们积的两倍。
2. 两数差的平方，等于它们的平方和，减去它们积的两倍。

四、公式的结构特征

1. 左边是一个二项式的完全平方，即的形式。
2. 右边是一个二次三项式，其中：
   • 第一项是左边二项式中第一项的平方，即。
   • 第三项是左边二项式中第二项的平方，即。
   • 第二项是左边二项式中两项乘积的两倍，即 (2ab)（当左边是“和”时，中间项是“+2ab”；当左边是“差”时，中间项是“-2ab”）。

可以简记为：“首平方，尾平方，首尾二倍放中央，中央符号回头望”。

五、公式中的 (a) 和 (b)

公式中的 (a) 和 (b) 可以表示具体的数，也可以表示单项式、多项式等代数式。例如：

• 中，，。
• 中，，。

六、完全平方公式的几何意义（简述，不涉及图形题）

虽然我们不处理图形题目，但可以简单了解：可以看作边长为 (a + b) 的正方形的面积，它等于边长为 (a) 的正方形面积、边长为 (b) 的正方形面积以及两个长为 (a) 宽为 (b) 的长方形面积之和。同理可理解。

七、公式的灵活运用与注意事项

1. 注意与平方差公式的区别：完全平方公式的结果是三项式，平方差公式的结果是两项式。
2. 不要漏写中间项“(2ab)”或“(-2ab)”。
3. 注意中间项的符号：“和”平方得“+2ab”，“差”平方得“-2ab”。
4. 当 (a) 或 (b) 是负数或分数时，运用公式时要注意符号问题。例如：，也可以直接将 (-a) 看作公式中的 (a)，即