第13讲函数的图象-2026届高三数学一轮复习

第13讲　函数的图象 课前必备知识 课标要求 　1.在实际情境中，会根据不同的需要选择适当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.2.掌握基本初等函数的图象特征；掌握函数图象的平移变换、对称变换和翻折变换.3.会运用函数图象研究函数的性质、函数的零点(方程的根)和不等式的解等数学问题． 知识梳理 1．函数作图的基本步骤 (1)确定函数的定义域． (2)化简函数的解析式． (3)讨论函数的性质，如奇偶性、周期性、单调性、最值(变化趋势). (4)画出函数的图象． 2．函数图象的常见变换 (1)平移变换 ①水平平移：y＝f(x－a)(a＞0)的图象，可由y＝f(x)的图象向__右__平移a个单位长度而得到；y＝f(x＋a)(a＞0)的图象，可由y＝f(x)的图象向__左__平移a个单位长度而得到． ②竖直平移：y＝f(x)＋b(b＞0)的图象，可由y＝f(x)的图象向__上__平移b个单位长度而得到；y＝f(x)－b(b＞0)的图象，可由y＝f(x)的图象向__下__平移b个单位长度而得到． (2)对称变换 ①一个函数图象自身的对称：偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称． ②两个图象之间的对称： (ⅰ)y＝f(－x)与y＝f(x)关于__y轴__对称． (ⅱ)y＝－f(x)与y＝f(x)关于__x轴__对称． (ⅲ)y＝－f(－x)与y＝f(x)关于__原点__对称． (ⅳ)y＝ax(a>0，且a≠1)与其反函数y＝logax(a>0，且a≠1)关于__直线y＝x__对称． (3)翻折变换 ①y＝|f(x)|的图象：将y＝f(x)的图象在x轴下方的部分以x轴为对称轴__翻折到x轴上方__，其x轴上方的部分__不变__． ②y＝f(|x|)的图象：将y＝f(x)的图象中x≥0的部分作出，再利用__偶函数的图象关于y轴对称__，作出x＜0的图象． 常用结论 1．函数图象平移的八字方针 (1)“左加右减”，要注意加减指的是自变量． (2)“上加下减”，要注意加减指的是函数值． 2．函数对称的重要结论 (1)若函数f(x)对定义域内的任意x都有f(a＋x)＝f(a－x)，则f(x)的图象关于直线x＝a对称． (2)若函数f(x)对定义域内的任意x都有f(a＋x)＋f(a－x)＝2b，则f(x)的图象关于(a，b)对称． (3)函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称． (4)函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于(a，b)中心对称． 课前训练 1．函数y＝(x2－1)e|x|的图象大致是(　　) 2．若函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y＝ex关于y轴对称，则f(x)的解析式为(　　) A．f(x)＝ex+1 B．f(x)＝ex-1 C．f(x)＝e-x+1 D．f(x)＝e-x-1 3．下图为函数y＝f(x)的图象，则该函数可能为(　　) A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝ 4．(2024·四川南充二模)已知函数f(x)＝，则函数y＝f(x－1)＋1的图象(　　) A．关于点(1，1)对称 B．关于点(－1，1)对称 C．关于点(－1，0)对称 D．关于点(1，0)对称 5．为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改．设企业的污水排放量W与时间t 的关系为W＝f(t)，用－ 的大小评价在[a，b]这段时间内企业污水治理能力的强弱．已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示． 给出下列四个结论： ①在[t1，t2]这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ②在t2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ③在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放量都已达标； ④甲企业在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]这三段时间中，在[0，t1]的污水治理能力最强． 其中所有正确结论的序号是________. 课堂核心考点 考点1　作函数图象 【例1】 作出下列函数的图象： (1)y＝； (2)y＝()|x+1|； (3)y＝|log2x－1|. (1)熟练掌握几种基本函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、正弦函数、余弦函数以及形如y＝x＋的函数． (2)掌握常用的图象变换方法，如平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等． 变式探究 1．作出函数y＝|lg (x－1)|的图象． 2．作出函数y＝|x－2|·(x＋1)的图象． 考点2　函数图象的识图与辨图 【例2】 (1)(2024·百师联盟联考)函数f(x)＝的图象大致为(　　) (2)(2024·宁夏固原一模)已知函数f(x)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式可能为(　　) A．f(x)＝ B．f(x)＝ C．f(x)＝ D．f(x)＝ 有关函数图象的选择题，求解的基本方法是排除法． (1)通过观察特殊点的函数值的符号、大小，选取恰当的特殊值进行排除有时更有效． (2)研究函数的性质(奇偶性、单调性、极值等)，这些性质表现在图象上若和选项中所给图象不符，即可排除． 变式探究 3．(2024·全国甲卷)函数f(x)＝－x2＋(ex－e-x)sin x在区间[－2.8，2.8]的大致图象为(　　) 4．(2024·湖南二模)已知函数f(x)的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式可能为(　　) A．f(x)＝－ B．f(x)＝－ C．f(x)＝－ D．f(x)＝－ 考点3　函数图象的应用 【例3】 (1)若关于x的不等式4ax-1＜3x－4(a＞0，且a≠1)对于任意的x＞2恒成立，则实数a的取值范围为______________． (2)若直角坐标系内A，B两点满足：①点A，B都在f(x)的图象上；②点A，B关于原点对称，则称点对(A，B)是函数f(x)的一个“和谐点对”，(A，B)与(B，A)可看作一个“和谐点对”．已知函数f(x)＝则f(x)的“和谐点对”有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 (3)(2024·辽宁大连阶段练习)已知函数f(x)＝(其中a∈R)，若f(x)的四个零点从小到大依次为x1，x2，x3，x4，则＝(　　) A．16 B．13 C．12 D．10 (1)对于易画出在给定区间上图象的函数，其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值、零点)的讨论常借助图象研究，但一定要注意性质与图象特征的对应关系． (2)在利用函数的性质，求最值、确定方程的解的个数、求不等式的解集以及确定某些参数的取值范围时，要注意“数与形”的有机结合，充分发挥图象的直观作用．同时，如果图形不能准确地说明问题，可结合“数”的精确性再讨论其图象． 变式探究 5．已知函数f(x)＝log2(x＋1)－|x|，则不等式f(x)>0的解集是(　　) A．(－1，1) B．(0，1) C．(－1，0) D．∅ 6．(2024·湖北武汉模拟预测)已知x0是函数f(x)＝＋ln x的一个零点，若x1∈(1，x0)，x2∈(x0，＋∞)，则(　　) A．f(x1)<0，f(x2)<0 B．f(x1)>0，f(x2)>0 C．f(x1)>0，f(x2)<0 D．f(x1)<0，f(x2)>0 不等式的新定义问题 【典例剖析】 (2024·全国模拟预测)若不等式f(x)>0或f(x)<0只有一个整数解，则称不等式为单元集不等式．已知不等式a(x＋1)2－|log2x|＋1>0为单元集不等式，则实数a的取值范围是______________． 新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情境，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的：遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13讲　函数的图象 课前必备知识 课标要求 　1.在实际情境中，会根据不同的需要选择适当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.2.掌握基本初等函数的图象特征；掌握函数图象的平移变换、对称变换和翻折变换.3.会运用函数图象研究函数的性质、函数的零点(方程的根)和不等式的解等数学问题． 知识梳理 1．函数作图的基本步骤 (1)确定函数的定义域． (2)化简函数的解析式． (3)讨论函数的性质，如奇偶性、周期性、单调性、最值(变化趋势). (4)画出函数的图象． 2．函数图象的常见变换 (1)平移变换 ①水平平移：y＝f(x－a)(a＞0)的图象，可由y＝f(x)的图象向__右__平移a个单位长度而得到；y＝f(x＋a)(a＞0)的图象，可由y＝f(x)的图象向__左__平移a个单位长度而得到． ②竖直平移：y＝f(x)＋b(b＞0)的图象，可由y＝f(x)的图象向__上__平移b个单位长度而得到；y＝f(x)－b(b＞0)的图象，可由y＝f(x)的图象向__下__平移b个单位长度而得到． (2)对称变换 ①一个函数图象自身的对称：偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称． ②两个图象之间的对称： (ⅰ)y＝f(－x)与y＝f(x)关于__y轴__对称． (ⅱ)y＝－f(x)与y＝f(x)关于__x轴__对称． (ⅲ)y＝－f(－x)与y＝f(x)关于__原点__对称． (ⅳ)y＝ax(a>0，且a≠1)与其反函数y＝logax(a>0，且a≠1)关于__直线y＝x__对称． (3)翻折变换 ①y＝|f(x)|的图象：将y＝f(x)的图象在x轴下方的部分以x轴为对称轴__翻折到x轴上方__，其x轴上方的部分__不变__． ②y＝f(|x|)的图象：将y＝f(x)的图象中x≥0的部分作出，再利用__偶函数的图象关于y轴对称__，作出x＜0的图象． 常用结论 1．函数图象平移的八字方针 (1)“左加右减”，要注意加减指的是自变量． (2)“上加下减”，要注意加减指的是函数值． 2．函数对称的重要结论 (1)若函数f(x)对定义域内的任意x都有f(a＋x)＝f(a－x)，则f(x)的图象关于直线x＝a对称． (2)若函数f(x)对定义域内的任意x都有f(a＋x)＋f(a－x)＝2b，则f(x)的图象关于(a，b)对称． (3)函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称． (4)函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于(a，b)中心对称． 课前训练 1．函数y＝(x2－1)e|x|的图象大致是(　　) 解析：C　由题意得，易判断函数为偶函数．由y＝0，得x＝±1，f(0)＝－1，且当0<x<1时，y<0；当x>1时，y>0，故选C. 2．若函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y＝ex关于y轴对称，则f(x)的解析式为(　　) A．f(x)＝ex+1 B．f(x)＝ex-1 C．f(x)＝e-x+1 D．f(x)＝e-x-1 解析：D　与y＝ex的图象关于y轴对称的函数为y＝e-x.依题意，f(x)的图象向右平移1个单位长度，得y＝e-x的图象，所以f(x)的图象由y＝e-x的图象向左平移1个单位长度得到，所以f(x)＝e-(x+1)＝e-x-1.故选D. 3．下图为函数y＝f(x)的图象，则该函数可能为(　　) A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝ 解析：B　由图可知，x＝π时，y<0，而A、C、D选项，y＝0，故选B. 4．(2024·四川南充二模)已知函数f(x)＝，则函数y＝f(x－1)＋1的图象(　　) A．关于点(1，1)对称 B．关于点(－1，1)对称 C．关于点(－1，0)对称 D．关于点(1，0)对称 解析：A　函数f(x)＝的定义域为{x|x≠0}，又f(－x)＝－＝－f(x)，所以f(x)＝为奇函数，则函数f(x)的图象关于原点(0，0)对称，又y＝f(x－1)＋1的图象是由f(x)＝的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到，所以函数y＝f(x－1)＋1的图象关于点(1，1)对称．故选A. 5．为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改．设企业的污水排放量W与时间t 的关系为W＝f(t)，用－ 的大小评价在[a，b]这段时间内企业污水治理能力的强弱．已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示． 给出下列四个结论： ①在[t1，t2]这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ②在t2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ③在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放量都已达标； ④甲企业在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]这三段时间中，在[0，t1]的污水治理能力最强． 其中所有正确结论的序号是________. 解析：①②③　因为w＝f(t)用－来评价污水处理能力，即用(a，f(a))与(b，f(b))两点连线的斜率与－1的乘积表示污水治理能力的强弱．在[t1，t2]上，甲的污水治理能力比乙强，故①对；t2时刻甲的污水治理能力比乙强，故②对；t3时刻都低于达标排放量，所以都达标，故③对；甲企业在[0，t1]的污水治理能力不是最强，故④错． 课堂核心考点 考点1　作函数图象 【例1】 作出下列函数的图象： (1)y＝； (2)y＝()|x+1|； (3)y＝|log2x－1|. 解析：(1)易知函数的定义域为{x∈R|x≠－1}．y＝＝－1＋， 因此由y＝的图象向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，即可得到函数y＝的图象，如图1所示． (2)先作出y＝()x，x∈[0，＋∞)的图象，然后作其关于y轴的对称图象，再将整个图象向左平移1个单位长度，即得到y＝()|x+1|的图象，如图2所示． (3)先作出y＝log2x的图象，再将图象向下平移1个单位长度，保留x轴上方的部分，将x轴下方的图象翻折到x轴上方，即得到y＝|log2x－1|的图象，如图3所示． 为了正确作出函数的图象，除了掌握“列表、描点、连线”的方法外，还要做到以下两点： (1)熟练掌握几种基本函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、正弦函数、余弦函数以及形如y＝x＋的函数． (2)掌握常用的图象变换方法，如平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等． 变式探究 1．作出函数y＝|lg (x－1)|的图象． 解析：首先作出y＝lg x的图象，然后将其向右平移1个单位长度，得到y＝lg (x－1)的图象，再把所得图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方，即得所求函数y＝|lg (x－1)|的图象，如图所示(实线部分). 2．作出函数y＝|x－2|·(x＋1)的图象． 解析：当x≥2，即x－2≥0时， y＝(x－2)(x＋1)＝x2－x－2＝(x－)2－； 当x<2，即x－2<0时， y＝－(x－2)(x＋1) ＝－x2＋x＋2 ＝－(x－)2＋. 所以y＝ 这是分段函数，每段函数的图象可根据二次函数的图象作出(如图). 考点2　函数图象的识图与辨图 【例2】 (1)(2024·百师联盟联考)函数f(x)＝的图象大致为(　　) (2)(2024·宁夏固原一模)已知函数f(x)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式可能为(　　) A．f(x)＝ B．f(x)＝ C．f(x)＝ D．f(x)＝ 解析：(1)D　由题意知，f(x)的定义域为R，f(－x)＝＝＝－f(x)，故f(x)为奇函数，排除C；f(1)＝>0，排除A；f(2)＝<0，排除B.故选D. (2)A　对于B，当x>1时，f(x)＝，易知ex－e-x>0，3－4x<0，则f(x)<0，不满足图象，B错误； 对于C，f(x)＝，定义域为(－∞，－)∪(－，)∪(，＋∞)， 又f(－x)＝＝＝f(x)，则f(x)的图象关于y轴对称，C错误； 对于D，当x>1时，f(x)＝＝＝1＋， 由反比例函数的性质可知，f(x)在(1，＋∞)上单调递减，D错误； 检验选项A，f(x)＝满足图中性质，A正确．故选A. 有关函数图象的选择题，求解的基本方法是排除法． (1)通过观察特殊点的函数值的符号、大小，选取恰当的特殊值进行排除有时更有效． (2)研究函数的性质(奇偶性、单调性、极值等)，这些性质表现在图象上若和选项中所给图象不符，即可排除． 变式探究 3．(2024·全国甲卷)函数f(x)＝－x2＋(ex－e-x)sin x在区间[－2.8，2.8]的大致图象为(　　) 解析：B　f(－x)＝－x2＋(e-x－ex)·sin (－x)＝－x2＋(ex－e-x)sin x＝f(x)， 又函数定义域为[－2.8，2.8]，故该函数为偶函数，排除A、C， 又f(1)＝－1＋(e－)sin 1>－1＋(e－)sin ＝－1－>－>0，排除D.故选B. 4．(2024·湖南二模)已知函数f(x)的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式可能为(　　) A．f(x)＝－ B．f(x)＝－ C．f(x)＝－ D．f(x)＝－ 解析：A　由图可知，函数图象对应的函数为偶函数，排除C；由图可知，函数的定义域不是实数集，排除B；由图可知，当x→＋∞时，y→－∞，而对于D，当x→＋∞时，y→0，排除D.故选A. 考点3　函数图象的应用 【例3】 (1)若关于x的不等式4ax-1＜3x－4(a＞0，且a≠1)对于任意的x＞2恒成立，则实数a的取值范围为______________． (2)若直角坐标系内A，B两点满足：①点A，B都在f(x)的图象上；②点A，B关于原点对称，则称点对(A，B)是函数f(x)的一个“和谐点对”，(A，B)与(B，A)可看作一个“和谐点对”．已知函数f(x)＝则f(x)的“和谐点对”有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 (3)(2024·辽宁大连阶段练习)已知函数f(x)＝(其中a∈R)，若f(x)的四个零点从小到大依次为x1，x2，x3，x4，则＝(　　) A．16 B．13 C．12 D．10 解析：(1)(0，]　不等式4ax-1＜3x－4等价于ax-1＜x－1. 令f(x)＝ax-1，g(x)＝x－1， 当a＞1时，在同一坐标系中作出两个函数的图象如图1、图2所示，由图知不满足条件； 当0＜a＜1时，在同一坐标系中作出两个函数的图象如图3所示， 由题意知，f(2)≤g(2)， 即a2-1≤×2－1，解得a≤， 所以实数a的取值范围是(0，]. (2)B　作出函数y＝x2＋2x(x<0)的图象关于原点对称的图象(如图中的虚线部分)，看它与函数y＝(x≥0)的图象的交点个数即可，观察图象可得交点个数为2，即f(x)的“和谐点对”有2个．故选B. (3)C　令f(x)＝0 ⇒a＝ 设g(x)＝图象如图所示． 所以有0<x1<1<x2<3<x3<5<x4<6， 且－lg x1＝lg x2＝－lg (6－x3)＝lg (6－x4)＝a， 因此可得x1＝10-a，x2＝10a，x3＝6－10-a，x4＝6－10a， 所以＝10-a＋10a＋6－10-a＋6－10a＝12，故选C. (1)对于易画出在给定区间上图象的函数，其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值、零点)的讨论常借助图象研究，但一定要注意性质与图象特征的对应关系． (2)在利用函数的性质，求最值、确定方程的解的个数、求不等式的解集以及确定某些参数的取值范围时，要注意“数与形”的有机结合，充分发挥图象的直观作用．同时，如果图形不能准确地说明问题，可结合“数”的精确性再讨论其图象． 变式探究 5．已知函数f(x)＝log2(x＋1)－|x|，则不等式f(x)>0的解集是(　　) A．(－1，1) B．(0，1) C．(－1，0) D．∅ 解析：B　不等式f(x)>0⇔log2(x＋1)>|x|，分别作出函数y＝log2(x＋1)和y＝|x|的图象， 由图象可知y＝log2(x＋1)和y＝|x|有两个交点，分别是(0，0)和(1，1)，由图象可知log2(x＋1)>|x|的解集是(0，1)，即不等式f(x)>0的解集是(0，1).故选B. 6．(2024·湖北武汉模拟预测)已知x0是函数f(x)＝＋ln x的一个零点，若x1∈(1，x0)，x2∈(x0，＋∞)，则(　　) A．f(x1)<0，f(x2)<0 B．f(x1)>0，f(x2)>0 C．f(x1)>0，f(x2)<0 D．f(x1)<0，f(x2)>0 解析：D　令f(x)＝＋ln x＝0， 从而有ln x＝，此方程的解即为函数f(x)的零点． 在同一坐标系中作出函数y＝ln x与y＝的图象，如图所示． 由图象易知，>ln x1， 从而ln x1－<0， 故ln x1＋<0，即f(x1)<0. 同理f(x2)>0.故选D. 不等式的新定义问题 【典例剖析】 (2024·全国模拟预测)若不等式f(x)>0或f(x)<0只有一个整数解，则称不等式为单元集不等式．已知不等式a(x＋1)2－|log2x|＋1>0为单元集不等式，则实数a的取值范围是______________． 解析：(－，0] 根据题意可转化为满足|log2x|<a(x＋1)2＋1的整数x的个数为1. 令f(x)＝|log2x|，g(x)＝a(x＋1)2＋1， 当a>0时，作出函数f(x)＝|log2x|和g(x)＝a(x＋1)2＋1的图象，如图所示． 数形结合得，f(x)<g(x)的解集中整数的个数有无数多个，不符合题意． 当a＝0时，g(x)＝1，所以|log2x|<1，解得<x<2，只有一个整数解x＝1，所以a＝0符合题意． 当a<0时，作出函数f(x)＝|log2x|和g(x)＝a(x＋1)2＋1的图象，如图所示． 要使|log2x|<a(x＋1)2＋1的整数解只有一个，只需满足 即结合a<0可得－<a<0. 综上所述，实数a的取值范围是(－，0]. 新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情境，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的：遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决． 学科网（北京）股份有限公司 $