第12讲对数与对数函数-2026届高三数学一轮复习

第12讲　对数与对数函数 课前必备知识 课标要求 1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化为常用对数或自然对数；了解对数在简化运算中的作用.2.通过实例，了解对数函数的概念和图象，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象经过的特殊点.3.了解指数函数与对数函数互为反函数． 知识梳理 1．对数 (1)对数的定义 如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作__x＝logaN__，其中__a__叫做对数的底数，__N__叫做真数． (2)指数式与对数式的关系 ax＝N⇔__logaN＝x__(a>0，a≠1，N>0). (3)几个常用等式 ①loga1＝__0__；②logaa＝__1__；③alogaN＝__N__． (4)对数运算的性质 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么 ①loga(MN)＝__logaM＋logaN__； ②loga＝__logaM－logaN__； ③logaMn＝__nlogaM__(n∈R). (5)换底公式：logab＝____(a>0，且a≠1，b>0；c>0，且c≠1). 2．对数函数 (1)对数函数的定义 函数__y＝logax(a>0，且a≠1)__叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是__(0，＋∞)__． (2)对数函数的图象 (3)对数函数的性质 ①定义域：__(0，＋∞)__． ②值域：__(－∞，＋∞)__． ③图象过定点__(1，0)__，即x＝__1__时，y＝__0__． ④当__a>1__时，y＝logax在(0，＋∞)上是增函数； 当__0<a<1__时，y＝logax在(0，＋∞)上是减函数． 3．指数函数y＝ax与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的关系 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)和对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为__反函数__，它们的图象关于直线__y＝x__对称． 常用结论 1．换底公式的两个重要结论 (1)logab＝； (2)logambn＝logab. 其中a>0，且a≠1；b>0，且b≠1；m，n∈R. 2．对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)与y＝logx的图象关于x轴对称． 3．对数函数y＝logax的底数a>1时，a越大，增长越慢，图象在x轴上方越靠近x轴(x>1时)；0<a<1时，a越小，图象在x轴下方越靠近x轴(x>1). 课前训练 1．函数y＝loga(x－2)＋2(a>0，且a≠1)的图象恒过定点__________． 2．(教材母题必修习题4.4T1改编)函数y＝＋lg (5－2x)的定义域是___________． 3．(教材母题必修复习参考题4T5)已知f(x)＝|lg x|，若a＝f()，b＝f()，c＝f(3)，则(　　) A．a>b>c B．a>c>b C．c>a>b D．b>a>c 4．(2025·山东潍坊期中)已知指数函数y＝ax，对数函数y＝logbx的图象如图所示，则下列关系成立的是(　　) A．0<a<b<1 B．0<a<1<b C．0<b<1<a D．a<0<1<b 5．(2024·辽宁丹东一模)若2a＝3，3b＝5，5c＝4，则log4abc＝________． 课堂核心考点 考点1　对数的运算 【例1】 (1)(教材母题必修习题4.3改编)化简求值： ①lg 5·lg 20＋(lg 2)2； ②若18a＝5，log189＝b，用a，b表示log3645. (2)(2024·全国模拟预测)在一个空房间中大声讲话会产生回音，这个现象叫做“混响”．用声强来度量声音的强弱，假设讲话瞬间发出声音的声强为W0，则经过t秒后这段声音的声强变为W(t)＝W0e-，其中τ是一个常数．把混响时间TR定义为声音的声强衰减到原来的10-6所需的时间，则TR约为(参考数据：ln 2≈0.7，ln 5≈1.6)(　　) A．6.72τ B．8.3τ C．13.8τ D．148τ 对数运算的常用方法与技巧 (1)将指数式与对数式进行互化，构造同底数的对数或指数式． (2)逆用对数的运算性质，将同底数对数的和、差、倍化简合并． (3)当对数的底数不同但真数相同时，可以取倒数，将其化为同底数的对数再进行运算． (4)通过换底公式的运用，转化对数的底数，再进行化简合并． 变式探究 1．(log62)2＋(log63)2＋3log62×(log6－log62)＝________． 2．2022年11月29日23时08分，长征二号F遥十五运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射．在不考虑空气阻力的条件下，从发射开始，火箭的最大飞行速度v满足公式：v＝w ln (1＋)，其中M为火箭推进剂质量，m为去除推进剂后的火箭有效载荷质量，w为火箭发动机喷流相对火箭的速度．当M＝3m时，v＝5.544 km/s.在保持w不变的情况下，若m＝25 t，假设要使v超过第一宇宙速度达到8 km/s，则M至少约为(结果精确到1，参考数据：e2≈7.389，ln 2≈0.693)(　　) A．135 t B．160 t C．185 t D．210 t 考点2　对数函数的图象及应用 【例2】 (1)(多选)(2025·河南模拟)已知函数f(x)＝|ln x|，0<a<b，且f(a)＝f(b)，则下列说法正确的是(　　) A．ab＝1 B．ab＝10 C．a＋2b的最小值为2 D．(a＋1)2＋(b＋1)2>8 (2)函数int (x)是计算机程序中一个重要函数，它表示不超过x的最大整数，例如int (－3.9)＝－4，int (2.4)＝2.已知函数f(x)＝(a>0，且a≠1)，若f(x)的图象上恰有3对点关于原点对称，则实数a的取值范围是__________． 对数函数图象的应用技巧 (1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点等排除不符合要求的选项． (2)对于一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调区间、值域、零点等问题时，可利用数形结合的思想． (3)对于一些与对数型方程、不等式等内容有关的问题，通常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合进行求解． 变式探究 3．已知x1，x2分别是函数f(x)＝ex＋x－2，g(x)＝ln x＋x－2的零点，则ex1＋ln x2的值为(　　) A．e2＋ln 2 B．e＋ln 2 C．2 D．4 4．已知函数f(x)＝则f(x)≤x的解集为(　　) A．(－∞，0] B．(－1，0] C．(－1，0]∪[1，＋∞) D．[1，＋∞) 考点3　对数函数的性质及其应用 【例3】 (1)(2024·全国模拟预测)已知a＝()a，()b＝logab，ac＝logc，则实数a，b，c的大小关系为(　　) A．a<b<c B．a<c<b C．c<b<a D．c<a<b (2)(2024·全国模拟预测)已知定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数f(x)，对于定义域内任意的x，y，都有f(xy)＝f(x)＋f(y)，且f(x)在(0，＋∞)上单调递减，则不等式f(x)<log2的解集为___________． (1)在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解．在利用单调性时，一定要明确底数a的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件． (2)对数函数性质的应用多用在复合函数的单调性上，即求形如y＝logaf(x)的复合函数的单调区间，其一般步骤为：①求定义域，即满足f(x)>0的x的取值集合；②将复合函数分解成基本初等函数y＝logau及u＝f(x)；③分别确定这两个函数的单调区间；④若这两个函数同增或同减，则y＝logaf(x)为增函数，若一增一减，则y＝logaf(x)为减函数，即“同增异减”． 变式探究 5．(2024·浙江二模)若函数f(x)＝ln (ex＋1)＋ax为偶函数，则a＝(　　) A．－ B．0 C． D．1 6．已知f(x)＝是(－∞，＋∞)上的减函数，那么实数a的取值范围是________________． 7．已知55<84，134<85.设a＝log138，b＝log53，c＝log85，则a，b，c的大小关系为(　　) A．c<a<b B．b<c<a C．b<a<c D．a<b<c 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12讲　对数与对数函数 课前必备知识 课标要求 1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化为常用对数或自然对数；了解对数在简化运算中的作用.2.通过实例，了解对数函数的概念和图象，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象经过的特殊点.3.了解指数函数与对数函数互为反函数． 知识梳理 1．对数 (1)对数的定义 如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作__x＝logaN__，其中__a__叫做对数的底数，__N__叫做真数． (2)指数式与对数式的关系 ax＝N⇔__logaN＝x__(a>0，a≠1，N>0). (3)几个常用等式 ①loga1＝__0__；②logaa＝__1__；③alogaN＝__N__． (4)对数运算的性质 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么 ①loga(MN)＝__logaM＋logaN__； ②loga＝__logaM－logaN__； ③logaMn＝__nlogaM__(n∈R). (5)换底公式：logab＝____(a>0，且a≠1，b>0；c>0，且c≠1). 2．对数函数 (1)对数函数的定义 函数__y＝logax(a>0，且a≠1)__叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是__(0，＋∞)__． (2)对数函数的图象 (3)对数函数的性质 ①定义域：__(0，＋∞)__． ②值域：__(－∞，＋∞)__． ③图象过定点__(1，0)__，即x＝__1__时，y＝__0__． ④当__a>1__时，y＝logax在(0，＋∞)上是增函数； 当__0<a<1__时，y＝logax在(0，＋∞)上是减函数． 3．指数函数y＝ax与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的关系 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)和对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为__反函数__，它们的图象关于直线__y＝x__对称． 常用结论 1．换底公式的两个重要结论 (1)logab＝； (2)logambn＝logab. 其中a>0，且a≠1；b>0，且b≠1；m，n∈R. 2．对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)与y＝logx的图象关于x轴对称． 3．对数函数y＝logax的底数a>1时，a越大，增长越慢，图象在x轴上方越靠近x轴(x>1时)；0<a<1时，a越小，图象在x轴下方越靠近x轴(x>1). 课前训练 1．函数y＝loga(x－2)＋2(a>0，且a≠1)的图象恒过定点__________． 解析：(3，2)　因为loga1＝0，令x－2＝1，所以x＝3，所以y＝loga1＋2＝2，所以该函数的图象恒过定点(3，2). 2．(教材母题必修习题4.4T1改编)函数y＝＋lg (5－2x)的定义域是___________． 解析：[1，)　由题意，得即所以1≤x<，所以定义域为[1，). 3．(教材母题必修复习参考题4T5)已知f(x)＝|lg x|，若a＝f()，b＝f()，c＝f(3)，则(　　) A．a>b>c B．a>c>b C．c>a>b D．b>a>c 解析：B　由f(x)＝|lg x|得a＝f()＝|lg |＝|－lg 4|＝lg 4，b＝f()＝|lg |＝|－lg 2|＝lg 2，c＝f(3)＝lg 3，因为y＝lg x在(0，＋∞)上为增函数，所以lg 4>lg 3>lg 2，即a>c>b.故选B. 4．(2025·山东潍坊期中)已知指数函数y＝ax，对数函数y＝logbx的图象如图所示，则下列关系成立的是(　　) A．0<a<b<1 B．0<a<1<b C．0<b<1<a D．a<0<1<b 解析：B　由图象可得，指数函数y＝ax为减函数，对数函数y＝logbx为增函数， 所以0<a<1，b>1，即0<a<1<b.故选B. 5．(2024·辽宁丹东一模)若2a＝3，3b＝5，5c＝4，则log4abc＝________． 解析：　由2a＝3，3b＝5，5c＝4，可得a＝log23，b＝log35，c＝log54， 所以abc＝log23×log35×log54＝××＝2， 则log4abc＝log42＝. 课堂核心考点 考点1　对数的运算 【例1】 (1)(教材母题必修习题4.3改编)化简求值： ①lg 5·lg 20＋(lg 2)2； ②若18a＝5，log189＝b，用a，b表示log3645. (2)(2024·全国模拟预测)在一个空房间中大声讲话会产生回音，这个现象叫做“混响”．用声强来度量声音的强弱，假设讲话瞬间发出声音的声强为W0，则经过t秒后这段声音的声强变为W(t)＝W0e-，其中τ是一个常数．把混响时间TR定义为声音的声强衰减到原来的10-6所需的时间，则TR约为(参考数据：ln 2≈0.7，ln 5≈1.6)(　　) A．6.72τ B．8.3τ C．13.8τ D．148τ 解析：(1)①lg 5·lg 20＋(lg 2)2＝lg 5·(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2＝(lg 2＋lg 5)2＝(lg 10)2＝1. ②因为18a＝5，所以a＝log185， 所以log3645＝＝＝ ＝＝. (2)C　由题意，W(TR)＝10-6W0，即e－＝10-6，等号两边同时取自然对数得ln e－＝ln 10-6， 即－＝－6ln 10，所以TR＝τ×6ln 10＝τ×6×(ln 2＋ln 5)≈13.8τ.故选C. 对数运算的常用方法与技巧 (1)将指数式与对数式进行互化，构造同底数的对数或指数式． (2)逆用对数的运算性质，将同底数对数的和、差、倍化简合并． (3)当对数的底数不同但真数相同时，可以取倒数，将其化为同底数的对数再进行运算． (4)通过换底公式的运用，转化对数的底数，再进行化简合并． 变式探究 1．(log62)2＋(log63)2＋3log62×(log6－log62)＝________． 解析：1 (log62)2＋(log63)2＋3log62×(log6－log62) ＝(log62)2＋(log63)2＋3log62×log6() ＝(log62)2＋(log63)2＋2log62×log63 ＝(log62＋log63)2 ＝1. 2．2022年11月29日23时08分，长征二号F遥十五运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射．在不考虑空气阻力的条件下，从发射开始，火箭的最大飞行速度v满足公式：v＝w ln (1＋)，其中M为火箭推进剂质量，m为去除推进剂后的火箭有效载荷质量，w为火箭发动机喷流相对火箭的速度．当M＝3m时，v＝5.544 km/s.在保持w不变的情况下，若m＝25 t，假设要使v超过第一宇宙速度达到8 km/s，则M至少约为(结果精确到1，参考数据：e2≈7.389，ln 2≈0.693)(　　) A．135 t B．160 t C．185 t D．210 t 解析：B　因为当M＝3m时，v＝5.544， 所以w＝＝. 由v＝w ln (1＋)＝ln (1＋)＝8， 得ln (1＋)≈2，所以1＋≈e2≈7.389， 解得M≈159.725≈160 t， 即M至少约为160 t．故选B. 考点2　对数函数的图象及应用 【例2】 (1)(多选)(2025·河南模拟)已知函数f(x)＝|ln x|，0<a<b，且f(a)＝f(b)，则下列说法正确的是(　　) A．ab＝1 B．ab＝10 C．a＋2b的最小值为2 D．(a＋1)2＋(b＋1)2>8 (2)函数int (x)是计算机程序中一个重要函数，它表示不超过x的最大整数，例如int (－3.9)＝－4，int (2.4)＝2.已知函数f(x)＝(a>0，且a≠1)，若f(x)的图象上恰有3对点关于原点对称，则实数a的取值范围是__________． 解析：(1)AD　由函数f(x)＝|ln x|，且f(a)＝f(b)，如图所示，可得0<a<1<b，所以|ln a|＝|ln b|，即－ln a＝ln b，可得ln (ab)＝0，解得ab＝1，A正确，B错误； 由a＋2b≥2＝2，当且仅当a＝2b时等号成立，因为0<a<1<b，所以a＋2b>2，C错误； 由(a＋1)2＋(b＋1)2＝a2＋b2＋2(a＋b)＋2≥2ab＋4＋2＝8，当且仅当a＝b时等号成立，因为0<a<1<b，所以(a＋1)2＋(b＋1)2>8，D正确．故选AD. (2)[，)　根据题意，要使f(x)的图象上恰有3对点关于原点对称， 则y＝－logax＝logx与y＝x－int (x)的图象恰有3个交点，如图所示， 则解得≤a<. 对数函数图象的应用技巧 (1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点等排除不符合要求的选项． (2)对于一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调区间、值域、零点等问题时，可利用数形结合的思想． (3)对于一些与对数型方程、不等式等内容有关的问题，通常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合进行求解． 变式探究 3．已知x1，x2分别是函数f(x)＝ex＋x－2，g(x)＝ln x＋x－2的零点，则ex1＋ln x2的值为(　　) A．e2＋ln 2 B．e＋ln 2 C．2 D．4 解析：C　根据题意x1，x2分别是函数f(x)＝ex＋x－2，g(x)＝ln x＋x－2的零点，所以ex1＋x1－2＝0，ln x2＋x2－2＝0. 函数f(x)＝ex＋x－2的零点为函数y＝ex的图象与y＝2－x的图象的交点的横坐标，则函数y＝ex和y＝2－x图象的交点为(x1，ex1)， 函数g(x)＝ln x＋x－2的零点为函数y＝ln x的图象与y＝2－x的图象的交点的横坐标，则函数y＝ln x和y＝2－x图象的交点为(x2，ln x2). 又由函数y＝ex与函数y＝ln x互为反函数，其图象关于直线y＝x对称， 而直线y＝2－x也关于直线y＝x对称，则点(x1，ex1)和(x2，ln x2)也关于直线y＝x对称，则有x1＝ln x2，则有ex1＋ln x2＝ex1＋x1＝2.故选C. 4．已知函数f(x)＝则f(x)≤x的解集为(　　) A．(－∞，0] B．(－1，0] C．(－1，0]∪[1，＋∞) D．[1，＋∞) 解析：C　当x≥1时，f(x)≤x⇔()x≤x，作出函数y＝()x与y＝x的图象，由图象可知，x∈[1，＋∞)； 当－1<x<1时，f(x)≤x⇔log4(x＋1)≤x， 作出函数y＝log4(x＋1)与y＝x的图象，它们的交点坐标为(0，0)，(1，)， 结合图象知x∈(－1，0]. 所以不等式f(x)≤x的解集为(－1，0]∪[1，＋∞).故选C. 考点3　对数函数的性质及其应用 【例3】 (1)(2024·全国模拟预测)已知a＝()a，()b＝logab，ac＝logc，则实数a，b，c的大小关系为(　　) A．a<b<c B．a<c<b C．c<b<a D．c<a<b (2)(2024·全国模拟预测)已知定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数f(x)，对于定义域内任意的x，y，都有f(xy)＝f(x)＋f(y)，且f(x)在(0，＋∞)上单调递减，则不等式f(x)<log2的解集为___________． 解析：(1)D　令f(x)＝()x－x，其在R上单调递减， 又f(0)＝1>0，f(1)＝－1＝－<0， 由零点存在性定理得a∈(0，1)，则y＝logax在(0，＋∞)上单调递减， 作出y1＝()x与y＝logax的函数图象，可以得到b∈(0，1)， 又y2＝ax在R上单调递减，作出y2＝ax与y3＝logx的函数图象， 可以看出c∈(0，1)，因为()b<()0＝1，故logab<1＝logaa，故b>a， 因为a，c∈(0，1)，故ac>a1＝a， 由ac＝logc得，c＝()ac<()a＝a. 综上，c<a<b.故选D. (2){x|x<－1或x>1} 由f(xy)＝f(x)＋f(y)， 令x＝y＝1，得f(1)＝f(1)＋f(1)， 所以f(1)＝0. 令x＝y＝－1，得f(－1)＝0. 令y＝－1， 得f(－x)＝f(x)＋f(－1)＝f(x)， 所以函数f(x)为偶函数． 构造函数F(x)＝f(x)－log2， 因为F(－x)＝F(x)，所以F(x)为偶函数，且在(0，＋∞)上为减函数． 因为F(1)＝f(1)－log2＝0， 所以不等式f(x)<log2等价于F(x)＝f(x)－log2<0＝F(1)， 所以F(|x|)<F(1)，即|x|>1， 所以x<－1或x>1， 故不等式f(x)<log2的解集为{x|x<－1或x>1}． (1)在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解．在利用单调性时，一定要明确底数a的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件． (2)对数函数性质的应用多用在复合函数的单调性上，即求形如y＝logaf(x)的复合函数的单调区间，其一般步骤为：①求定义域，即满足f(x)>0的x的取值集合；②将复合函数分解成基本初等函数y＝logau及u＝f(x)；③分别确定这两个函数的单调区间；④若这两个函数同增或同减，则y＝logaf(x)为增函数，若一增一减，则y＝logaf(x)为减函数，即“同增异减”． 变式探究 5．(2024·浙江二模)若函数f(x)＝ln (ex＋1)＋ax为偶函数，则a＝(　　) A．－ B．0 C． D．1 解析：A　f(x)＝ln (ex＋1)＋ax的定义域为R，f(－x)＝ln (e-x＋1)－ax＝ln ()－ax＝ln (ex＋1)－x－ax， 由于f(x)＝ln (ex＋1)＋ax为偶函数，故f(－x)＝f(x)， 即ln (ex＋1)－(1＋a)x＝ln (ex＋1)＋ax⇒(1＋2a)x＝0，故1＋2a＝0，解得a＝－.故选A. 6．已知f(x)＝是(－∞，＋∞)上的减函数，那么实数a的取值范围是________________． 解析：[，) 因为f(x)是(－∞，＋∞)上的减函数， 所以解得≤a<， 所以实数a的取值范围为[，). 7．已知55<84，134<85.设a＝log138，b＝log53，c＝log85，则a，b，c的大小关系为(　　) A．c<a<b B．b<c<a C．b<a<c D．a<b<c 解析：B　因为a＝log138，故8＝13a， 因为134<85，所以13<8，故a>， 同理5＝8c，又55<84，所以5<8，故c<. 而＝＝， 而lg 3lg 8<()2<lg25，所以>1，即>1， 所以c>b，所以a>c>b.故选B. 学科网（北京）股份有限公司 $