第9讲函数的奇偶性、周期性与对称性-2026届高三数学一轮复习

第9讲 函数的奇偶性、周期性与对称性 课前必备知识 课标要求 1.了解函数奇偶性、周期性与对称性的含义及其几何意义.2.会判定一些简单函数的奇偶性.3.能综合运用函数的奇偶性、对称性、周期性和单调性解决相关问题． 知识梳理 1．函数的奇偶性 函数的奇偶性是函数在整个定义域上的性质，在函数的定义域的真子集内讨论函数的奇偶性是没有意义的． (1)函数的奇偶性的定义 ①设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且__f(－x)＝－f(x)__成立，那么函数f(x)就叫做奇函数． ②设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且__f(－x)＝f(x)__成立，那么函数f(x)就叫做偶函数． 显然，函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的__必要__条件． (2)奇偶函数的图象特征 奇函数的图象关于__原点__对称；偶函数的图象关于__y__轴对称． 2．周期函数 (1)周期函数：设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D，都有x＋T∈D，且__f(x＋T)＝f(x)__，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做函数f(x)的__一个周期__． (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中__存在一个最小__的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 3．函数的对称性 (1)若函数f(x)满足关系f(a＋x)＝f(b－x)，则f(x)的图象关于直线x＝对称． (2)若函数f(x)满足关系f(a＋x)＝－f(b－x)，则f(x)的图象关于点(，0)对称． 常用结论 1．函数的奇偶性常用结论 (1)若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0. (2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|). (3)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． (4)在公共定义域内： ①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积都是偶函数； ③一个奇函数和一个偶函数的积是奇函数． 2．函数的周期性常用结论 对f(x)的定义域内的任一自变量的值x： (1)若f(x＋a)＝f(x＋b)，则T＝|a－b|. (2)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0). (3)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0). (4)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0). 课前训练 1．下列函数为奇函数的是(　　) A．y＝ B．y＝|sin x| C．y＝cos x D．y＝ex－e-x 2．已知函数f(x)与函数g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)＋g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)－g(1)＝(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 3．已知y＝f(x)是奇函数，当x<0时，f(x)＝－x(1＋x)，则当x>0时，f(x)＝(　　) A．x(1－x) B．－x(1＋x) C．－x(1－x) D．x(1＋x) 4．(2023·全国甲卷)若f(x)＝(x－1)2＋ax＋sin (x＋)为偶函数，则a＝________. 5．已知函数f(x)的定义域是R，f(＋x)＝f(－x)，f(x)＋f(6－x)＝0，当0≤x≤时，f(x)＝4x－2x2，则f(2026)＝________． 课堂核心考点 变式训练 考点1　函数的奇偶性判定与应用 【例1】 (1)(多选)下列函数是奇函数的是(　　) A．f(x)＝ B．f(x)＝(x－1) C．f(x)＝＋ D．f(x)＝ (2)(2023·新课标Ⅱ卷)若f(x)＝(x＋a)·ln 为偶函数，则a＝(　　) A．－1 B．0 C． D．1 (3)已知函数f(x)的定义域为R，若函数f(x)－2x为偶函数，函数f(x)－x2为奇函数，则f(1)＝(　　) A．1 B．3 C．－1 D．－3 (1)研究函数的奇偶性时，必须先判断定义域是否关于原点对称．若对称，再验证f(－x)＝±f(x)或其等价形式f(－x)±f(x)＝0是否成立． (2)判断函数的奇偶性除定义法外，还有以下几种方法． ①图象法：f(x)的图象关于原点对称⇔f(x)为奇函数，关于y轴对称⇔f(x)为偶函数． ②性质法：如“奇±奇”是奇，“偶±偶”是偶，“奇×奇”是偶，“偶×偶”是偶，“奇×偶”是奇等． (3)利用函数的奇偶性解决有关问题时，要充分利用化归与转化的思想方法．利用奇偶性可以解决如下问题： ①求函数值；②求解析式；③求函数解析式中的参数的值；④画函数图象确定单调性等． 变式探究 1．已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)＝ex，则f(ln )＝________． 2．(多选)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是(　　) A．y＝f(－x) B．y＝ C．y＝f(x)＋x3 D．y＝f(x) 3．设函数f(x)＝的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________. 考点2　函数的周期性与对称性 【例2】 (1)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－2)＝－f(x)，当x∈[0，2)时，f(x)＝2x－x2.则f(2025)＝(　　) A．0 B．1 C．－1 D．2025 (2)设f(x)是定义在R上的周期为2的偶函数，已知当x∈[2，3]时，f(x)＝x，则当 x∈[－2，0] 时，f(x)＝(　　) A．x＋4 B．2－x C．3－|x＋1| D．2＋|x＋1| (3)已知函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝6－f(x)，若函数y＝与y＝f(x)图象的交点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则＝(　　) A．4m B．3m C．2m D．m (1)函数周期性的应用技巧 ①熟记函数周期常见的几种表达形式，能够由已知条件准确地推得函数的最小正周期． ②熟练运用结论“若T是函数的周期，那么nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期”，对自变量的值进行转化． ③注意通过“区间变换法”，结合函数的周期，由局部的解析式得到函数在整个定义域内的解析式． (2)函数对称性、周期性常用结论： ①f(x＋a)＝f(a－x)⇔f(x)＝f(2a－x)⇔f(x)的图象关于x＝a对称． ②f(x＋a)＋f(a－x)＝2b⇔f(x)＋f(2a－x)＝2b⇔f(x)的图象关于(a，b)对称． ③若函数f(x)的图象既关于直线x＝a对称，又关于直线x＝b对称(a≠b)，则f(x)是周期函数，且2(b－a)是它的一个周期． ④若函数f(x)的图象既关于点(a，0)对称，又关于点(b，0)对称(a≠b)，则f(x)是周期函数，且2(b－a)是它的一个周期． ⑤若函数f(x)的图象既关于直线x＝a对称，又关于点(b，0)对称(a≠b)，则f(x)是周期函数，且4(b－a)是它的一个周期． 变式探究 4．函数f(x)满足f(x)f(x＋2)＝13，且f(3)＝2，则f(2025)＝________． 5．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝则f(2025)＋f(2026)＝(　　) A．－4 B．－3 C．－2 D．－1 6．已知函数f(x)，g(x)的定义域均为R，且f(x)＋g(2－x)＝5，g(x)－f(x－4)＝7.若y＝g(x)的图象关于直线x＝2对称，g(2)＝4，则＝(　　) A．－21 B．－22 C．－23 D．－24 考点3　奇偶性与单调性的综合应用 【例3】 (1)若函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x(1＋x)－2.则当x<0时，f(x)＝__________，若f(m＋1)<f(2－m)，则实数m的取值范围是______________． (2)已知函数f(x)对任意实数x，y恒有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，当x>0时f(x)<0，且f(－1)＝2.则f(x)在区间[－2，4]上的最小值为________；若f(x)<m2－2am＋2对所有的x∈[－1，1]，a∈[－1，1]恒成立，则实数m的取值范围是__________． (1)奇偶性与单调性常综合进行考查，求解的关键是利用奇偶性变成f(M)<f(N)(或f(M)>f(N))的形式，再利用单调性进行处理． (2)掌握以下结论，会给解决此类问题带来方便： ①f(x)为偶函数⇔f(x)＝f(|x|)；f(x)为奇函数⇔f(x)＝－f(－x). ②若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0. ③奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反． 变式探究 7．已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，满足对∀x1，x2∈[0，＋∞)，其中x1≠x2，都有(x1－x2)[x1f(x1)－x2f(x2)]>0，且f(2)＝3，则不等式f(x)>的解集为____________. 8．已知函数f(x)＝ex＋e-x(其中e是自然对数的底数)，若a＝f(21.5)，b＝f(40.8)，c＝f(log2)，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a<b<c B．c<a<b C．a<c<b D．b<a<c 考点4　奇偶性与周期性的综合应用 【例4】 (1)(多选)已知函数f(x)对∀x∈R都有f(x)＝f(x＋4)＋f(2)，若函数y＝f(x＋3)的图象关于直线x＝－3对称，且对∀x1，x2∈[0，2]，当x1≠x2时，都有(x2－x1)·[f(x2)－f(x1)]>0，则下列结论正确的是(　　) A．f(2)＝0 B．f(x)是偶函数 C．f(x)是周期为4的周期函数 D．f(3)<f(－4) (2)(2025·陕西渭南月考)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋3)＝－f(x)，g(x)＝f(x)－1为奇函数，则f(198)＝(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 (1)解答奇偶性与周期性的综合问题，常需要利用化归与转化的思想，将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题． (2)注意掌握函数的奇偶性、对称性、周期性的常用结论： ①f(x)关于x＝a对称⇔f(x＋a)＝f(a－x)⇔f(x)＝f(2a－x)⇔f(x＋a)是偶函数． f(x)关于(a，0)对称⇔f(x＋a)＝－f(a－x)⇔f(x)＝－f(2a－x)⇔f(x＋a)是奇函数． ②若对于函数f(x)的定义域内的任一x都有f(x＋a)＝－f(x)或f(x＋a)＝或f(x＋a)＝－(a是常数，且a≠0)，则f(x)是一个周期为2|a|的周期函数． 若f(x＋a)＝f(x＋b)(a≠b)，则f(x)是以T＝|a－b|为周期的周期函数． 变式探究 9．(2024·山东济南二模)已知函数f(x)的定义域为R，若f(－x)＝－f(x)，f(1＋x)＝f(1－x)，则f(2024)＝(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 10．(2025·福建厦门期中)已知定义在R上的函数f(x)满足：①f(x＋2)＝f(x)；②f(x－2)为奇函数；③当x∈[0，1)时，>0(x1≠x2)恒成立．则f(－)，f(4)，f()的大小关系正确的是(　　) A．f(－)>f(4)>f() B．f(－)>f()>f(4) C．f()>f(4)>f(－) D．f(4)>f()>f(－) 学科网（北京）股份有限公司 $ 第9讲 函数的奇偶性、周期性与对称性 课前必备知识 课标要求 1.了解函数奇偶性、周期性与对称性的含义及其几何意义.2.会判定一些简单函数的奇偶性.3.能综合运用函数的奇偶性、对称性、周期性和单调性解决相关问题． 知识梳理 1．函数的奇偶性 函数的奇偶性是函数在整个定义域上的性质，在函数的定义域的真子集内讨论函数的奇偶性是没有意义的． (1)函数的奇偶性的定义 ①设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且__f(－x)＝－f(x)__成立，那么函数f(x)就叫做奇函数． ②设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且__f(－x)＝f(x)__成立，那么函数f(x)就叫做偶函数． 显然，函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的__必要__条件． (2)奇偶函数的图象特征 奇函数的图象关于__原点__对称；偶函数的图象关于__y__轴对称． 2．周期函数 (1)周期函数：设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D，都有x＋T∈D，且__f(x＋T)＝f(x)__，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做函数f(x)的__一个周期__． (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中__存在一个最小__的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 3．函数的对称性 (1)若函数f(x)满足关系f(a＋x)＝f(b－x)，则f(x)的图象关于直线x＝对称． (2)若函数f(x)满足关系f(a＋x)＝－f(b－x)，则f(x)的图象关于点(，0)对称． 常用结论 1．函数的奇偶性常用结论 (1)若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0. (2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|). (3)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． (4)在公共定义域内： ①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积都是偶函数； ③一个奇函数和一个偶函数的积是奇函数． 2．函数的周期性常用结论 对f(x)的定义域内的任一自变量的值x： (1)若f(x＋a)＝f(x＋b)，则T＝|a－b|. (2)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0). (3)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0). (4)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0). 课前训练 1．下列函数为奇函数的是(　　) A．y＝ B．y＝|sin x| C．y＝cos x D．y＝ex－e-x 解析：D　y＝的定义域为{x|x≥0}，不具有对称性，故y＝为非奇非偶函数．y＝|sin x|和y＝cos x为偶函数．对于D，f(x)＝ex－e-x的定义域为R，f(－x)＝e-x－ex＝－f(x)，故y＝ex－e-x为奇函数．故选D. 2．已知函数f(x)与函数g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)＋g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)－g(1)＝(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：B　根据题意，f(x)＋g(x)＝x3＋x2＋1，则f(－1)＋g(－1)＝(－1)＋1＋1＝1， 又由函数f(x)与函数g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，则f(－1)＋g(－1)＝f(1)－g(1)，故f(1)－g(1)＝1.故选B. 3．已知y＝f(x)是奇函数，当x<0时，f(x)＝－x(1＋x)，则当x>0时，f(x)＝(　　) A．x(1－x) B．－x(1＋x) C．－x(1－x) D．x(1＋x) 解析：C　当x>0时，－x<0，所以f(－x)＝－(－x)(1－x)＝x(1－x)，又y＝f(x)是奇函数， 所以f(x)＝－f(－x)，故f(x)＝－x(1－x).故选C. 4．(2023·全国甲卷)若f(x)＝(x－1)2＋ax＋sin (x＋)为偶函数，则a＝________. 解析：2　因为y＝f(x)＝(x－1)2＋ax＋sin (x＋)＝(x－1)2＋ax＋cos x为偶函数，定义域为R， 所以f(－)＝f()， 即(－－1)2－a＋cos (－)＝(－1)2＋a＋cos ， 则πa＝(＋1)2－(－1)2＝2π，故a＝2. 此时f(x)＝(x－1)2＋2x＋cos x＝x2＋1＋cos x， 所以f(－x)＝(－x)2＋1＋cos (－x)＝x2＋1＋cos x＝f(x)， 又定义域为R，故f(x)为偶函数，所以a＝2. 5．已知函数f(x)的定义域是R，f(＋x)＝f(－x)，f(x)＋f(6－x)＝0，当0≤x≤时，f(x)＝4x－2x2，则f(2026)＝________． 解析：－2　由f(＋x)＝f(－x)得 f(x)＝f[－(x－)]＝f(3－x). 又f(x)＋f(6－x)＝0，所以f(3－x)＋f(6－x)＝0， 所以f(x)＝－f[6－(3－x)]＝－f(x＋3)， 所以f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)， 所以f(2026)＝f(6×337＋4)＝f(4)＝－f(1)＝－4＋2＝－2. 课堂核心考点 考点1　函数的奇偶性判定与应用 【例1】 (1)(多选)下列函数是奇函数的是(　　) A．f(x)＝ B．f(x)＝(x－1) C．f(x)＝＋ D．f(x)＝ (2)(2023·新课标Ⅱ卷)若f(x)＝(x＋a)·ln 为偶函数，则a＝(　　) A．－1 B．0 C． D．1 (3)已知函数f(x)的定义域为R，若函数f(x)－2x为偶函数，函数f(x)－x2为奇函数，则f(1)＝(　　) A．1 B．3 C．－1 D．－3 解析：(1)ACD 对于A，由得－2≤x≤2，且x≠0， 所以f(x)的定义域为[－2，0)∪(0，2]，关于原点对称， 所以f(x)＝＝＝. 又f(－x)＝＝－＝－f(x)，所以f(x)是奇函数，A正确． 对于B，因为f(x)的定义域为[－1，1)，不关于原点对称，所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数，B错误． 对于C，对于函数f(x)＝＋，所以x＝±1，其定义域为{－1，1}，关于原点对称．因为对定义域内的每一个x，都有f(x)＝0，所以f(－x)＝f(x)，f(－x)＝－f(x)， 所以f(x)＝＋既是奇函数又是偶函数，C正确． 对于D，函数f(x)的定义域为R，定义域关于原点对称． 当x＝0时，－x＝0， 所以f(－x)＝f(0)＝0，f(x)＝f(0)＝0，所以f(－x)＝－f(x)； 当x>0时，－x<0， 所以f(－x)＝－(－x)2－2(－x)－3＝－(x2－2x＋3)＝－f(x)； 当x<0时，－x>0，所以f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋3＝－(－x2－2x－3)＝－f(x). 综上，可知函数f(x)为奇函数，D正确．故选ACD. (2)B　因为f(x)为偶函数，则f(1)＝f(－1)，所以(1＋a)ln ＝(－1＋a)ln 3，解得a＝0. 当a＝0时，f(x)＝x ln ，由(2x－1)(2x＋1)>0，解得x>或x<－， 则其定义域为{x|x>或x<－}，关于原点对称． 又f(－x)＝(－x)ln ＝(－x)ln ＝(－x)ln ()-1＝x ln ＝f(x)， 故此时f(x)为偶函数，故选B. (3)B　函数f(x)的定义域为R，设函数g(x)＝f(x)－2x，h(x)＝f(x)－x2， 则g(－x)＝f(－x)＋2x＝g(x)＝f(x)－2x， h(x)＋h(－x)＝f(x)－x2＋f(－x)－x2＝0， 即解得f(x)＝x2＋2x，所以f(1)＝3，故选B. (1)研究函数的奇偶性时，必须先判断定义域是否关于原点对称．若对称，再验证f(－x)＝±f(x)或其等价形式f(－x)±f(x)＝0是否成立． (2)判断函数的奇偶性除定义法外，还有以下几种方法． ①图象法：f(x)的图象关于原点对称⇔f(x)为奇函数，关于y轴对称⇔f(x)为偶函数． ②性质法：如“奇±奇”是奇，“偶±偶”是偶，“奇×奇”是偶，“偶×偶”是偶，“奇×偶”是奇等． (3)利用函数的奇偶性解决有关问题时，要充分利用化归与转化的思想方法．利用奇偶性可以解决如下问题： ①求函数值；②求解析式；③求函数解析式中的参数的值；④画函数图象确定单调性等． 变式探究 1．已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)＝ex，则f(ln )＝________． 解析：－2　由题意知，f(ln )＝f(－ln 2)＝－f(ln 2). 又ln 2>0，所以f(ln )＝－eln 2＝－2. 2．(多选)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是(　　) A．y＝f(－x) B．y＝ C．y＝f(x)＋x3 D．y＝f(x) 解析：AC　对于A，设g(x)＝f(－x)，则g(－x)＝f(x)＝－f(－x)＝－g(x)，所以g(x)为奇函数； 对于B，定义域为{x|x≠0}，令h(x)＝，则h(－x)＝＝＝h(x)，所以h(x)为偶函数； 对于C，因为g(x)＝x3为奇函数，f(x)是定义在R上的奇函数，奇函数＋奇函数＝奇函数，所以y＝f(x)＋x3为奇函数； 对于D，定义域为{x|x≥0}，所以y＝f(x)为非奇非偶函数．故选AC. 3．设函数f(x)＝的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________. 解析：2　因为f(x)＝＝1＋， 设g(x)＝，易知g(x)为奇函数． 又f(x)＝g(x)＋1， 所以f(x)max＝g(x)max＋1，f(x)min＝g(x)min＋1， 所以f(x)max＋f(x)min＝g(x)max＋g(x)min＋2＝2(奇函数的最大值、最小值互为相反数)， 所以M＋m＝2. 考点2　函数的周期性与对称性 【例2】 (1)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－2)＝－f(x)，当x∈[0，2)时，f(x)＝2x－x2.则f(2025)＝(　　) A．0 B．1 C．－1 D．2025 (2)设f(x)是定义在R上的周期为2的偶函数，已知当x∈[2，3]时，f(x)＝x，则当 x∈[－2，0] 时，f(x)＝(　　) A．x＋4 B．2－x C．3－|x＋1| D．2＋|x＋1| (3)已知函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝6－f(x)，若函数y＝与y＝f(x)图象的交点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则＝(　　) A．4m B．3m C．2m D．m 解析：(1)B　因为f(x－2)＝－f(x)，所以f(x)＝－f(x＋2)，即f(x＋2)＝－f(x)， 所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)的周期为4. 所以f(2025)＝f(506×4＋1)＝f(1)＝1.故选B. (2)C　当x∈[－2，－1]时，x＋4∈[2，3]，f(x)＝f(x＋4)＝x＋4＝3＋(x＋1). 当x∈[－1，0]时，－x∈[0，1]，2－x∈[2，3]， 因为函数f(x)为偶函数， 则f(x)＝f(－x)＝f(2－x)＝2－x＝3－(x＋1)， 综上所述，当x∈[－2，0]时，f(x)＝3－|x＋1|.故选C. (3)B　由f(－x)＋f(x)＝6，即f(x)关于点(0，3)对称，而y＝＝3＋也关于点(0，3)对称， 所以y＝与y＝f(x)在(0，3)两侧交点个数相同，且一侧交点在另一侧均有对称的交点存在， 所以＝0，＝×6＝3m， 故＝3m.故选B. (1)函数周期性的应用技巧 ①熟记函数周期常见的几种表达形式，能够由已知条件准确地推得函数的最小正周期． ②熟练运用结论“若T是函数的周期，那么nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期”，对自变量的值进行转化． ③注意通过“区间变换法”，结合函数的周期，由局部的解析式得到函数在整个定义域内的解析式． (2)函数对称性、周期性常用结论： ①f(x＋a)＝f(a－x)⇔f(x)＝f(2a－x)⇔f(x)的图象关于x＝a对称． ②f(x＋a)＋f(a－x)＝2b⇔f(x)＋f(2a－x)＝2b⇔f(x)的图象关于(a，b)对称． ③若函数f(x)的图象既关于直线x＝a对称，又关于直线x＝b对称(a≠b)，则f(x)是周期函数，且2(b－a)是它的一个周期． ④若函数f(x)的图象既关于点(a，0)对称，又关于点(b，0)对称(a≠b)，则f(x)是周期函数，且2(b－a)是它的一个周期． ⑤若函数f(x)的图象既关于直线x＝a对称，又关于点(b，0)对称(a≠b)，则f(x)是周期函数，且4(b－a)是它的一个周期． 变式探究 4．函数f(x)满足f(x)f(x＋2)＝13，且f(3)＝2，则f(2025)＝________． 解析：　因为f(x)f(x＋2)＝13，所以f(x)，f(x＋2)均不为0，所以f(x＋2)＝，所以f(x＋4)＝＝＝f(x)，所以f(x)的周期为4，所以f(2025)＝f(1)＝＝. 5．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝则f(2025)＋f(2026)＝(　　) A．－4 B．－3 C．－2 D．－1 解析：D　当x>0时，f(x)＝f(x－1)－f(x－2)，所以f(x＋1)＝f(x)－f(x－1)，故f(x＋1)＝－f(x－2)， 所以f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，所以当x>0时，f(x)的周期为6， 所以f(2025)＝f(6×337＋3)＝f(3)＝－f(0)＝0， f(2026)＝f(6×337＋4)＝f(4)＝－f(1)＝－f(0)＋f(－1)＝－1， 故f(2025)＋f(2026)＝－1.故选D. 6．已知函数f(x)，g(x)的定义域均为R，且f(x)＋g(2－x)＝5，g(x)－f(x－4)＝7.若y＝g(x)的图象关于直线x＝2对称，g(2)＝4，则＝(　　) A．－21 B．－22 C．－23 D．－24 解析：D　由g(x)的图象关于直线x＝2对称，可知g(x)＝g(4－x). 因为f(x)＋g(2－x)＝5，所以f(－x)＋g(2＋x)＝5. 又g(2－x)＝g(2＋x)，所以f(x)＝f(－x). 因为g(x)－f(x－4)＝7，所以g(4－x)－f(－x)＝7. 又g(x)＝g(4－x)，所以f(x－4)＝f(－x)＝f(x)，所以f(x)的周期为4. 当x＝0时，f(0)＋g(2)＝5，所以f(0)＝5－g(2)＝1，所以f(4)＝f(0)＝1. 当x＝2时，g(2)－f(－2)＝7，所以f(－2)＝g(2)－7＝－3，所以f(2)＝f(－2)＝－3. 当x＝1时，f(1)＋g(1)＝5，g(1)－f(－3)＝7， 又f(－3)＝f(1)，所以g(1)－f(1)＝7，所以f(1)＝－1，所以f(－1)＝f(1)＝－1，所以f(3)＝f(－1)＝－1. 所以＝5[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(1)＋f(2)＝5×(－1－3－1＋1)－1－3＝－24.故选D. 考点3　奇偶性与单调性的综合应用 【例3】 (1)若函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x(1＋x)－2.则当x<0时，f(x)＝__________，若f(m＋1)<f(2－m)，则实数m的取值范围是______________． (2)已知函数f(x)对任意实数x，y恒有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，当x>0时f(x)<0，且f(－1)＝2.则f(x)在区间[－2，4]上的最小值为________；若f(x)<m2－2am＋2对所有的x∈[－1，1]，a∈[－1，1]恒成立，则实数m的取值范围是__________． 解析：(1)x2－x－2　(－∞，) 因为函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f(x)＝x(1＋x)－2， 则当x<0时，－x>0，f(x)＝f(－x)＝－x(－x＋1)－2＝x2－x－2， 所以当x<0时，f(x)＝x2－x－2. 依题意，f(x)＝x2＋x－2在[0，＋∞)上单调递增， 则f(m＋1)<f(2－m)⇔f(|m＋1|)<f(|2－m|)⇔|m＋1|<|m－2|，解得m<， 所以实数m的取值范围是(－∞，). (2)－8　(－∞，－2)∪(2，＋∞) 根据题意，f(x)的定义域为R，关于原点对称． 又任意实数x，y恒有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，取x＝y＝0，则f(0＋0)＝2f(0)，所以f(0)＝0. 取y＝－x，则f(x－x)＝f(x)＋f(－x)＝f(0)＝0， 所以f(－x)＝－f(x)对任意x∈R恒成立，所以f(x)为奇函数． 任取x1，x2∈(－∞，＋∞)且x1<x2， 则x2－x1>0，f(x2)＋f(－x1)＝f(x2－x1)<0， 所以f(x2)<－f(－x1)， 又f(x)为奇函数，所以f(x1)>f(x2). 故f(x)为R上的减函数． 因为x∈[－2，4]，所以f(x)≥f(4)， 因为f(4)＝2f(2)＝4f(1)＝－4×f(－1)＝－8， 故f(x)在[－2，4]上的最小值为－8. 因为f(x)在[－1，1]上是减函数， 所以f(x)≤f(－1)＝2. 因为f(x)<m2－2am＋2对所有x∈[－1，1]，a∈[－1，1]恒成立， 所以m2－2am＋2>2对∀a∈[－1，1]恒成立， 即m2－2am>0对∀a∈[－1，1]恒成立． 令g(a)＝－2am＋m2， 则即解得m<－2或m>2. 所以实数m的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞). (1)奇偶性与单调性常综合进行考查，求解的关键是利用奇偶性变成f(M)<f(N)(或f(M)>f(N))的形式，再利用单调性进行处理． (2)掌握以下结论，会给解决此类问题带来方便： ①f(x)为偶函数⇔f(x)＝f(|x|)；f(x)为奇函数⇔f(x)＝－f(－x). ②若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0. ③奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反． 变式探究 7．已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，满足对∀x1，x2∈[0，＋∞)，其中x1≠x2，都有(x1－x2)[x1f(x1)－x2f(x2)]>0，且f(2)＝3，则不等式f(x)>的解集为____________. 解析：(－2，0)∪(2，＋∞)　因为(x1－x2)[x1f(x1)－x2f(x2)]>0，所以当x1<x2时，x1f(x1)<x2f(x2)， 令F(x)＝xf(x)，则F(x)＝xf(x)在[0，＋∞)上单调递增，又因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以F(x)是偶函数，且在(－∞，0)上单调递减． 因为f(2)＝3，所以F(－2)＝F(2)＝2f(2)＝6， f(x)>等价于 或 所以x>2或－2<x<0， 即不等式f(x)>的解集为(－2，0)∪(2，＋∞). 8．已知函数f(x)＝ex＋e-x(其中e是自然对数的底数)，若a＝f(21.5)，b＝f(40.8)，c＝f(log2)，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a<b<c B．c<a<b C．a<c<b D．b<a<c 解析：B　函数f(x)＝ex＋e-x是偶函数， f′(x)＝ex－e-x， 当x<0时，f′(x)<0，当x>0时，f′(x)>0，即函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增． 因为2log25＝log225<log232＝5，5<4＝22.5＝2×21.5， 所以2log25<5<2×21.5， 则log25<21.5<21.6＝40.8， 所以f(log2)＝f(－log25)＝f(log25)<f(21.5)<f(40.8)，即c<a<b.故选B. 考点4　奇偶性与周期性的综合应用 【例4】 (1)(多选)已知函数f(x)对∀x∈R都有f(x)＝f(x＋4)＋f(2)，若函数y＝f(x＋3)的图象关于直线x＝－3对称，且对∀x1，x2∈[0，2]，当x1≠x2时，都有(x2－x1)·[f(x2)－f(x1)]>0，则下列结论正确的是(　　) A．f(2)＝0 B．f(x)是偶函数 C．f(x)是周期为4的周期函数 D．f(3)<f(－4) (2)(2025·陕西渭南月考)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋3)＝－f(x)，g(x)＝f(x)－1为奇函数，则f(198)＝(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 解析：(1)ABC　因为y＝f(x＋3)的图象关于直线x＝－3对称，所以y＝f(x)的图象关于y轴对称，即f(x)是偶函数，B正确； 在f(x)＝f(x＋4)＋f(2)中，令x＝－2，得f(－2)＝2f(2)，又f(－2)＝f(2)，所以f(2)＝2f(2)，解得f(2)＝0，A正确； 又f(x)＝f(x＋4)＋f(2)，所以f(x)＝f(x＋4)，故f(x)是周期为4的周期函数，C正确； 对∀x1，x2∈[0，2]，当x1≠x2时，都有(x2－x1)[f(x2)－f(x1)]>0，故f(x)在[0，2]上单调递增，又f(x)是周期为4的周期函数，且f(x)是偶函数，故f(0)＝f(－4)，f(3)＝f(－1)＝f(1)，因为f(1)>f(0)，所以f(3)>f(－4)，D错误．故选ABC. (2)C　因为f(x＋3)＝－f(x)，所以f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，故f(x)的周期为6. 又因为g(x)＝f(x)－1为奇函数，所以g(x)＋g(－x)＝0，即f(x)－1＋f(－x)－1＝0， 即f(x)＋f(－x)＝2，令x＝0，则2f(0)＝2，即f(0)＝1. 所以f(198)＝f(6×33＋0)＝f(0)＝1，故选C. (1)解答奇偶性与周期性的综合问题，常需要利用化归与转化的思想，将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题． (2)注意掌握函数的奇偶性、对称性、周期性的常用结论： ①f(x)关于x＝a对称⇔f(x＋a)＝f(a－x)⇔f(x)＝f(2a－x)⇔f(x＋a)是偶函数． f(x)关于(a，0)对称⇔f(x＋a)＝－f(a－x)⇔f(x)＝－f(2a－x)⇔f(x＋a)是奇函数． ②若对于函数f(x)的定义域内的任一x都有f(x＋a)＝－f(x)或f(x＋a)＝或f(x＋a)＝－(a是常数，且a≠0)，则f(x)是一个周期为2|a|的周期函数． 若f(x＋a)＝f(x＋b)(a≠b)，则f(x)是以T＝|a－b|为周期的周期函数． 变式探究 9．(2024·山东济南二模)已知函数f(x)的定义域为R，若f(－x)＝－f(x)，f(1＋x)＝f(1－x)，则f(2024)＝(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：A　因为f(1＋x)＝f(1－x)，所以f(1＋(1＋x))＝f(1－(1＋x))，即f(2＋x)＝f(－x). 又f(－x)＝－f(x)，函数f(x)的定义域为R， 所以f(x)是定义域为R的奇函数， 所以f(0)＝0，f(x)＝－f(2＋x)， 所以f(2＋x)＝－f(4＋x)， 故f(x)＝－f(2＋x)＝f(4＋x)， 所以f(x)是以4为周期的周期函数， 所以f(2024)＝f(506×4＋0)＝f(0)＝0.故选A. 10．(2025·福建厦门期中)已知定义在R上的函数f(x)满足：①f(x＋2)＝f(x)；②f(x－2)为奇函数；③当x∈[0，1)时，>0(x1≠x2)恒成立．则f(－)，f(4)，f()的大小关系正确的是(　　) A．f(－)>f(4)>f() B．f(－)>f()>f(4) C．f()>f(4)>f(－) D．f(4)>f()>f(－) 解析：A　由f(x＋2)＝f(x)可得f(x)的周期为2. 因为f(x－2)为奇函数，则f(－x－2)＝－f(x－2)， 又因为f(x)的周期为2， 所以f(－x)＝－f(x)，即f(x)为奇函数． 因为x∈[0，1)时，>0， 所以f(x)在x∈[0，1)上单调递增． 因为f(x)为奇函数，所以f(x)在(－1，0]上单调递增，所以f(x)在(－1，1)上单调递增， 因为f(x)的周期为2， f(－)＝f(－＋2×4)＝f()，f(4)＝f(0)， f()＝f(－2×3)＝f(－)， 所以f()>f(0)>f(－)， 即f(－)>f(4)>f().故选A. 学科网（北京）股份有限公司 $