第11讲指数与指数函数讲义-2026届高三数学一轮复习

第11讲　指数与指数函数 课前必备知识 课标要求 1.了解指数函数模型的实际背景.2.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算法则.3.通过实例，了解指数函数的实际意义，了解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，能画出指数函数图象． 知识梳理 1．指数 (1)n次方根的定义 如果__xn＝a__，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*，“”是方根的记号． 在实数范围内，正数的奇次方根是一个__正数__，负数的奇次方根是一个__负数__，0的奇次方根是0；正数的偶次方根是两个绝对值相等且符号相反的数，0的偶次方根是0，负数没有偶次方根． (2)方根的性质 ①当n为奇数时，＝　a　； ②当n为偶数时，＝　|a|　＝　　. (3)分数指数幂的意义 ①a＝　　(a>0，m，n∈N*，n>1)； ②a－＝　＝　(a>0，m，n∈N*，n>1)． (4)实数指数幂的运算性质：如果a>0，b>0，r，s∈R，那么 ①aras＝__ar＋s__； ②(ar)s＝__ars__； ③(ab)r＝__arbr__． 2．指数函数 (1)指数函数的定义 一般地，函数__y＝ax(a>0，且a≠1)__叫做指数函数． (2)指数函数的图象 (3)指数函数的性质 ①定义域：__R__． ②值域：__(0，＋∞)__． ③图象过点__(0，1)__． ④当__a>1__时，y＝ax在R上是增函数； 当__0<a<1__时，y＝ax在R上是减函数． 常用结论 1．指数y＝ax(a>0，且a≠1)与y＝()x的图象关于y轴对称． 2．指数函数y＝ax的底数a>1时，a越大，增长越快，图象在y轴右边越靠近y轴(y>1时)；0<a<1时，a越小，图象在y轴左边越靠近y轴(y>1时). 课前训练 1．函数f(x)＝ax-1－2(a>0，且a≠1)的图象过定点(　　) A．(0，－2) B．(0，－1) C．(1，－2) D．(1，－1) 解析：D　依题意，因为f(x)＝ax-1－2(a>0，且a≠1)，所以令x－1＝0，解得x＝1， 所以f(1)＝a1-1－2＝a0－2＝1－2＝－1， 所以函数f(x)＝ax-1－2(a>0，且a≠1)的图象过定点(1，－1).故选D. 2．化简·的结果为(　　) A．－ B．－ C． D． 解析：A　由题意，可知a≥0，所以·＝(－a)·a＝－a·a＝－a＋＝－a＝－.故选A. 3．(2023·新课标Ⅰ卷)设函数f(x)＝2x(x-a)在区间(0，1)上单调递减，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，－2] B．[－2，0) C．(0，2] D．[2，＋∞) 解析：D　设t＝x(x－a)，易知函数y＝2t是增函数．因为f(x)＝2x(x-a)在(0，1)上单调递减，所以由复合函数的单调性可知函数t＝x(x－a)在(0，1)上单调递减．因为函数t＝x(x－a)在(－∞，)上单调递减，所以≥1，即a≥2.故选D. 4．(2023·天津卷)若a＝1.010.5，b＝1.010.6，c＝0.60.5，则a，b，c的大小关系为(　　) A．c>a>b B．c>b>a C．a>b>c D．b>a>c 解析：D　由y＝1.01x在R上单调递增，则a＝1.010.5<b＝1.010.6.由y＝x0.5在[0，＋∞)上单调递增，则a＝1.010.5>c＝0.60.5.所以b>a>c.故选D. 5．(2024·北京房山一模)若对任意m，n∈R，函数f(x)满足f(m)f(n)＝f(m＋n)，且当m>n时，都有f(m)<f(n)，则函数f(x)的一个解析式是____________________． 解析：f(x)＝()x(答案不唯一) 由题意，可取f(x)＝()x，函数f(x)＝()x是减函数，满足m>n时，都有f(m)<f(n)， 因为f(m)f(n)＝()m·()n＝()m＋n＝f(m＋n)，所以函数f(x)＝()x满足题意． 课堂核心考点 考点1　指数幂的运算 【例1】 (1)化简与求值：(－3)-＋0.002-－10(－2)-1＋(－)0. (2)(教材母题必修4.2.1问题2改编)常用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减情况，这个时间被称作半衰期，记为T(单位：天).铅制容器中有甲、乙两种放射性物质，其半衰期分别为T1，T2.开始记录时，这两种物质的质量相等，512天后测量发现乙的质量为甲的质量的，则T1，T2满足的关系式为(　　) A．－2＋＝ B．2＋＝ C．－2＋log2＝log2 D．2＋log2＝log2 解析：(1)原式＝(－)-＋()-－＋1 ＝[(－)3]-＋500－10(＋2)＋1 ＝＋10－10－20＋1＝－. (2)B　设开始记录时，甲、乙两种物质的质量均为1，则512天后，甲的质量为()，乙的质量为()，由题意可得()＝·()＝()2＋，所以2＋＝.故选B. 指数幂运算的一般原则： (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数． (3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数，先化成假分数． (4)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又有负指数． 变式探究 1．(教材母题必修习题4.1T4改编)化简：(a>0，b>0)＝________． 解析： ＝＝a-b- ＝ab-1＝. 2．(2024·黑龙江哈尔滨一模)酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：100 mL血液中乙醇含量达到20～79 mg的驾驶员即为酒后驾车，80 mg及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的乙醇含量上升到了0.6 mg/mL.如果停止喝酒以后，他血液中乙醇含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶？(结果取整数，参考数据：lg 3≈0.48，lg 7≈0.85)(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：D　设经过x个小时才能驾驶， 则0.6×100×(1－30%)x<20，即0.7x<. 由于y＝0.7x在定义域上单调递减， 则x>log0.7＝＝≈＝＝3.2. 故他至少经过4小时才能驾驶．故选D. 考点2　指数函数的图象及应用 【例2】 (1)(2025·宁夏银川阶段练习)已知函数f(x)＝|3x－1|，a<b<c，且f(a)>f(c)>f(b)，则(　　) A．a<0，b<0，c<0 B．a<0，b≥0，c>0 C．3-a<3c D．3a＋3c<2 (2)已知实数a，b满足等式()a＝()b，给出下列五个关系式：①0<b<a；②a<b<0；③0<a<b；④b<a<0；⑤a＝b.其中不可能成立的关系式有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解析：(1)D　令f(x)＝|3x－1|＝1，解得x＝log32，画出f(x)＝|3x－1|的图象如图所示． 由于a<b<c，且f(a)>f(c)>f(b)， 由图可知：a<0，0<c<log32，b的值可正可负也可为0，A、B错误． 当a＝－2，b＝0，c＝时，f(－2)＝|－1|＝，f(0)＝0，f()＝－1， 满足f(a)>f(c)>f(b)，3-a＝32＝9>3，C错误． f(a)＝|3a－1|＝1－3a，f(c)＝|3c－1|＝3c－1， f(a)>f(c)，1－3a>3c－1，所以3a＋3c<2，D正确．故选D. (2)B　画出函数y＝()x与y＝()x的图象如图所示． 当x<0时，y＝()x的图象在y＝()x的图象下方，当x>0时，y＝()x的图象在y＝()x的图象上方． 当a<0，b<0时，()a＝()b，则a<b<0，当a＝b＝0时，()a＝()b成立， 当a>0，b>0时，()a＝()b，则a>b>0，故③0<a<b，④b<a<0不成立．故选B. (1)对于指数型复合函数的图象问题，要注意寻找它与最基本的指数函数图象之间的关系．利用图象的变换(如平移、伸缩、对称、翻折等)作出图象，需要特别注意底数a>1和0<a<1两种情况． (2)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解． (3)方程f(x)＝g(x)解的个数常转化为函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象的交点个数． 变式探究 3．(2025·黑龙江质检)已知函数y＝a()|x|＋b的图象经过原点，且无限接近直线y＝2，但又不与该直线相交，则ab＝(　　) A．－1 B．－2 C．－4 D．－9 解析：C　因为函数y＝f(x)＝a()|x|＋b的图象过原点，所以a()0＋b＝0，得a＋b＝0，又该函数图象无限接近直线y＝2，且不与该直线相交，所以b＝2，则a＝－2，所以ab＝－4.故选C. 4．(2025·河南安阳期末)已知函数f(x)＝ax是指数函数，函数g(x)＝x2－2ax，则f(x)与g(x)在同一坐标系中的图象可能为(　　) 　　 解析：C　当a>1时，y＝ax为增函数，g(x)＝x2－2ax的图象的对称轴为直线x＝a(a>1)，A错误，C正确； 当0<a<1时，y＝ax为减函数，g(x)＝x2－2ax的图象的对称轴为直线x＝a(0<a<1)，B、D错误．故选C. 5．(2024·浙江模拟)已知函数f(x)＝3·2x＋2，对于任意的x2∈[0，1]，都存在x1∈[0，1]，使得f(x1)＋2f(x2＋m)＝13成立，则实数m的取值范围为____________． 解析：[log2，log2] 因为f(x1)∈[5，8]， 所以∈[，4]， 所以f(x2＋m)＝3·2x2＋m＋2∈[3·2m＋2，3·21+m＋2]， 由题意得⇒⇒log2≤m≤log2. 考点3　指数函数的性质的应用 【例3】 (1)设函数f(x)＝若f(1)是函数f(x)的最大值，则实数a的取值范围为__________. (2)(2024·全国模拟预测)已知函数f(x)＝3x-2－32-x，则满足f(x)＋f(8－3x)>0的x的取值范围是(　　) A．(－∞，4) B．(－∞，2) C．(2，＋∞) D．(－2，2) 解析：(1)[1，2] 因为f(x)＝ 当x>1时，f(x)＝－x＋1，函数单调递减且f(x)<. 当x≤1时，f(x)＝2-|x-a|＝()|x-a|，可得在x>a时，函数单调递减，在x<a时，函数单调递增． 若a<1，x≤1，则f(x)在x＝a处取得最大值，不符合题意； 若a≥1，x≤1，则f(x)在x＝1处取得最大值，且()a-1≥，解得1≤a≤2. 综上可得，实数a的取值范围是[1，2]. (2)B　设g(x)＝3x－3-x，x∈R， 则g(－x)＝3-x－3x＝－g(x)，所以g(x)为奇函数． 又f(x)＝3x-2－32-x＝3x-2－3-(x-2)＝g(x－2)， 则f(x)的图象是由g(x)的图象向右平移2个单位长度得到的， 所以f(x)图象的对称中心为(2，0)，所以f(x)＋f(4－x)＝0. 因为y＝3x在R上单调递增，y＝3-x在R上单调递减， 所以g(x)在R上单调递增， 则f(x)在R上单调递增， 因为f(x)＋f(8－3x)>0＝f(x)＋f(4－x)， 所以f(8－3x)>f(4－x)，所以8－3x>4－x，解得x<2， 故满足f(x)＋f(8－3x)>0的x的取值范围为(－∞，2).故选B. 指数函数的性质及应用问题的解题策略 (1)比较大小问题．常利用指数函数的单调性及中间值(0或1)法． (2)简单的指数方程或不等式的求解问题．解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论． (3)解决指数函数的综合问题时，要把指数函数的概念和性质同函数的其他性质(如奇偶性、周期性)相结合，同时要特别注意底数不确定时，对底数的分类讨论． 变式探究 6．(教材母题必修4.2.2例3改编)设y1＝40.8，y2＝80.7，y3＝4，则y1，y2，y3的大小关系为(　　) A．y3>y1>y2 B．y2>y1>y3 C．y1>y3>y2 D．y1>y2>y3 解析：B　y1＝40.8＝(22)0.8＝21.6， y2＝80.7＝(23)0.7＝22.1，y3＝4＝(22)＝21.5. 因为22.1>21.6>21.5，故y2>y1>y3.故选B. 7．设函数y＝f(x)在(－∞，＋∞)内有定义，对于给定的正数K，定义函数fK(x)＝取函数f(x)＝2-|x|.当K＝时，函数fK(x)的单调递增区间为(　　) A．(－∞，0) B．(0，＋∞) C．(－∞，－1) D．(1，＋∞) 解析：C　当K＝时，由f(x)＝2-|x|＞，得－1＜x＜1，由f(x)＝2-|x|≤，得x≤－1或x≥1，所以f(x)＝所以f(x)的单调递增区间为(－∞，－1).故选C. 8．(2024·甘肃兰州一模)已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且对于任意x均有f(x＋1)＋f(x－1)＝0，当0<x≤1时，f(x)＝2x－1，若f(ln (ea))>f(ln a)(e是自然对数的底数)，则实数a的取值范围是(　　) A．e-1+2k<a<e1+2k(k∈Z) B．e-＋k<a<e+2k(k∈Z) C．e-1+4k<a<e1+4k(k∈Z) D．e-+4k<a<e+4k(k∈Z) 解析：D　因为y＝f(x)是定义在R上的奇函数， 所以f(0)＝0且图象关于原点对称， 又f(x＋1)＋f(x－1)＝0， 所以f(x＋1)＝－f(x－1)＝f(1－x)， 所以f(x＋4)＝f[1－(x＋3)]＝－f(2＋x)＝－f[1－(x＋1)]＝－f(－x)＝f(x)， f(－1＋x)＝f(3＋x)＝f[1－(2＋x)]＝f(－1－x)， f(2＋x)＝f(－2＋x)＝－f(2－x)， 所以函数的周期为4且函数图象关于直线x＝1＋2k(k∈Z)和(2k，0)(k∈Z)对称， 又当0<x≤1时，f(x)＝2x－1， 所以f(x)在区间[－2，2]上的图象如图所示． 由图可知，在[－2，2]内要满足f(ln (ea))＝f(1＋ln a)>f(ln a)， 则－<ln a<，即e-<a<e， 再根据函数的周期性可知e-+4k<a<e+4k(k∈Z).故选D. 函数的新定义问题 【典例剖析】 设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数．例如：[2.1]＝2，[－3.1]＝－4.已知函数f(x)＝，则[f(－1)]＝__________，函数y＝[f(x)]的值域为________________． 解析：1　{0，1，2} 因为f(x)＝＝(＋1)，所以[f(－1)]＝[]＝1. 又因为2x+1>0，则1＋2x+1>1，可得0<<1，所以f(x)∈(，3)， 若f(x)∈(，1)，[f(x)]＝0；若f(x)∈[1，2)，[f(x)]＝1；若f(x)∈[2，3)，[f(x)]＝2. 综上所述，函数y＝[f(x)]的值域为{0，1，2}． 函数新定义问题，命题新颖，常常考虑函数的性质，包括单调性、奇偶性、值域等，且存在知识点交叉，会和导函数、数列等知识进行结合，很好地考虑了知识迁移、综合运用能力，对于此类问题，一定要解读出题干中的信息，正确理解问题的本质，转化为熟悉的问题进行解决． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11讲　指数与指数函数 课前必备知识 课标要求 1.了解指数函数模型的实际背景.2.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算法则.3.通过实例，了解指数函数的实际意义，了解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，能画出指数函数图象． 知识梳理 1．指数 (1)n次方根的定义 如果__xn＝a__，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*，“”是方根的记号． 在实数范围内，正数的奇次方根是一个__正数__，负数的奇次方根是一个__负数__，0的奇次方根是0；正数的偶次方根是两个绝对值相等且符号相反的数，0的偶次方根是0，负数没有偶次方根． (2)方根的性质 ①当n为奇数时，＝　a　； ②当n为偶数时，＝　|a|　＝　　. (3)分数指数幂的意义 ①a＝　　(a>0，m，n∈N*，n>1)； ②a－＝　＝　(a>0，m，n∈N*，n>1)． (4)实数指数幂的运算性质：如果a>0，b>0，r，s∈R，那么 ①aras＝__ar＋s__； ②(ar)s＝__ars__； ③(ab)r＝__arbr__． 2．指数函数 (1)指数函数的定义 一般地，函数__y＝ax(a>0，且a≠1)__叫做指数函数． (2)指数函数的图象 (3)指数函数的性质 ①定义域：__R__． ②值域：__(0，＋∞)__． ③图象过点__(0，1)__． ④当__a>1__时，y＝ax在R上是增函数； 当__0<a<1__时，y＝ax在R上是减函数． 常用结论 1．指数y＝ax(a>0，且a≠1)与y＝()x的图象关于y轴对称． 2．指数函数y＝ax的底数a>1时，a越大，增长越快，图象在y轴右边越靠近y轴(y>1时)；0<a<1时，a越小，图象在y轴左边越靠近y轴(y>1时). 课前训练 1．函数f(x)＝ax-1－2(a>0，且a≠1)的图象过定点(　　) A．(0，－2) B．(0，－1) C．(1，－2) D．(1，－1) 2．化简·的结果为(　　) A．－ B．－ C． D． 3．(2023·新课标Ⅰ卷)设函数f(x)＝2x(x-a)在区间(0，1)上单调递减，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，－2] B．[－2，0) C．(0，2] D．[2，＋∞) 4．(2023·天津卷)若a＝1.010.5，b＝1.010.6，c＝0.60.5，则a，b，c的大小关系为(　　) A．c>a>b B．c>b>a C．a>b>c D．b>a>c 5．(2024·北京房山一模)若对任意m，n∈R，函数f(x)满足f(m)f(n)＝f(m＋n)，且当m>n时，都有f(m)<f(n)，则函数f(x)的一个解析式是____________________． 课堂核心考点 考点1　指数幂的运算 【例1】 (1)化简与求值：(－3)-＋0.002-－10(－2)-1＋(－)0. (2)(教材母题必修4.2.1问题2改编)常用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减情况，这个时间被称作半衰期，记为T(单位：天).铅制容器中有甲、乙两种放射性物质，其半衰期分别为T1，T2.开始记录时，这两种物质的质量相等，512天后测量发现乙的质量为甲的质量的，则T1，T2满足的关系式为(　　) A．－2＋＝ B．2＋＝ C．－2＋log2＝log2 D．2＋log2＝log2 指数幂运算的一般原则： (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数． (3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数，先化成假分数． (4)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又有负指数． 变式探究 1．(教材母题必修习题4.1T4改编)化简：(a>0，b>0)＝________． 2．(2024·黑龙江哈尔滨一模)酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：100 mL血液中乙醇含量达到20～79 mg的驾驶员即为酒后驾车，80 mg及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的乙醇含量上升到了0.6 mg/mL.如果停止喝酒以后，他血液中乙醇含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶？(结果取整数，参考数据：lg 3≈0.48，lg 7≈0.85)(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 考点2　指数函数的图象及应用 【例2】 (1)(2025·宁夏银川阶段练习)已知函数f(x)＝|3x－1|，a<b<c，且f(a)>f(c)>f(b)，则(　　) A．a<0，b<0，c<0 B．a<0，b≥0，c>0 C．3-a<3c D．3a＋3c<2 (2)已知实数a，b满足等式()a＝()b，给出下列五个关系式：①0<b<a；②a<b<0；③0<a<b；④b<a<0；⑤a＝b.其中不可能成立的关系式有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 (1)对于指数型复合函数的图象问题，要注意寻找它与最基本的指数函数图象之间的关系．利用图象的变换(如平移、伸缩、对称、翻折等)作出图象，需要特别注意底数a>1和0<a<1两种情况． (2)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解． (3)方程f(x)＝g(x)解的个数常转化为函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象的交点个数． 变式探究 3．(2025·黑龙江质检)已知函数y＝a()|x|＋b的图象经过原点，且无限接近直线y＝2，但又不与该直线相交，则ab＝(　　) A．－1 B．－2 C．－4 D．－9 4．(2025·河南安阳期末)已知函数f(x)＝ax是指数函数，函数g(x)＝x2－2ax，则f(x)与g(x)在同一坐标系中的图象可能为(　　) 　　 5．(2024·浙江模拟)已知函数f(x)＝3·2x＋2，对于任意的x2∈[0，1]，都存在x1∈[0，1]，使得f(x1)＋2f(x2＋m)＝13成立，则实数m的取值范围为____________． 考点3　指数函数的性质的应用 【例3】 (1)设函数f(x)＝若f(1)是函数f(x)的最大值，则实数a的取值范围为__________. (2)(2024·全国模拟预测)已知函数f(x)＝3x-2－32-x，则满足f(x)＋f(8－3x)>0的x的取值范围是(　　) A．(－∞，4) B．(－∞，2) C．(2，＋∞) D．(－2，2) 指数函数的性质及应用问题的解题策略 (1)比较大小问题．常利用指数函数的单调性及中间值(0或1)法． (2)简单的指数方程或不等式的求解问题．解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论． (3)解决指数函数的综合问题时，要把指数函数的概念和性质同函数的其他性质(如奇偶性、周期性)相结合，同时要特别注意底数不确定时，对底数的分类讨论． 变式探究 6．(教材母题必修4.2.2例3改编)设y1＝40.8，y2＝80.7，y3＝4，则y1，y2，y3的大小关系为(　　) A．y3>y1>y2 B．y2>y1>y3 C．y1>y3>y2 D．y1>y2>y3 7．设函数y＝f(x)在(－∞，＋∞)内有定义，对于给定的正数K，定义函数fK(x)＝取函数f(x)＝2-|x|.当K＝时，函数fK(x)的单调递增区间为(　　) A．(－∞，0) B．(0，＋∞) C．(－∞，－1) D．(1，＋∞) 8．(2024·甘肃兰州一模)已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且对于任意x均有f(x＋1)＋f(x－1)＝0，当0<x≤1时，f(x)＝2x－1，若f(ln (ea))>f(ln a)(e是自然对数的底数)，则实数a的取值范围是(　　) A．e-1+2k<a<e1+2k(k∈Z) B．e-＋k<a<e+2k(k∈Z) C．e-1+4k<a<e1+4k(k∈Z) D．e-+4k<a<e+4k(k∈Z) 函数的新定义问题 【典例剖析】 设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数．例如：[2.1]＝2，[－3.1]＝－4.已知函数f(x)＝，则[f(－1)]＝__________，函数y＝[f(x)]的值域为________________． 函数新定义问题，命题新颖，常常考虑函数的性质，包括单调性、奇偶性、值域等，且存在知识点交叉，会和导函数、数列等知识进行结合，很好地考虑了知识迁移、综合运用能力，对于此类问题，一定要解读出题干中的信息，正确理解问题的本质，转化为熟悉的问题进行解决． 学科网（北京）股份有限公司 $