第10讲幂函数与二次函数讲义-2026届高三数学一轮复习

幂函数与二次函数 课前必备知识 课标要求 1.了解幂函数的概念，结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x的图象和性质解决有关问题.2.了解指数幂的含义、掌握幂的运算.3.掌握二次函数的定义、解析式、图象与性质.4.会求二次函数在闭区间上的最值． 知识梳理 1．幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，函数__y＝xα__叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． (2)常见的5种幂函数的图象 (3)常见的5种幂函数的性质 解析式 定义域 值域 奇偶性 y＝x R R 奇 y＝x2 R [0，＋∞) 偶 y＝x3 R R 奇 y＝x [0，＋∞) [0，＋∞) 非奇非偶 y＝x-1 {x|x∈R，且x≠0} {y|y∈R，且y≠0} 奇 2.二次函数的三种表达式 (1)一般式：f(x)＝__ax2＋bx＋c(a≠0)__． (2)顶点式：若二次函数f(x)的顶点坐标为(k，h)，则其解析式为f(x)＝__a(x－k)2＋h__． (3)零点式：若二次函数的图象与x轴的交点坐标为(x1，0)，(x2，0)，则其解析式为f(x)＝__a(x－x1)(x－x2)__． 3．二次函数的图象和性质 解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c (a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c (a<0) 图象 定义域 R R 值域 [，＋∞) (－∞，] 增减性 在x∈__(－∞，－]__上单调递减，在x∈__[－， ＋∞)__上单调递增 在x∈__[－， ＋∞)__上单调递减， 在x∈__(－∞，－]__上单调递增 奇偶性 b＝0时为__偶函数__，b≠0时为__非奇非偶函数__ 对称性 图象关于直线x＝__－__成轴对称图形 a，b，c的 作用 a决定图象的__开口方向__，a与b决定对称轴的位置，c决定图象与y轴交点的位置，a，b，c决定图象的顶点 4.二次函数在闭区间上的最值 可利用二次函数的图象，结合二次函数在所给区间上的__单调性__进行分析求解． 常用结论 1．若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则 当时，恒有f(x)>0； 当时，恒有f(x)<0. 2．对二次函数f(x)＝a(x－k)2＋h(a＞0)在区间[m，n]上的最值问题，有以下结论： ①若k∈[m，n]，则ymin＝f(k)＝h，ymax＝max{f(m)，f(n)}． ②若k∉[m，n]， 当k＜m时，y＝f(x)在[m，n]上单调递增，ymin＝f(m)，ymax＝f(n)； 当k＞n时，y＝f(x)在[m，n]上单调递减，ymin＝f(n)，ymax＝f(m). 课前训练 ．(教材母题必修3.3练习T1)已知幂函数y＝f(x)的图象过点(2，)，则f()＝(　　) A．－ B． C．± D． 解析：B　设f(x)＝xα，所以2α＝，α＝，所以f(x)＝x，f()＝()＝.故选B. 2．(2025·江苏徐州一模)已知幂函数f(x)＝(m2＋2m－2)xm在(0，＋∞)上单调递减，则实数m的值为(　　) A．－3 B．－1 C．3 D．1 解析：A　由函数f(x)＝(m2＋2m－2)xm为幂函数，可得m2＋2m－2＝1， 即m2＋2m－3＝0，解得m＝－3或m＝1. 当m＝－3时，函数f(x)＝x-3在(0，＋∞)上单调递减，符合题意； 当m＝1时，函数f(x)＝x在(0，＋∞)上单调递增，不符合题意．故选A. 3．已知一元二次函数y＝x2－2x＋2，x∈(0，3)，则下列有关该函数的最值说法正确的为(　　) A．最小值为2，最大值为5 B．最小值为1，最大值为5 C．最小值为1，无最大值 D．无最值 解析：C　由已知函数图象对称轴是x＝1，函数在(0，1]上是减函数，在[1，3)上是增函数，因此x＝1时，函数取得最小值为1，但无最大值，故选C. 4．已知函数y＝ax2＋bx＋c，如果a>b>c且a＋b＋c＝0，则它的图象可能是(　　) 解析：A　由题意，函数y＝ax2＋bx＋c， 因为a＋b＋c＝0， 令x＝1，可得y＝a＋b＋c＝0， 即函数图象过点(1，0)， 又由a>b>c，可得a>0，c<0， 所以抛物线的开口向上，可排除B、D， 令x＝0，可得y＝c<0，可排除C.故选A. 5．(2024·全国模拟)已知二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝－4x－1，且f(0)＝－1.则f(x)的解析式是_____________． 解析：f(x)＝－2x2＋x－1 由f(0)＝－1， 设f(x)＝ax2＋bx－1(a≠0)， 由f(x＋1)－f(x)＝－4x－1， 则a(x＋1)2＋b(x＋1)－1－(ax2＋bx－1)＝－4x－1， 整理得2ax＋(a＋b)＝－4x－1， 则解得 所以f(x)＝－2x2＋x－1. 课堂核心考点 考点1　幂函数的图象与性质 【例1】 (1)(2024·四川南充二模)已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可能是(　　) A．y＝x B．y＝x- C．y＝x3 D．y＝x (2)如图是幂函数y＝xαi(αi＞0，i＝1，2，3，4，5)在第一象限内的图象，其中α1＝3，α2＝2，α3＝1，α4＝，α5＝，已知它们具有以下性质： ①都经过点(0，0)和(1，1)； ②在第一象限都是增函数． 请你根据图象写出它们在(1，＋∞)上的另外一个共同性质：_______________. 解析：(1)D　对于A，函数y＝x＝的定义域为[0，＋∞)，显然不符合题意，A错误； 对于B，函数y＝x-＝的定义域为(0，＋∞)，显然不符合题意，B错误； 对于C，函数y＝x3的定义域为R，又y＝x3为奇函数， 但是y＝x3在(0，＋∞)上函数是下凸递增，故不符合题意，C错误； 对于D，y＝x＝的定义域为R，又y＝x为奇函数， 且y＝x在(0，＋∞)上函数是上凸递增，D正确．故选D. (2)α越大函数增长越快(答案不唯一) 从幂函数的图象可知，它们在(0，＋∞)上的性质为①α越大函数增长越快．②图象从下往上α越来越大．③函数值都大于1.④α越大越远离x轴．⑤当α＞1时，图象下凸．⑥图象无最大值．⑦当指数互为倒数时，图象关于直线y＝x对称．⑧当α＞1时，图象在直线y＝x的上方；当0＜α＜1时，图象在直线y＝x的下方．从上面任取一个即可． (1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式． (2)在区间(0，1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴． (3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键． 变式探究 1．已知幂函数f(x)的图象过点(－8，－2)，且f(a＋1)≤－f(a－3)，则实数a的取值范围是____________. 解析：(－∞，1]　设f(x)＝xα， 则(－8)α＝－2，即α＝，所以f(x)＝x， 则f(x)在R上单调递增，且为奇函数， 所以f(a＋1)≤－f(a－3)＝f(3－a) ⇒a＋1≤3－a⇒a≤1. 2．(多选)已知函数f(x)＝xα(α∈R)，则(　　) A．函数f(x)的图象过点(1，－1) B．若函数f(x)的图象过点(－1，1)，则函数f(x)为偶函数 C．若函数f(x)的图象过点(－1，－1)，则函数f(x)为奇函数 D．当α>0时，∃x∈R，使得函数f()<f(1) 解析：BC　f(x)＝xα(α∈R)，则f(1)＝1α＝1，A错误； 函数f(x)的图象过点(－1，1)，则f(－1)＝(－1)α＝1，f(－x)＝(－x)α＝(－1)α·xα＝xα＝f(x)，即函数f(x)为偶函数，B正确； 若f(x)的图象过点(－1，－1)，则f(－1)＝(－1)α＝－1，f(－x)＝(－x)α＝(－1)α·xα＝－xα＝－f(x)，即函数f(x)为奇函数，C正确； 当α>0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，故f()>f(1)，D错误．故选BC. 考点2　二次函数的图象与性质 【例2】 (1)(2024·山东一模)已知二次函数f(x)满足f(0)＝－1，顶点为(1，－2)，则函数f(x)的解析式为____________________；若函数f(x)在区间[a－1，4]上单调递增，则实数a的取值范围是____________． (2)(多选)(2024·河北邯郸阶段练习)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，有以下结论： ①a＋b＋c>0；②a－b＋c<0；③abc>0；④b2>4ac；⑤－3<<－2. 下面的选项中所有序号结论全正确的是(　　) A．①②④ B．②③④ C．①④⑤ D．③④⑤ 解析：(1)f(x)＝x2－2x－1　[2，5) 设f(x)＝a(x－1)2－2，则由f(0)＝－1得a－2＝－1， 所以a＝1，所以f(x)＝(x－1)2－2＝x2－2x－1. 由于f(x)＝x2－2x－1，其图象的开口向上，对称轴为x＝1， 则若函数f(x)在区间[a－1，4]上单调递增， 需满足所以2≤a<5， 所以实数a的取值范围为[2，5). (2)AC　由图可知f(1)＝a＋b＋c>0，故结论①正确； 由图可知f(－1)＝a－b＋c<0，故结论②正确； 由图可知二次函数图象开口向下，所以a<0，且f(0)＝c>0，对称轴x＝－>1>0⇒b>0，所以abc<0，故结论③不正确； 由图可知二次函数图象与x轴有两个交点，所以Δ＝b2－4ac>0⇒b2>4ac，故结论④正确； 由图可知对称轴1<－<⇒－3<<－2，故结论⑤正确． 综上所述，所有序号结论正确的有①②④⑤.故选AC. 二次函数的单调性是以对称轴为分界线的，因此，讨论二次函数的单调性时，要抓住对称轴与所给定义域的关系． 变式探究 3．若函数f(x)＝|x2－(m－2)x＋1|在[－，]上单调，则实数m的取值范围为(　　) A．[，1]∪[3，] B．[，2]∪[3，] C．[－，1]∪[3，] D．[－，2]∪[3，] 解析：C　令g(x)＝x2－(m－2)x＋1， 则或 或或 解得3≤m≤或－≤m≤1，即实数m的取值范围为[－，1]∪[3，].故选C. 4．(多选)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于点A(－1，0)，顶点坐标为(1，n)，与y轴的交点在点(0，2)与(0，3)之间(包含端点)，则下列结论正确的是(　　) A．当x>3时，y<0 B．4a＋2b＋c＝0 C．－1≤a≤－ D．3a＋b>0 解析：AC　依题意知，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于点A(－1，0)，顶点坐标为(1，n)， 所以函数与x轴的另一交点为(3，0)，所以当x>3时，y<0，A正确； 当x＝2时，y＝4a＋2b＋c>0，B错误； 因为抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A(－1，0)，且a<0，所以a－b＋c＝0， 因为b＝－2a，所以a＋2a＋c＝0，所以3a＋c＝0，则c＝－3a， 因为2≤c≤3，所以2≤－3a≤3， 所以－1≤a≤－，C正确； 3a＋b＝3a－2a＝a<0，D错误．故选AC. 考点3　二次函数的最值问题 【例3】 (1)(2024·河南南阳模拟)二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1，则f(x)的解析式为____________________；若在区间[－1，1]上，函数y＝f(x)的图象恒在直线y＝m的上方，则实数m的取值范围为____________． (2)函数f(x)＝x2－2x＋2在区间[t，t＋1]上的最小值为g(t)，则g(t)的表达式为______________，g(t)的最小值为__________. 解析：(1)f(x)＝x2－x＋1　(－∞，) 由题意设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝1得c＝1， 由f(x＋1)－f(x)＝2x得a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c－ax2－bx－c＝2x，即2ax＋a＋b＝2x恒成立， 故解得 故f(x)＝x2－x＋1. 由题意在区间[－1，1]上，函数y＝f(x)的图象恒在直线y＝m的上方，即x2－x＋1>m在区间[－1，1]上恒成立， 由于f(x)＝x2－x＋1＝(x－)2＋，当x∈[－1，]时，f(x)单调递减；当x∈[，1]时，f(x)单调递增． 故当x∈[－1，1]时，f(x)min＝f()＝，故m<. (2)g(t)＝　1 f(x)＝(x－1)2＋1， 当t<0时，x＝1∉[t，t＋1]且在区间[t，t＋1]的右边，所以f(x)在[t，t＋1]上单调递减，所以g(t)＝f(t＋1)＝t2＋1，如图1；当0≤t≤1时，x＝1∈[t，t＋1]，所以g(t)＝f(1)＝1，如图2； 当t>1时，x＝1∉[t，t＋1]且在区间[t，t＋1]的左边，f(x)在[t，t＋1]上单调递增，所以g(t)＝(t－1)2＋1，如图3. 综上所述，g(t)＝ 故g(t)min＝1. (1)二元函数求最值时，求解的关键有两点：其一是二元函数化为一元函数；其二是确定x的取值范围． (2)一般地，对二次函数f(x)＝a(x－k)2＋h(a＞0)在区间[m，n]上的最值问题，有以下结论： ①若k∈[m，n]，则ymin＝f(k)＝h，ymax＝max{f(m)，f(n)}． ②若k∉[m，n]，当k＜m时，y＝f(x)在[m，n]上单调递增，ymin＝f(m)，ymax＝f(n)； 当k＞n时，y＝f(x)在[m，n]上单调递减，ymin＝f(n)，ymax＝f(m). (3)对于轴动或区间动的二次函数在闭区间上的最值问题，要注意抓住对称轴是否属于所给区间及二次函数的单调性进行分类讨论． 变式探究 5．(多选)若函数y＝x2－4x－4的定义域为[0，a)，值域为[－8，－4]，则正整数a的值可能是(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 解析：BC　函数y＝x2－4x－4的图象如图所示． 因为函数在[0，a)上的值域为[－8，－4]，结合图象可得2<a≤4，结合a是正整数，所以B、C正确．故选BC. 6．已知二次函数f(x)满足f(1)＝－9，且不等式f(x)＋3x<0的解集为(－1，4)，则f(x)的解析式为____________；若函数f(x)在x∈[0，t]时的值域为[－13，－4]，则实数t的取值范围为____________． 解析：f(x)＝x2－6x－4　[3，6] 因为f(x)为二次函数，所以f(x)＋3x<0为一元二次不等式，故可设f(x)＋3x＝a(x＋1)(x－4)， 所以f(x)＝ax2－3(a＋1)x－4a， 由f(1)＝－9，得－6a－3＝－9，所以a＝1， 所以f(x)＝x2－6x－4. 因为f(x)＝x2－6x－4＝(x－3)2－13， 所以当x＝3时，f(x)取最小值－13， 又由f(x)＝－4，得x＝0或x＝6，所以结合f(x)的对称性，可知3∈[0，t]，且t≤6，所以3≤t≤6， 所以实数t的取值范围为[3，6]. 7．(2025·北京模拟)已知函数f(x)＝|x2＋ax＋b|在区间[0，4]上的最大值为M，当实数a，b变化时，M的最小值为________． 解析：2　f(x)＝|x2－4x＋(a＋4)x＋b|＝|x2－4x－[－(a＋4)x－b]|， 上述函数可理解为当横坐标相同时，函数g(x)＝x2－4x，x∈[0，4]与函数h(x)＝－(a＋4)x－b，x∈[0，4]图象上点的纵向距离，则M即为函数g(x)＝x2－4x与函数h(x)＝－(a＋4)x－b图象上点的纵向距离的最大值，作出函数g(x)，h(x)图象，如图．由图易知，M的最小值为2. 学科网（北京）股份有限公司 $ 幂函数与二次函数 课前必备知识 课标要求 1.了解幂函数的概念，结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x的图象和性质解决有关问题.2.了解指数幂的含义、掌握幂的运算.3.掌握二次函数的定义、解析式、图象与性质.4.会求二次函数在闭区间上的最值． 知识梳理 1．幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，函数__y＝xα__叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． (2)常见的5种幂函数的图象 (3)常见的5种幂函数的性质 解析式 定义域 值域 奇偶性 y＝x R R 奇 y＝x2 R [0，＋∞) 偶 y＝x3 R R 奇 y＝x [0，＋∞) [0，＋∞) 非奇非偶 y＝x-1 {x|x∈R，且x≠0} {y|y∈R，且y≠0} 奇 2.二次函数的三种表达式 (1)一般式：f(x)＝__ax2＋bx＋c(a≠0)__． (2)顶点式：若二次函数f(x)的顶点坐标为(k，h)，则其解析式为f(x)＝__a(x－k)2＋h__． (3)零点式：若二次函数的图象与x轴的交点坐标为(x1，0)，(x2，0)，则其解析式为f(x)＝__a(x－x1)(x－x2)__． 3．二次函数的图象和性质 解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c (a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c (a<0) 图象 定义域 R R 值域 [，＋∞) (－∞，] 增减性 在x∈__(－∞，－]__上单调递减，在x∈__[－， ＋∞)__上单调递增 在x∈__[－， ＋∞)__上单调递减， 在x∈__(－∞，－]__上单调递增 奇偶性 b＝0时为__偶函数__，b≠0时为__非奇非偶函数__ 对称性 图象关于直线x＝__－__成轴对称图形 a，b，c的 作用 a决定图象的__开口方向__，a与b决定对称轴的位置，c决定图象与y轴交点的位置，a，b，c决定图象的顶点 4.二次函数在闭区间上的最值 可利用二次函数的图象，结合二次函数在所给区间上的__单调性__进行分析求解． 常用结论 1．若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则 当时，恒有f(x)>0； 当时，恒有f(x)<0. 2．对二次函数f(x)＝a(x－k)2＋h(a＞0)在区间[m，n]上的最值问题，有以下结论： ①若k∈[m，n]，则ymin＝f(k)＝h，ymax＝max{f(m)，f(n)}． ②若k∉[m，n]， 当k＜m时，y＝f(x)在[m，n]上单调递增，ymin＝f(m)，ymax＝f(n)； 当k＞n时，y＝f(x)在[m，n]上单调递减，ymin＝f(n)，ymax＝f(m). 课前训练 ．(教材母题必修3.3练习T1)已知幂函数y＝f(x)的图象过点(2，)，则f()＝(　　) A．－ B． C．± D． 2．(2025·江苏徐州一模)已知幂函数f(x)＝(m2＋2m－2)xm在(0，＋∞)上单调递减，则实数m的值为(　　) A．－3 B．－1 C．3 D．1 3．已知一元二次函数y＝x2－2x＋2，x∈(0，3)，则下列有关该函数的最值说法正确的为(　　) A．最小值为2，最大值为5 B．最小值为1，最大值为5 C．最小值为1，无最大值 D．无最值 4．已知函数y＝ax2＋bx＋c，如果a>b>c且a＋b＋c＝0，则它的图象可能是(　　) 5．(2024·全国模拟)已知二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝－4x－1，且f(0)＝－1.则f(x)的解析式是_____________． 课堂核心考点 考点1　幂函数的图象与性质 【例1】 (1)(2024·四川南充二模)已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可能是(　　) A．y＝x B．y＝x- C．y＝x3 D．y＝x (2)如图是幂函数y＝xαi(αi＞0，i＝1，2，3，4，5)在第一象限内的图象，其中α1＝3，α2＝2，α3＝1，α4＝，α5＝，已知它们具有以下性质： ①都经过点(0，0)和(1，1)； ②在第一象限都是增函数． 请你根据图象写出它们在(1，＋∞)上的另外一个共同性质：_______________. (1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式． (2)在区间(0，1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴． (3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键． 变式探究 1．已知幂函数f(x)的图象过点(－8，－2)，且f(a＋1)≤－f(a－3)，则实数a的取值范围是____________. 2．(多选)已知函数f(x)＝xα(α∈R)，则(　　) A．函数f(x)的图象过点(1，－1) B．若函数f(x)的图象过点(－1，1)，则函数f(x)为偶函数 C．若函数f(x)的图象过点(－1，－1)，则函数f(x)为奇函数 D．当α>0时，∃x∈R，使得函数f()<f(1) 考点2　二次函数的图象与性质 【例2】 (1)(2024·山东一模)已知二次函数f(x)满足f(0)＝－1，顶点为(1，－2)，则函数f(x)的解析式为____________________；若函数f(x)在区间[a－1，4]上单调递增，则实数a的取值范围是____________． (2)(多选)(2024·河北邯郸阶段练习)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，有以下结论： ①a＋b＋c>0；②a－b＋c<0；③abc>0；④b2>4ac；⑤－3<<－2. 下面的选项中所有序号结论全正确的是(　　) A．①②④ B．②③④ C．①④⑤ D．③④⑤ 变式探究 3．若函数f(x)＝|x2－(m－2)x＋1|在[－，]上单调，则实数m的取值范围为(　　) A．[，1]∪[3，] B．[，2]∪[3，] C．[－，1]∪[3，] D．[－，2]∪[3，] 4．(多选)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于点A(－1，0)，顶点坐标为(1，n)，与y轴的交点在点(0，2)与(0，3)之间(包含端点)，则下列结论正确的是(　　) A．当x>3时，y<0 B．4a＋2b＋c＝0 C．－1≤a≤－ D．3a＋b>0 考点3　二次函数的最值问题 【例3】 (1)(2024·河南南阳模拟)二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1，则f(x)的解析式为____________________；若在区间[－1，1]上，函数y＝f(x)的图象恒在直线y＝m的上方，则实数m的取值范围为____________． (2)函数f(x)＝x2－2x＋2在区间[t，t＋1]上的最小值为g(t)，则g(t)的表达式为______________，g(t)的最小值为__________. 变式探究 5．(多选)若函数y＝x2－4x－4的定义域为[0，a)，值域为[－8，－4]，则正整数a的值可能是(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 6．已知二次函数f(x)满足f(1)＝－9，且不等式f(x)＋3x<0的解集为(－1，4)，则f(x)的解析式为____________；若函数f(x)在x∈[0，t]时的值域为[－13，－4]，则实数t的取值范围为____________． 7．(2025·北京模拟)已知函数f(x)＝|x2＋ax＋b|在区间[0，4]上的最大值为M，当实数a，b变化时，M的最小值为________． 学科网（北京）股份有限公司 $