2.5.1直线与圆的位置关系课后练习-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

课后训一点、直线与圆的位置关系一 日期：2025. 时长：50-60分钟/次 【题组一点与圆的位置关系】 1.(多选)下列各点中，不在圆(x-1)2+(y+2)2=25的外部的是() A.(0,2)B.(3,3) C.（-2,2) D.(4,1D 2.点P(0,3)与圆(x+a)2+(y-2)2=2a(0<a<1)的位置关系为(). A.点P在圆外B.点P在圆上 C.点P在圆内 D.与a的取值有关，无法确定 3.“k>2或k<-3”是“定点A(1,2)在圆x2+y2+kx+2y+k2-15=0的外部"的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【题组二直线与圆位置关系的判断】 4.直线4x-3y-1=0和圆x2+y2-18x+31=0的位置关系是（） A.相交 B.相离 C.相切 D.不确定 第1页 5.对任意实数k,圆C:x2+y2-6x-8y+12=0与直线1：kx-y-4k+3=0的位置关系是 () A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定 【题组三根据直线与圆位置关系求参数】 6.(1)若过点A3,0)的直线1与曲线(x-1)2+y2=1有公共点，则直线1斜率k的取值范围为 (2)己知圆C:(x-2)+(y-)=2(r>0),直线1：ax+y-2a+1=0,若直线1与圆C总有交点，则 的取值范围为 7.“4-V30<a<4+√30”是“直线1：2x-y=1与圆C:x2+y2+2ax-2y+3=0相离”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 第2页 8若直线！：y=x+b与曲线y=√1-x2有两个交点，则实数b的取值范围是() A.(-2,2 B.(1,V2 c., D.1] 9.直线1：x-my-1-3m=0与曲线C:x=2+V1-y2有两个交点，则m的取值范围是() A.(,4] B.[,) c.(,2] D.（0,) 【题组四圆的切线方程】 (点在圆上) 10.过点P(1,1)作圆E:x2+y2-4x+2y=0的切线，则切线方程为() A.x+y-2=0 B.2x+y-3=0 C.x-2y+1=0 D.2x-y-1=0 第3页 (点在圆外) 11.过点(-4,3)的圆(x+3)2+(y-1)2=1的切线方程为 12.(多选)一条光线从点A-2,3)射出，经x轴反射后，与圆C:(x-3)2+(y-2)2=1相切，则反射后光 线所在直线的方程可能是() A.3x-4y-1=0B.3x-4y-6=0C.4x-3y-1=0D.4x-3y-6=0 13.已知圆C:x2+y2=3,从点A(-2,0)观察点B(2,a),要使视线不被圆C挡住，则a的取值 范围是一· 第4页 【题组五切线长】 14.直线x+2y-6=0平分圆C:x2-4x+y2-2by+3+b2=0的周长，过点P(-1,-b)作 圆C的一条切线，切点为Q,则PQ=(） A.5 B.2W6 C.3 D.2W2 15.过直线x+y=5上的点作圆C:x2+y2-2x+4y-1=0的切线，则切线长的最小值为（） A.3V2 B.2W5 c.5 D.5 16.若P是直线！：4x-3y+12=0上一动点，过P作圆C:x2+y2-4x=0的两条切线，切点分别 为AB,则四边形PACB面积的最小值为() 第5页 A.2W5 B.45 c.2W5 D.45 17.若点P是圆C:x2+y2-2x=0上的动点，直线：x+y+1=0与x轴、y轴分别相交于M,N两点， 则∠PMN的最小值为() A哥 B. 6 c 【题组六切点弦及其方程】 18.过点P(-2,0)作圆x2+y2-4y=1的两条切线，设切点分别为A,B,则|AB|=() A c匣 D.5 2 19.如图，圆0：x2+y2=1,A为直线1：x+y=2上一动点，过点A向圆0引两条切线AP、AQ, 切点分别为P、Q,则线段PQ长度的最小值为 第6页 20.己知圆C:x2+y2-2x-4y-4=0外一点P(-4,-1),过点P作圆C的两条切线，切点分 别为A和B,则直线AB的方程为 【题组七相交弦的弦长及方程】 (求弦长) 21,直线：x+y-3=0被圆C:x2+y2-6x+8y-11=0截得的弦长为 (最短弦长) 22.(多选)已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=9,直线！：mx-y+1-2m=0,则下列说法正确 的是() 第7页 A.当m=0时，1被圆C截得的弦长为2√2 B.1恒过点(2,1) C.当1被圆C截得的弦长最大时，1的斜率为一1 D,1被圆C截得的弦长的最小值为2√万 (相交弦的直线方程) (中点弦)23.已知圆C的圆心为(1,0)，半径为5，若P(2,-1)为圆C的弦AB的中点，则直线 AB的方程是· (一般弦长) 24.已知过点(1,2)的直线1被圆x2+y2-2y-3=0截得的弦长为2W3,则直线1的方程为 25.己知圆C:(x-2)2+y2=4. (1)若直线1：y=x+b与圆C相切，求切线1的方程； 第8页 (2)若过点P(1,一1)的直线m与圆C相交于A、B两点，且△ABC为直角三角形，求直线m的方程. 【题组八圆上的点到直线定距离问题】 26.r=2是圆x+2)+(y-1)2=r2上恰有两个点到直线x+y-1=0的距离等于V2的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 27.若圆x2+y2+2x+10y+17=0上到直线1：3x+2y+t=0的距离等于1的点恰有3个，则 t=() A.13±2y13 B.13±2W11 C.13+2W13 D.13+2W11 第9页 28.已知圆C:x2+y2-4x-4y-10=0,直线1：x-y+c=0,若圆C上有四个不同的点到 直线1的距离为2√2，则c的取值范围是() A.[-22,2W2] B.（-22,2W2)C.[-2,2]D.(-2,2) 第10页 课后训—点、直线与圆的位置关系— 日期：2025. 时长：50-60分钟/次 【题组一 点与圆的位置关系】 1．（多选）下列各点中，不在圆的外部的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用给定的圆方程，把各选项中的点的坐标代入判断作答. 【详解】对于A，，点在圆内； 对于B，，点在圆外； 对于C，，在圆上； 对于D，，在圆内. 故选：ACD 2．点与圆（）的位置关系为（   ）. A．点在圆外 B．点在圆上 C．点在圆内 D．与的取值有关，无法确定 【答案】A 【分析】求出点与圆心的距离，和半径比较即可判断位置关系. 【详解】圆（）的圆心为，半径为. 因为点与圆心的距离为，且， 所以，故， 所以点在圆（）外. 故选：A. 3．“或”是“定点在圆的外部”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由定点在圆的外部得，求得k的取值范围，结合充分,必要条件的意义可得结论. 【详解】定点在圆的外部， ，化简得， k的取值范围：或， 所以或”是“定点在圆的外部”的必要不充分条件. 故选：B. 【题组二 直线与圆位置关系的判断】 4．直线和圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相离 C．相切 D．不确定 【答案】A 【分析】化圆的方程为标准方程，求出圆心坐标与半径，再由点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，则答案可求． 【详解】解：化为标准式为 圆心坐标为，半径 则圆心到直线的距离为 因为即 故直线与圆相交 故选： 5．对任意实数k，圆：与直线：的位置关系是（ ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 【答案】A 【分析】首先求出直线过定点，再判断点与圆的位置关系，即可判断； 【详解】解：∵直线的方程，整理得， 令，解得 ∴直线过定点， ∵圆的方程为，整理得 ∴圆的圆心，半径， ∴圆心到定点的距离为： ∴直线与圆的位置关系是相交 故选：A 【题组三 根据直线与圆位置关系求参数】 6．（1）若过点的直线l与曲线有公共点，则直线l斜率k的取值范围为______． 【答案】 【分析】设直线的斜率为，由点斜式写出过点的直线的方程，由圆心到直线的距离小于等于半径列式求解的范围即可． 【详解】解：依题意直线的斜率存在，设直线的斜率为，则过点的直线的方程为，即． 圆的圆心坐标为，半径为1， 则，解得． 故答案为：． （2）已知圆：，直线，若直线与圆总有交点，则的取值范围为______ 【答案】 【详解】由l方程知，则l过定点， 若l与圆C总有交点，则点M在圆内或圆上. 又因为圆C的圆心坐标为，半径为r， 则，即r的取值范围为. 故答案为： 7．“”是“直线与圆相离”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据直线和圆相离求得参数a的取值范围，比较该范围和的关系，即可判断出答案. 【详解】将配方，即， 表示圆需满足， 所以或，其圆心为，半径为， 因为直线与圆相离， 故圆心到直线的距离，解得， 结合或可得或， （） 则成立推不出直线与圆相离； 反之成立，故“”是“直线与圆相离”的必要不充分条件， 故选：B 8.若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【分析】由题可知曲线表示一个半圆，然后利用数形结合即得. 【详解】由曲线得，表示以原点为圆心，半径为的上半圆， 当直线与半圆相切时，，则，此时直线为， 当直线过点时，，此时直线为， 要使直线与曲线有两个交点，则b的取值范围是． 故选：C． 9.直线与曲线有两个交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【分析】根据题意确定直线过定点，曲线是以为圆心，半径为1的半圆，借助数形结合确定直线与曲线有两个交点的临界状态，列出表达式求解即可. 【详解】由题意得，直线过定点， 曲线是以为圆心，半径为1的半圆（如图所示），曲线的下端点为. 要使直线与曲线有两个交点，则直线应位于直线和切线之间（可以与重合），此时直线的斜率存在， 且，即且圆心到直线的距离小于半径. 由得，由得，所以. 故选：B.    【题组四 圆的切线方程】 （点在圆上） 10．过点作圆：的切线，则切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】圆：，即，圆心为，半径， 又，所以点在圆上，且， 所以切线的斜率，所以切线方程为，即. 故选：C （点在圆外） 11．过点的圆的切线方程为 _________________． 【答案】或 【分析】根据切线斜率存在和不存在分类讨论，斜率存在时设直线方程，由圆心到切线距离等于半径求解． 【详解】当切线的斜率不存在时， 切线的方程为，圆心到该直线的距离等于半径1，符合题意， 当切线的斜率存在时， 设过点的切线方程为，即， ∵圆心到直线的距离等于半径， ∴，解得， ∴切线方程为， 综上所述，切线方程为或． 故答案为：或． 12．(多选)一条光线从点射出，经轴反射后，与圆相切，则反射后光线所在直线的方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】反射光线一定经过点关于轴的对称点，考虑斜率不存在和斜率存在两种情况，利用点到直线距离等于半径列出方程，求出斜率，得到答案. 【详解】点关于轴的对称点为，则反射光线一定经过点， 由于圆心为，半径为1， 若反射光线的斜率不存在，此时反射光线方程为，与圆无交点， 设反射光线的斜率为，则可得出反射光线为，即， 因为反射光线与圆相切，则圆心到反射光线的距离，即， 解得或，则反射直线的方程为或. 故选：.      13．已知圆，从点观察点，要使视线不被圆C挡住，则a的取值范围是______． 【答案】 【分析】先求过点的圆的切线，再求其与的交点可得a的取值范围. 【详解】设过点与圆相切的直线为， 则圆心（0，0）到直线的距离为，解得， 故切线方程为， 设两条切线分别与直线交于M，N（不妨令M在x轴上方）． 当点B位于点M上方或点N下方时，满足题意． 将代入，得，故点M的坐标为； 将代入，得，故点N的坐标为． 故a的取值范围是， 故答案为： 【题组五 切线长】 14．直线平分圆的周长，过点作圆的一条切线，切点为，则（    ） A．5 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】根据圆的性质，结合圆的切线的性质进行求解即可. 【详解】由， 所以该圆的圆心为，半径为， 因为直线平分圆的周长， 所以圆心在直线上，故， 因此，，所以有， 所以， 故选：B 15．过直线上的点作圆的切线，则切线长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】要切线长最小，就要直线上的点到圆心的距离最小，则此最小值为圆心到直线的距离，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，再利用勾股定理可求出切线长的最小值. 【详解】圆的圆心为，半径为， 因为圆心到直线的距离， 所以切线长最小值为. 故选：B 16．若是直线上一动点，过作圆的两条切线，切点分别为，则四边形面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合图象，将四边形的面积用表示出来，从而将求面积最小值转化成求的最小值，易得此最小值即点到直线的距离. 【详解】 如图，由可得，则其圆心为，半径. 因为直线与圆相切，所以，且， 则四边形面积， 又，则. 故当取最小值时，四边形面积取最小值， 由图象可得，取得的最小值即为点到直线的距离， 即， 故四边形面积的最小值为. 故选：B. 17．若点是圆上的动点，直线与轴、轴分别相交于，两点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出图形，分析可知当直线与圆相切，且切点位于轴下方时，取最小值，求出、的大小，可求得的最小值． 【详解】如下图所示：    直线的斜率为，倾斜角为，故， 圆的标准方程为，圆心为，半径为， 易知直线交轴于点，所以， 由图可知，当直线与圆相切，且切点位于轴下方时，取最小值， 由圆的几何性质可知，且，则， 故． 故选：A 【题组六 切点弦及其方程】 18．过点作圆的两条切线，设切点分别为，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件，得到圆心为，半径为，从而得到，，再利用等面积法，即可求出结果. 【详解】因为，即，故圆心为，半径为， 又，所以，故切线长， 由，得到， 故选：C. 19．如图，圆，为直线上一动点，过点向圆引两条切线、，切点分别为、，则线段长度的最小值为 . 【答案】 【分析】推导出，利用等面积法可得，分析可知，当的长度最小，只需使线段的长度最小，可知当时，取最小值，结合点到直线的距离公式可求得的最小值. 【详解】由切线长定理可得， 又因为，，则，所以，， 所以，， 则四边形的面积为，所以. 在中，，代入整理得， 要使线段的长度最小，只需使线段的长度最小， 而是圆心到直线上任意一点的距离， 故当且仅当时，即为圆心到直线的距离时，最小， 此时，则. 故答案为：. 20．已知圆外一点，过点作圆的两条切线，切点分别为和，则直线的方程为 . 【答案】 【分析】由二级结论：若点在圆外，过点引圆的两条切线，切点为，则切点弦(两切点的连线段)所在直线的方程为：（圆的方程为），代入即可的直线的方程 【详解】由题意，切点弦所在直线的方程为： ， 化简得：. 故答案为：. 【题组七 相交弦的弦长及方程】 （求弦长） 21．直线：被圆：截得的弦长为_____________. 【答案】 【分析】求出圆心和半径，再利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，然后利用半径，圆心距和弦的关系可求出弦长 【详解】由，得， 所以圆的圆心为，半径为6， 因为圆心到直线的距离为， 所以直线被圆截得的弦长为. 故答案为： （最短弦长） 22．（多选）已知圆，直线，则下列说法正确的是（   ） A．当时，被圆截得的弦长为 B．恒过点 C．当被圆截得的弦长最大时，的斜率为 D．被圆截得的弦长的最小值为 【答案】BCD 【分析】利用勾股定理可判断A选项；求出直线所过定点的坐标，可判断B选项；分析可知直线过圆心时，可得出直线的斜率，可判断C选项；分析可知，当时，被圆截得的弦长的最小值，求出弦长的最小值，结合勾股定理可判断D选项. 【详解】对于A选项，圆的圆心为，半径为， 当时，直线的方程为，则圆心到直线的距离为， 此时，被圆截得的弦长为，A错； 对于B选项，将直线的方程可化为， 由，解得，因此，恒过点，B对； 对于C选项，当被圆截得的弦长最大时，直线过圆心， 则，解得， 此时，直线的方程为，即，即直线的斜率为，C对； 对于D选项，记点，则， 当时，且直线的斜率为，此时，即当时， 圆心到直线距离取最大值，被圆截得的弦长取最小值，且 因为，弦长的最小值为，D对. 故选：BCD. （相交弦的直线方程） （中点弦） 23．已知圆C的圆心为，半径为5，若为圆C的弦AB的中点，则直线AB的方程是______． 【答案】 【分析】先求出直线的斜率，进而结合圆的性质可求出直线AB的斜率，从而根据点斜式即可得出结果. 【详解】因为，，所以，因此， 故直线AB的方程为，即， 故答案为；. （一般弦长） 24．已知过点的直线被圆截得的弦长为，则直线的方程为 ． 【答案】或 【分析】由题可求得圆心到直线的距离为1，讨论直线斜率是否存在，结合点到直线的距离公式求解即可. 【详解】圆的半径为2，弦长为圆心到直线的距离， 当直线斜率不存在时，直线的方程为，满足题意； 当直线斜率存在时，设直线的方程为， 由圆心到直线距离为1得，解得． 直线的方程为或． 故答案为：或 25．已知圆． (1)若直线与圆相切，求切线的方程； (2)若过点的直线与圆相交于、两点，且为直角三角形，求直线的方程. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）利用圆心到直线的距离等于圆的半径，可求出的值，由此可得出直线的方程； （2）求出圆心到直线的距离，对直线的斜率是否存在进行分类讨论，设出直线的方程，结合点到直线的距离公式可求出参数的值，即可得出直线的方程. 【详解】（1）由已知得圆心的坐标为，半径． 因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离， 即，解得或． 故直线的方程为或． （2）在直角中，因为，所以，则为等腰直角三角形， 因此直线与圆所截的弦长， 所以，圆心到直线的距离为， 显然，当直线垂直于轴时，直线的方程为，此时圆心到直线的距离为，不合乎题意； 所以，直线的斜率存在，设它的方程为，即， 所以， ，解得，则直线的方程为. 综上所述，直线的方程为.    【题组八 圆上的点到直线定距离问题】 26．是圆上恰有两个点到直线的距离等于的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【解题思路】首先计算圆心到直线的距离，再结合直线与圆的位置关系，以及充分，必要条件的定义，即可求解. 【解题思路】若，则圆心到直线的距离， 则圆上恰有两个点到直线的距离等于， 反过来，若圆上恰有两个点到直线的距离等于， 则，即或，不一定， 所以是圆上恰有两个点到直线的距离等于的充分不必要条件. 故选：A. 27．若圆上到直线的距离等于1的点恰有3个，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先把圆的方程整理为标准方程，然后根据圆的性质得到关于t的方程，解方程即可. 【详解】将圆化为标准方程得， 故圆的圆心坐标为，半径. 由圆上到直线的距离等于1的点恰有3个， 知圆心到直线的距离， 解得. 故选：A. 28．已知圆C：，直线l：，若圆C上有四个不同的点到直线l的距离为，则c的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用直线和圆的位置关系及点到直线的距离公式数形结合计算即可. 【详解】将圆C化成标准方程为，圆心，半径. 上图所示，使圆上有4个不同的点到直线的距离等于，则圆心到直线的距离小于， 所以圆心到直线的距离，即， 解得，所以实数的取值范围为. 故选：D. 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $