课后分层练(二十三)　直线与圆的位置关系-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套练习（人教A版）

[课后分层练(二十三)]　直线与圆的位置关系 (单选题、填空题每题5分，多选题每题6分，解答题每题15分) 【基础巩固】 1．已知圆(x－2)2＋(y＋3)2＝r2与y轴相切，则r＝(　　 ) A． B． C．2 D．3 解析：选C.由圆(x－2)2＋(y＋3)2＝r2的方程可得圆心的坐标为(2，－3)，再由圆与y轴相切，可得半径r＝2. 2．(2025·儋州高二检测)已知直线l：2x－y－2＝0被圆C：x2＋y2－2x＋4y＋m＝0截得的线段长为，则m＝(　　 ) A．2 B．4 C． D．5 解析：选B.由圆C的方程得圆心C(1，－2)，半径r＝＝， 因为圆心C到直线l的距离d＝＝，所以2＝2＝，解得m＝4. 3．“a<3”是“直线y＝x＋4与圆(x－a)2＋(y－3)2＝8相交”的(　　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选B.圆(x－a)2＋(y－3)2＝(2)2的圆心为(a，3)，半径为2. 若直线x－y＋4＝0与圆(x－a)2＋(y－3)2＝(2)2相交， 则<2，解得－5<a<3， 所以“a<3”是“直线y＝x＋4与圆(x－a)2＋(y－3)2＝8相交”的必要不充分条件． 4．(新背景)(2025·长沙高二期末)“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”．如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点P(x，y)是阴影部分(包部边界)的动点．则的最小值为(　　 ) A．－1 B．－ C．－ D．－ 解析：选B.表示点P(x，y)与点(2，0)连线的斜率， 故过点(2，0)且与以(0，1)为圆心，1为半径的半圆相切的一条切线的斜率最小，设切线方程为y＝k(x－2)，即kx－y－2k＝0， 由＝1解得k＝0或k＝－ 所以的最小值是－. 5．(多选)已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0.则以下几个命题正确的有(　　 ) A．直线l恒过定点(3，1) B．圆C被y轴截得的弦长为2＋2 C．直线l与圆C恒相交 D．直线l被圆C截得最短弦长时，直线l的方程为2x－y－5＝0 解析：选ACD.将直线l的方程整理为(x＋y－4)＋m(2x＋y－7)＝0，由解得则无论m为何值，直线l过定点D(3，1)，故A正确；令x＝0，则(y－2)2＝24，解得y＝2±2，故圆C被y轴截得的弦长为4，故B错误；因为(3－1)2＋(1－2)2＝5<25，所以点D在圆C的内部，直线l与圆C相交，故C正确；圆心C(1，2)，半径为5，|CD|＝，当截得的弦长最短时，l⊥CD，kCD＝－，则直线l的斜率为2，此时直线l的方程为y－1＝2(x－3)，即2x－y－5＝0，故D正确． 6．过点P(－1，－2)引圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝16的切线，则切线长为________． 解析：设切点为A，则PA⊥CA，从而|PC|2＝|PA|2＋|CA|2， 又因为圆心C为(1，2)，所以(－1－1)2＋(－2－2)2＝|PA|2＋42，解得|PA|＝2，即切线长为2. 答案：2 7．已知圆M经过点(2，0)，与直线x＝－2相切，且被y轴截得的弦长为4，则圆M的标准方程为______________________． 解析：设所求圆的圆心为(a，b)，半径为R， 则由题意可得 解得a＝2，b＝±4， 故圆M的标准方程为(x－2)2＋(y±4)2＝16. 答案：(x－2)2＋(y±4)2＝16 8．(2025·福州高二期末)已知点M(3，1)，及圆(x－1)2＋(y－2)2＝4. (1)求过M点的圆的切线方程； (2)若过M点的直线与圆相交，截得的弦长为2，求直线的方程． 解：(1)根据题意，当直线的斜率存在时， 设过M的切线方程为y＝k(x－3)＋1，即kx－y－3k＋1＝0， 圆心到直线的距离d＝＝2⇒k＝， 所以切线方程为3x－4y－5＝0， 当直线斜率不存在时，直线x＝3与圆相切． 综上过M的切线方程为3x－4y－5＝0或x＝3. (2)根据题意，过M点的直线与圆相交所得的弦长为2，圆的半径为2， 设过M的直线的方程为kx－y－3k＋1＝0， 所以圆心到直线的距离d＝＝1， 则有＝1⇒k＝0或k＝－， 所以所求直线方程为y＝1或4x＋3y－15＝0. 9．已知圆C过点(1，1)，圆心在x轴正半轴上，且与直线y＝x－4相切． (1)求圆C的标准方程； (2)已知过点P(1，3)的直线l交圆C于A，B两点，且|AB|＝2，求直线l的方程． 解：(1)由题意，设圆心坐标为C(a，0)(a>0)， 由题意得＝， 解得a＝－6(舍)或a＝2， 所以圆的半径为r＝＝， 则圆C的标准方程为(x－2)2＋y2＝2. (2)若斜率不存在，则直线方程为x＝1，弦心距d＝1，半径为， 则|AB|＝2＝2，符合题意； 若斜率存在，设直线方程为y－3＝k(x－1)，即kx－y－k＋3＝0. 弦心距d＝， 得|AB|＝2＝2， 解得k＝－，直线方程为4x＋3y－13＝0. 综上所述，直线l的方程为x＝1或4x＋3y－13＝0. 【综合运用】 10．直线2x＋y－2＝0与曲线(x＋y－1)＝0的交点个数为(　　 ) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选B.因为曲线(x＋y－1)＝0就是x＋y－1＝0或x2＋y2＝4，表示一条直线与一个圆，联立解得即直线2x＋y－2＝0与直线x＋y－1＝0有一个交点(1，0)；此时没有意义，故舍去． 联立解得或所以直线2x＋y－2＝0与x2＋y2＝4有两个交点． 所以直线2x＋y－2＝0与曲线(x＋y－1)＝0的交点有2个． 11．(2025·河北石家庄期末)唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”在这首诗中含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题．如图，在平面直角坐标系中，军营所在区域的边界为x2＋y2＝1，河岸所在直线方程为x＋y＝3，将军从点A(0，2)处出发，先到河边饮马，然后再返回军营，如果将军只要到达军营所在区域即回到军营，则这个将军所经过的最短路程为(　　 ) A． B．－1 C． D．－1 解析：选D.如图，设将军去河岸的B点喝水，回到军营的C点，所以需求出|AB|＋|BC|最小值即可，圆x2＋y2＝1的圆心为(0，0)，半径r＝1， 设A(0，2)关于直线x＋y＝3的对称点为M(a，b)，则解得 所以M(1，3)，此时|AB|＋|BC|＝|MB|＋|BC|≥|MO|－r＝－1＝－1， 所以“将军饮马”的最短路程为－1＝－1. 12．一条光线从点(0，1)射出，经x轴反射后与圆x2＋y2－4x＋3＝0相切，则反射光线所在直线的方程是________． 解析：点(0，1)关于x轴的对称点为(0，－1)，(0，－1)在反射光线所在直线上，设反射光线所在直线方程为y＋1＝kx，易得圆x2＋y2－4x＋3＝0的圆心为(2，0)，半径为1，与反射光线相切，即＝1，解得k＝0或k＝， 所以当k＝0时，反射光线所在直线方程为y＝－1，经检验不符合题意； 当k＝时，反射光线所在直线方程为4x－3y－3＝0. 答案：4x－3y－3＝0 13．(2023·新高考Ⅱ卷)已知直线x－my＋1＝0与圆C：(x－1)2＋y2＝4交于A，B两点，写出满足“△ABC面积为”的m的一个值为________． 解析：设点C到直线AB的距离为d， 由弦长公式得|AB|＝2，所以S△ABC＝×d×2＝，解得d＝或d＝， 由d＝＝，所以＝或＝，解得m＝±或m＝±2. 答案：2(2，－2，，－中任意一个皆可以) 14．已知圆C同时满足下列三个条件：①与y轴相切；②在直线y＝x上截得弦长为2；③圆心在直线x－3y＝0上．求圆C的方程． 解：设所求的圆C与直线y＝x交于A，B， 因为圆心C在直线x－3y＝0上， 所以设圆心C(3a，a)，又圆与y轴相切，所以r＝3|a|. 又圆心C到直线x－y＝0的距离|CD|＝＝|a|. 在Rt△CBD中，r2－|CD|2＝，所以9a2－2a2＝7，a2＝1，a＝±1，3a＝±3. 所以圆心的坐标C分别为(3，1)和(－3，－1)， 故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9. 【创新探索】 15．(新背景)几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点M，N是锐角∠AQB的边QA上的两点，试在QB边上找一点P，使得∠MPN最大”．如图，其结论是：点P为过M，N两点且和射线QB相切的圆与射线QB的切点．根据该结论解决以下问题：在平面直角坐标系中，给定两点M(－1，2)，N(1，4)，点P在x轴上移动，当∠MPN取最大值时，点P的横坐标是________． 解析：∵点M(－1，2)，N(1，4)，则线段MN的中点坐标为(0，3)，易知kMN＝1，则经过M，N两点的圆的圆心在线段MN的垂直平分线y＝3－x上，设圆心为S(a，3－a)，则圆S的方程为(x－a)2＋(y－3＋a)2＝2(1＋a2)，由题中结论得，当∠MPN取最大值时，圆S必与x轴相切于点P，则此时点P的坐标为(a，0)，代入圆S的方程得2(1＋a2)＝(a－3)2，解得a＝1或a＝－7，即对应的切点分别为P(1，0)和P′(－7，0)，对于定长的弦在弧上所对的圆周角会随着圆的半径减小而角度增大，又过点M，N，P′的圆的半径大于过点M，N，P的圆的半径，所以∠MPN>∠MP′N，故点P(1，0)即为所求，则点P的横坐标为1. 答案：1 16．(2025·山西朔州期末)战国时期成书《墨经》有载曰：“景，日之光反烛人，则景在日与人之间．”这是中国古代人民首次对平面镜反射的研究，体现了传统文化中的数学智慧．在平面直角坐标系Oxy中，一条光线从点M(2，3)射出，经y轴反射后与圆C：x2－6x＋y2＋4y＋12＝0相切，则反射光线所在直线的斜率为(　　 ) A．－或－ B．－或－ C． D． 解析：选A.设点B与点M(2，3)关于y轴对称，则点B的坐标为(－2，3)， 反射光线所在直线经过点B，且与圆C：(x－3)2＋(y＋2)2＝1相切， 设反射光线所在直线的斜率为k，则反射光线所在直线的方程为y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0， 圆(x－3)2＋(y＋2)2＝1的圆心为C(3，－2)，半径r＝1， 则由圆心C(3，－2)到反射光线所在直线的距离等于半径可得＝1， 即12k2＋25k＋12＝0，解得k＝－或k＝－. 学科网（北京）股份有限公司 $