学易金卷：高二数学上学期期中模拟卷01（人教A版选择性必修第一册全册：空间向量与立体几何+直线与圆+圆锥曲线）

2025-2026学年高二数学上学期期中模拟卷01 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选修第一册全册。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知抛物线，则抛物线的焦点到准线的距离为（   ） A． B． C． D． 2．已知点关于轴的对称点为，则（ ） A．2 B． C． D．6 3．【创新题·新情境】某校环境优美，依山傍水，绿树成荫.某日，小明饭后散步至池塘边，恰好可以在池塘中看到太阳的倒影，即入射光线经池塘水面反射后，反射光线经过小明眼睛.建立适当坐标系后，已知入射光线上有一点，经直线反射后经过点，则入射光线所在直线方程为（   ） A． B． C． D． 4．【创新题·学科交叉题】沼气是一种混合气体，其主要成分是甲烷，其分子式为，且分子结构是正四面体结构，其结构简式如图所示．记上顶点为，底面三个顶点分别为，设，则（    ） A． B． C． D． 5．设F是椭圆的右焦点，P是椭圆上的动点，A是直线上的动点，则的最小值为（    ） A． B．3 C． D． 6．已知是圆C：上任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．已知双曲线的左、右焦点分别为，点为右支上一点，射线是的外角平分线，其与轴的交点为点的角平分线与直线交于点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 8．如图，在四棱锥中，底面，，，，是棱的中点，则三棱锥的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知直线，，则下列说法正确的是（    ） A．的充要条件为或 B．若，则 C．若直线不经过第四象限，则 D．若，则将直线绕坐标原点按逆时针方向旋转，再向右平移一个单位长度，所得直线方程为 10．在正方体中，分别为线段上的动点，为的中点，则（    ） A．存在两点，使得 B． C．与所成的最大角为 D．直线与平面所成角为的最大值为 11．【创新题·新趋势】如图，数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，例如：四叶草曲线就是其中一种，其方程为，给出下列结论正确的有（    ） A．曲线有4条对称轴 B．曲线上的点到原点的最大距离为 C．曲线第一象限上任意一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形面积最大值为 D．四叶草面积小于 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，，三点共线，则 . 13．【新题型·开放题】圆心在直线上且在轴上截得的弦长为2的圆的方程为 （写出一个满足条件的方程）. 14．已知抛物线的焦点为F，过点F且斜率为的直线l交C于A，B两点，以线段AB为直径的圆交y轴于M，N两点，设线段AB的中点为Q，若点F到C的准线的距离为3，则的值为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．(13分) 已知直线． (1)若直线l与x轴的交点的横坐标与其在y轴上的截距相等，求k的值； (2)若直线l交x轴的负半轴于点A，交y轴的正半轴于点B，O为坐标原点，设的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程． 16．（15分） 如图，在三棱锥中，平面分别是棱的中点，. (1)求点到直线的距离 (2)求点到平面的距离. 17．(15分) 在平面直角坐标系中，已知. (1)证明：四点共圆； (2)过点作（1）中圆的切线，求切线方程； (3)坐标原点，点，请问（1）中圆上是否存在点满足？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由. 18．(17分) 【创新题·数学文化】立德中学积极开展社团活动，在一次社团活动过程中，一个数学兴趣小组发现《九章算术》中提到了“刍甍（méng）”这个五面体，于是他们仿照该模型设计了一道数学探究题，如图1，分别是边长为4的正方形三边的中点，先沿着虚线段将等腰直角三角形裁掉，再将剩下的五边形沿着线段折起，连接就得到了一个“刍甍”（如图2）. (1)若是四边形对角线的交点，求证：平面； (2)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值； (3)在（2）的条件下，在棱上是否存在点，使得平面与平面所成的二面角的正切值为？若存在，求出点的位置，若不存在，请说明理由. 19．（17分） 已知平面内动点P到两条直线和的距离的平方和为． (1)求动点P的轨迹C的方程； (2)M，N是C上任意两点． （ⅰ）C与y轴的交点分别为，（自下而上），点N位于y轴的右侧，若点，直线MN交y轴于点G，设和的面积分别为，，当时，求点N的坐标； （ⅱ）已知直线MN与坐标轴不垂直，H为线段MN的中点，直线OH与C交于K，L两点，当时，求直线MN的斜率． 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学上学期期中模拟卷01 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选修第一册全册内容。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知抛物线，则抛物线的焦点到准线的距离为（   ） A． B． C． D． 1．【答案】A 【解析】由抛物线化为标准方程得， 则抛物线的焦点到准线的距离为， 故选：A. 2．已知点关于轴的对称点为，则（ ） A．2 B． C． D．6 2．【答案】D 【解析】由题意可得，则. 故选：D 3．【创新题·新情境】某校环境优美，依山傍水，绿树成荫.某日，小明饭后散步至池塘边，恰好可以在池塘中看到太阳的倒影，即入射光线经池塘水面反射后，反射光线经过小明眼睛.建立适当坐标系后，已知入射光线上有一点，经直线反射后经过点，则入射光线所在直线方程为（   ） A． B． C． D． 3．【答案】D 【分析】先求出点关于直线对称点的坐标，结合点的坐标即可求得入射光线所在直线的方程． 【详解】设关于直线对称的点为， 则，解得，即， 因为入射光线经过点，所以所在直线的斜率为， 则入射光线所在直线方程为，即． 故选：D. 4．【创新题·学科交叉题】沼气是一种混合气体，其主要成分是甲烷，其分子式为，且分子结构是正四面体结构，其结构简式如图所示．记上顶点为，底面三个顶点分别为，设，则（    ） A． B． C． D． 4． 【答案】C 【分析】根据几何关系，结合向量数量积的几何意义，即可求解. 【详解】因为甲烷的结构为正四面体，所以， 又，同理可得， 所以． 故选：C 5．设F是椭圆的右焦点，P是椭圆上的动点，A是直线上的动点，则的最小值为（    ） A． B．3 C． D． 5．【答案】A 【解析】， 设为该椭圆的左焦点，， 所以， 于是， 显然当三点共线，且与垂直时， 有最小值，最小值为， 故选：A 6．已知是圆C：上任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．【答案】B 【解析】设，变形得， 于是的几何意义为圆上点与定点连线的斜率， 圆的圆心为，半径为， 由是圆上任意一点，得圆与直线有公共点， 因此圆心到直线的距离不大于圆的半径， 则，解得， 所以的最小值为. 故选：B 7．已知双曲线的左、右焦点分别为，点为右支上一点，射线是的外角平分线，其与轴的交点为点的角平分线与直线交于点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 7．【答案】C 【解析】不妨设点在第一象限，由于点为角平分线的交点， 过作于点于点于点， 则，且， 所以， 则，所以（*），因为，所以， 所以，代入（*）式得. 故选：C. 8．如图，在四棱锥中，底面，，，，是棱的中点，则三棱锥的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 8．【答案】A 【解析】因为，，所以，设，则为的中点， 因为平面，，平面，所以，， 因为，平面，，所以平面， 由题意知， 所以三棱锥的外接球的球心在平面上. ，故为等边三角形，故， 又，故，， 又，故， 如图，取棱的靠近的四等分点， 则为线段的中点，，因为为的中点，所以， 所以，所以，所以三棱锥的外接球的球心在直线上. 以为坐标原点，，MB，分别为轴，轴，轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，则，，， ，，所以， 因为在上，设，所以的坐标为， 又，即，解得， 故，所以， 所以. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知直线，，则下列说法正确的是（    ） A．的充要条件为或 B．若，则 C．若直线不经过第四象限，则 D．若，则将直线绕坐标原点按逆时针方向旋转，再向右平移一个单位长度，所得直线方程为 9．【答案】BCD 【解析】对于A， 显然直线的斜率存在，若，则，解得或， 经检验时，这两条直线重合，所以，故充要条件不是“或”．故A不正确； 对于B，若，则，解得．故B正确； 对于C，若直线不经过第四象限，则，解得．故C正确； 对于D，若，则直线，将其绕坐标原点按逆时针方向旋转，得到直线，再向右平移一个单位长度，所得直线方程为，故D正确. 故选：BCD 10．在正方体中，分别为线段上的动点，为的中点，则（    ） A．存在两点，使得 B． C．与所成的最大角为 D．直线与平面所成角为的最大值为 10．【答案】ABD 【解析】在正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，令， 则， ， 由在线段上，得，则，， 由在线段上，得，则，， 对于A，当时，，即， 而，则，A正确； 对于B，，，， 则，B正确； 对于C，，， 当时，， 此时与所成的角为，C错误； 对于D，， 因为轴垂直平面， 所以可取平面的法向量为， 则 ，当且仅当时取等号， 所以直线与平面所成角为的最大值为，D正确. 故选：ABD. 11．【创新题·新趋势】如图，数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，例如：四叶草曲线就是其中一种，其方程为，给出下列结论正确的有（    ） A．曲线有4条对称轴 B．曲线上的点到原点的最大距离为 C．曲线第一象限上任意一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形面积最大值为 D．四叶草面积小于 11．【答案】ACD 【解析】对于A，当变为时，不变，所以四叶草图象关于轴对称； 当变为时，不变，所以四叶草图象关于轴对称； 当变为时，不变，所以四叶草图象关于轴对称； 当变为时，不变，所以四叶草图象关于轴对称； 综上可知：有4条对称轴，故A正确； 对于B，因为，所以， 所以，所以，取等号时， 所以曲线上的点到原点的最大距离为，故B错误； 对于C，设任意一点，所以围成的矩形面积为，因为， 所以，所以，取等号时， 所以围成矩形面积的最大值为，故C正确； 对于D，由B可知，所以四叶草包含在圆的内部， 因为圆的面积为，所以四叶草的面积小于，故D正确； 故选：ACD． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，，三点共线，则 . 12．【答案】26 【解析】由题意，，因为，所以， 所以，，所以. 13．【新题型·开放题】圆心在直线上且在轴上截得的弦长为2的圆的方程为 （写出一个满足条件的方程）. 13．【答案】（答案不唯一） 【解析】由圆心在直线上，可设圆心的坐标为，则圆心到轴的距离为. 因为圆在轴上截得的弦长为2，所以圆的半径， 则圆的标准方程为. 取，得圆的方程为（答案不唯一）. 14．已知抛物线的焦点为F，过点F且斜率为的直线l交C于A，B两点，以线段AB为直径的圆交y轴于M，N两点，设线段AB的中点为Q，若点F到C的准线的距离为3，则的值为 . 14.【答案】 【解析】 抛物线得焦点为，准线方程为， 由题意得，则抛物线方程为，， 直线方程为， 由得，， 设的横坐标为，则，， 所以，，圆的半径为4， 过点作轴于点，则， 在中，. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．(13分) 已知直线． (1)若直线l与x轴的交点的横坐标与其在y轴上的截距相等，求k的值； (2)若直线l交x轴的负半轴于点A，交y轴的正半轴于点B，O为坐标原点，设的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程． 15．（13分） 【解析】（1）当时，直线l的方程为，与x轴无交点，不符合题意；（2分） 当时，直线l的方程为， 令，则， 令，则， 由题意得，即，（5分） 即，解得或，经检验，均成立． 综上，k的值为或．（7分） （2）由题可知，由（1）知A，，（9分） 故,（11分） 当且仅当，即时取等号， 故S的最小值为16，此时直线l的方程为．(13分) 16．（15分） 如图，在三棱锥中，平面分别是棱的中点，. (1)求点到直线的距离 (2)求点到平面的距离. 16．（15分） 【解析】（1）由题可知两两相互垂直， 如图，以为原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 又分别是棱的中点，，得 因为（3分） 所以在上的投影长为（5分） 所以点到直线的距离为.（8分） （2）由知，，， 设平面的一个法向量为， 则， 取，则，（12分） 所以点到平面的距离为.（15分） 17．(15分) 在平面直角坐标系中，已知. (1)证明：四点共圆； (2)过点作（1）中圆的切线，求切线方程； (3)坐标原点，点，请问（1）中圆上是否存在点满足？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由. 17．【解析】（1）设经过三点的圆的方程为， 则，（3分） 解方程组可得，（4分） 所以圆的方程为（或）； 又点在圆上， 所以证得四点在圆上；（6分） （2）当斜率不存在时，方程为，与圆相切，成立；（7分） 当斜率存在时，设直线方程为， 即， 所以可得，可得， 所以直线为， 所以所求切线方程为或；（10分） （3）设的坐标为，依题意可得， 平方化简可得的轨迹方程为， 两圆圆心的距离， 所以两圆的位置关系为内含，所以不存在这样的点.（15分） 18．(17分) 【创新题·数学文化】立德中学积极开展社团活动，在一次社团活动过程中，一个数学兴趣小组发现《九章算术》中提到了“刍甍（méng）”这个五面体，于是他们仿照该模型设计了一道数学探究题，如图1，分别是边长为4的正方形三边的中点，先沿着虚线段将等腰直角三角形裁掉，再将剩下的五边形沿着线段折起，连接就得到了一个“刍甍”（如图2）. (1)若是四边形对角线的交点，求证：平面； (2)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值； (3)在（2）的条件下，在棱上是否存在点，使得平面与平面所成的二面角的正切值为？若存在，求出点的位置，若不存在，请说明理由. 18．(17分) 【解析】（1）取中点，连接， 由题意可知且， 又因为是矩形对角线的交点， 所以且， 所以且，（3分） 则四边形为平行四边形， 所以且， 又因为平面，平面， 所以平面；（5分） （2）因为在图1中，且, 在图2中上述关系依然成立， 所以即为二面角的平面角，则， 以为坐标原点，分别为轴，轴正向，垂直平面向上方向为轴， 建立空间直角坐标系，如图所示： 则， ， 所以， 又因为，平面，所以， 所以，， 设平面的一个法向量， 则，则有， 取，（9分） 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为；（11分） （3）假设存在满足条件的点， 设，所以， 则， 设平面的一个法向量为， 则， 所以，取，（13分） 由（2）知平面的一个法向量， 则， 要使平面与平面所成的二面角的正切值为， 则只需，即，（15分） 整理得，解得或（舍去）， 所以当与点重合时，平面与平面所成的二面角的正切值为.（17分） 19．（17分） 已知平面内动点P到两条直线和的距离的平方和为． (1)求动点P的轨迹C的方程； (2)M，N是C上任意两点． （ⅰ）C与y轴的交点分别为，（自下而上），点N位于y轴的右侧，若点，直线MN交y轴于点G，设和的面积分别为，，当时，求点N的坐标； （ⅱ）已知直线MN与坐标轴不垂直，H为线段MN的中点，直线OH与C交于K，L两点，当时，求直线MN的斜率． 19．（17分） 【解析】（1）设动点，则P到直线的距离为， 到直线的距离为， 由题可知，化简得， 可得动点P的轨迹方程为．（4分） （2）（ⅰ）由题可知，，， ， ，，而， ，，，（7分） ，所以直线ON的方程为， 由可得或， 又因为点N位于y轴的右侧，所以．（10分） （ⅱ）且，， 设直线MN的方程为：，，， 由消x得， ， ，，（13分） 又由两式相减得，可得， 则直线OH的方程为，代入得：， 则，， ，（15分） ，， 即，解得，所以直线MN的斜率为．（17分） 18 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年高二数学上学期期中模拟卷01 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ ( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2025-2026学年高二数学上学期期中模拟卷01 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选择性必修第一册全册。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知抛物线，则抛物线的焦点到准线的距离为（   ） A． B． C． D． 2．已知点关于轴的对称点为，则（ ） A．2 B． C． D．6 3．【创新题·新情境】某校环境优美，依山傍水，绿树成荫.某日，小明饭后散步至池塘边，恰好可以在池塘中看到太阳的倒影，即入射光线经池塘水面反射后，反射光线经过小明眼睛.建立适当坐标系后，已知入射光线上有一点，经直线反射后经过点，则入射光线所在直线方程为（   ） A． B． C． D． 4．【创新题·学科交叉题】沼气是一种混合气体，其主要成分是甲烷，其分子式为，且分子结构是正四面体结构，其结构简式如图所示．记上顶点为，底面三个顶点分别为，设，则（    ） A． B． C． D． 5．设F是椭圆的右焦点，P是椭圆上的动点，A是直线上的动点，则的最小值为（    ） A． B．3 C． D． 6．已知是圆C：上任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．已知双曲线的左、右焦点分别为，点为右支上一点，射线是的外角平分线，其与轴的交点为点的角平分线与直线交于点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 8．如图，在四棱锥中，底面，，，，是棱的中点，则三棱锥的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知直线，，则下列说法正确的是（    ） A．的充要条件为或 B．若，则 C．若直线不经过第四象限，则 D．若，则将直线绕坐标原点按逆时针方向旋转，再向右平移一个单位长度，所得直线方程为 10．在正方体中，分别为线段上的动点，为的中点，则（    ） A．存在两点，使得 B． C．与所成的最大角为 D．直线与平面所成角为的最大值为 11．【创新题·新趋势】如图，数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，例如：四叶草曲线就是其中一种，其方程为，给出下列结论正确的有（    ） A．曲线有4条对称轴 B．曲线上的点到原点的最大距离为 C．曲线第一象限上任意一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形面积最大值为 D．四叶草面积小于 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，，三点共线，则 . 13．【新题型·开放题】圆心在直线上且在轴上截得的弦长为2的圆的方程为 （写出一个满足条件的方程）. 14．已知抛物线的焦点为F，过点F且斜率为的直线l交C于A，B两点，以线段AB为直径的圆交y轴于M，N两点，设线段AB的中点为Q，若点F到C的准线的距离为3，则的值为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．(13分) 已知直线． (1)若直线l与x轴的交点的横坐标与其在y轴上的截距相等，求k的值； (2)若直线l交x轴的负半轴于点A，交y轴的正半轴于点B，O为坐标原点，设的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程． 16．（15分） 如图，在三棱锥中，平面分别是棱的中点，. (1)求点到直线的距离 (2)求点到平面的距离. 17．(15分) 在平面直角坐标系中，已知. (1)证明：四点共圆； (2)过点作（1）中圆的切线，求切线方程； (3)坐标原点，点，请问（1）中圆上是否存在点满足？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由. 18．(17分) 【创新题·数学文化】立德中学积极开展社团活动，在一次社团活动过程中，一个数学兴趣小组发现《九章算术》中提到了“刍甍（méng）”这个五面体，于是他们仿照该模型设计了一道数学探究题，如图1，分别是边长为4的正方形三边的中点，先沿着虚线段将等腰直角三角形裁掉，再将剩下的五边形沿着线段折起，连接就得到了一个“刍甍”（如图2）. (1)若是四边形对角线的交点，求证：平面； (2)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值； (3)在（2）的条件下，在棱上是否存在点，使得平面与平面所成的二面角的正切值为？若存在，求出点的位置，若不存在，请说明理由. 19．（17分） 已知平面内动点P到两条直线和的距离的平方和为． (1)求动点P的轨迹C的方程； (2)M，N是C上任意两点． （ⅰ）C与y轴的交点分别为，（自下而上），点N位于y轴的右侧，若点，直线MN交y轴于点G，设和的面积分别为，，当时，求点N的坐标； （ⅱ）已知直线MN与坐标轴不垂直，H为线段MN的中点，直线OH与C交于K，L两点，当时，求直线MN的斜率． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2025-2026学年高二数学上学期期中模拟卷01 参考答案 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 5 7 6 D D C B C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 10 11 BCD ABD ACD 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.26 13.x2+y2=1(答案不唯一) 14.8 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 【解析】(1)当k=0时，直线1的方程为y=2,与x轴无交点，不符合题意；(2分) 当k≠0时，直线1的方程为1：x-y+2+4k=0, 令x=0,则y=2+4k, 令y=0,则x=24k.-4-2 k 由题意得2+秋=4子即4+子+6=0，（5分) 即2k2+3张+1=0，解得k=-或k=-1,经检验，均成立. 综上，k的值为或-1.(7分) 2公由题可>0，由)复4“20小 B(0,4k+2),(9分) 故5-o4o-212+-24钻+4小2x4+4到=16.分) k （k 1/7 窗学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 当且仅当4秋=，即k=2时取等号， 2 故$的最小值为16，此时直线1的方程为y=)x x+4.(13分) 2 16.(15分) 【解析】(1)由题可知AB,AC,AP两两相互垂直， 如图，以A为原点，直线AB,AC,AP分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系A-xyz, 又D,E,F分别是棱AB,BC,CP的中点，AB=AC=1,PA=2,得 40.0o.8L0oj.c0.Lo,Pla.0,2.o2a.0E250,F02 因为所=5，F=（3分) PF.EF 25 所以PF在EF上的投影长为 ,(5分) EF 5 所以点P到直线EF的距离为 r- 54_3 5.(8分) 2)知，F-05-,F=（,E=050 设平面DEF的一个法向量为i=（x,y,z, n.DE=Y=0 2 则 iDF=-x+上+z=0 22 取z=1,则i=（2,0,1山，(12分) 所以点P到平面DEF的距离为d= PF.列√5 元5 (15分) 17.【解析】(1)设经过A,B,C三点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0, 2/7 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 [25+5E+F=0 则{D-2E+F+5=0,(3分) 9-3E+F=0 解方程组可得D=6,E=-2,F=-15,(4分) 所以圆的方程为x2+y2+6x-2y-15=0(或(x+3)2+(y-1)2=25); 又点D(-3,-4在圆x2+y2+6x-2y-15=0上， 所以证得四点在圆x2+y2+6x-2y-15=0上；(6分) (2)当斜率不存在时，方程为x=2,与圆相切，成立；(7分) 当斜率存在时，设直线方程为y+1=k(x-2), 即kc-y-2k-1=0, 所以可得-3-2-」=5，可得k= Vk2+1 20’ 所以直线为21x-20y-62=0, 所以所求切线方程为x=2或21x-20y-62=0;(10分) (3)设P的坐标为x,),依题意可得Vx-3)2+y2=2√2+y, 平方化简可得P的轨迹方程为(x+1)2+y2=4, 两圆圆心的距离d=√5<3=5-2， 所以两圆的位置关系为内含，所以不存在这样的点P.(15分) 18.(17分) 【解析】(1)取CF中点M,连接OM,GM, 由题意可知AGI1EF且AG=二EF, 又因为O是矩形EBCF对角线的交点， 所以OM1/EF且OM=EF, 所以AG/10M且AG=0M,(3分) 3/7 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 则四边形AOMG为平行四边形， 所以A0/MG且A0=MG, 又因为A0a平面GCF,GMc平面GCF, 所以A0/1平面GCF;(5分) (2)因为在图1中EF⊥AE,EF⊥BE,且EF=4,AE=BE=2, 在图2中上述关系依然成立， 所以∠AEB即为二面角A-EF-B的平面角，则∠AEB=2元， 3 以E为坐标原点，EB,EF分别为x轴，y轴正向，垂直平面EBCF向上方向为z轴， 建立空间直角坐标系E-z,如图所示： B 则B(2,0,0),F(0,4,0),C(2,4,0), x,=A6c0s2-1y,=0,=4B-sin27=5, 3 3 所以A(-1,0,V3), 又因为AG=2,AG11平面BCFE,所以G(-1,2,V5), 所以AB=(3,0,-V5),FC=(2,0,0),GC=(3,2,-√5)， 设平面GFC的一个法向量n=(x,y,z), FC.i=2x=0 x=0 c-i=3x+2y-52=0'则有 则 y= 2 取n=(0,V3,2),(9分) 所以cos(AB,n)= AB.nl√万 14B7 所以直线B与平面GCF所成角的正弦值为5，(1分) > 4/7 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 (3)假设存在满足条件的点P, 设AP=1AG=(0,2元，0)(0≤1≤1)，所以P(-1,2元，V3), 则EP=-1,2,5,BP=(-3,2元，V5, 设平面EBP的一个法向量为m=(x,,乙)， m·EP=-x。+22%+V3z0=0 则 m.Bp=-3x+2元y6+52=0 ,=0 所以 2元y。,取m=(0,V5,-2),(13分) √3 由(2)知平面GFC的一个法向量n=(0,V3,2), 则cos(m,m=m力」 3-42 1mnV7(422+3) 要使平面EBP与平面GCF所成的二面角的正切值为2V5 则只需os@同=号，即那-， 742+3)7,(15分) 整理得422-24元=0，解得2=0或元=6（舍去)， 所以当P与A点重合时，平面EBP与平面GCF所成的二面角的正切值为2y 3 .(17分) 19.(17分) 【解析】1)设动点P(x,),则P到直线y=25x的距离为2x-5y, 3 到直线y=-25x的距离为2x+v5列 由题可知 化简得8x2+6y2=24, 可得动点P的轨迹方程为 十 =1.(4分) 3 4 2(i)主题可奥知M40-2.4@2. 517 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 1 221 A S,=SAM4G,S2=S△N4,G,而S△4G=S△MoG+SaMo4, S-=SAMON=5A40x MAlION,7 2 2 kax=k4=行，所以直线ON的方程为y 3t, 「2 y= 3 3 x=- X=- 由 可得2或 2, =1y=10y=-1 3 4 又因为点N位于y轴的右侧，所以 3 (1 (10分) Ci)寸IMHHNL2MWI且IKHHLAMHIEN,MNFAKH IHL, 设直线MN的方程为：x=少+n,M(,),N(x2,y2), x=ty+n 由父+上-1消x得3+4r)y产+8mv+4n2-12=0, 34 1 8tn +y2=- 3+42 4n2-12 y3= 3+42 △=642n2-16(n2-3)3+4r2）=48(412-m2+3)>0 M-+4=43 H 3n 4tn 3+43+4 (13分) 3+42 x+=1 又由 34 同式相减粉5-兰，可料。m=子 3 4 3 4 测直线o的方程为y=青，代入号+号1有：F 9 34 4r2+3' 6/7 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 则k=+kx-小=+g-a小 -94--96c 9 9n2 =(9+1612 3+42-n2 9 ,(15分) 4+3(42+3 3+4r2）2 ewg 2=9+16) 3+42-n2) (3+422 即121+)=9+16t2,解得1=±5，所以直线MN的斜率为±25.(17分》 3 y M H 0 L 7/7■■■ 2025-2026学年高二数学上学期期中模拟卷01 答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 好 题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 翼 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][C][D] 5[A][B][C]D] 2[A]B][C][D] 6[A][B][C][D] 3[AB][C][D] 7[A][B][C][D] 製 4[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分， 有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C][D] 10[A][B][C][D] 11[A][B][C][D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12 射 13 14 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作 四、解答题（共77分，解答 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作 数学第2页（共 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色 18.(17分) G E B C 图1 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩 数学第5页（共6页）