专题5.3 函数的单调性与最值（高效培优讲义）数学沪教版2020必修第一册

专题5.3函数的单调性与最值 教学目标 1、了解函数单调性的概念，会用定义判断或证明函数的单调性 2、会借助图像和定义求函数的单调区间 3、理解函数的最大(小)值及其几何意义，并能借助图像求函数的最大(小)值 4、会借助函数的单调性求最值 5、会根据函数的单调性求参数或解参数不等式 教学重难点 教学重点：①定义法证明函数的单调性②函数最值的求法 教学难点：定义法证明函数的单调性 知识点01 函数单调性 1、增函数与减函数 1.1增函数 一般地，设函数的定义域为，区间，如果，当时，都有， 那么就称函数在区间上单调递增.（如图：图象从左到右是上升的） 特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，称它是增函数(increasing function). 1.2减函数 一般地，设函数的定义域为，区间，如果，当时，都有， 那么就称函数在区间上是单调递减.（如图：图象从左到右是下降的） 特别地，当函数在它的定义域上单调递减时，称它是减函数(decreasing function). 2、函数的单调性与单调区间 如果函数在区间上单调递增或单调递减，那么就说函数在这一区间具有(严格的)单调性，区间叫做的单调区间． 【即学即练】已知． (1)判断的奇偶性，并说明理由； (2)用定义法证明在上是增函数. 【答案】(1)既不是奇函数也不是偶函数，理由见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据函数奇偶性的定义判断函数奇偶性； （2）根据增函数定义证明函数是增函数； 【详解】（1）的定义域为，不关于原点对称， ∴既不是奇函数也不是偶函数． （2）证明：设， 则， ∵，∴，，， ∴，即， ∴在上是增函数． 知识点02函数单调性的判断与证明 1、定义法（证明工具）：一般用于证明，设函数，证明的单调区间为 ①取值：任取，，且； ②作差：计算； ③变形：对进行有利于符号判断的变形（如通分，因式分解，配方，有理化等）；如有必要需讨论参数； ④定号：通过变形，判断或（），如有必要需讨论参数； ⑤下结论：指出函数在给定区间上的单调性 2、图象法（只可用来判断） 一般通过已知条件作出函数的图象（或者草图），利用图象判断函数的单调性. 3、性质法（只可用来判断） （1）函数在给定区间上的单调性与在给定区间上的单调性相反； （2）函数在给定区间上的单调性与的单调性相同； （3）和的公共定义区间，有如下结论； 增 增 增 不确定 增 减 不确定 增 减 减 减 不确定 减 增 不确定 减 【即学即练】已知函数，.若成立，则下列论断中正确的是（    ） A．函数在上一定是增函数； B．函数在上一定不是增函数； C．函数在上可能是减函数； D．函数在上不可能是减函数. 【答案】D 【分析】根据函数单调性的定义判断即可. 【详解】因为函数，且成立， 则函数在上不可能是减函数，可能是增函数，也可能不是增函数， 如，满足，但是在上不具有单调性， 故D正确，A、B、C错误. 故选：D 知识点03 函数的最大（小）值 1、最大值：对于函数，其定义域为，如果存在实数满足： ①，都有 ②，使得 那么称是函数的最大值； 2、最小值：对于函数，其定义域为，如果存在实数满足： ①，都有 ②，使得 那么称是函数的最小值； 【即学即练】已知函数是奇函数且在区间上单调递增，则函数在区间上（    ） A．单调递增，有最小值 B．单调递增，有最大值 C．单调递减，有最小值 D．单调递减，有最大值 【答案】B 【分析】根据条件，利用奇函数的性质，即可求解. 【详解】奇函数图像关于原点对称，所以在关于原点对称区域内单调性相同， 函数是奇函数且在区间上单调递增，则函数在区间上单调递增， 又增区间为半开半闭区间，所以存在最大值. 故选：B. 知识点04 复合函数单调性（同增异减） 一般地，对于复合函数，单调性如下表示，简记为“定义域优先，同增异减”，即内层函数与外层函数单调性相同时，复合函数为增函数；内层函数与外层函数单调性不同时，复合函数为减函数： ：令：和 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 题型01 定义法判断或证明函数单调性 【典例1】已知函数是偶函数． (1)求实数的值； (2)若，用定义法证明函数在上单调递增． 【答案】(1)实数的值为 (2)证明见解析. 【分析】（1）由偶函数的性质可得，代入化简后即可求解. （2）由函数单调性的定义，设，通过作差证明，即可得证. 【详解】（1）由已知函数在上是偶函数， 则有，即， 即，即， 又时均成立，解得. 于是实数的值为. （2）由已知得，解出，则. 证明如下： 任取， 则有， 因为，所以， 所以，即. 故函数在上单调递增. 【变式1】已知函数 (1)判断该函数的奇偶性； (2)判断在定义域内的单调性. 【答案】(1)奇函数，理由见解析 (2)单调递增，理由见解析 【分析】（1）求出定义域，定义域关于原点对称，并得到，得到结论； （2）化简得到，定义法判断函数单调性步骤，取点，作差，变形判号，下结论. 【详解】（1）奇函数，理由如下： 的定义域为R， 且， 故为奇函数； （2）单调递增，理由如下： ， 取任意的， 则， 因为，在R上单调递增，所以， 又， 故，， 所以在R上单调递增. 【变式2】已知函数是定义在上的奇函数. (1)求的值； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明. 【答案】(1) (2)是上的增函数，证明见解析 【分析】（1）根据为奇函数可得，即可得解； （2）利用函数单调性的定义求解即可. 【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数， 所以， 所以， 检验：因为，故满足题意， 所以； （2）是上的增函数，证明如下： 设任意，， ， ∵，∴，，，， ∴是上的单调增函数. 【变式3】已知函数，其中，．求的值并用定义法证明函数在区间上单调递减． 【答案】，证明见解析 【分析】由可得，然后由单调性定义可完成证明. 【详解】由于，所以，解得．所以. 下面证明在区间上单调递减． 在上任取，且， 则， 因为，所以，，， 所以，即， 故函数在区间上单调递减． 【变式4】已知函数满足任意的实数，都有，且当时，． (1)求的值； (2)判断在上的单调性并证明． 【答案】(1) (2)在上单调递增，证明见解析 【分析】（1）对于给定的函数关系式赋值代入计算即得； （2）根据函数的单调性的定义，作差比较与的大小，此时需构造，利用题设性质证得即可． 【详解】（1）由题意，对任意的实数，都有， 令，则，所以． （2）在上单调递增． 证明如下：设且，则 ， 因，则，故， 所以，即， 所以在上单调递增． 1.利用定义证明函数单调性的步骤 注：作差变形是解题关键　　 2.利用定义证明函数的单调时，常用的变形技巧： （1）因式分解：当原函数是多项式函数时，作差后的变形通常进行因式分解； （2）当原函数是分式函数时，作差后往往进行通分，然后对分子进行因式分解； （3）配方：当原函数是二次函数时，作差后可以考虑配方，便于判断符号； （4）分子有理化：当原函数是根式函数时，作差后往往考虑分子有理化 题型02 求函数（复合函数）单调区间 【典例1】函数的单调递增区间为 ． 【答案】. 【分析】先求出函数的定义域，确定真数部分函数的单调性，再由复合函数的单调性可知函数的单调增区间. 【详解】函数的定义域为， 即为或， 令， 则原函数为， 因为在单调递减， 在单调递减，在单调递增， 由复合函数的单调性可知函数的单调递增区间为. 故答案为：. 【变式1】函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由复合函数的单调性判断方法可得结果. 【详解】令，得或. 因为函数在上单调递减， 函数在上单调递增，在上单调递减， 则的单调递减区间为. 故选：B. 【变式2】函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求函数的定义域，再利用复合函数的单调性即可求解. 【详解】由且，得，即或， 所以函数的定义域为， 因为在上单调递减，在上单调递增， 又函数为增函数， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 又函数为增函数， 所以函数的单调递增区间为. 故选：B. 【变式3】函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出定义域，确定由复合而成，判断这两个函数的单调性，根据复合函数“同增异减”可得到答案. 【详解】由题意知函数， 令，所以， 则由复合而成， 由于在上单调递减， 要求的单调递减区间， 即求，的单调递增区间， 而的对称轴为， 则，的单调递增区间为， 则函数的单调递减区间为. 故选：B. 【变式4】函数的单调递减区间为 ． 【答案】 【分析】根据复合函数的定义域和单调性求解即可. 【详解】由，解得， 所以的定义域为， 令，， 因为在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的单调递减区间为， 故答案为： 图像法求函数单调区间的步骤 (1)作图：作出函数的图像． (2)结论：上升图像对应单调递增区间，下降图像对应单调递减区间 题型03 根据函数的单调性求参数 【典例1】若函数有意义，且在区间上单调递减，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由复合函数单调性得到，故，由于真数大于0，结合函数单调性得到不等式，求出答案. 【详解】由题意得且，解得且， 由于在上单调递减， 而在上单调递减， 由复合函数单调性可知，需在上单调递增， 故，故， 又真数大于0，故在上恒成立， 由于在上单调递减，故只需，解得， 故. 故选：D 【变式1】设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将问题转化为恒成立问题，分离参数求最值即可. 【详解】函数由和复合而成， 因为在区间上单调递减，而单调递增， 所以在区间上单调递减， 因为，如图， 所以 解得，即实数的取值范围是. 故选：D. 【变式2】已知函数（且）在区间上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B．（1，4） C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数单调性及复合函数单调性性质分类讨论计算求解. 【详解】当时，指数函数在上单调递增，在上单调递增，在上单调递减， 由复合函数的单调性可知在区间上单调递减，不符合题意； 当时，指数函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 由复合函数的单调性可知在区间上单调递增，结合题意可知，则， 所以的取值范围为． 故选：A. 【变式3】已知函数是上的减函数，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分段函数在上的单调性可得出关于实数的不等式组，进而可求得实数的取值范围. 【详解】由于函数是定义在上的减函数， 所以，函数在区间上为减函数，函数在区间上为减函数，且有， 即，解得. 因此，实数的取值范围是. 故选：A. 【变式4】若函数在区间上是增函数，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】利用单调性的定义来进行判断，结合分离参数，即可求出参数范围. 【详解】 对任意，都有， 即成立，所以，即实数的取值范围为． 故答案为： 题型04 根据函数的单调性解不等式 【典例1】设函数则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】把不等式化为这种形式，再利用函数单调性求解. 【详解】由函数解析式知在上单调递增， 且， 则， 由单调性知，解得. 故答案为： 【变式1】已知函数，若，则实数t的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据函数性质判断函数单调性，根据定义域及单调性，列出不等式，求出范围 【详解】已知，其中和均为单调递增函数，且定义域为， 所以在上单调递增，且， 可得，可得，解得， 故答案为：. 【变式2】设函数 ，则满足的的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据分段函数的单调性求解即可. 【详解】因为函数在上单调递增，函数为常函数， 所以分段函数在单调递增，在不具有单调性， 且，即当时，， 因为，所以，解得， 所以满足的的取值范围是. 故答案为： 【变式3】已知函数则不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】先判断出在上递增，解不等式，得到，求解即得. 【详解】函数， 显然在上单调递增，在上单调递增， 且，即时函数连续，所以在上递增， 不等式可化为， 即，解得或， 则原不等式的解集为． 故答案为：. 【变式4】已知函数是定义在上的单调递减函数，则使不等式成立的实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据函数的定义域及单调性列不等式组计算即可. 【详解】∵函数为上单调减函数, 实数满足不等式,可以得出， ∴. 故答案为：. 题型05 函数单调性+奇偶性综合 【典例1】已知函数，若，则实数的取值范围是 ． 【答案】． 【分析】，可判断为奇函数，且单调递减，等价于，故得到，解不等式即可. 【详解】令， ， 又定义域为，为奇函数， 所以不等式等价于， 又为奇函数，且均单调递减，所以单调递减， ． 故答案为： ． 【变式1】已知定义在区间上的偶函数，当时，单调递增，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由偶函数知，时；当时，故，结合区间单调性和定义域列不等式求参数范围. 【详解】因为是上的偶函数，所以， 又在上单调递增，结合，所以， 解得或， 故实数的取值范围为． 故选：C 【变式2】已知定义在上的偶函数，且当时，单调递增，则关于的不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用偶函数性质可得，再由偶函数单调性以及定义域列出不等式组计算求解即可. 【详解】由题意，函数是定义在上的偶函数， 所以，解得，即函数的定义域为， 当时，单调递增，所以当时，单调递减， 关于的不等式，即， 所以，解得， 所以原不等式解集为. 故选：B 【变式3】设函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析函数奇偶性，得到函数为偶函数，再分析单调性，根据偶函数单调性相反即可把不等式转化为，解不等式即可. 【详解】函数的定义域为，且，即为偶函数． 当时，和，和均在上单调递增，所以和均在上单调递增，则在上单调递增，所以不等式等价于，即，解得或． 所以不等式的解集为． 故选:D 【变式4】已知函数，若，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意可得，从而有为偶函数，上单调递增，据此可解不等式. 【详解】函数的定义域为，关于原点对称， 当时，则，， 当时，则，， 综上所述：对，都有， 所以为偶函数，又时，，所以在上单调递增， 由，可得， 所以，平方得， 令，可得，整理得，解得或， 又，所以或，即或， 解得或或或， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 题型06 根据单调性（图象）求最值或值域 【典例1】若函数存在最小值，则m的最大值为 ． 【答案】4 【分析】首先得出函数单调性，画出函数图象，进一步根据题意列不等式即可求解. 【详解】因为函数在上单调递减，在上单调递增，所以在R上的最小值为0． 因为函数，图象开口向上且对称轴为， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以在R上的最小值为． 综上，对于，当时，在上单调递减，在，上单调递增，且， 则的大致图象如图所示． 由图可知，若存在最小值，则，解得，故m的最大值为4． 故答案为：4. 【变式1】函数的最值为（    ）． A．最大值为8，最小值为0 B．不存在最小值，最大值为8 C．最小值为0，不存在最大值 D．不存在最小值，也不存在最大值 【答案】B 【分析】先根据二次函数求出的最小值，无最大值，再根据反比例函数的单调性求解函数的最值，即可得解. 【详解】令，则． 又,故在上单调递减，当，即时，函数有最大值8，无最小值. 故选：B． 【变式2】已知． (1)求证：函数在区间上是减函数； (2)求函数在区间上的值域． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）用定义证明减函数； （2）由单调性求值域. 【详解】（1）任取，且， 则， 又因为，且，所以， 所以，即， 所以函数在区间上是减函数． （2）由（1）知函数在区间上是减函数，又， 所以函数在区间上的值域为． 【变式3】已知函数. (1)函数单调性的定义证明：函数在上单调递增； (2)求函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2)最大值为1，最小值为. 【分析】（1）任取，且，然后化简变形，判断符号，从而可得结论； （2）由（1）知在区间上单调递增，从而利用其单调性可求出其最值. 【详解】（1）证明：任取，且， 则 因为，，所以，，， 所以，即， 所以在上单调递增. （2）由（1）知在区间上单调递增， 所以，， 所以函数在区间上的最大值为1，最小值为. 【变式4】已知函数，其中． (1)证明：； (2)若在上单调递减，求的取值范围； (3)求在区间上的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)答案见解析 【分析】（1）直接将代入函数解析式中，得到，再两式相加即可得到结果. （2）利用函数单调性的定义即可求出的取值范围. （3）对参数a分情况讨论，利用函数单调性即可得到在区间上的取值范围. 【详解】（1）因为，所以， 故. （2）因为在上单调递减，则当，有. 所以设，， 因为，所以，， 要使，则， 故的取值范围为. （3）当时，由小问2得在上单调递减， ，， 故在区间上的取值范围为； 当时，利用小问2的结论知，在上单调递增，，， 故在区间上的取值范围为. 综上：当时，取值范围为；当时，取值范围为. 性质法 （1）函数在给定区间上的单调性与在给定区间上的单调性相反； （2）函数在给定区间上的单调性与的单调性相同； （3）和的公共定义区间，有如下结论； 增 增 增 不确定 增 减 不确定 增 减 减 减 不确定 减 增 不确定 减 题型07 根据函数的最值（值域）求参数 【典例1】若函数 在 的最大值为2，则 的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据必要性，最值的定义以及二次函数图象对称轴位置分类讨论即可解出． 【详解】设，，， 因为函数在 的最大值为2，， 所以，解得：， 当时，函数在上先递减再递增， 而， 所以，，且，即函数在 的最大值为2，符合题意； 当时，函数在上递减，所以， 而，所以函数在 的最大值为2，符合题意， 综上，． 故答案为： 【变式1】若函数的最小值为，则实数的取值范围 . 【答案】 【分析】利用基本不等式求出函数在上的最小值为，再利用二次函数的基本性质以及分段函数的最值可得出关于实数的不等式组，由此可求得实数的取值范围. 【详解】当时，由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因为函数的最小值为，则，可得， 且有，即，解得， 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 【变式2】已知函数且． (1)若，求的值； (2)若在上的最大值与最小值的差为1，求的值． 【答案】(1) (2)或． 【分析】（1）由，结合对数运算即可求解. （2）结合题意，根据对数函数的单调性分类讨论求解. 【详解】（1）， ，即， 解得或（舍）． （2）当时，在上单调递增， 则， 由题意得，，解得． 当时，在上单调递减， 则， 由题意得，，解得． 综上，或． 【变式3】已知函数 (1)若关于的不等式的解集为，求实数的值： (2)若函数在上的最大值为2，求实数的值. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由，则问题转化为关于的不等式的解集为，再根据三个二次之间的关系理解运算； （2）令，求出的解析式，由结合二次函数的性质计算可得. 【详解】（1）因为， 所以关于的不等式等价于， 即关于的不等式的解集为， 所以关于的方程的两根是，，且， 所以，解得. （2）令，则，， 因为，所以二次函数开口向上，对称轴为， 所以在上单调递减， 所以，即，解得. 【变式4】已知函数为偶函数． (1)判断函数在上的单调性，并加以证明； (2)当（其中m＞n＞0）时，函数的值域恰为，求正实数m，n的值． 【答案】(1)函数在上单调递增，证明见解析； (2). 【分析】（1）利用偶函数定义求出的值，再利用函数的单调性定义推理作答； （2）利用小问（1）得到的结论，探求函数的最值，建立方程，即可求值. 【详解】（1）∵函数为偶函数， ∴，而，解得：； 所以， 任取，， 所以， 因为，所以，， 即，故函数在上单调递增； （2）由上问可知,函数在上单调递增， 因为，函数的值域恰为， 所以， 即为方程的两根， 整理即：，解得， 又，∴． 题型08 函数不等式恒成立问题 【典例1】已知定义域为R的奇函数，． (1)求的值； (2)用函数单调性的定义证明函数在R上是增函数． (3)若存在使成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)． 【分析】（1）根据奇函数性质有恒成立，即可求参数值； （2）利用函数单调性定义证明的单调性； （3）依据单调性及有解问题，将问题化为在时有解，结合二次函数性质求最小值，即可得范围. 【详解】（1）是定义域为的奇函数， ，即， ，即恒成立，解得． （2）由（1）知，，任取且， 则， 由，可知， 则，，， ，即． 函数在R上是增函数． （3）由（2）结论，有，整理得在时有解． 令，由，得， 设，则函数的对称轴为， 当时，函数取得最小值． ，即的取值范围为． 【变式1】已知函数. (1)求不等式的解集； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将代入原式即可得到关于x的一元二次不等式，求解即可得结果. （2）将恒成立问题等价转化为求函数的最小值即可求得结果. 【详解】（1）等价于，即， 即，等价于，解得：或， 所以解集为. （2）因为，所以，令， 所以等价于在上恒成立， 即， 因为，在上单调递减，在单调递增， 所以，则，解得， 所以实数的取值范围为. 【变式2】已知函数． (1)当时，求函数的单调区间； (2)恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)增区间为，减区间为； (2) 【分析】（1）根据复合函数的单调性结合指数函数的单调性判断单调区间； （2）根据指数函数单调性得出二次不等式恒成立，再结合判别式得出参数范围. 【详解】（1）当时，， 令，则， 的增区间为，减区间为， 又为减函数， 根据“同增异减”法则：的增区间为，减区间为； （2）恒成立， ，即恒成立， ，解得：. 【变式3】设函数. (1)若，且，求m的值； (2)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明你的结论； (3)若对任意的恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2)在区间上单调递减，证明见解析 (3). 【分析】（1）根据函数值列方程，求解即可； （2）根据函数单调性的定义证明即可； （3）利用换元法化简不等式，再分离参数，转化为最值问题，求最值即可. 【详解】（1）∵，∴，∴，又，则. （2）在区间上单调递减. 证明：，且，则， 化简得， 由，得，∴，， ∴，于是，即. ∴在区间上单调递减. （3）设，由知，， 将其代入，得， 化简得恒成立， 设，则在上恒成立. 即. ∵与在上单调递增，∴在上单调递增， ∴，∴， ∴实数a的取值范围是. 【变式4】若定义在R上的函数对任意实数x，y恒有，当时，，且． (1)求证:为奇函数； (2)求在上的最小值； (3)若不等式:恒成立，求a的取值范围； 【答案】(1)证明见解析 (2)-6 (3) 【分析】（1）令，可得出的值，令，结合函数奇偶性的定义可得出结论； （2）先利用函数单调性的定义证明函数为R上的减函数，可知在上的最小值为，根据题意计算出的值即可得解； （3）将所求不等式变形为，利用函数的单调性可得出时， 恒成立，可求a的取值范围. 【详解】（1）函数的定义域为R， 令，则，解得. 令，则，得， 所以函数为奇函数. （2）任取，则，因为当时，，则， 由（1）知，，即， 所以为R上的减函数，可知在上的最小值为， 因为，，， 所以，即在上的最小值为. （3）由（2）可求， 所以， 由（2）可知为减函数，所以时，即恒成立， 时，，不等式恒成立； 时，有恒成立，由函数在上单调递增， 则有，所以a的取值范围为. 1、若任意的，恒成立⇒； 2、若任意的，恒成立⇒； 题型09 函数不等式能成立（有解）问题 【典例1】已知二次函数满足，且. (1)求的解析式； (2)，使得成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设二次函数，根据题意列式求即可； （2）可得，根据存在性问题结合一次函数性质可得，解不等式即可. 【详解】（1）设二次函数， 因为， 则，解得，即， 又因为，可得， 所以的解析式为. （2）由题意可得：，则在内单调递增， 则在内的最小值为， 若使得成立，则， 即，解得或， 所以的取值范围是. 【变式1】函数，，若，，使得，求实数a的取值范围. 【答案】 【分析】根据存在性的定义、任意性的定义、二次函数的对称性、一次函数的单调性进行求解即可. 【详解】因为，对称轴为， 当时，，函数的值域为， 一次函数是实数集上的增函数， 当时，函数的值域为， 若，，使得， 所以，即， 所以a的取值范围是. 【变式2】函数，．若，，使得，求实数a的取值范围. 【答案】 【分析】根据存在性的定义、二次函数的对称性、一次函数的单调性进行求解即可. 【详解】因为，对称轴为， 当时，， 所以此函数的值域为， 一次函数是实数集上的增函数， 所以当时，函数的值域为， 因为，，使得， 所以，所以，. 所以a的取值范围是. 【变式3】已知为幂函数. (1)求函数的值域； (2)若关于的不等式在上有解，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据幂函数定义可求得，从而得到，利用指数函数的值域和不等式性质即可求得函数的值域； （2）将不等式化成，依题要求在上的最小值，而这由函数的单调性即得. 【详解】（1）因为为幂函数，所以，解得， 所以，则. 因为对,都有，则， ， 即函数的值域为. （2）由可得， 令，易得在上单调递增. 因为在上有解，所以， 而 ，故，即的取值范围为. 【变式4】已知函数． (1)求不等式的解集； (2)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解不等式得到，从而求出的解集； （2）换元后得到对于能成立，利用函数单调性求出，得到答案. 【详解】（1），令， 则原不等式可化为，解得，即 所以，不等式的解集． （2）当时，令，可得， 原不等式可化为对于能成立， 即可得对于能成立， 由对勾函数性质可知在上单调递增，所以， 因此只需即可，得； 即的取值范围是． 1、若存在，有解⇒； 2、若存在，有解⇒； 1．函数的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ． 【答案】 【分析】根据二次函数性质直接可得. 【详解】的图象开口向上，对称轴为直线， 则该函数的单调递减区间为，单调递增区间为． 故答案为：；. 2．函数的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ． 【答案】 和 和 【分析】结合对勾函数的单调性求解即可. 【详解】因为， 根据对勾函数的性质得函数在和上单调递减， 在和上单调递增， 故的单调递增区间为和，单调递减区间为和． 故答案为：和；和． 3．若函数在上不单调，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用二次函数的性质求解即可. 【详解】函数图象的对称轴为直线，由在上不单调，得， 所以实数a的取值范围为. 故答案为： 4．已知函数在区间上的值域为，则 ． 【答案】1 【分析】根据值域判断函数单调性，然后可列方程求解. 【详解】由题意得，且在上的值域为， 所以，在上单调递减，即，故． 故答案为：1 5．已知函数在处取得最小值，则的取值范围是 【答案】 【分析】结合函数的单调性和最小值定义求解即可. 【详解】当时，单调递减，当时，单调递增， 因为在处取得最小值，所以，解得，故的取值范围是． 故答案为：. 6．时，函数的最小值为，则实数a的值为 . 【答案】或3 【分析】按二次函数对称轴与给定范围的关系分类探讨最小值求解. 【详解】二次函数图象开口向上，其对称轴为， 当时，，，则； 当时，，，解得或，无解； 当时，，，解得，则， 所以实数a的值为或3. 故答案为：或3 7．已知函数则不等式的解集是 . 【答案】 【分析】分析函数在不同区间的单调性，再根据单调性求解不等式即可. 【详解】由函数 可得当时，递增，当时，递增；且时函数连续， 故函数在上递增， 则不等式，等价于，即， 解得或， 即原不等式的解集为. 故答案为：. 8．给定函数，用表示函数中的较大者，即，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】根据题意作出函数的图象，根据函数图象即可求解． 【详解】令，解得或， 作出函数的图象如图所示： 由图象可知，当时，取得最小值为． 故答案为：． 9．已知函数是定义在上的偶函数，若函数在上单调递增，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】不等式变形为，即，根据偶函数特征结合单调性求解即可 【详解】， 不等式可变形为，即， 函数是定义在上的偶函数，， 所以为偶函数，若函数在上单调递增， 所以函数在上单调递减， 所以，解得， 故答案为：． 10．设为非零实数，函数若对任意，，都有成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据可构造出是单调递减函数，然后根据分段函数的单调性求解参数范围即可. 【详解】不妨设，则对任意，， 都有，即成立， 从而函数在上是减函数， 故实数应满足解得， 故答案为：． 11．下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别判断函数的单调性即可． 【详解】为反比例函数，在上单调递减； 为一次函数，在上单调递减； 为开口向下的二次函数，在上单调递减； 当时，在上单调递增． 故选：D 12．已知幂函数，则是（    ） A．偶函数且在上单调递增 B．偶函数且在上单调递减 C．奇函数且在上单调递增 D．奇函数且在上单调递减 【答案】B 【分析】由解析式直接判断函数的奇偶性再由幂函数的单调性可得. 【详解】为定义域上的偶函数且在上单调递减. 故选：B. 13．已知函数，，若，，使得，则实数的取值范围是(    ). A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，，使得，只需，分别研究两个函数的单调性，求两个函数的最大值，然后解不等式即可. 【详解】由题意知，当时函数单调递增，所以， 当时，为单调递增函数，所以， 又因为，，使得， 即在的最大值不小于在上的最大值， 即，解得，即. 故选：A. 14．已知定义域都为的函数与满足：是偶函数，是奇函数，且． (1)求函数、的解析式； (2)设，，对于，都有，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）根据函数奇偶性得到，结合条件得到方程组，求出答案； （2）在R上的值域为在上的值域的子集，求出在R上的值域为，换元得到，在上的值域为，所以，故，解得. 【详解】（1）因为①，所以， 是偶函数，是奇函数，故， 故②， 故①+②得，则， （2）对于，都有，使得， 则在R上的值域为在上的值域的子集， 其中， 因为，，， 所以在R上的值域为， ， 令，显然在上单调递增， 所以， 故， 当时，取得最小值，最小值为， 故在上的值域为， 所以，故，解得. 15．定义在上的函数满足当时，，且对任意的，，有．证明： (1)； (2)对任意的恒有； (3)是增函数． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1）令代入关系式，结合已知求值，即可证； （2）令得到，再由已知得，则，结合（1）结论，即可证； （3）法一：应用作商法，法二：应用作差法，结合函数单调性定义判断证明. 【详解】（1）令，则，又，故； （2）令，则，即， 由题意，当时，则，有， 所以，又， 所以； （3）法一：，且，令， 则，则， 因为，所以，， 所以，是增函数； 法二：，且， 所以， 由，得，又， 所以，即， 所以是增函数. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.3函数的单调性与最值 教学目标 1、了解函数单调性的概念，会用定义判断或证明函数的单调性 2、会借助图像和定义求函数的单调区间 3、理解函数的最大(小)值及其几何意义，并能借助图像求函数的最大(小)值 4、会借助函数的单调性求最值 5、会根据函数的单调性求参数或解参数不等式 教学重难点 教学重点：①定义法证明函数的单调性②函数最值的求法 教学难点：定义法证明函数的单调性 知识点01 函数单调性 1、增函数与减函数 1.1增函数 一般地，设函数的定义域为，区间，如果，当 时，都有 那么就称函数在区间上 .（如图：图象从左到右是上升的） 特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，称它是增函数(increasing function). 1.2减函数 一般地，设函数的定义域为，区间，如果，当 时，都有 ， 那么就称函数在区间上是 （如图：图象从左到右是下降的） 特别地，当函数在它的定义域上单调递减时，称它是减函数(decreasing function). 2、函数的单调性与单调区间 如果函数在区间上单调递增或单调递减，那么就说函数在这一区间具有(严格的)单调性，区间叫做的 ． 【即学即练】已知． (1)判断的奇偶性，并说明理由； (2)用定义法证明在上是增函数. 知识点02函数单调性的判断与证明 1、定义法（证明工具）：一般用于证明，设函数，证明的单调区间为 ①取值：任取，，且； ②作差：计算； ③变形：对进行有利于符号判断的变形（如通分，因式分解，配方，有理化等）；如有必要需讨论参数； ④定号：通过变形，判断或（），如有必要需讨论参数； ⑤下结论：指出函数在给定区间上的单调性 2、图象法（只可用来判断） 一般通过已知条件作出函数的图象（或者草图），利用图象判断函数的单调性. 3、性质法（只可用来判断） （1）函数在给定区间上的单调性与在给定区间上的单调性相反； （2）函数在给定区间上的单调性与的单调性相同； （3）和的公共定义区间，有如下结论； 增 增 增 不确定 增 减 不确定 增 减 减 减 不确定 减 增 不确定 减 【即学即练】已知函数，.若成立，则下列论断中正确的是（    ） A．函数在上一定是增函数； B．函数在上一定不是增函数； C．函数在上可能是减函数； D．函数在上不可能是减函数. 知识点03 函数的最大（小）值 1、最大值：对于函数，其定义域为，如果存在实数满足： ①，都有 ②，使得 那么称是函数的最大值； 2、最小值：对于函数，其定义域为，如果存在实数满足： ①，都有 ②，使得 那么称是函数的最小值； 【即学即练】已知函数是奇函数且在区间上单调递增，则函数在区间上（    ） A．单调递增，有最小值 B．单调递增，有最大值 C．单调递减，有最小值 D．单调递减，有最大值 知识点04 复合函数单调性（同增异减） 一般地，对于复合函数，单调性如下表示，简记为“定义域优先，同增异减”，即内层函数与外层函数单调性相同时，复合函数为增函数；内层函数与外层函数单调性不同时，复合函数为减函数： ：令：和 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 题型01 定义法判断或证明函数单调性 【典例1】已知函数是偶函数． (1)求实数的值； (2)若，用定义法证明函数在上单调递增． 【变式1】已知函数 (1)判断该函数的奇偶性； (2)判断在定义域内的单调性. 【变式2】已知函数是定义在上的奇函数. (1)求的值； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明. 【变式3】已知函数，其中，．求的值并用定义法证明函数在区间上单调递减． 【变式4】已知函数满足任意的实数，都有，且当时，． (1)求的值； (2)判断在上的单调性并证明． 1.利用定义证明函数单调性的步骤 注：作差变形是解题关键　　 2.利用定义证明函数的单调时，常用的变形技巧： （1）因式分解：当原函数是多项式函数时，作差后的变形通常进行因式分解； （2）当原函数是分式函数时，作差后往往进行通分，然后对分子进行因式分解； （3）配方：当原函数是二次函数时，作差后可以考虑配方，便于判断符号； （4）分子有理化：当原函数是根式函数时，作差后往往考虑分子有理化 题型02 求函数（复合函数）单调区间 【典例1】函数的单调递增区间为 ． 【变式1】函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【变式2】函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 【变式3】函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【变式4】函数的单调递减区间为 ． 图像法求函数单调区间的步骤 (1)作图：作出函数的图像． (2)结论：上升图像对应单调递增区间，下降图像对应单调递减区间 题型03 根据函数的单调性求参数 【典例1】若函数有意义，且在区间上单调递减，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1】设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式2】已知函数（且）在区间上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B．（1，4） C． D． 【变式3】已知函数是上的减函数，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式4】若函数在区间上是增函数，则实数的取值范围为 ． 题型04 根据函数的单调性解不等式 【典例1】设函数则不等式的解集为 . 【变式1】已知函数，若，则实数t的取值范围是 ． 【变式2】设函数 ，则满足的的取值范围是 . 【变式3】已知函数则不等式的解集是 ． 【变式4】已知函数是定义在上的单调递减函数，则使不等式成立的实数的取值范围是 . 题型05 函数单调性+奇偶性综合 【典例1】已知函数，若，则实数的取值范围是 ． 【变式1】已知定义在区间上的偶函数，当时，单调递增，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知定义在上的偶函数，且当时，单调递增，则关于的不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【变式3】设函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式4】已知函数，若，则实数的取值范围是 ． 题型06 根据单调性（图象）求最值或值域 【典例1】若函数存在最小值，则m的最大值为 ． 【变式1】函数的最值为（    ）． A．最大值为8，最小值为0 B．不存在最小值，最大值为8 C．最小值为0，不存在最大值 D．不存在最小值，也不存在最大值 【变式2】已知． (1)求证：函数在区间上是减函数； (2)求函数在区间上的值域． 【变式3】已知函数. (1)函数单调性的定义证明：函数在上单调递增； (2)求函数在区间上的最大值和最小值. 【变式4】已知函数，其中． (1)证明：； (2)若在上单调递减，求的取值范围； (3)求在区间上的取值范围． 性质法 （1）函数在给定区间上的单调性与在给定区间上的单调性相反； （2）函数在给定区间上的单调性与的单调性相同； （3）和的公共定义区间，有如下结论； 增 增 增 不确定 增 减 不确定 增 减 减 减 不确定 减 增 不确定 减 题型07 根据函数的最值（值域）求参数 【典例1】若函数 在 的最大值为2，则 的取值范围是 . 【变式1】若函数的最小值为，则实数的取值范围 . 【变式2】已知函数且． (1)若，求的值； (2)若在上的最大值与最小值的差为1，求的值． 【变式3】已知函数 (1)若关于的不等式的解集为，求实数的值： (2)若函数在上的最大值为2，求实数的值. 【变式4】已知函数为偶函数． (1)判断函数在上的单调性，并加以证明； (2)当（其中m＞n＞0）时，函数的值域恰为，求正实数m，n的值． 题型08 函数不等式恒成立问题 【典例1】已知定义域为R的奇函数，． (1)求的值； (2)用函数单调性的定义证明函数在R上是增函数． (3)若存在使成立，求实数的取值范围． 【变式1】已知函数. (1)求不等式的解集； (2)若，求实数的取值范围. 【变式2】已知函数． (1)当时，求函数的单调区间； (2)恒成立，求的取值范围． 【变式3】设函数. (1)若，且，求m的值； (2)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明你的结论； (3)若对任意的恒成立，求实数a的取值范围. 【变式4】若定义在R上的函数对任意实数x，y恒有，当时，，且． (1)求证:为奇函数； (2)求在上的最小值； (3)若不等式:恒成立，求a的取值范围； 1、若任意的，恒成立⇒； 2、若任意的，恒成立⇒； 题型09 函数不等式能成立（有解）问题 【典例1】已知二次函数满足，且. (1)求的解析式； (2)，使得成立，求的取值范围. 【变式1】函数，，若，，使得，求实数a的取值范围. 【变式2】函数，．若，，使得，求实数a的取值范围. 【变式3】已知为幂函数. (1)求函数的值域； (2)若关于的不等式在上有解，求的取值范围. 【变式4】已知函数． (1)求不等式的解集； (2)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围． 1、若存在，有解⇒； 2、若存在，有解⇒； 1．函数的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ． 2．函数的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ． 3．若函数在上不单调，则实数a的取值范围为 . 4．已知函数在区间上的值域为，则 ． 5．已知函数在处取得最小值，则的取值范围是 6．时，函数的最小值为，则实数a的值为 . 7．已知函数则不等式的解集是 . 8．给定函数，用表示函数中的较大者，即，则的最小值为 . 9．已知函数是定义在上的偶函数，若函数在上单调递增，则不等式的解集为 ． 10．设为非零实数，函数若对任意，，都有成立，则实数的取值范围为 ． 11．下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 12．已知幂函数，则是（    ） A．偶函数且在上单调递增 B．偶函数且在上单调递减 C．奇函数且在上单调递增 D．奇函数且在上单调递减 13．已知函数，，若，，使得，则实数的取值范围是(    ). A． B． C． D． 14．已知定义域都为的函数与满足：是偶函数，是奇函数，且． (1)求函数、的解析式； (2)设，，对于，都有，使得，求实数的取值范围． 15．定义在上的函数满足当时，，且对任意的，，有．证明： (1)； (2)对任意的恒有； (3)是增函数． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $