专题5.2 函数的奇偶性（高效培优讲义）数学沪教版2020必修第一册

专题5.2 函数的奇偶性 教学目标 1.理解函数的奇偶性及其几何意义；学会运用函数图象理解和研究函数的性质；学会判断函数的奇偶性； 2.通过函数奇偶性概念的形成过程，培养学生观察、归纳、抽象的能力，渗透数形结合的数学思想. 3.通过函数的奇偶性教学，培养学生从特殊到一般的概括归纳问题的能力. 教学重难点 教学重点： 1.奇函数、偶函数的定义； 2.判断函数奇偶性的步骤； 教学难点： 奇函数、偶函数图象的对称性； 知识点01 函数奇偶性 1、定义： 1.1偶函数：一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且 .，那么函数就叫做 . 1.2奇函数：一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且 .，那么函数就叫做 . 2性质法判断函数的奇偶性： ，在它们的公共定义域上有下面的结论： 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 偶函数 【即学即练】函数是（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既是奇函数，又是偶函数 知识点02奇偶函数的性质 1、奇函数，偶函数的图象特征 设函数的定义域为 （1）是偶函数的图象关于 .对称； （2）是奇函数的图象关于 .对称； （3）若是奇函数且，则 【即学即练】已知函数的图象如下，则的解析式可能为（   ） A． B． C． D． 知识点03对称性（拓展） 1、轴对称： 设函数的定义域为，且是的对称轴，则有： ①； ② ③ 2、点对称 设函数的定义域为，且是的对称中心，则有： ①； ② ③ 题型01函数奇偶性的判断 【典例1】判断下列函数的奇偶性，并说明理由 (1)； (2)； (3)； (4). 【变式1】判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3)． 【变式2】已知函数（且）图象过点． (1)求的值； (2)若，判断函数的奇偶性． 【变式3】已知. (1)判断并证明该函数的奇偶性； (2)画出该函数的图象. 【变式4】判断下列函数奇偶性. (1) (2) 函数奇偶性判断的方法 (1)定义法： (2)图像法：若函数的图像关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图像关于y轴对称．则函数为偶函数．此法多用在解选择、填空题中．　　 (3)性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数. (4)分段函数奇偶性的判断 判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断与的关系.首先要特别注意与的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，与对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较. 题型02 由奇偶性求解析式 【典例1】已知是奇函数，是偶函数，且，则 ， ． 【变式1】已知 是定义在上的奇函数，且当 时， ，则当 时， 【变式2】已知为定义域为的奇函数，当时，；当时， ． 【变式3】已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则当时， . 【变式4】已知函数是定义在上的奇函数，若时，，则时， . 利用函数奇偶性求参数的解题思路 奇、偶函数的定义既是判断函数是否具有奇偶性的一种方法，也是在已知函数奇偶性时可以运用的一个性质，解题时要注意奇、偶函数的定义的正用和逆用．利用函数的奇偶性求参数一般有如下两种题型． (1)定义域含参，需根据定义域关于坐标原点对称列式求解． (2)解析式含参，需根据或列式，比较各项的系数求解．　 题型03 由奇偶性求参数 【典例1】若函数（k为常数）在定义域上为奇函数，则 ． 【典例2】已知是定义在上的偶函数，则 . 【变式1】若是定义在R上的奇函数，则实数a的值为 ． 【变式2】已知且，若函数为偶函数，则 ． 【变式3】已知函数是奇函数，则实数 ． 【变式4】已知函数为奇函数，则实数 ． 题型04 由奇偶性求值 【典例1】已知函数，且，则 ． 【变式1】已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则 . 【变式2】已知是定义在R上的偶函数，当时，，则 ． 【变式3】设函数在区间上的最大值为，最小值为，则的值为 ． 【变式4】已知函数 且， 则 ． 由函数的奇偶性求函数值 由函数的奇偶性求函数值时，若所给的函数具有奇偶性，则直接利用或求解；若所给函数不具有奇偶性，一般续利用所给的函数构造一个奇函数或偶函数，然后利用其奇偶性求值。 题型05 抽象函数的奇偶性 【典例1】已知是定义在上的不恒为零的函数，且， ①若对任意，总有，则是奇函数； ②若对任意，总有，则是偶函数； ③若对任意，总有，则； ④若对任意，总有，则； 则上述说法正确的是 .（填写序号） 【变式1】已知定义域为的函数满足对，都有，则 . 【变式2】已知不恒等于零的函数的定义域为，满足，且，则函数是 函数（选奇、偶填空）， . 【变式3】函数对任意的实数，都满足：（a）（b），且（2），则 . 题型06 函数奇偶性的应用 【典例1】已知是定义在R上的奇函数，是定义在R上的偶函数，若函数的值域为，则函数的最小值为 ． 【变式1】已知定义在 上的函数 满足 ，且 ，则 的一个解析式为 . 【变式2】若函数在区间上的最大值为M，最小值为m，则 ． 【变式3】知函数，且，则 ． 【变式4】若是奇函数，则 . 1．设函数，且为奇函数，则 . 2．已知为定义在上的奇函数，当时，，则 . 3．已知函数是奇函数，则 ． 4．已知偶函数满足：当时，，则 . 5．已知实数，而函数是偶函数，则 ． 6．设是定义在上的奇函数，则 . 7．若是奇函数，则 . 8．已知为奇函数，则实数的值是 ． 9．已知函数（，且）是奇函数，则（   ） A． B． C． D．1 10．函数的定义域为，若，则（    ） A．－2 B．－4 C．2 D．4 11．已知函数． (1)求函数的定义域M； (2)判断函数的奇偶性，若，求的值． 12．设（为实常数） (1)若是奇函数，求与的值； (2)若定义域不为且是奇函数时，求函数的值域． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.2 函数的奇偶性 教学目标 1.理解函数的奇偶性及其几何意义；学会运用函数图象理解和研究函数的性质；学会判断函数的奇偶性； 2.通过函数奇偶性概念的形成过程，培养学生观察、归纳、抽象的能力，渗透数形结合的数学思想. 3.通过函数的奇偶性教学，培养学生从特殊到一般的概括归纳问题的能力. 教学重难点 教学重点： 1.奇函数、偶函数的定义； 2.判断函数奇偶性的步骤； 教学难点： 奇函数、偶函数图象的对称性； 知识点01 函数奇偶性 1、定义： 1.1偶函数：一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做偶函数. 1.2奇函数：一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做奇函数. 2性质法判断函数的奇偶性： ，在它们的公共定义域上有下面的结论： 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 偶函数 【即学即练】函数是（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既是奇函数，又是偶函数 【答案】B 【分析】由函数奇偶性定义判断. 【详解】因为，所以函数的定义域为，关于原点对称． 又， 所以是偶函数,而，故不是奇函数， 故选：B. 知识点02奇偶函数的性质 1、奇函数，偶函数的图象特征 设函数的定义域为 （1）是偶函数的图象关于轴对称； （2）是奇函数的图象关于原点对称； （3）若是奇函数且，则 【即学即练】已知函数的图象如下，则的解析式可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由函数奇偶性排除AB，再由时函数值正负情况可得解. 【详解】由图可知函数为偶函数，而函数和函数为奇函数，故排除选项AB； 又当时，此时， 由图可知当时，，故C不符合，D符合. 故选：D 知识点03对称性（拓展） 1、轴对称： 设函数的定义域为，且是的对称轴，则有： ①； ② ③ 2、点对称 设函数的定义域为，且是的对称中心，则有： ①； ② ③ 题型01函数奇偶性的判断 【典例1】判断下列函数的奇偶性，并说明理由 (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1)偶函数 (2)非奇非偶函数 (3)非奇非偶函数 (4)既是奇函数又是偶函数 【分析】（1）（2）（3）（4）根据函数奇偶性的定义进行判断即可. 【详解】（1）偶函数，理由如下： 函数的定义域为R，关于原点对称， 且， 所以函数为偶函数. （2）非奇非偶函数，理由如下： 由得且， 故函数的定义域为且，不关于原点对称， 所以函数为非奇非偶函数. （3）非奇非偶函数，理由如下： 由解得，所以，函数的定义域为，定义域关于原点不对称， 则为非奇非偶函数． （4）既是奇函数又是偶函数，理由如下： 由，所以，其定义域为，关于原点对称. 因为对定义域内的每一个，都有，所以，， 所以既是奇函数又是偶函数. 【变式1】判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)偶函数 (2)奇函数 (3)奇函数 【分析】（1）（2）（3）求得定义域，利用奇偶性的定义判断即可；. 【详解】（1）因为的定义域为，关于原点对称， 又， 所以为偶函数． （2）因为的定义域为，它关于原点对称， 又， 所以为奇函数． （3）由题设得：，所以函数定义域为，关于原点对称， 且，所以， 所以， 所以， 所以是奇函数 【变式2】已知函数（且）图象过点． (1)求的值； (2)若，判断函数的奇偶性． 【答案】(1) (2)为偶函数． 【分析】（1）代入点，即得答案. （2）代入，得到的解析式，由奇偶性的定义即可得到答案. 【详解】（1）因为函数（且）的图象过点， 所以，所以． （2）根据（1）可得， 所以， 则． 由解得， 所以的定义域为，显然定义域关于原点对称， 又，所以为偶函数． 【变式3】已知. (1)判断并证明该函数的奇偶性； (2)画出该函数的图象. 【答案】(1)为偶函数，证明见解析 (2)函数图象见解析 【分析】（1）根据奇偶性的定义判断即可； （2）根据函数解析式画出函数图象. 【详解】（1）为偶函数，证明如下： 因为，定义域为， 当时，，则； 当时，，则； 又，综上可得对任意的，均有， 所以为偶函数； （2）由可得的图象如下所示： 【变式4】判断下列函数奇偶性. (1) (2) 【答案】(1)奇函数； (2)偶函数. 【分析】（1）（2）求出给定函数的定义域，再利用函数奇偶性定义直接判断即可. 【详解】（1）函数的定义域为， ， 所以函数是奇函数. （2）令，函数的定义域为， ，则函数是偶函数， 所以函数是偶函数. 函数奇偶性判断的方法 (1)定义法： (2)图像法：若函数的图像关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图像关于y轴对称．则函数为偶函数．此法多用在解选择、填空题中．　　 (3)性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数. (4)分段函数奇偶性的判断 判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断与的关系.首先要特别注意与的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，与对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较. 题型02 由奇偶性求解析式 【典例1】已知是奇函数，是偶函数，且，则 ， ． 【答案】 ． 【分析】根据奇偶性构造出新的关系式，结合题干表达式，列方程组求解. 【详解】由题意得， 则有 两式相减得，所以 故答案为：， 【变式1】已知 是定义在上的奇函数，且当 时， ，则当 时， 【答案】 【分析】首先设，再根据奇函数的性质，即可求解. 【详解】设，， 因为函数是奇函数，. 故答案为： 【变式2】已知为定义域为的奇函数，当时，；当时， ． 【答案】 【分析】设，则，代入时解析式，利用奇函数的定义，即可求得答案. 【详解】设，则，代入时解析式可得， 又为奇函数，所以，所以，即. 故答案为：. 【变式3】已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则当时， . 【答案】 【分析】根据题意结合奇函数定义求解即可. 【详解】若，则，可得， 又因为函数是定义在R上的奇函数， 所以. 故答案为：. 【变式4】已知函数是定义在上的奇函数，若时，，则时， . 【答案】 【分析】利用奇函数的性质求的解析式，从而得解. 【详解】因为当时，， 所以当时，则，则， 又函数是定义在上的奇函数， 所以. 故答案为：. 利用函数奇偶性求参数的解题思路 奇、偶函数的定义既是判断函数是否具有奇偶性的一种方法，也是在已知函数奇偶性时可以运用的一个性质，解题时要注意奇、偶函数的定义的正用和逆用．利用函数的奇偶性求参数一般有如下两种题型． (1)定义域含参，需根据定义域关于坐标原点对称列式求解． (2)解析式含参，需根据或列式，比较各项的系数求解．　 题型03 由奇偶性求参数 【典例1】若函数（k为常数）在定义域上为奇函数，则 ． 【答案】 【分析】由奇函数的性质得到恒成立，即可求. 【详解】由题设，即恒成立，所以，经验证满足题设. 故答案为： 【典例2】已知是定义在上的偶函数，则 . 【答案】 【分析】由偶函数的定义域关于原点对称求出a的值，由偶函数的定义求出b的值，从而可得的值． 【详解】∵函数是定义在上的偶函数， ∴定义域关于原点对称，得，即， ∴，又函数是偶函数， ∴，即，即，可得． 故 故答案为：． 【变式1】若是定义在R上的奇函数，则实数a的值为 ． 【答案】 【分析】法一：由奇函数的性质得化简即可；法二：由，解得，再检验是奇函数即可. 【详解】法一：因为为奇函数， 所以 ， 所以，解得． 检验：当时，的定义域为，不合题意； 当时，的定义域为R，符合题意，故． 法二：由题意，，解得． 而当时，， 又， 所以． 故答案为: 【变式2】已知且，若函数为偶函数，则 ． 【答案】2 【分析】由函数奇偶性的定义即可得出答案. 【详解】定义域为 因为为偶函数， 所以， 化简得， 因为，所以，得， 因为，所以 故答案为： 【变式3】已知函数是奇函数，则实数 ． 【答案】 【分析】根据题意，得到，不妨设，列出方程，即可求解. 【详解】因为函数是奇函数，则满足， 不妨设，则，可得，即，所以. 故答案为：. 【变式4】已知函数为奇函数，则实数 ． 【答案】 【分析】由函数为奇函数，即有解出即可. 【详解】由题意有， 所以， 即， 化简整理有：解得， 故答案为：. 题型04 由奇偶性求值 【典例1】已知函数，且，则 ． 【答案】 【分析】设，由得，所以. 【详解】设，则， 由，得，所以. 故答案为：. 【变式1】已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则 . 【答案】1 【分析】根据函数是奇函数的定义结合对数运算化简求值. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数，所以， 当时，，则. 故答案为：1. 【变式2】已知是定义在R上的偶函数，当时，，则 ． 【答案】1 【分析】应用偶函数的性质，并求出对数函数值，即可得. 【详解】由偶函数性质有. 故答案为：1 【变式3】设函数在区间上的最大值为，最小值为，则的值为 ． 【答案】 【分析】构造函数，由其为奇函数即可求解； 【详解】， 构造函数定义域为，则，故为奇函数， 所以， 所以， 故答案为：2 【变式4】已知函数 且， 则 ． 【答案】 【分析】证明为奇函数，进而求得答案. 【详解】由，， 又，所以为奇函数， . 故答案为：. 由函数的奇偶性求函数值 由函数的奇偶性求函数值时，若所给的函数具有奇偶性，则直接利用或求解；若所给函数不具有奇偶性，一般续利用所给的函数构造一个奇函数或偶函数，然后利用其奇偶性求值。 题型05 抽象函数的奇偶性 【典例1】已知是定义在上的不恒为零的函数，且， ①若对任意，总有，则是奇函数； ②若对任意，总有，则是偶函数； ③若对任意，总有，则； ④若对任意，总有，则； 则上述说法正确的是 .（填写序号） 【答案】①③④ 【分析】采用赋值法，对进行合适的赋值可推导函数值或之间的关系，进而确定各选项正误. 【详解】对于①，令得：；令得：，； 令得：，； 令得：，是奇函数，①正确； 对于②，令得：； 令得：， 是奇函数，②错误； 对于③，由①知：， 令，得：，又， ，③正确； 对于④，由②知：；令得：； 令，得：，； 令得：； 令，得：，； 令，得：，，④正确. 故答案为：①③④. 【变式1】已知定义域为的函数满足对，都有，则 . 【答案】0 【分析】令求得，再令，求得，从而可得答案. 【详解】令，得， 令，得， 所以，又， 所以，所以. 故答案为：0. 【变式2】已知不恒等于零的函数的定义域为，满足，且，则函数是 函数（选奇、偶填空）， . 【答案】 偶 /0.5 【分析】①通过赋值得到，然后令得到，即可得到的奇偶性；②通过赋值得到的周期性，然后根据周期求函数值即可. 【详解】分别令，得，又，则， 令，则，即， 所以为偶函数； 令，则，用替换得，所以， 在中用替换，得，所以，所以是周期为6的周期函数， 所以. 故答案为：偶；. 【变式3】函数对任意的实数，都满足：（a）（b），且（2），则 . 【答案】 【分析】令，得，令，，得为奇函数，所以. 【详解】由题意知，，， ， 为奇函数. （2）. 故答案为：. 【点睛】本题考查了利用定义判断函数的奇偶性，考查了利用函数的奇偶性求函数值，属于基础题. 题型06 函数奇偶性的应用 【典例1】已知是定义在R上的奇函数，是定义在R上的偶函数，若函数的值域为，则函数的最小值为 ． 【答案】－4 【分析】根据函数的奇偶性的定义可求的范围，从而可得范围和最小值. 【详解】因为是定义在R上的奇函数，是定义在R上的偶函数， 所以， 所以，即， 因为的值域为，所以的值域也为， 所以的值域为，所以的值域也为， 所以的最小值为． 故答案为：－4. 【变式1】已知定义在 上的函数 满足 ，且 ，则 的一个解析式为 . 【答案】 【分析】由偶函数的性质结合题意可得； 【详解】由题意，得 为偶函数， 且 ，又 ，可得 . 故答案为：. 【变式2】若函数在区间上的最大值为M，最小值为m，则 ． 【答案】4 【分析】化简，令，判断该函数的奇偶性，结合奇偶性以及，即可求得答案. 【详解】解：因为， 令，则， 又因为，所以函数为奇函数， 所以，所以． 故答案为：4． 【变式3】知函数，且，则 ． 【答案】 【分析】设，证明该函数为奇函数，由求出，由奇函数得，从而求得. 【详解】设，则， 由，可得为奇函数， 因解得，故， 于是. 故答案为：. 【变式4】若是奇函数，则 . 【答案】 【分析】应用奇函数性质及分段函数得出函数值. 【详解】因为是奇函数，则. 故答案为：. 1．设函数，且为奇函数，则 . 【答案】2 【分析】根据奇函数性质得到，带入化简得到答案. 【详解】若函数为奇函数， 则， 解得：. 故答案为：. 2．已知为定义在上的奇函数，当时，，则 . 【答案】 【分析】利用奇函数的性质可求得的值. 【详解】因为为定义在上的奇函数，当时，， 则，故. 故答案为：. 3．已知函数是奇函数，则 ． 【答案】 【分析】根据奇函数的性质可求的值，故可求. 【详解】因为是奇函数，故， 故恒成立，故，或， 当时，函数定义域为，不关于原点对称，舍， 故，此时，故， 故答案为：. 4．已知偶函数满足：当时，，则 . 【答案】18 【分析】根据偶函数的性质，结合对数运算，可得答案. 【详解】因为为偶函数，所以. 故答案为：. 5．已知实数，而函数是偶函数，则 ． 【答案】3 【分析】根据偶函数的性质即可求解. 【详解】因为实数，而函数是偶函数， 所以，且由，解得，经检验符合题意， 所以. 故答案为：3. 6．设是定义在上的奇函数，则 . 【答案】 【分析】根据函数的奇偶性列方程，化简求得，进而求得. 【详解】因为是定义在上的奇函数， 则，即， 解得，所以，则. 故答案为： 7．若是奇函数，则 . 【答案】1 【分析】是定义域为的奇函数，利用求解即可. 【详解】定义域为，又是奇函数，所以，解得； 当时，，，故是奇函数. 故答案为：1. 8．已知为奇函数，则实数的值是 ． 【答案】4 【分析】根据函数是奇函数的定义恒成立，结合对数运算计算求解. 【详解】因为函数是奇函数， ， 即恒成立， 即恒成立， 所以恒成立， 整理得恒成立， ，解得或， 当时，函数定义域为，定义域不关于原点对称，函数不是奇函数， 当时，， 由，可得或， ，满足是奇函数， 所以； 故答案为：4. 9．已知函数（，且）是奇函数，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】根据奇函数的定义即可求出最终结果． 【详解】为奇函数， ∴，即，则， 故， ∵时，不恒为零， ∴，即，又， ∴， 故选：． 10．函数的定义域为，若，则（    ） A．－2 B．－4 C．2 D．4 【答案】C 【分析】方法一，利用赋值法来证明函数的周期性和特殊函数值，即可判断， 方法二，是利用特例函数来满足条件，即可得结论. 【详解】方法一：利用赋值法， 令，则，所以． 令，，则，所以． 令，则． 令，则． 所以， 若恒成立，则与题设条件矛盾，所以不恒为0， 所以，所以， 所以，所以4为的一个周期， 所以．令，得， 又，所以，，所以， 故选：C． 方法二：举满足条件的特例函数，即令， 检验得，且，符合题意， 所以， 故选：C． 11．已知函数． (1)求函数的定义域M； (2)判断函数的奇偶性，若，求的值． 【答案】(1)函数的定义域为； (2). 【分析】（1）根据函数解析式，得，解出不等式，取交集即可； （2）通过计算，并与比较，即可判断奇偶性，根据奇偶性，即可求得. 【详解】（1）由题意，， 由，解得， 则函数的定义域为． （2）由（1）知函数的定义域关于原点对称． 又， 所以函数为奇函数， 又，所以． 12．设（为实常数） (1)若是奇函数，求与的值； (2)若定义域不为且是奇函数时，求函数的值域． 【答案】(1)或． (2)． 【分析】（1）根据得到方程，化简得到，从而得到方程组，求出与的值； （2）在（1）基础上，得到．进而求出值域. 【详解】（1）是奇函数时，． 即对定义域内任意实数都成立， 即． 对定义域内任意实数都成立，所以，所以或； （2）当时，，定义域为，不符合题意； 当时，． 当时，因为，故，则．所以； 当时，． 综上所述：函数的值域为． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $