专题02 函数的奇偶性的四类综合问题（压轴题专项训练）数学沪教版2020必修第一册

专题02 函数的奇偶性四类综合题型 目录 典例详解 类型一、函数奇偶性的定义及应用 类型二、抽象函数的奇偶性 类型三、函数图象的对称性 类型四、函数的奇偶性与不等式、方程的交汇 压轴专练 类型一、函数奇偶性的定义及应用 1.偶函数与奇函数的定义 一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(－x)＝f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数；一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(－x)＝－f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数. 2.判断一个函数的奇偶性一般有以下4种类型： ①是奇函数,不是偶函数；②是偶函数,不是奇函数；③既是奇函数,也是偶函数；④不是奇函数,也不是偶函数.若一个函数的定义域不关于原点对称,则该函数不是奇函数,也不是偶函数.既是奇函数,也是偶函数. 3.分段函数奇偶性的判断. 分段函数奇偶性的判断,要注意定义域内x取值的任意性,应分段讨论,讨论时可依据x的范围取相应的解析式化简,判断f(x)与f(－x)的关系,得出结论,也可以利用图象作判断． 4.下面几类常见的函数都是奇函数： ①y=(ab≠0);②y=(a>0且a≠1);③y=(a>0且a≠1); ④ (a>0且a≠1). 【例1】（上海市曹杨第二中学2024-2025学年高一上学期12月月考）已知为定义在R上的函数,则“既不是奇函数也不是偶函数”是“存在,使得”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】B 【解析】当既不是奇函数也不是偶函数时,取,满足条件,当时,,则,当或时,或,则, 此时对于任意,均有,即充分性不成立；当存在,使得,则,则既不是奇函数也不是偶函数,即必要性成立；所以“既不是奇函数也不是偶函数”是“存在,使得”的必要非充分条件. 故选B. 【变式1-1】（上海市控江中学2024-2025学年高一上学期期末）已知函数的定义域为,那么“函数的图象关于原点对称”是“对任意,都存在,使得成立”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【例2】（上海市敬业中学2024-2025学年高一上学期期末）已知函数的定义域为,是偶函数,是奇函数,则 . 【答案】 【解析】因为是偶函数,是奇函数,所以,,所以,所以,所以. 【变式2-1】（上海交通大学附属中学2024-2025学年高二上学期12月月考）已知是偶函数,则 ． 类型二、抽象函数的奇偶性 1.抽象函数奇偶性一般通过赋值进行判断. 2.若 满足对任意实数a,b都有,则是奇函数 3.已知函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0},且满足对任意x1,x2∈D,有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2),则f(x)是偶函数. 【例3】（2024浙江省诸暨市高三三模）已知函数满足：对任意实数,,都有成立,且,则（    ） A．为奇函数 B．为奇函数 C．为偶函数 D．为偶函数 【答案】D 【解析】令,则,,所以, 令,则,即,又, 所以关于对称,所以关于对称,故A不正确；关于对称,故B不正确；由A可知关于对称,故C不正确；由A可知关于对称,故为奇函数,所以为偶数,故D正确.故选D. 【变式3-1】对任意,都有,且不恒为0,函数,则（    ） A．0 B．2 C．4 D．6 类型三、函数图象的对称性 1.奇（偶）函数图象的对称性 奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称； 2.涉及函数图象对称性的几个结论 (1)若,则的图象关于直线对称； (2)的图象与的图象关于直线对称； (3)若,则的图象关于点对称. 【例4】（上海交通大学附属中学2024-2025学年高一上学期期中）已知.函数的图像是一个中心对称图形.若函数与函数的图像交点分别为为正整数）,则 . 注： 【答案】12 【解析】由,,则, 则,即函数关于点对称,且在上单调递增,又,, 即函数关于点对称,因为在上分别单调递减, 作出函数与的图像如图所示,结合函数图象可知,函数与有4个交点,分别为且与与分别关于点对称, 即. 【变式4-1】（湖南省岳阳市、汨罗市2024-2025学年高二下学期期中）已知函数,的定义域均为,且,．若的图像关于直线对称,,则（   ） A．22 B． C． D．24 【变式4-2】（上海市浦东复旦附中分校2022-2023学年高一上学期10月月考）已知函数的图象关于垂直于轴的直线对称,则实数的取值集合是 . 类型四、函数的奇偶性与不等式、方程的交汇 1．若奇函数在处有意义,则. 2．若是偶函数,则.巧妙利用这一结论解题可避免因讨论带来的繁琐运算. 3.若是奇函数,形如的不等式可转换为. 【例5】已知定义在R上的函数满足：为奇函数,,且对任意,都有,则（    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【解析】由题设,则,所以,即关于对称,又,则,由于,又任意都有, 所以,由,故, 而,故,故.综上,.故选D. 【变式5-1】（上海市金山中学2024-2025学年高一上学期期末）已知函数是定义在R上的奇函数,当时,.其中a,m为实数,且.若对任意,恒成立,求实数a的取值范围 . 【例6】（上海市南洋模范中学2022-2023学年高一上学期11月月考）设且满足,则 . 【答案】 【解析】,即即,同理,又因为,所以,构造函数, 所以,,即,又因为, 即,所以是定义在上的奇函数. 所以式变为： 即,由幂函数知在上单调递增, 所以,,即. 【变式6-1】（重庆市南开中学2025届高三上学期8月质量检测）已知函数,正数,满足,则的最小值为 ． 一、填空题 1．（上海市金山中学2023-2024学年高二下学期期末）若为常数,且函数是奇函数,则的值为 ． 2．已知函数（为常数）,其图象关于点对称,则 ． 3．（上海市川沙中学2024-2025学年高三上学期期中）已知函数为偶函数,则不等式的解集为 . 4．（上海市控江中学2024-2025学年高一上学期期末）已知定义在上的函数满足,若函数的图象与函数的图象的公共点为,,,…,,则 ． 5.（上海市向明中学2024-2025学年高三上学期10月月考）设函数的定义域关于原点对称,且不恒为0,下列结论： ①若是奇函数或偶函数,则满足的奇函数与偶函数中恰有一个为常函数,其函数值为0； ②若既不是奇函数也不是偶函数,则满足的奇函数与偶函数不存在； ③若为奇函数,则满足的奇函数与偶函数存在无数对； ④若为偶函数,则满足的奇函数与偶函数存在无数对．其中正确的是 .（填写序号）. 二、选择题 6．（上海市青浦高级中学2023-2024学年高三下学期5月质量检测）已知函数为偶函数,若,则a不可能为（    ） A． B． C． D． 7.已知函数的图像关于点中心对称,则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 8.（上海市嘉定第二中学2024届高三上学期期中）已知函数为偶函数,则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 9．设函数是R上的奇函数,当时,,则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 10．（上海市杨浦区复旦大学附属中学2024-2025学年高一上学期12月检测）函数的定义域为上任一点满足,则以下命题真命题的个数为（   ） ①一定是偶函数   ②一定是奇函数   ③可能是非奇非偶函数 ④若值域为,则一定是奇函数   ⑤的图形可能是个封闭的圆 ⑥若为偶函数,则值域为或 A．2 B．3 C．4 D．5 11．已知,若对于任意,总存在正数,使得成立,则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 三、解答题 12．（上海市金山区2025届高三下学期二模）已知函数是定义在上的奇函数,当时,. (1)求的值； (2)若,求函数的值域. 13．（2025届上海市崇明区高三二模）已知． (1)是否存在实数a,使得函数是偶函数？若存在,求实数a的值,若不存在,请说明理由； (2)若且,解关于x的不等式． 14．定义,中元素称为奇函数；,中元素称为奇函数；,中元素称为双偶函数.例如：,, (1)在下面横线上填下列词的一个：“真包含”“真包含于”“相等”,___________,并说明理由； (2)若所有项系数均为正数的多项式函数,满足,且,则可以找到关于的多项式函数,使得当,时,,且等号当时取到,求这样的； (3)证明：对任何函数,均可得到如下分解：,其中为奇函数,为奇函数,为双偶函数. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 函数的奇偶性四类综合题型 目录 典例详解 类型一、函数奇偶性的定义及应用 类型二、抽象函数的奇偶性 类型三、函数图象的对称性 类型四、函数的奇偶性与不等式、方程的交汇 压轴专练 类型一、函数奇偶性的定义及应用 1.偶函数与奇函数的定义 一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(－x)＝f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数；一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(－x)＝－f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数. 2.判断一个函数的奇偶性一般有以下4种类型： ①是奇函数,不是偶函数；②是偶函数,不是奇函数；③既是奇函数,也是偶函数；④不是奇函数,也不是偶函数.若一个函数的定义域不关于原点对称,则该函数不是奇函数,也不是偶函数.既是奇函数,也是偶函数. 3.分段函数奇偶性的判断. 分段函数奇偶性的判断,要注意定义域内x取值的任意性,应分段讨论,讨论时可依据x的范围取相应的解析式化简,判断f(x)与f(－x)的关系,得出结论,也可以利用图象作判断． 4.下面几类常见的函数都是奇函数： ①y=(ab≠0);②y=(a>0且a≠1);③y=(a>0且a≠1); ④ (a>0且a≠1). 【例1】（上海市曹杨第二中学2024-2025学年高一上学期12月月考）已知为定义在R上的函数,则“既不是奇函数也不是偶函数”是“存在,使得”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】B 【解析】当既不是奇函数也不是偶函数时,取,满足条件,当时,,则,当或时,或,则, 此时对于任意,均有,即充分性不成立；当存在,使得,则,则既不是奇函数也不是偶函数,即必要性成立；所以“既不是奇函数也不是偶函数”是“存在,使得”的必要非充分条件. 故选B. 【变式1-1】（上海市控江中学2024-2025学年高一上学期期末）已知函数的定义域为,那么“函数的图象关于原点对称”是“对任意,都存在,使得成立”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】A 【解析】因为函数的定义域为,若函数的图象关于原点对称,即函数为奇函数,故对任意,都存在且,使得；若对任意,都存在,使得,不妨取,则,即,即函数的图象关于点对称,即对任意的,存在,使得,但函数不是奇函数.因此,“函数的图象关于原点对称”是“对任意,都存在,使得成立”的充分非必要条件.故选A. 【例2】（上海市敬业中学2024-2025学年高一上学期期末）已知函数的定义域为,是偶函数,是奇函数,则 . 【答案】 【解析】因为是偶函数,是奇函数,所以,,所以,所以,所以. 【变式2-1】（上海交通大学附属中学2024-2025学年高二上学期12月月考）已知是偶函数,则 ． 【答案】 【解析】因为为偶函数, 所以, 所以,所以恒成立,即恒成立, 又,所以,解得,经检验满足题意. 类型二、抽象函数的奇偶性 1.抽象函数奇偶性一般通过赋值进行判断. 2.若 满足对任意实数a,b都有,则是奇函数 3.已知函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0},且满足对任意x1,x2∈D,有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2),则f(x)是偶函数. 【例3】（2024浙江省诸暨市高三三模）已知函数满足：对任意实数,,都有成立,且,则（    ） A．为奇函数 B．为奇函数 C．为偶函数 D．为偶函数 【答案】D 【解析】令,则,,所以, 令,则,即,又, 所以关于对称,所以关于对称,故A不正确；关于对称,故B不正确；由A可知关于对称,故C不正确；由A可知关于对称,故为奇函数,所以为偶数,故D正确.故选D. 【变式3-1】对任意,都有,且不恒为0,函数,则（    ） A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【解析】令,可得,故,令,可得,由不恒为0,得,则是奇函数,即有,因为,所以令,得到,故B正确. 故选B. 类型三、函数图象的对称性 1.奇（偶）函数图象的对称性 奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称； 2.涉及函数图象对称性的几个结论 (1)若,则的图象关于直线对称； (2)的图象与的图象关于直线对称； (3)若,则的图象关于点对称. 【例4】（上海交通大学附属中学2024-2025学年高一上学期期中）已知.函数的图像是一个中心对称图形.若函数与函数的图像交点分别为为正整数）,则 . 注： 【答案】12 【解析】由,,则, 则,即函数关于点对称,且在上单调递增,又,, 即函数关于点对称,因为在上分别单调递减, 作出函数与的图像如图所示,结合函数图象可知,函数与有4个交点,分别为且与与分别关于点对称, 即. 【变式4-1】（湖南省岳阳市、汨罗市2024-2025学年高二下学期期中）已知函数,的定义域均为,且,．若的图像关于直线对称,,则（   ） A．22 B． C． D．24 【答案】C 【解析】因为的图像关于直线对称,所以, 因为,所以,即, 因为,所以, 代入得,即, 所以, . 因为,所以,即,所以. 因为,所以,又因为, 联立得,,所以的图像关于点中心对称,因为函数的定义域为, 所以因为,所以. 所以. 故选C. 【变式4-2】（上海市浦东复旦附中分校2022-2023学年高一上学期10月月考）已知函数的图象关于垂直于轴的直线对称,则实数的取值集合是 . 【答案】 【解析】设对称轴为,则,所以, 若,则,所以满足题意；若, 若,则,即,此时,,,, 于是满足题意,所以满足题意；同理,当,,时,满足题意；综上,实数的取值集合是. 类型四、函数的奇偶性与不等式、方程的交汇 1．若奇函数在处有意义,则. 2．若是偶函数,则.巧妙利用这一结论解题可避免因讨论带来的繁琐运算. 3.若是奇函数,形如的不等式可转换为. 【例5】已知定义在R上的函数满足：为奇函数,,且对任意,都有,则（    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【解析】由题设,则,所以,即关于对称,又,则,由于,又任意都有, 所以,由,故, 而,故,故.综上,.故选D. 【变式5-1】（上海市金山中学2024-2025学年高一上学期期末）已知函数是定义在R上的奇函数,当时,.其中a,m为实数,且.若对任意,恒成立,求实数a的取值范围 . 【答案】 【解析】,由题意得,解得,当时,,画出上的函数的图象,   是由向右平移1个单位得到, 结合图象,要想恒成立,只需,解得 又,故,所以a的取值范围为. 【例6】（上海市南洋模范中学2022-2023学年高一上学期11月月考）设且满足,则 . 【答案】 【解析】,即即,同理,又因为,所以,构造函数, 所以,,即,又因为, 即,所以是定义在上的奇函数. 所以式变为： 即,由幂函数知在上单调递增, 所以,,即. 【变式6-1】（重庆市南开中学2025届高三上学期8月质量检测）已知函数,正数,满足,则的最小值为 ． 【答案】 【解析】函数,定义域为,由,,所以函数为奇函数, 且,所以,即, 则, 当且仅当,即时,等号成立. 一、填空题 1．（上海市金山中学2023-2024学年高二下学期期末）若为常数,且函数是奇函数,则的值为 ． 【答案】 【解析】是奇函数,,即, ,即,, 展开整理得,要使等式恒成立,则有,即,解得． 当时,,由,得,解得或,即定义域为或,定义域关于原点对称,且满足,成立． 2．已知函数（为常数）,其图象关于点对称,则 ． 【答案】1 【解析】由题知反比例函数的图象关于对称,则将函数图象向右平移个单位,然后再向上平移个单位,则得到,则根据图象的平移变换可知函数关于对称,结合题意知,则. 3．（上海市川沙中学2024-2025学年高三上学期期中）已知函数为偶函数,则不等式的解集为 . 【答案】 【解析】由函数（）为偶函数,则,即, 解得,此时,因为,所以函数是偶函数,符合题意, 由即,即,解得且,所以不等式的解集为. 4．（上海市控江中学2024-2025学年高一上学期期末）已知定义在上的函数满足,若函数的图象与函数的图象的公共点为,,,…,,则 ． 【答案】 【解析】由知,的图象关于点对称,由的图象关于点中心对称,所以函数的图象与函数的图象的公共点, 又公共点共有20个,所以它们分布在点两侧,且关于该点对称,所以,, 所以40. 5.（上海市向明中学2024-2025学年高三上学期10月月考）设函数的定义域关于原点对称,且不恒为0,下列结论： ①若是奇函数或偶函数,则满足的奇函数与偶函数中恰有一个为常函数,其函数值为0； ②若既不是奇函数也不是偶函数,则满足的奇函数与偶函数不存在； ③若为奇函数,则满足的奇函数与偶函数存在无数对； ④若为偶函数,则满足的奇函数与偶函数存在无数对．其中正确的是 .（填写序号）. 【答案】①③④ 【解析】对于①,则,当为奇函数时, 则即;当为偶函数时,则即 即满足的奇函数与偶函数中恰有一个为常函数, 其函数值为 0 , 故①正确; 对于②,当时,不具有奇偶性,满足的奇函数与偶函数存在, 故②错误；对于③为奇函数时,令奇函数 偶函数则,因为,故存在无数对奇函数与偶函数, 满足, 故③正确;对于④为偶函数,令奇函数, 偶函数则,因为,故存在无数对奇函数与偶函数, 满足.故④正确.故答案为：①③④. 二、选择题 6．（上海市青浦高级中学2023-2024学年高三下学期5月质量检测）已知函数为偶函数,若,则a不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为为偶函数,所以恒成立,即恒成立, 所以,所以,所以,又,所以, 因为,所以,故选D. 7.已知函数的图像关于点中心对称,则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为的对称中心为,所以为奇函数,设,则,由的解集关于原点对称,得,此时,（） 任取,,所以, 即,解得,所以图象对称中心的坐标为.故选B. 8.（上海市嘉定第二中学2024届高三上学期期中）已知函数为偶函数,则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为函数为偶函数,所以, 所以,解得,所以,则由可得,即, 解得,即或,所以不等式的解集为.故选B. 9．设函数是R上的奇函数,当时,,则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意,设,则,所以,因为是定义在上的奇函数, 所以,所以,即时,,此时函数在上单调递减,在单调递增；当时,,此时函数在上单调递增,在单调递减；所以函数在上单调递减,若,即,又由,且,必有时,,解得,所以不等式的解集为.故选. 10．（上海市杨浦区复旦大学附属中学2024-2025学年高一上学期12月检测）函数的定义域为上任一点满足,则以下命题真命题的个数为（   ） ①一定是偶函数   ②一定是奇函数   ③可能是非奇非偶函数 ④若值域为,则一定是奇函数   ⑤的图形可能是个封闭的圆 ⑥若为偶函数,则值域为或 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【解析】如图所示,函数的定义域为,可得函数在时是由第一或第四象限的部分点或弧组成,在时是由第二或第三象限的部分点或弧组成,所以不一定是奇函数,也不一定偶函数,可能是非奇非偶函数,故①②错,③对；若函数值域为,依下图的特征,只能是一一对应关系才能满足,结合下图轴对称与中心对称的特征,则必有,故函数一定是奇函数,故④对；由图可知的图形不可能是个封闭的圆,故⑤错误；若函数是偶函数,只需有关于轴对称的弧或点即可,故值域不一定是或,故⑥错.故选A. 11．已知,若对于任意,总存在正数,使得成立,则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当时,函数的定义域为,,所以,函数为奇函数.,则函数在区间和上均为增函数, 若且,即,即, 所以,,对于任意,总存在正数,使得成立, 则,总存在m使之成立, ,,,.故选A. 三、解答题 12．（上海市金山区2025届高三下学期二模）已知函数是定义在上的奇函数,当时,. (1)求的值； (2)若,求函数的值域. 解：（1）因为函数是定义在上的奇函数, 所以, 所以； （2）, 令,问题等价于求的值域, 函数图象开口向上,对称轴为直线, , 函数的值域为． 13．（2025届上海市崇明区高三二模）已知． (1)是否存在实数a,使得函数是偶函数？若存在,求实数a的值,若不存在,请说明理由； (2)若且,解关于x的不等式． 解：（1）存在实数,使得函数是偶函数. 要使函数有意义,须满足,即, 显然,即,函数的定义域. 当时,函数定义域不关于原点对称,此时必然存在且,此时函数不是偶函数. 当时,, 函数的定义域为,对于任意的,都有, 并且 因此函数是一个偶函数 综上所述,存在实数,使得函数是偶函数 （2）由,得 所以且①． 由①得,. 因为且, 所以当时,, 当时,. 综上可得：当时,不等式的解集为；当时,不等式的解集为. 14．定义,中元素称为奇函数；,中元素称为奇函数；,中元素称为双偶函数.例如：,, (1)在下面横线上填下列词的一个：“真包含”“真包含于”“相等”,___________,并说明理由； (2)若所有项系数均为正数的多项式函数,满足,且,则可以找到关于的多项式函数,使得当,时,,且等号当时取到,求这样的； (3)证明：对任何函数,均可得到如下分解：,其中为奇函数,为奇函数,为双偶函数. 解：（1）根据题意知,集合中的元素满足 集合中的元素满足 所以集合中的元素同时满足和 即,代入得 即中的元素满足集合中元素的条件； 又,而,, 所以真包含于. （2）根据题意,, 则, （其中,,且,）, 取,则 因为, 所以,且当时, , . （3）令, , , 则, , , 所以,,, 且. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $