专题5.4 函数的应用与反函数（高效培优讲义）数学沪教版2020必修第一册

专题5.4 函数的应用与反函数 教学目标 1.借助零点的求法培养数学运算和逻辑推理的素养． 2．借助函数的零点同方程根的关系，培养直观想象的数学素养. 3.借助二分法的操作步骤与思想，培养数学建模及逻辑推理素养. 教学重难点 教学重点：①理解函数零点的概念以及函数零点与方程根的关系． 教学难点： ①会求函数的零点并掌握函数零点存在定理并会判断函数零点的个数． ②了解二分法是求方程近似解的常用方法，能借助计算器用二分法求方程的近似解． 知识点01 函数的零点 对于一般函数，我们把使的实数叫做函数的 . 几何定义:函数的零点就是方程的实数解,也就是函数的图象与 .的公共点的横坐标.  这样：方程有实数解函数 .函数的图象与轴 . 【即学即练】函数的零点为（   ） A． B． C．或 D．或 知识点02 零点存在性定理 1、函数零点存在定理 如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且有 ，那么函数在区间内 ，即存在，使得 ，这个也就是方程的解. 说明：定理要求具备两个条件:①函数在区间上的图象是连续不断的;②.两个条件缺一不可. 2、函数零点的求法 ①代数法：根据零点定义，求出方程的实数解; ②数形结合法：作出函数图象，利用函数性质求解 3、函数零点个数的判断 ①利用代数法，求出所有零点； ②数形结合，通过作图，找出图象与轴交点的个数； ③数形结合，通过分离，将原函数拆分成两个函数，找到两个函数图象交点的个数； ④函数零点唯一：函数存在零点+函数单调. 【即学即练】已知方程的解所在区间为，则= . 知识点03二次函数零点问题 一元二次方程的实数根也称为函数的零点. 当时，一元二次方程的实数根、二次函数的零点之间的关系如下表所示： 的实数根 （其中） 方程无实数根 的图象 的零点 【即学即练】已知函数，则函数的零点为 ． 知识点04 二分法求函数零点 1.二分法 所谓二分法就是通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法. 2.用二分法求函数零点的一般步骤： 已知函数定义在区间D上，求它在D上的一个零点x0的近似值x，使它满足给定的精确度. 第一步：在D内取一个闭区间，使与异号，即，零点位于区间中. 第二步：取区间的中点，则此中点对应的坐标为 . 计算和，并判断： ①如果，则就是的零点，计算终止； ②如果，则零点位于区间中，令； ③如果，则零点位于区间中，令 第三步：取区间的中点，则此中点对应的坐标为 . 计算和，并判断： ①如果，则就是的零点，计算终止； ②如果，则零点位于区间中，令； ③如果，则零点位于区间中，令； …… 继续实施上述步骤，直到区间，函数的零点总位于区间上，当和按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数的近似零点，计算终止.这时函数的近似零点满足给定的精确度. 要点诠释： （1）第一步中要使：①区间长度尽量小；②、的值比较容易计算且． （2）根据函数的零点与相应方程的根的关系，求函数的零点和求相应方程的根式等价的．对于求方程的根，可以构造函数，函数的零点即为方程的根 【即学即练】设，某同学用二分法求方程的近似解（精确度为0.5），列出了对应值表如下： 0.125 0.4375 0.75 2 0.49 3.58 依据此表格中的数据，得到的方程近似解可能是（    ） A． B． C． D． 知识点05 反函数 1、反函数定义 一般地，对于函数)，设它的定义域为，值域为，如果对中任意一个值，在中总有唯一确定的值与它对应，使,这样得到的 。在习惯上，自变量用表示，而函数用表示，所以把它改写为 2、关于反函数的结论 （1）关于反函数的定义域与值域分别是其原函数的值域和定义域， （2）互为反函数的两个函数与图像关于直线对称；若点在的图像上，则点必在图像上； 3、求反函数的步骤 （1）求反函数的值域(若值域显然，解题时常略去不写)； （2）反解：由解出； （3）改写：在中，将,互换得到； （4）标明反函数的定义域，即（1）中求出的值域。 【即学即练】函数的反函数是（   ） A． B． C． D． 题型01求函数的零点 【典例1】函数的零点是 (写出满足条件的一个零点即可). 【变式1】函数的零点为 . 【变式2】方程的解集为 ． 【变式3】已知函数，则函数的零点是 . 【变式4】已知函数，则函数的零点是 ． 函数零点的求法 (1)代数法：求出方程的实数根，即为函数的零点． (2)几何法：对于不能用求根公式或分解因式求解的方程，可以将它与对应函数的图像联系起来，利用函数的性质求零点． 题型02 求函数零点个数 【典例1】函数的零点个数为 . 【变式1】函数的零点个数是 ． 【变式2】已知函数，则函数的零点个数为 . 【变式3】设函数是定义在上的奇函数，当时，，则的零点个数为 . 判断函数零点个数的三种方法 (1)方程法：若方程的解可求或能判断解的个数，可通过方程的解来判断函数是否存在零点或判定零点的个数． (2)图像法：由，得，在同一坐标系内作出和的图像，根据两个图像交点的个数来判定函数零点的个数． (3)定理法：函数的图像在区间上是一条连续不断的曲线，由即可判断函数在区间内至少有一个零点．若函数在区间上是单调函数，则函数在区间内只有一个零点． 题型03 判断函数零点所在区间 【典例1】函数的零点所在的区间是（   ） A． B． C． D． 【变式1】函数的零点所在的区间为（   ） A． B． C． D． 【变式2】函数的零点所在的一个区间为（   ） A． B． C． D． 【变式3】函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 【变式4】已知函数的零点位于区间上，则 . 函数零点存在定理 如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且有，那么函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解. 题型04根据函数零点（零点个数）求参数 【典例1】若关于的方程有两解，则的取值范围是 ． 【变式1】设，若方程有三个不同的实数根，则实数的取值范围是 . 【变式2】已知函数，若函数恰有两个零点，则实数a的取值范围是 . 【变式3】若函数只有一个零点，则实数的取值范围是 ． 【变式4】已知函数，若函数有两个零点，则实数的取值范围是 ． 题型05求零点和 【典例1】设函数，关于x的方程有三个不等实根，则的取值范围是 ． 【变式1】设，则函数的所有零点之和为 ． 【变式2】设是函数（为常数）的两个零点，则的值为 . 【变式3】已知函数，m为正的常数，则的零点之和为 ． 【变式4】已知是方程的两个根，则 题型06 二分法的定义与应用 【典例1】借助信息技术，用二分法求函数零点的近似值得到下表数据： 1.00 1.25 1.50 1.625 0.6931 0.4325 0.0879 -0.1193 则由表中的数据，可得函数的一个零点的近似值为（精确度为0.1）（    ） A．1.5625 B．1.25 C．1.4375 D．1.46875 【变式1】某同学用二分法求函数的零点时，用计算器算得部分函数值如下表所示： 则该函数零点的近似值（精确度为0.1）可以是（    ） A．1.2 B．1.21 C．1.27 D．1.32 【变式2】小明同学在用二分法研究函数在区间的零点时，发现，，，那么他下一步应计算（    ） A． B． C． D． 【变式3】用二分法求函数在区间上的近似解，要求精确度为0.1时，所需二分区间次数最少为（   ）次 A．3 B．4 C．5 D．6 【变式4】已知函数在区间内的一个零点附近函数值用二分法逐次计算的结果如下表所示， 1 1.5 1.25 1.375 1.3125 0.875 0.2246 那么方程的一个近似根（精确度为0.1）为（   ） A．1 B．1.5 C．1.25 D．1.3125 题型07 反函数 【典例1】若、分别是函数，的零点，则下列结论成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】函数的图象与函数的图象关于直线对称，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】设，若的反函数的图象经过点，则（   ） A． B． C． D． 【变式3】若，设函数的零点为，的零点为，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 【变式4】已知函数和其反函数的图象都过点，则 ． 1．用二分法求函数在区间上的零点的近似值，由计算得，.下一个求，则 . 2．函数的零点个数为 3．若函数只有一个零点，则实数的值为 ． 4．已知函数有且仅有3个零点，则a的取值范围为 ． 5．已知函数，若，且，则 . 6．在用二分法求方程的近似解的过程中，已确定方程的一根，则再经过两次计算后，所在的开区间为 ． 7．用二分法研究函数的零点时，第一次经过计算得，，则第二次应计算的函数值是 ． 8．（1）若方程有两解，则实数的取值范围是 ； （2）若方程有一解，则实数的取值范围是 ． 9．已知方程的实根为的实根为的实根为，则的大小关系是（    ）. A． B． C． D． 10．函数的零点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 11．已知函数，且函数是奇函数. (1)求实数的值； (2)设函数，判断函数在区间上的单调性，并证明你的判断； (3)设函数，写出函数的零点个数.（结论不要求证明） 12．已知指数函数，满足. (1)求函数的解析式； (2)若方程有两个不同的实数解，求实数的取值范围. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.4 函数的应用与反函数 教学目标 1.借助零点的求法培养数学运算和逻辑推理的素养． 2．借助函数的零点同方程根的关系，培养直观想象的数学素养. 3.借助二分法的操作步骤与思想，培养数学建模及逻辑推理素养. 教学重难点 教学重点：①理解函数零点的概念以及函数零点与方程根的关系． 教学难点： ①会求函数的零点并掌握函数零点存在定理并会判断函数零点的个数． ②了解二分法是求方程近似解的常用方法，能借助计算器用二分法求方程的近似解． 知识点01 函数的零点 对于一般函数，我们把使的实数叫做函数的零点. 几何定义:函数的零点就是方程的实数解,也就是函数的图象与轴的公共点的横坐标.  这样：方程有实数解函数有零点函数的图象与轴有公共点 【即学即练】函数的零点为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】直接解方程即得函数的零点. 【详解】令，即，解得, 所以函数的零点为或. 故选：D 知识点02 零点存在性定理 1、函数零点存在定理 如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且有，那么函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解. 说明：定理要求具备两个条件:①函数在区间上的图象是连续不断的;②.两个条件缺一不可. 2、函数零点的求法 ①代数法：根据零点定义，求出方程的实数解; ②数形结合法：作出函数图象，利用函数性质求解 3、函数零点个数的判断 ①利用代数法，求出所有零点； ②数形结合，通过作图，找出图象与轴交点的个数； ③数形结合，通过分离，将原函数拆分成两个函数，找到两个函数图象交点的个数； ④函数零点唯一：函数存在零点+函数单调. 【即学即练】已知方程的解所在区间为，则= . 【答案】2 【分析】构造函数，代入，再结合零点存在定理解答即可； 【详解】构造函数，则在为增函数， 则， 由零点存在定理可得函数的零点在之间， 所以， 故答案为：2. 知识点03二次函数零点问题 一元二次方程的实数根也称为函数的零点. 当时，一元二次方程的实数根、二次函数的零点之间的关系如下表所示： 的实数根 （其中） 方程无实数根 的图象 的零点 函数无零点 【即学即练】已知函数，则函数的零点为 ． 【答案】和 【分析】函数的零点即求方程的解. 【详解】令，即，解得或， 所以函数的零点为和. 故答案为：和. 知识点04 二分法求函数零点 1.二分法 所谓二分法就是通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法. 2.用二分法求函数零点的一般步骤： 已知函数定义在区间D上，求它在D上的一个零点x0的近似值x，使它满足给定的精确度. 第一步：在D内取一个闭区间，使与异号，即，零点位于区间中. 第二步：取区间的中点，则此中点对应的坐标为 . 计算和，并判断： ①如果，则就是的零点，计算终止； ②如果，则零点位于区间中，令； ③如果，则零点位于区间中，令 第三步：取区间的中点，则此中点对应的坐标为 . 计算和，并判断： ①如果，则就是的零点，计算终止； ②如果，则零点位于区间中，令； ③如果，则零点位于区间中，令； …… 继续实施上述步骤，直到区间，函数的零点总位于区间上，当和按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数的近似零点，计算终止.这时函数的近似零点满足给定的精确度. 要点诠释： （1）第一步中要使：①区间长度尽量小；②、的值比较容易计算且． （2）根据函数的零点与相应方程的根的关系，求函数的零点和求相应方程的根式等价的．对于求方程的根，可以构造函数，函数的零点即为方程的根 【即学即练】设，某同学用二分法求方程的近似解（精确度为0.5），列出了对应值表如下： 0.125 0.4375 0.75 2 0.49 3.58 依据此表格中的数据，得到的方程近似解可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由表格数据可知，，又因为函数在上连续，且函数在上单调递增，所以函数在区间上存在一个零点.又因为，所以方程的近似解（精确度为0.5）可以是区间上的任意一个数，观察四个选项可知C正确. 知识点05 反函数 1、反函数定义 一般地，对于函数)，设它的定义域为，值域为，如果对中任意一个值，在中总有唯一确定的值与它对应，使,这样得到的。在习惯上，自变量用表示，而函数用表示，所以把它改写为 2、关于反函数的结论 （1）关于反函数的定义域与值域分别是其原函数的值域和定义域， （2）互为反函数的两个函数与图像关于直线对称；若点在的图像上，则点必在图像上； 3、求反函数的步骤 （1）求反函数的值域(若值域显然，解题时常略去不写)； （2）反解：由解出； （3）改写：在中，将,互换得到； （4）标明反函数的定义域，即（1）中求出的值域。 【即学即练】函数的反函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求得原函数的值域，再用表示，写出反函数即可. 【详解】因为，所以函数的值域为， 由，所以，得， 所以， 所以函数的反函数为. 故选：B. 题型01求函数的零点 【典例1】函数的零点是 (写出满足条件的一个零点即可). 【答案】（或填，答案不唯一） 【分析】求出函数的零点，写出一个即可. 【详解】当时，，解得， 当时，，解得. 故答案为：（或填，答案不唯一） 【变式1】函数的零点为 . 【答案】5 【分析】令，得解出即可求解. 【详解】令，得，所以，解得或（舍去）. 故答案为：5. 【变式2】方程的解集为 ． 【答案】 【分析】令，先求得或，再分别解和即可，注意结果写出集合形式. 【详解】令，原方程化为，解得或． 当时，， 即，，此方程无解． 当时，，即，解得或． 所以原方程的解集为． 故答案为： 【变式3】已知函数，则函数的零点是 . 【答案】 【分析】将问题转化为，或，求解即可. 【详解】令，则，或， 解得，或， 则函数的零点是. 故答案为：. 【变式4】已知函数，则函数的零点是 ． 【答案】和 【分析】根据分段函数解析式，由求得正确答案. 【详解】依题意，或， 解得或（负根舍去）. 故答案为：和 函数零点的求法 (1)代数法：求出方程的实数根，即为函数的零点． (2)几何法：对于不能用求根公式或分解因式求解的方程，可以将它与对应函数的图像联系起来，利用函数的性质求零点． 题型02 求函数零点个数 【典例1】函数的零点个数为 . 【答案】2 【分析】根据函数零点个数与其对应方程的根、函数图象的交点个数之间的关系，结合函数和的图象，利用数形结合的思想即可求解. 【详解】函数的定义域为，由得， 函数的零点即方程的根， 作函数和的图象，如图， 由图可知在上有个交点，故函数在上有个零点． 故答案为：. 【变式1】函数的零点个数是 ． 【答案】2 【分析】作出与的函数图象，根据图象交点个数得出答案. 【详解】令，， 则原函数的零点个数问题就转化为两个新函数图象的交点个数问题． 由图，可知原函数的零点个数为2． 故答案为：2. 【变式2】已知函数，则函数的零点个数为 . 【答案】 【分析】画出函数的图象，令，可得，求得的值，结合图象，根据交点的个数，即可求解. 【详解】画出函数的图象，如图所示， 令，即，令，可得， 若，令，解得或； 若，令，解得， 当时，即，此时函数和的图象有4个交点，即4个零点； 当时，即，此时函数和的图象有1个交点，即1个零点； 当时，即，此时函数和的图象有1个交点，即1个零点； 当时，即，此时函数和的图象有1个交点，即1个零点. 综上可得，函数的零点个数为7个. 故答案为：. 【变式3】设函数是定义在上的奇函数，当时，，则的零点个数为 . 【答案】3 【分析】时，，由数形结合知，此时有一个零点．依据奇函数的对称性知，时也有一个零点．又因为奇函数定义域为全体实数，所以，即过原点．从而可求出结果. 【详解】∵函数是定义域为的奇函数， ∴，所以0是函数的一个零点， 当时，令， 得到， 分别画出函数和的图像，如图所示，有一个交点，      所以函数在上有一个零点， 又根据对称性知，当时，函数也有一个零点. 综上所述，的零点个数为3. 故答案为：3. 判断函数零点个数的三种方法 (1)方程法：若方程的解可求或能判断解的个数，可通过方程的解来判断函数是否存在零点或判定零点的个数． (2)图像法：由，得，在同一坐标系内作出和的图像，根据两个图像交点的个数来判定函数零点的个数． (3)定理法：函数的图像在区间上是一条连续不断的曲线，由即可判断函数在区间内至少有一个零点．若函数在区间上是单调函数，则函数在区间内只有一个零点． 题型03 判断函数零点所在区间 【典例1】函数的零点所在的区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用零点存在性定理即可判断. 【详解】的定义域为． 因为和均在上单调递减，所以也在单调递减． 又，，，则，故零点位于区间内． 故选：B 【变式1】函数的零点所在的区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】确定函数的单调性，再结合零点存在性定理判断即可. 【详解】函数在R上都单调递增，则函数在R上单调递增， 而， 则，由零点存在性定理得函数的零点所在的区间为. 故选：C 【变式2】函数的零点所在的一个区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先判断函数的单调性，然后根据零点存在性定理判断. 【详解】函数定义域为，函数在单调递减， 由，；； ，又，所以； ，又，所以； . 所以，所以函数的零点所在的一个区间为. 故选：B 【变式3】函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先判断函数的单调性，再结合零点存在性定理判断即可. 【详解】因为与均在定义域上单调递增， 所以在上单调递增， 又， ，， ， 又， 函数的零点所在区间是． 故选：B． 【变式4】已知函数的零点位于区间上，则 . 【答案】 【分析】根据函数的单调性，结合零点存在定理判断零点所在区间进而求解. 【详解】函数的是减函数， ， 所以，所以函数的零点位于区间上，所以. 故答案为：. 函数零点存在定理 如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且有，那么函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解. 题型04根据函数零点（零点个数）求参数 【典例1】若关于的方程有两解，则的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】作出函数的图象，根据图象求解即可. 【详解】令函数， 当时，， 当时，， 则函数图象如图所示， 因为关于的方程有两解， 所以或， 解得或. 故答案为：或.    【变式1】设，若方程有三个不同的实数根，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】求出在时的取值范围，再画出函数图象，则问题转化为与有三个不同的交点，数形结合即可求出参数的取值范围. 【详解】因为， 当时，则，所以，即， 画出函数图象如下所示： 因为方程有三个不同的实数根，即与有三个不同的交点， 由图可知，即实数的取值范围是. 故答案为： 【变式2】已知函数，若函数恰有两个零点，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】将问题化为与有两个交点，数形结合判断参数范围. 【详解】由题设与有两个交点， 根据的解析式，可得其图象如下：    当时，；当时，； 要使与有两个交点，则. 故答案为： 【变式3】若函数只有一个零点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】将函数零点转化为两个函数图像的交点，根据图像即可求解. 【详解】函数有一个零点等价于函数的图像与的图像有一个交 点．由数形结合分析可得，实数的取值范围是. 故答案为： 【变式4】已知函数，若函数有两个零点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据分段函数解析式，确定函数图象，将函数零点转化为方程的根，结合函数图象即可得实数的取值范围. 【详解】解：已知函数，则函数图象如下： 故函数有两个零点即方程的根有两个，结合函数图象即可得，故实数的取值范围是. 故答案为：. 题型05求零点和 【典例1】设函数，关于x的方程有三个不等实根，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】画出函数图象，数形结合得到，，求出答案. 【详解】画出函数图象，结合图形可知，仅当时，方程有三个不等实根， 分别对应直线与图象三个交点的横坐标，其中两个交点位于二次函数图象上， 不妨设， 显然关于对称，故， 另一个交点位于一次函数图象上，令−2x+6=−1，解得x=72， 显然它在和以及的交点和之间， 故， 所以， 故答案为： ． 【变式1】设，则函数的所有零点之和为 ． 【答案】 【分析】画出函数图象。利用对称性即可求解. 【详解】由一元二次函数的图象和性质可知函数的图象如图所示， 根据图象可知共有个零点，且个零点关于对称， 所以零点之和为， 故答案为： 【变式2】设是函数（为常数）的两个零点，则的值为 . 【答案】 【分析】将问题转化为与的两个交点的横坐标之和，采用数形结合的方式可知关于对称，由此可得结果. 【详解】由题意知：是与的两个交点的横坐标， 作出与图象如下图所示， 由图象可知：关于直线对称，. 故答案为：. 【变式3】已知函数，m为正的常数，则的零点之和为 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，探讨函数的对称性，再结合零点的意义即可求解得答案. 【详解】函数的定义域为， 由，得，令函数， ，则函数的图象关于直线对称， 在同一坐标系内作出直线与函数的图象，如图，    直线与函数的图象有4个交点，令其横坐标从左到右依次为， 观察图象得，所以的零点之和为. 故答案为： 【变式4】已知是方程的两个根，则 【答案】10 【分析】根据指数和对数函数的性质，结合指数函数和对数函数的图象，数形结合，即可求得结果. 【详解】由题可知，也是与图象交点的横坐标， 在同一坐标系中，作图如下： 数形结合可知，为两点对应的横坐标； 根据指数函数和对数函数的性质可知，关于对称； 又与垂直，故与的交点为线段的中点， 联立，可得，即，故，解得. 故答案为：. 题型06 二分法的定义与应用 【典例1】借助信息技术，用二分法求函数零点的近似值得到下表数据： 1.00 1.25 1.50 1.625 0.6931 0.4325 0.0879 -0.1193 则由表中的数据，可得函数的一个零点的近似值为（精确度为0.1）（    ） A．1.5625 B．1.25 C．1.4375 D．1.46875 【答案】A 【分析】利用零点存在性定了即可判断. 【详解】因为，故的零点在区间内， 区间长度为，因此需要取区间的中点1.5625， 两个区间和中必有一个满足区间端点的函数值符号相异， 此时区间长度，因此1.5625是一个近似解． 故选：A 【变式1】某同学用二分法求函数的零点时，用计算器算得部分函数值如下表所示： 则该函数零点的近似值（精确度为0.1）可以是（    ） A．1.2 B．1.21 C．1.27 D．1.32 【答案】C 【分析】观察数据，由零点存在性定理得到区间内存在零点，得到答案. 【详解】，， 由零点存在性定理得，区间内存在零点， 由于，， 故该函数零点的近似值（精确度为0.1）可以是1.27，其他选项不正确. 故选：C 【变式2】小明同学在用二分法研究函数在区间的零点时，发现，，，那么他下一步应计算（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由二分法的概念判断． 【详解】由题意零点在区间上，因此应计算， 故选：C． 【变式3】用二分法求函数在区间上的近似解，要求精确度为0.1时，所需二分区间次数最少为（   ）次 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】二分法的特点：每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，经过次操作后区间长度为，从而列出不等式得出答案. 【详解】开区间的长度为1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半， 经过次操作后，区间长度为， 因为二分法求在区间上近似解，要求精确度为， 所以，解得，所以所需二分区间次数最少为次. 故选：B 【变式4】已知函数在区间内的一个零点附近函数值用二分法逐次计算的结果如下表所示， 1 1.5 1.25 1.375 1.3125 0.875 0.2246 那么方程的一个近似根（精确度为0.1）为（   ） A．1 B．1.5 C．1.25 D．1.3125 【答案】D 【分析】由零点存在性定理和，得到方程的一个近似根为1.3125. 【详解】由于在R上为连续函数， ，， 且， 而，均不合要求， 故方程的一个近似根为1.3125，D正确 故选：D 题型07 反函数 【典例1】若、分别是函数，的零点，则下列结论成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意看得出、，数形结合可知点、关于直线对称，由此可得出结论. 【详解】由题意可得，可得， ，则，所以，， 作出函数、、的图象如下图所示： 对于函数可得，所以，函数的图象关于直线对称， 又因为函数、的图象关于直线对称， 所以，点、关于直线对称，则，故. 故选：B. 【变式1】函数的图象与函数的图象关于直线对称，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据反函数的定义可得出函数的解析式，代值计算可得的值. 【详解】由题意函数的图象与函数的图象关于直线对称知， 函数是函数的反函数，所以，即， 故选：A. 【变式2】设，若的反函数的图象经过点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可知，函数的图象经过点，即可求得的值. 【详解】因为的反函数的图象经过点， 所以，函数的图象经过点， 所以，，可得，解得. 故选：A. 【变式3】若，设函数的零点为，的零点为，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】函数的零点是与图象交点的横坐标，函数的零点是与图象交点的横坐标，数形结合可得出，再将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的取值范围. 【详解】函数的零点是与图象交点的横坐标， 函数的零点是与图象交点的横坐标， 由于与互为反函数，其图象关于直线对称， 直线与直线垂直， 故直线与直线的交点即是的中点， ，， 当且仅当时等号成立，故， 故所求的取值范围是． 故选：B． 【变式4】已知函数和其反函数的图象都过点，则 ． 【答案】 【分析】利用互为反函数的关系，列式求出即可. 【详解】依题意，点和都在函数的图象上， 则，解得， 所以. 故答案为： 1．用二分法求函数在区间上的零点的近似值，由计算得，.下一个求，则 . 【答案】 【分析】根据二分法的求解过程写出下一个，即可得得解. 【详解】由二分法的求解过程知，下一个为，所以. 故答案为： 2．函数的零点个数为 【答案】 【分析】利用指数函数和对数函数图象来研究函数零点个数即可. 【详解】由函数的零点个数等价于方程解的个数， 又等价于与的交点个数， 作图： 由图可得与的交点个数为， 故答案为：. 3．若函数只有一个零点，则实数的值为 ． 【答案】0或1 【分析】对进行分类讨论，结合判别式来求得的值. 【详解】当时，，有唯一零点； 当时，由题意可得，解得． 综上，实数的取值为或． 故答案为：或 4．已知函数有且仅有3个零点，则a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由题意可得在上有2个零点，可得所满足的条件，求解即可. 【详解】令，得，所以在上有1个零点， 则在上有2个零点，所以，解得， 所以a的取值范围为． 故答案为：. 5．已知函数，若，且，则 . 【答案】 【分析】由题设得，根据及绝对值的性质和对数的运算化简整理，即可得. 【详解】令，得，由题设有， 由，得，则， 故，所以. 故答案为： 6．在用二分法求方程的近似解的过程中，已确定方程的一根，则再经过两次计算后，所在的开区间为 ． 【答案】． 【分析】利用二分法求方程的近似解，只需计算和，判断出正负号即可. 【详解】令，可知， 且， 故函数零点位于， 又， 所在的开区间为． 故答案为：． 7．用二分法研究函数的零点时，第一次经过计算得，，则第二次应计算的函数值是 ． 【答案】 【分析】根据零点的存在性定理，以及二分法的计算方法，得到第二次计算，即可的得到答案. 【详解】由函数的零点时，第一次经过计算得，， 即，可得零点， 根据二分法，第二次计算. 故答案为： 8．（1）若方程有两解，则实数的取值范围是 ； （2）若方程有一解，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】（1）将方程解的个数问题转化为和的图象的交点个数问题，画出图象，利用数形结合求解． （2）将方程解的个数问题转化为和的图象的交点个数问题，画出图象，利用数形结合求解． 【详解】（1）方程有两解，即有两解，从而函数和的图象有两个交点，作出图象，如图1．    由图可知，，则实数的取值范围是． （2）方程有一解，则函数和的图象有一个交点，作出图象，如图2．由图可知，或，则实数的取值范围是．    9．已知方程的实根为的实根为的实根为，则的大小关系是（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在同一直角坐标系中作出函数的图象，将方程实根转化为 “函数图象交点的横坐标”，即可得到答案. 【详解】由已知，即， 在同一坐标系中作出函数的图象，如下：    观察图象，易得. 故选：A． 10．函数的零点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据题意，分析每一段零点个数，当时，易得一个零点，当，根据单调性及零点存在定理判断即可. 【详解】当时，令，解得， 当时，，， ，所以在上存在零点， 又因为在上单调递增，所以函数在上有唯一零点． 综上，的零点个数为2. 故选：C. 11．已知函数，且函数是奇函数. (1)求实数的值； (2)设函数，判断函数在区间上的单调性，并证明你的判断； (3)设函数，写出函数的零点个数.（结论不要求证明） 【答案】(1) (2)函数在区间上单调递增，证明见解析 (3)2个零点 【分析】(1)根据奇函数定义，由，代入计算可求得； (2)利用函数单调性的定义证明函数的单调性； (3)借助函数奇偶性和单调性可得零点的个数. 【详解】（1）令，解得，所以函数的定义域为. 由于函数是奇函数， 所以函数在其定义域内满足， 则. 整理得：， 注意到对任意的上式均成立，可得，解得. （2）因为，可知函数在区间上单调递增. 证明如下（方法一）： 对任意，且， 则. 因为， 可得，即 所以函数在区间上单调递增. 证明单调性（方法二）： 对任意，且， 则 因为， 可得，即， 所以函数在区间上单调递增. （3）由题意得, 根据第(2)小问得在区间上单调递增， 又函数在区间上单调递增，所以在区间上单调递增， 当时，， 当时，， 根据零点存在定理得在区间上存在一个零点， 同理可得在区间上存在一个零点， 所以函数有2个零点. 12．已知指数函数，满足. (1)求函数的解析式； (2)若方程有两个不同的实数解，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根题意设且，解出即可； （2）换元令，结合指数函数值域转化为一元二次方程有两个不等的正根求解即可. 【详解】（1）设且， 由，可得，又，， . （2）由（1）知， 又方程有两个不同的实数解， 有两个不同的实数解，设， 有两个不同的正实数解， ，解得， 实数的取值范围为. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $