专题4.1 幂函数（高效培优讲义）数学沪教版2020必修第一册

专题4.1 幂函数 教学目标 1.结合幂函数的图象，培养直观想象的数学素养． 2．借助幂函数的性质，培养逻辑推理的数学素养. 教学重难点 教学重点： ①了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式． 教学难点： ①结合幂函数，，，，的图象，掌握它们的性质 知识点01 幂函数的概念 1、定义：一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数. 2、幂函数的特征 ①中前的系数为“1” ②中的底数是单个的自变量“” ③中是常数 【即学即练】下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由幂函数的定义即可判断. 【详解】由幂函数的定义：形如,其中为常数，所以可得是幂函数． 故选：C. 知识点02幂函数的图象 当时，我们得到五个幂函数： ；；；； 【即学即练】函数的大致图象为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用幂函数的性质判断即可. 【详解】函数是幂函数，定义域为R，是偶函数，排除D； 由，得函数在上单调递增，排除C； 且当时，函数的图象在下方，排除A，选项B符合要求. 故选：B 知识点03 幂函数的性质 1、五个幂函数的性质 定义域 值域 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶 奇函数 单调性 在上单调递增 在上单调递减 在单调递增 在上单调递增 在单调递增 在上单调递减 在上单调递减 定点 2、拓展： ①，当时，在单调递增； ②，当时，在单调递减. 【即学即练】已知幂函数，若且都有成立，则m的值为（    ） A．2 B．2或 C． D． 【答案】D 【分析】先根据幂函数的概念求出或，再根据幂函数在上的单调性进行选择. 【详解】因为是幂函数，所以，解得或． 因为且都有成立， 所以在上单调递减，所以． 故选：D 题型01 判断函数是否为幂函数 【典例1】下列函数为幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数的定义逐项分析即可求解. 【详解】幂函数是形如的函数， 故ABC不符合，D符合， 故选：D 【变式1】下面的函数中是幂函数的有（    ） ①；②；③；④；⑤． A．①⑤ B．①②③ C．②④ D．②③⑤ 【答案】C 【分析】根据幂函数的定义判断即可. 【详解】由幂函数定义可知，②④是幂函数， 故选：C. 【变式2】有下列函数： ①；②； ③；④； ⑤；⑥. 其中是幂函数的有 （只填序号）. 【答案】④⑤ 【分析】直接根据幂函数的定义即可逐一判断. 【详解】①中，的系数为，故不是幂函数； ②中，不是的形式，故不是幂函数； ③中，，系数是，故不是幂函数； ④中，，是幂函数； ⑤中， ，是幂函数； ⑥中，是指数函数，故不是幂函数. 故答案为：④⑤ 【变式3】判一判：判断下列函数是否为幂函数. (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6). 【答案】(1)不是幂函数； (2)不是幂函数； (3)幂函数 (4)不是幂函数； (5)不是幂函数； (6)幂函数 【分析】形如的函数叫幂函数，由幂函数的定义可知（1）（2）（4）（5）不是幂函数，只有（3）（6）为幂函数. 【详解】（1），当时，不是幂函数，所以该函数不是幂函数； （2），两个幂函数和的形式，与幂函数的定义不相符，所以该函数不是幂函数； （3），满足幂函数的定义相符，所以该函数是幂函数； （4），底数不是，属于复合函数，与幂函数的定义不相符，所以该函数不是幂函数； （5），系数不为，与幂函数的定义不相符，所以该函数不是幂函数； （6），满足幂函数的定义相符，所以该函数是幂函数. 【变式4】判断下列函数是否为幂函数． (1) (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)． 【答案】(1)幂函数 (2)幂函数 (3)幂函数 (4)幂函数 (5)不是幂函数 (6)不是幂函数 (7)不是幂函数 (8)幂函数 【分析】直接利用幂函数的定义判断即可. 【详解】（1）根据幂函数的定义：形如的函数叫幂函数， 而，符合幂函数的定义，所以是幂函数. （2）根据幂函数的定义：形如的函数叫幂函数， 而，符合幂函数的定义，所以是幂函数. （3）根据幂函数的定义：形如的函数叫幂函数， 而，符合幂函数的定义，所以是幂函数. （4）根据幂函数的定义：形如的函数叫幂函数， 而，符合幂函数的定义，所以是幂函数. （5）根据幂函数的定义：形如的函数叫幂函数， 而，前面有系数2，不符合幂函数的定义，所以不是幂函数. （6）根据幂函数的定义：形如的函数叫幂函数， 而，不符合幂函数的定义，所以不是幂函数. （7）根据幂函数的定义：形如的函数叫幂函数， 而，不符合幂函数的定义，所以不是幂函数. （8）根据幂函数的定义：形如的函数叫幂函数， 而，符合幂函数的定义，所以是幂函数. 1、定义：一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数. 2、幂函数的特征 ①中前的系数为“1” ②中的底数是单个的自变量“” ③中是常数 题型02 求幂函数的值 【典例1】若函数是幂函数，且，则 ． 【答案】64 【分析】由题意求得，代入即可得解. 【详解】设，由，得，解得，所以，所以． 故答案为：64. 【变式1】已知幂函数，则 . 【答案】 【分析】由幂函数定义可得，然后可得答案. 【详解】由幂函数定义可得，则， 则. 故答案为： 【变式2】若幂函数的图象经过，，这三个点中的两个点，则 . 【答案】16 【分析】根据幂函数的概念及性质，先确定幂函数的解析式，再求的值. 【详解】因为点为第四象限的点，所以幂函数的图象不过点. 设幂函数，其图象经过点和， 所以，解得，所以. 所以. 故答案为：16. 【变式3】已知幂函数的图像经过点，则 ． 【答案】 【分析】设幂函数的解析式利用待定系数法求出函数解析式，最后求出函数值. 【详解】设幂函数的解析式为，将点代入函数解析式得， 即，解得，所以幂函数的解析式为， 所以， 故答案为：. 【变式4】点在幂函数的图象上，则 . 【答案】 【分析】由幂函数所过的点求函数解析式，再求的值. 【详解】令，则，故， 所以，则. 故答案为： 题型03 求幂函数的解析式 【典例1】幂函数在上单调递减，且经过点，请写出符合条件的一个函数解析式 ． 【答案】或(答案不唯一) 【分析】设出幂函数解析式，将代入即可求得结果. 【详解】幂函数在上是减函数，设，则， 因为有很多解，如、、、等均符合题意. 故答案为：或(答案不唯一)． 【变式1】已知幂函数的图象过点，则其解析式 . 【答案】 【分析】设的解析式，代入点坐标计算即可. 【详解】设，则，解得． 故答案为：． 【变式2】已知幂函数的图象过点，则 . 【答案】 【分析】根据幂函数的定义，并代入点运算求解即可. 【详解】因为幂函数的图象过点， 则，解得， 所以. 故答案为：. 【变式3】幂函数的图像过点，则 . 【答案】 【分析】根据题意，由幂函数的定义可得，再将点的坐标代入计算，即可得到结果. 【详解】因为为幂函数，所以，即， 再将点代入可得，即， 所以. 故答案为： 【变式4】若点在幂函数的图象上，则该幂函数的表达式为 . 【答案】 【分析】将的坐标代入幂函数的解析式易得结果. 【详解】将代入，得，解得. 所以该幂函数的表达式为. 故答案为：. 题型04 根据函数是幂函数求参数 【典例1】已知函数是幂函数，且该函数是奇函数，则的值是 ． 【答案】1 【分析】利用幂函数的性质结合给定条件求解参数并取舍即可. 【详解】因为函数是幂函数， 所以，解得或， 当时，，由一次函数性质得该函数是奇函数， 当时，，， 故，得到该函数是偶函数，不符合题意，排除， 综上，的值是. 故答案为：1 【变式1】已知幂函数在上单调递减，则 . 【答案】 【分析】先根据函数是幂函数计算求参得出或，最后结合函数的单调性计算得出符合题意的参数. 【详解】由题意可得为幂函数，则，解得或. 当时，为增函数，不符合题意； 当时，在单调递减，符合题意. 故答案为：. 【变式2】已知幂函数为偶函数，则 ． 【答案】4 【分析】由，求解，再结合奇偶性判断即可. 【详解】由，解得或， 当时，，函数为非奇非偶函数， 当时，，函数为偶函数，所以． 故答案为：4 【变式3】若幂函数的图象不经过原点，则m的值为 ． 【答案】2 【分析】根据幂函数定义以及图象性质可得结果. 【详解】由幂函数定义可知，即， 解得或； 当时，，不经过原点，符合题意； 当时，，经过原点，不合题意，舍去； 所以. 故答案为：2 【变式4】已知幂函数在上单调递增，则 . 【答案】8 【分析】由题意可得，且，则可求出的值，从而可求出幂函数的解析式，进而可求出. 【详解】因为为幂函数， 所以，得， ，解得或， 因为幂函数在上单调递增， 所以，得，所以， 所以，所以. 故答案为：8 1、定义：一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数. 2、幂函数的特征 ①中前的系数为“1” ②中的底数是单个的自变量“” ③中是常数 题型05 求幂函数的定义域 【典例1】已知幂函数的定义域是，则 ． 【答案】 【分析】根据幂函数的系数为，求出的值，再结合幂函数的定义域进行检验即可. 【详解】因为函数为幂函数，则，即， 解得或， 当时，函数的定义域为，合乎题意； 当时，函数的定义域为，舍去. 综上所述，. 故答案为: 【变式1】下列四组函数中，同组两个函数的值域相同的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】根据幂函数的性质逐项分析即得. 【详解】对于A，的定义域为，∵，∴的值域为， 的定义域和值域均为，故A错误； 对于B，的定义域为，其值域为， 的定义域为，其值域为，故B错误； 对于C，的定义域为，其值域为， 的定义域为，其值域为，故C正确； 对于D，的定义域为，其值域为， 的定义域和值域均为，故D错误， 故选：C. 【变式2】下列幂函数中，定义域为的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合幂函数的图象与性质，分别求得其定义域，即可求解. 【详解】对于A中，函数的定义域为，不符合题意； 对于B中，函数的定义域为，不符合题意； 对于C中，函数的定义域为，不符合题意； 对于D中，函数的定义域为，符合题意. 故选：D. 【变式3】幂函数图象过点，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出幂函数，代入点坐标得到函数解析式，确定函数定义域，得到，解得答案. 【详解】设幂函数为，则，故，， 则的定义域为， 故满足，解得. 故选：A 【变式4】若要使有意义，则取值范围是 . 【答案】 【分析】由题可得，由即得. 【详解】∵， 要使有意义，则，即， ∴. 故答案为：. 题型06求幂函数的值域 【典例1】已知幂函数的图像过点，则该幂函数的值域是 ． 【答案】 【分析】根据幂函数定义代入点可得，即可得函数值域. 【详解】设幂函数， 代入点可得，即， 可得， 因为，可得，所以该幂函数的值域是. 故答案为：. 【变式1】若幂函数的图象过点，则的值域为 ． 【答案】 【分析】设，根据条件求出，然后可得答案. 【详解】设，因为幂函数的图象过点，所以 所以，所以 故答案为： 【变式2】函数，其中，则其值域为 . 【答案】/ 【分析】利用换元法将函数化为，结合二次函数的性质即可得出结果. 【详解】设，则.因为，所以. 当时，.所以函数的值域为. 故答案为： 【变式3】已知，设函数，其定义域为或，则函数的最小值为 . 【答案】1 【解析】根据定义得到，然后利用分段函数的性质求解. 【详解】由题意得：， 当或时，， 当时，， 综上：函数的最小值为1， 故答案为：1 【变式4】已知f（x）=，则f（x）的最小值是 ． 【答案】–1 【分析】由题意，根据，即可得到，即可得到答案. 【详解】由题意，因为≥0，∴f（x）=≥–1，∴f（x）的最小值是–1，故答案为–1． 【点睛】本题主要考查了函数的最小值的求解，其中解答中根据，得到是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 题型07幂函数的图象的判断及应用 【典例1】图中、、为三个幂函数在第一象限内的图象，则指数的值依次可以是（   ） A．，3， B．，3， C．，，3 D．，，3 【答案】D 【分析】结合图象及幂函数的性质判断即可. 【详解】由图可知，：在第一象限内单调递减，则指数的值满足； ：在第一象限内单调递增，且图象呈现上凸趋势，则指数的值满足； ：在第一象限内单调递增，且图象呈现下凸趋势，则指数的值满足. 故选：D. 【变式1】如图，①②③④对应四个幂函数的图像，其中③对应的幂函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定图象，利用常见幂函数的图象判断得答案. 【详解】图中4个函数图象对应的幂函数分别为：①表示，②表示，③表示，④表示. 故选：B 【变式2】已知幂函数的图象关于y轴对称，如图所示，则（   ） A．p为奇数，且 B．p为奇数，且 C．p为偶数，且 D．p为偶数，且 【答案】D 【分析】根据图象的单调性和奇偶性判断. 【详解】因为函数的图象关于y轴对称，所以函数为偶函数，即p为偶数． 又函数的定义域为，且在上单调递减， 则有，所以． 故选：D 【变式3】已知函数的大致图像如图所示，则 ． 【答案】 【分析】根据图像的对称性，可得到函数的奇偶性；再由图像与坐标轴的关系，即可判断的取值. 【详解】因为图像关于轴对称，所以函数是偶函数； 又因为图像与坐标轴无交点，所以指数为负数.综上所述，. 故答案为：. 题型08 幂函数过定点问题 【典例1】函数的图象恒过点 . 【答案】 【分析】根据幂函数的图象过定点求解. 【详解】令， 此时，无论取何值，都有. 所以函数图象恒过点. 故答案为： 【变式1】函数的图象过定点 ． 【答案】 【分析】利用求得正确答案. 【详解】当时，， 所以定点为. 故答案为： 【变式2】不论实数取何值，函数恒过的定点坐标是 ． 【答案】 【分析】根据，即可知恒过定点. 【详解】因为，故当，即时，， 即函数恒过定点. 故答案为：. 【变式3】函数恒过定点 ． 【答案】 【分析】令即可求得定点坐标. 【详解】当，即时，，函数恒过定点. 故答案为：. 【变式4】函数（是有理数）的图象过一定点，则的坐标为 . 【答案】 【分析】根据幂函数恒过定点求解. 【详解】由幂函数的性质可知，恒过定点， 故答案为： 题型09幂函数的奇偶性 【典例1】若幂函数为偶函数，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】根据幂函数的定义和性质可得，代入解不等式即可. 【详解】因为为幂函数， 则，解得或， 若，则为偶函数，符合题意； 若，则为奇函数，不符合题意； 综上所述：. 不等式，即为，等价于，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 【变式1】已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则整数m的值为 . 【答案】2 【分析】根据幂函数的奇偶性及单调性求出即可. 【详解】因为函数在上单调递减， 所以，解得， 所以可取， 当时，为奇函数，图象关于原点对称， 当时，为偶函数，图象关于轴对称， 当时，为奇函数，图象关于原点对称， 故. 故答案为：2. 【变式2】已知，设幂函数的图象关于原点中心对称，且与x轴及y轴均无交点，则k的值为 ． 【答案】1或3或5 【分析】由题意，令求出k的范围，再根据，以及幂函数的图象关于原点成中心对称，且与x轴及y轴均无交点，由此求出k的值． 【详解】由题意，令，解得，因为，所以； 当时，，幂函数为，图象关于原点成中心对称，且与x轴及y轴均无交点，满足题意； 当时，，幂函数为，图象关于y轴成轴对称，不关于原点对称，不满足题意； 当时，，幂函数为，图象关于原点成中心对称，且与x轴及y轴均无交点，满足题意； 当k＝4时，，幂函数为，图象关于y轴成轴对称，不关于原点对称，不满足题意； 当时，，幂函数为，图象关于原点成中心对称，且与x轴及y轴均无交点，满足题意； 综上，k的值为1或3或5． 故答案为：1或3或5． 【变式3】已知幂函数是偶函数，且在上是减函数，则 ． 【答案】 【分析】根据幂函数的定义和性质求解即可. 【详解】因为幂函数是偶函数， 所以且为偶数， 所以或， 又因为幂函数在上是减函数， 所以，即，所以. 故答案为：. 【变式4】已知函数是幂函数，且该函数是偶函数，则的值是 ． 【答案】4 【分析】根据函数为幂函数及函数为偶函数，求出，从而代入求值即可. 【详解】由题意得，解得或1， 当时，为奇函数，不合要求， 当时，为偶函数，满足要求， 故. 故答案为：4 题型10 根据幂函数的单调性求参数 【典例1】若幂函数，在上是严格减函数，则 . 【答案】 【分析】由幂函数的性质逐个判断即可. 【详解】由幂函数的性质可知： 当时，可知在上是严格增函数， 当时，可知在上是严格增函数， 当时，可知在上是严格减函数， 故答案为： 【变式1】函数为幂函数，若函数在上单调递增，则实数 . 【答案】2 【分析】由幂函数得或，结合幂函数的单调性确定参数值. 【详解】由题设，可得或， 当，显然在R上不是增函数，不满足； 当，在R上单调递增，满足. 所以. 故答案为：2 【变式2】已知幂函数在上严格增，则实数 【答案】 【分析】根据幂函数的性质有，即可求. 【详解】由题设，可得. 故答案为：2 【变式3】已知幂函数的图象关于y轴对称，且在上是减函数.m的值为 【答案】1 【分析】根据幂函数定义和函数单调性列出关于参数m的不等式和方程即可求解. 【详解】因为幂函数y=在上是减函数， 所以，所以，因为，所以或2， 又因为函数图象关于y轴对称，所以是偶数，所以. 故答案为：1 【变式4】已知幂函数在上单调递增，若正数、满足，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】由幂函数的定义与单调性可得出关于实数的等式或不等式，解出，可得出，将代数式与代数式相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】因为幂函数在上单调递增， 则，解得， 正数、满足，则 ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，的最小值为. 故答案为：. ①，当时，在单调递增； ②，当时，在单调递减. 题型11 根据幂函数的单调性解不等式 【典例1】已知幂函数的图象经过点，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】利用是幂函数和图象经过点得到解析式，再根据单调性列不等式求解即可. 【详解】因为是幂函数且图象经过点， 所以，解得，所以， 易知在上单调递增，则由得， 解得，故原不等式的解集为， 故答案为： 【变式1】已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】先根据幂函数单调性和对称性求得，然后探究函数的性质，利用单调性解不等式组即可求解. 【详解】因为幂函数在上单调递减，所以，解得， 又，所以． 又幂函数的图象关于轴对称，所以为偶数， 所以，故不等式为， 因为函数的定义域为，且在和上单调递减， 当时，，当时，， 故不等式可化为或或，解得或，即实数的取值范围为． 故答案为： 【变式2】已知幂函数（）的图象关于原点对称，且在上单调递减，若，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】先根据幂函数的性质求出的值，再根据幂函数的单调性解不等式即可. 【详解】因为幂函数（）的图象关于原点对称，且在上单调递减， 所以且为奇数， 又，所以， 则，即为， 因为函数的定义域为且为减函数， 所以，解得， 所以实数a的取值范围是. 故答案为：. 【变式3】已知幂函数的图像关于轴对称，且在上是减函数，实数a满足，则a的取值范围是 . 【答案】 【分析】运用幂函数定义和性质求出p，再根据单调性解不等式. 【详解】因为幂函数在上是减函数， 所以，即， 解得.又因为，所以或. 当时，，，为偶函数， 图象关于轴对称，且满足题意. 原不等式为，由于在R上单调递增， 则不等式化为，解得. 当时，，，为奇函数，不满足图象关于轴对称，舍弃. 综上，实数的取值范围为. 故答案为：. 【变式4】已知，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据函数的定义域、单调性列不等式组，解不等式组即可得解. 【详解】函数的定义域为， 且为偶函数，在上单调递减，在上单调递增， 所以，等价于， 所以， 即 即且， 故实数a的取值范围是， 故答案为：. ①，当时，在单调递增； ②，当时，在单调递减. 题型12 根据幂函数的单调性比较大小 【典例1】比较下列两数的大小关系， 的大小（填、或符号） 【答案】 【分析】根据指数运算及幂函数单调性直接可判断. 【详解】由， ， 且， 又函数在上单调递增， 所以， 即， 故答案为：. 【变式1】利用幂函数的性质，比较两个值的大小 （用“>，=或<”填写）. 【答案】< 【分析】构造幂函数，由指数小于0，得到函数单调区间，由单调性判断两个值的大小. 【详解】令，∵，∴在区间上单调递减， ∵，∴. 故答案为：< 【变式2】与的大小关系是 ． 【答案】 【分析】运用幂函数单调性可判定. 【详解】幂函数在单调递减.且 ，则. 故答案为：. 【变式3】判断大小： .(填“”或“”) 【答案】 【分析】根据的单调性比较大小即可. 【详解】由在上递减，又， 所以. 故答案为： 【变式4】 比较下面两个数的大小 【答案】 【分析】根据幂函数的单调性比较即可. 【详解】解：因数幂函数在上单调递增， 又因为， 所以. 故答案为： ①，当时，在单调递增； ②，当时，在单调递减. 1．若函数是幂函数，则实数的值为 . 【答案】3或0 【分析】根据幂函数的定义求解即可. 【详解】因为是幂函数，则，解得或. 故答案为：3或0. 2．已知，幂函数在上单调递增，其图像不过坐标原点，则 . 【答案】 【分析】根据幂函数的性质分析求解. 【详解】因为幂函数图像不过坐标原点，则， 当，的定义域为，不合题意； 当，在区间上单调递减，不合题意； 当，在区间上单调递减，不合题意； 当，在区间上单调递增，符合题意； 综上所述：. 故答案为：. 3．已知幂函数 在 上是严格减函数，则实数 【答案】1 【分析】利用幂函数的定义及单调性，列式求解即得. 【详解】由幂函数 在 上是严格减函数， 得，解得， 所以实数. 故答案为：1 4．幂函数满足，则此函数可以是 ．（写出一个满足条件的答案即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题属于开放性问题，只需找到符合题意的解析式即可，依题意幂函数为偶函数且在上单调递增，即可得解. 【详解】令幂函数（为常数），题中没有给出的定义域的限制信息， 因此的定义域可为．由“”可知，函数是偶函数． 又，则函数在上单调递增， 因此可以为正偶数，所以此函数可以是，,． 故答案为： （答案不唯一）． 5．已知函数是幂函数，一次函数（，）的图象过点，则的最小值是 . 【答案】 【分析】根据函数为幂函数得到方程，求出，从而，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】由题意得，解得， 将代入一次函数得， 故， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为. 故答案为： 6．已知幂函数在上单调递增，且，请写出一个满足条件的的值为 ． 【答案】（答案不唯一．满足即可） 【分析】根据幂函数的性质选择符合题意的即可. 【详解】当时,幂函数在上单调递增， 又，满足题意. 故答案为：（答案不唯一．满足即可） 7．已知幂函数在上单调递增，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】由题意得,解得m的值，进而结合偶函数和单调性解不等式即可. 【详解】由题意得,解得，所以函数，定义域为R， 又，所以函数为偶函数. 又函数在上单调递增，在单调递减，则， 得， 解得，所以解集为. 故答案为： 8．幂函数为偶函数，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】根据幂函数的定义结合奇偶性可得，再结合单调性解不等式即可. 【详解】因为为幂函数，则，解得或． 当时，为奇函数，不合题意故舍去； 当时，为偶函数，符合题意， 综上所述：，． 因函数在内单调递增，且为偶函数， 由，可得， 则，两边取平方可得：，解得或， 即不等式的解集为． 故答案为：． 9．已知幂函数在上单调递增，则函数在上单调 （填“递增”或“递减”）． 【答案】递减 【分析】根据幂函数的单调性求出，再根据，判断的单调性. 【详解】由幂函数的性质得，解得， 因为，所以，则，故在，上单调递减． 故答案为：递减. 10．已知幂函数的图象经过点，则函数是 函数（奇偶性），若，则实数的取值范围是 . 【答案】 非奇非偶 【分析】利用待定系数法求出幂函数的解析式，根据奇偶性的定义判断函数的奇偶性；再利用函数定义域和单调性求不等式的解集. 【详解】设幂函数，其图象过点，则，解得； 所以，函数定义域为， 因为定义域不关于原点对称，函数是非奇非偶函数； 又因为，所以函数在上单调递增， 不等式等价于，解得； 则实数的取值范围是. 故答案为：非奇非偶；. 11．下面给出4个幂函数的图象，则图象与函数对应的是（   ）    A．①，②，③，④ B．①，②，③，④ C．①，②，③，④ D．①，②，③，④. 【答案】B 【分析】根据幂函数的性质逐一验证即可求解. 【详解】图象①对应的幂函数的幂指数必然大于1，排除A，D． 图象②中幂函数是偶函数且在第一象限单调递增，幂指数必为正偶数，排除C． 故选：B. 12．已知函数则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分，，三种情况求解即可. 【详解】当，即，又可得， 当时，在上单调递增， 由，可得，解得， 当，即时， 由，可得，所以， 解得， 当，即， 由，得，所以， 因为，所以不等式无解， 综上所述：不等式的解集为. 故选：C. 13．已知幂函数在上单调递减． (1)求函数的解析式； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据函数是幂函数，单调性计算求参即可. （2）根据单调性求不等式. 【详解】（1）由幂函数在上单调递减， 可得，解得，所以． （2）由函数图象关于轴对称，且在上单调递增， 则可化为，平方得， 化简得，解得，所以的取值范围是． 14．已知函数为幂函数. (1)判断函数的单调性，并加以证明； (2)若不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)单调递增，证明见解析 (2) 【分析】（1）根据幂函数的定义可得出关于的等式，结合可得出函数的解析式，判断出函数在上单调递增，然后利用函数单调性的定义证明即可； （2）由不等式得，，令，由，得，当时，直接验证即可；当时，利用参变量分离法结合基本不等式可求得实数的取值范围. 【详解】（1）函数为幂函数，则，即， 因为，所以，得，则函数在上单调递增， 下面证明： 任取、且， 则， 因为，所以，而， 得，即，故函数在上单调递增. （2）由不等式得，， 令，由，得， 不等式变为：，得， 当时，上式恒成立， 当时，则，而， 当且仅当时，即当时，等号成立，则， 故实数的取值范围为. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.1 幂函数 教学目标 1.结合幂函数的图象，培养直观想象的数学素养． 2．借助幂函数的性质，培养逻辑推理的数学素养. 教学重难点 教学重点： ①了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式． 教学难点： ①结合幂函数，，，，的图象，掌握它们的性质 知识点01 幂函数的概念 1、定义：一般地，函数 ，其中是自变量，是常数. 2、幂函数的特征 ①中前的系数为“1” ②中的底数是单个的自变量“” ③中是常数 【即学即练】下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 知识点02幂函数的图象 当时，我们得到五个幂函数： ；；；； 【即学即练】函数的大致图象为（   ） A． B． C． D． 知识点03 幂函数的性质 1、五个幂函数的性质 定义域 值域 奇偶性 偶函数 奇函数 奇函数 单调性 在上单调递增 在 上单调递减 在 单调递增 在上单调递增 在单调递增 在 上单调递减 在 上单调递减 定点 2、拓展： ①，当时，在 单调递增； ②，当时，在 . 【即学即练】已知幂函数，若且都有成立，则m的值为（    ） A．2 B．2或 C． D． 题型01 判断函数是否为幂函数 【典例1】下列函数为幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】下面的函数中是幂函数的有（    ） ①；②；③；④；⑤． A．①⑤ B．①②③ C．②④ D．②③⑤ 【变式2】有下列函数： ①；②； ③；④； ⑤；⑥. 其中是幂函数的有 （只填序号）. 【变式3】判一判：判断下列函数是否为幂函数. (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6). 【变式4】判断下列函数是否为幂函数． (1) (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)． 1、定义：一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数. 2、幂函数的特征 ①中前的系数为“1” ②中的底数是单个的自变量“” ③中是常数 题型02 求幂函数的值 【典例1】若函数是幂函数，且，则 ． 【变式1】已知幂函数，则 . 【变式2】若幂函数的图象经过，，这三个点中的两个点，则 . 【变式3】已知幂函数的图像经过点，则 ． 【变式4】点在幂函数的图象上，则 . 题型03 求幂函数的解析式 【典例1】幂函数在上单调递减，且经过点，请写出符合条件的一个函数解析式 ． 【变式1】已知幂函数的图象过点，则其解析式 . 【变式2】已知幂函数的图象过点，则 . 【变式3】幂函数的图像过点，则 . 【变式4】若点在幂函数的图象上，则该幂函数的表达式为 . 题型04 根据函数是幂函数求参数 【典例1】已知函数是幂函数，且该函数是奇函数，则的值是 ． 【变式1】已知幂函数在上单调递减，则 . 【变式2】已知幂函数为偶函数，则 ． 【变式3】若幂函数的图象不经过原点，则m的值为 ． 【变式4】已知幂函数在上单调递增，则 . 1、定义：一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数. 2、幂函数的特征 ①中前的系数为“1” ②中的底数是单个的自变量“” ③中是常数 题型05 求幂函数的定义域 【典例1】已知幂函数的定义域是，则 ． 【变式1】下列四组函数中，同组两个函数的值域相同的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式2】下列幂函数中，定义域为的是（　　） A． B． C． D． 【变式3】幂函数图象过点，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式4】若要使有意义，则取值范围是 . 题型06求幂函数的值域 【典例1】已知幂函数的图像过点，则该幂函数的值域是 ． 【变式1】若幂函数的图象过点，则的值域为 ． 【变式2】函数，其中，则其值域为 . 【变式3】已知，设函数，其定义域为或，则函数的最小值为 . 【变式4】已知f（x）=，则f（x）的最小值是 ． 题型07幂函数的图象的判断及应用 【典例1】图中、、为三个幂函数在第一象限内的图象，则指数的值依次可以是（   ） A．，3， B．，3， C．，，3 D．，，3 【变式1】如图，①②③④对应四个幂函数的图像，其中③对应的幂函数是（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知幂函数的图象关于y轴对称，如图所示，则（   ） A．p为奇数，且 B．p为奇数，且 C．p为偶数，且 D．p为偶数，且 【变式3】已知函数的大致图像如图所示，则 ． 题型08 幂函数过定点问题 【典例1】函数的图象恒过点 . 【变式1】函数的图象过定点 ． 【变式2】不论实数取何值，函数恒过的定点坐标是 ． 【变式3】函数恒过定点 ． 【变式4】函数（是有理数）的图象过一定点，则的坐标为 . 题型09幂函数的奇偶性 【典例1】若幂函数为偶函数，则不等式的解集为 . 【变式1】已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则整数m的值为 . 【变式2】已知，设幂函数的图象关于原点中心对称，且与x轴及y轴均无交点，则k的值为 ． 【变式3】已知幂函数是偶函数，且在上是减函数，则 ． 【变式4】已知函数是幂函数，且该函数是偶函数，则的值是 ． 题型10 根据幂函数的单调性求参数 【典例1】若幂函数，在上是严格减函数，则 . 【变式1】函数为幂函数，若函数在上单调递增，则实数 . 【变式2】已知幂函数在上严格增，则实数 【变式3】已知幂函数的图象关于y轴对称，且在上是减函数.m的值为 【变式4】已知幂函数在上单调递增，若正数、满足，则的最小值为 ． ①，当时，在单调递增； ②，当时，在单调递减. 题型11 根据幂函数的单调性解不等式 【典例1】已知幂函数的图象经过点，则不等式的解集为 ． 【变式1】已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的实数的取值范围为 ． 【变式2】已知幂函数（）的图象关于原点对称，且在上单调递减，若，则实数a的取值范围是 . 【变式3】已知幂函数的图像关于轴对称，且在上是减函数，实数a满足，则a的取值范围是 . 【变式4】已知，则实数的取值范围是 ． ①，当时，在单调递增； ②，当时，在单调递减. 题型12 根据幂函数的单调性比较大小 【典例1】比较下列两数的大小关系， 的大小（填、或符号） 【变式1】利用幂函数的性质，比较两个值的大小 （用“>，=或<”填写）. 【变式2】与的大小关系是 ． 【变式3】判断大小： .(填“”或“”) 【变式4】 比较下面两个数的大小 ①，当时，在单调递增； ②，当时，在单调递减. 1．若函数是幂函数，则实数的值为 . 2．已知，幂函数在上单调递增，其图像不过坐标原点，则 . 3．已知幂函数 在 上是严格减函数，则实数 4．幂函数满足，则此函数可以是 ．（写出一个满足条件的答案即可） 5．已知函数是幂函数，一次函数（，）的图象过点，则的最小值是 . 6．已知幂函数在上单调递增，且，请写出一个满足条件的的值为 ． 7．已知幂函数在上单调递增，则不等式的解集为 . 8．幂函数为偶函数，则不等式的解集为 ． 9．已知幂函数在上单调递增，则函数在上单调 （填“递增”或“递减”）． 10．已知幂函数的图象经过点，则函数是 函数（奇偶性），若，则实数的取值范围是 . 11．下面给出4个幂函数的图象，则图象与函数对应的是（   ）    A．①，②，③，④ B．①，②，③，④ C．①，②，③，④ D．①，②，③，④. 12．已知函数则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 13．已知幂函数在上单调递减． (1)求函数的解析式； (2)若，求的取值范围． 14．已知函数为幂函数. (1)判断函数的单调性，并加以证明； (2)若不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $