专题01 幂函数的性质、定义与图像重难点题型专训（19大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年高一数学重难点专题提升精讲精练 （沪教版2020必修第一册）

专题01 幂函数的性质、定义与图像重难点题型专训（19大题型+15道拓展培优） 题型一 判断函数是否是幂函数 题型二 求幂函数的值 题型三 求幂函数的解析式 题型四 根据函数是幂函数求参数值 题型五 求幂函数的走义域 题型六 求与幂函数有关的复合函数定义域 题型七 求幂函数的值域 题型八 求与幂函数有关的复合函数值域 题型九 根据幂函数值域求参数或范围 题型十 幂团数图象的判断及应用 题型十一 幂函数图象过定点问题 题型十二 判断一般幂函数的单调性 题型十三 判断与幂函数相关的复合函数的单调性 题型十四 幂函数的单调性的其他应用 题型十五 判断五种常见幂函数的奇偶性 题型十六 幂函数的奇偶性的应用 题型十七 由幂函数的单调性求参数 题型十八 由幂函数的单调性解不等式 题型十九 由幂函数的单调性比较大小 知识点1 幂函数概念 形如的函数，叫做幂函数，其中为常数． 注：幂函数必须是形如的函数，幂函数底数为单一的自变量，系数为1，指数为常数．例如：等都不是幂函数． 知识点2 幂函数的图象及性质 1、作出下列函数的图象： （1）；（2）；（3）；（4）；（5）． 注：幂函数随着的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质： （1）所有的幂函数在都有定义，并且图象都过点； （2）时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数．特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸； （3）时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴． 2、作幂函数图象的步骤如下： （1）先作出第一象限内的图象； （2）若幂函数的定义域为或，作图已完成； 若在或上也有意义，则应先判断函数的奇偶性 如果为偶函数，则根据轴对称作出第二象限的图象； 如果为奇函数，则根据原点对称作出第三象限的图象． 3、幂函数解析式的确定 （1）借助幂函数的定义，设幂函数或确定函数中相应量的值． （2）结合幂函数的性质，分析幂函数中指数的特征． （3）如函数是幂函数，求的表达式，就应由定义知必有，即． 4、幂函数值大小的比较 （1）比较函数值的大小问题一般是利用函数的单调性，当不便于利用单调性时，可与0和1进行比较．常称为“搭桥”法． （2）比较幂函数值的大小，一般先构造幂函数并明确其单调性，然后由单调性判断值的大小． （3）常用的步骤是：①构造幂函数；②比较底的大小；③由单调性确定函数值的大小． 【经典例题一 判断函数是否是幂函数】 【例1】（24-25高一上·全国·课后作业）下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高一上·全国·课后作业）在函数，，，中，幂函数的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（23-24高一上·全国·课前预习）幂函数的概念 一般地，函数 叫作幂函数.其中是自变量，是常数. 幂函数的特征： (1)以幂的底为自变量，指数为 (2)的系数为 且只有一项. 3．（24-25高一上·全国·课前预习）下面几个实例，观察它们得出的函数解析式，有什么共同特征？ （1）如果张红以1元/kg的价格购买了某种蔬菜ω kg，那么她需要支付元，这里p是ω的函数； （2）如果正方形的边长为a，那么正方形的面积，这里S是a的函数； （3）如果立方体的棱长为b，那么立方体的体积，这里V是b的函数； （4）如果一个正方形场地的面积为S，那么这个正方形的边长，这里c是S的函数； （5）如果某人t s内骑车行进了1km，那么他骑车的平均速度，即，这里v是t的函数． 【经典例题二 求幂函数的值】 【例2】（23-24高一上·上海·期中）设函数，则点不可能在函数（    ）的图像上． A． B． C． D． 1．（24-25高一上·上海青浦·期中）已知幂函数的图象经过点，则（   ） A． B．2 C．16 D．±2 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知幂函数的图像过点，则的值为 ． 3．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知幂函数的图象可能满足下列条件： ①函数图象过点； ②函数图象过点； ③函数的定义域为． 任选其中两个条件满足函数，同时求出时函数的值． 【经典例题三 求幂函数的解析式】 【例3】（24-25高一上·上海·期中）已知幂函数的图象经过点， 则 的值是（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 1．（24-25高一上·上海黄埔·期中）已知幂函数，当取不同的正数时，在区间上它们的图象是一族曲线（如图）.设点，，连接，线段恰好被其中的两个幂函数，的图象三等分，即有，那么（   ） A． B． C．1 D．3 2．（24-25高一上·上海·期中）已知幂函数的图像与坐标轴没有交点，则 ． 3．（24-25高一上·上海·课后作业）已知幂函数经过点． (1)当时，求函数的值； (2)是否存在实数、，使得该函数在区间上的最小值为，最大值为，若存在，求出、的值；若不存在，请说明理由． 【经典例题四 根据函数是幂函数求参数值】 【例4】（24-25高一上·上海青浦·期中）已知幂函数的图象与坐标轴没有公共点，则实数m的取值为（   ） A．2 B． C．0或 D．0或2 1．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知点在幂函数的图象上，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．（23-24高一上·上海静安·期中）已知函数是幂函数，其图像分布在第一、三象限，则 ． 3．（23-24高一上·上海·阶段练习）已知幂函数的图像关于点对称． (1)求该幂函数的解析式； (2)设函数，在如图的坐标系中作出函数的图象； （提示：列表、描点、连线作图） 【经典例题五 求幂函数的走义域】 【例5】（2024·上海·模拟预测）下列函数定义域为的是（　　） A． B． C． D． 1．（23-24高一上·全国·课后作业）下列命题中正确的是（    ） A．当时，函数的图像是一条直线； B．幂函数的图像都经过和点； C．幂函数的定义域为； D．幂函数的图像不可能出现在第四象限． 2．（23-24高一上·上海杨浦·期中）已知幂函数①，②，③，④，其中图像关于轴对称的是 （填写全部正确的编号） 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）解关于的不等式：． 【经典例题六 求与幂函数有关的复合函数定义域】 【例6】（23-24高一上·上海杨浦·期末）若幂函数的图象过点，则的定义域是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高一上·上海·期中）函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·上海·课后作业）若幂函数（为整数）的定义域为，则的值为 ． 3．（23-24高一上·上海·期末）函数. （1）求函数的定义域； （2）解不等式. 【经典例题七 求幂函数的值域】 【例7】（23-24高一上·上海闵行·期末）下列函数中，值域为的是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高一上·上海嘉定·期中）幂函数中a的取值集合C是的子集，当幂函数的值域与定义域相同时，集合C为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一·全国·课堂例题）（1）函数的定义域是 ，值域是 ； （2）函数的定义域是 ，值域是 ； （3）函数的定义域是 ，值域是 ； （4）函数的定义域是 ，值域是 ． 3．（23-24高一上·上海·课后作业）研究下列函数的定义域、值域、奇偶性和单调性，并作出其大致图像． （1）；       （2）；       （3）；       （4）． 【经典例题八 求与幂函数有关的复合函数值域】 【例8】（2024·全国·模拟预测）若集合，，则（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高一上·上海徐汇·期中）下列函数中值域为的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一·全国·课后作业）函数，其中，则其值域为 . 3．（24-25高一上·全国·期中）已知幂函数在区间上单调递增. (1)求k的值； (2)（i）若，求的值； （ii）求的值域. 【经典例题九 根据幂函数值域求参数或范围】 【例9】（2024·全国·模拟预测）已知函数，若，则的值为（    ） A．2或 B．2或 C．或 D．1或 1．（23-24高一·上海·课后作业）若，则下列结果正确的是（    ） A．x=2 B．x=3 C．x=2或x=3 D．以上都不对 2．（23-24高一上·上海松江·期末）若关于的不等式的解集为R，则实数能取到的最小值为 . 3．（23-24高一上·上海宝山·阶段练习）已知幂函数在上单调递增，函数． (1)求实数m的值； (2)当时，设的值域分别为A，B，若，求实数k的取值范围． 【经典例题十 幂团数图象的判断及应用】 【例10】（24-25高一上·上海·期中）如图是幂函数的部分图像，已知分别取这四个值，则与曲线相应的依次为（   ） A． B． C． D． 1．（23-24高一上·上海金山·期中）设和是两个不同的幂函数，则它们图像交点的个数为（    ） A．1或2或0 B．1或2或3 C．1或2或3或4 D．0或1或2或3 2．（2024·上海长宁·一模）已知函数的大致图像如图所示，则 ． 3．（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）已知关于x的幂函数 (1)求证：幂函数在第一象限内一定有图像. (2)命题m：两个幂函数有三个公共点，命题n：两个幂函数相同；判断命题m是命题n的什么条件并说明理由. (3)求证：除原点外，幂函数的图像一定与坐标轴无交点. 【经典例题十一 幂函数图象过定点问题】 【例11】（24-25高一上·上海·期中）设与是两个不同的幂函数，记，则中的元素个数的可能是（    ）. A．0、1、2、 B．1、2、3 C．1、2、3、4 D．0、1、2、3 1．（24-25高一上·全国·随堂练习）函数的图象是（    ） A．B．C．D． 2．（24-25高一上·上海·期中）函数（是有理数）的图象过一定点，则的坐标为 . 3．（2024高一·全国·专题练习）分别画出：①，②，③，④的大致图象． 【经典例题十二 判断一般幂函数的单调性】 【例12】（24-25高一上·上海·开学考试）已知，则“”是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 1．（23-24高一上·上海徐汇·期中）下面函数中既是奇函数又是上单调递增函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·上海浦东新·期末）若一个幂函数的图像经过点，则它的单调减区间是 ． 3．（24-25高一上·上海·假期作业）写出函数的定义域，作出其大致图像，并根据图像判断其单调性. 【经典例题十三 判断与幂函数相关的复合函数的单调性】 【例13】（23-24高一上·全国·期中）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高一上·上海青浦·期中）函数的增区间是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·上海松江·阶段练习）函数的单调递增区间是 . 3．（23-24高一上·全国·课前预习）讨论函数在时，随着的增大其函数值的变化情况． 【经典例题十四 幂函数的单调性的其他应用】 【例14】（23-24高一上·上海青浦·期末）已知，若，则（ ） A．－2 B．－1 C． D．2 1．（23-24高一·全国·课后作业）已知.若满足：当时，恒成立，则k取值的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．（23-24高一上·上海长宁·期中）写出一个同时具有下列性质①②③的函数： ． ①； ②对于任意两个不同的正数，都有恒成立； ③对于任意两个不同的实数，都有． 3．（23-24高一·全国·课后作业）已知函数(m∈R)，试比较f(5)与f(－π)的大小． 【经典例题十五 判断五种常见幂函数的奇偶性】 【例15】（23-24高一上·上海闵行·阶段练习）已知幂函数为偶函数，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 1．（23-24高一上·上海崇明·期中）下列函数是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·全国·课前预习）观察函数图象以及函数解析式，完成下表． 定义域 值域 奇偶性 单调性 3．（23-24高一·上海·课堂例题）写出一个图象经过第一、第二象限但不经过原点的幂函数的表达式． 【经典例题十六 幂函数的奇偶性的应用】 【例16】（23-24高一上·上海青浦·阶段练习）已知函数为幂函数，则（    ） A．0 B． C． D． 1．（23-24高一上·全国·阶段练习）下列幂函数在区间上是严格减函数，且图象关于轴对称的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）若幂函数的图象经过点，则该函数的图象关于 ．（填“原点中心对称”或“y轴成轴对称”） 3．（23-24高一上·上海嘉定·阶段练习）已知幂函数的图像经过四点中的两点，且在上为减函数． (1)求的解析式； (2)若，求实数a的值． 【经典例题十七 由幂函数的单调性求参数】 【例17】（2024高一·全国·专题练习）已知函数是幂函数，且在上单调递减，则实数的值为（   ） A．2 B．－1 C．4 D．2或－1 1．（24-25高一上·上海·随堂练习）若幂函数在区间上是严格减函数，则实数的值可能为（    ）． A．1 B． C． D．2 2．（2024高一·全国·专题练习）已知函数是幂函数，且在上单调递增，则 . 3．（24-25高一上·全国·课堂例题）已知幂函数（且）的图象关于y轴对称，且在上递减，求满足的a的取值范围． 【经典例题十八 由幂函数的单调性解不等式】 【例18】（23-24高一上·上海青浦·阶段练习）若幂函数图象过点，且，则的范围是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高一上·上海·期中）已知幂函数的图象经过点，且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·上海徐汇·期中）若，则的取值范围是   ． 3．（2024高一·全国·专题练习）已知函数，且该函数的图象经过点. (1)确定m的值； (2)求满足条件的实数a的取值范围. 【经典例题十九 由幂函数的单调性比较大小】 【例19】（23-24高一上·上海静安·阶段练习）已知，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 1．（2024·上海青浦·一模）已知，，则“”是“”的（    ）. A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 2．（24-25高一上·全国·随堂练习）与的大小关系是 ． 3．（23-24高一·上海·课堂例题）比较下列各题中两个数的大小： (1)与； (2)与． 1．（23-24高一上·上海·期中）若对任意，都有成立，则的值可能是（    ） A． B． C．1 D．2 2．（23-24高一上·上海虹口·期末）若幂函数的图像经过点(18，)，则函数的最小值为（    ） A． B． C．6 D． 3．（23-24高一上·上海徐汇·期中）设，若，均有成立，则k的取值个数是（    ）个． A．4 B．3 C．2 D．1 4．（2024·上海嘉定·二模）已知函数，则不等式的解集为（    ）． A． B． C． D． 5．（23-24高一上·上海奉贤·阶段练习）已知 ，为个不同的幂函数，有下列命题： ① 函数 必过定点； ② 函数可能过点； ③ 若 ，则函数为偶函数； ④ 对于任意的一组数、、…、，一定存在各不相同的个数、、…、使得在上为增函数.其中真命题的个数为 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知，则实数的取值范围是 . 7．（24-25高一上·上海·期中）对任意的，，函数和的图象的公共点个数可能是 ． 8．（24-25高一上·上海·期中）已知，，则关于x的不等式的解集为 . 9．（24-25高一上·上海·随堂练习）若，且函数与的图象若有1个交点，则写出一个符合条件的集合 ；若有两个交点，则满足条件的不同集合A有 个． 10．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）设定义在上的偶函数满足，它在区间上的图像为如图所示的线段，则方程的最大实数根的值为 ． 11．（2024高一上·上海·专题练习）若，求实数a的取值范围. 12．（24-25高一上·上海杨浦·阶段练习）已知函数（常数） (1)求证：是偶函数的充要条件是为幂函数 (2)若，将的图象向左平移一个单位得到，求证：在上为严格减函数 13．（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）已知幂函数的图像关于原点对称，且在区间上是严格增函数． (1)求幂函数的表达式； (2)令，求满足不等式的实数a的取值范围． 14．（23-24高一上·上海虹口·期末）已知幂函数的图像关于点对称．    (1)求该幂函数的解析式； (2)设函数，在如图的坐标系中作出函数的图像； (3)直接写出函数的解集． 15．（23-24高一上·上海·期末）已知函数，函数， （1）将的解析式化为根式，直接写出其定义域，值域，零点，并指出其在定义域上的单调性，奇偶性（不需要写过程，将答案填在表格中）； 解析式化为根式 定义域 值域 单调性 奇偶性 零点 （2）如果在区间上严格单调递减，求实数a的取值范围. 解析式化为根式 定义域 R 值域 R 单调性 严格增 奇偶性 奇函数 零点 0 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 幂函数的性质、定义与图像重难点题型专训（19大题型+15道拓展培优） 题型一 判断函数是否是幂函数 题型二 求幂函数的值 题型三 求幂函数的解析式 题型四 根据函数是幂函数求参数值 题型五 求幂函数的走义域 题型六 求与幂函数有关的复合函数定义域 题型七 求幂函数的值域 题型八 求与幂函数有关的复合函数值域 题型九 根据幂函数值域求参数或范围 题型十 幂团数图象的判断及应用 题型十一 幂函数图象过定点问题 题型十二 判断一般幂函数的单调性 题型十三 判断与幂函数相关的复合函数的单调性 题型十四 幂函数的单调性的其他应用 题型十五 判断五种常见幂函数的奇偶性 题型十六 幂函数的奇偶性的应用 题型十七 由幂函数的单调性求参数 题型十八 由幂函数的单调性解不等式 题型十九 由幂函数的单调性比较大小 知识点1 幂函数概念 形如的函数，叫做幂函数，其中为常数． 注：幂函数必须是形如的函数，幂函数底数为单一的自变量，系数为1，指数为常数．例如：等都不是幂函数． 知识点2 幂函数的图象及性质 1、作出下列函数的图象： （1）；（2）；（3）；（4）；（5）． 注：幂函数随着的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质： （1）所有的幂函数在都有定义，并且图象都过点； （2）时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数．特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸； （3）时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴． 2、作幂函数图象的步骤如下： （1）先作出第一象限内的图象； （2）若幂函数的定义域为或，作图已完成； 若在或上也有意义，则应先判断函数的奇偶性 如果为偶函数，则根据轴对称作出第二象限的图象； 如果为奇函数，则根据原点对称作出第三象限的图象． 3、幂函数解析式的确定 （1）借助幂函数的定义，设幂函数或确定函数中相应量的值． （2）结合幂函数的性质，分析幂函数中指数的特征． （3）如函数是幂函数，求的表达式，就应由定义知必有，即． 4、幂函数值大小的比较 （1）比较函数值的大小问题一般是利用函数的单调性，当不便于利用单调性时，可与0和1进行比较．常称为“搭桥”法． （2）比较幂函数值的大小，一般先构造幂函数并明确其单调性，然后由单调性判断值的大小． （3）常用的步骤是：①构造幂函数；②比较底的大小；③由单调性确定函数值的大小． 【经典例题一 判断函数是否是幂函数】 【例1】（24-25高一上·全国·课后作业）下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据幂函数定义判断即可. 【详解】由幂函数的定义可知，是幂函数． 故选：C. 1．（23-24高一上·全国·课后作业）在函数，，，中，幂函数的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】利用幂函数定义直接判断作答. 【详解】函数是幂函数， 函数，都是二次函数，函数是一次函数，它们都不是幂函数， 所以所给函数中幂函数的个数是1. 故选：B 2．（23-24高一上·全国·课前预习）幂函数的概念 一般地，函数 叫作幂函数.其中是自变量，是常数. 幂函数的特征： (1)以幂的底为自变量，指数为 (2)的系数为 且只有一项. 【答案】 常数 1 【分析】略 【详解】略 3．（24-25高一上·全国·课前预习）下面几个实例，观察它们得出的函数解析式，有什么共同特征？ （1）如果张红以1元/kg的价格购买了某种蔬菜ω kg，那么她需要支付元，这里p是ω的函数； （2）如果正方形的边长为a，那么正方形的面积，这里S是a的函数； （3）如果立方体的棱长为b，那么立方体的体积，这里V是b的函数； （4）如果一个正方形场地的面积为S，那么这个正方形的边长，这里c是S的函数； （5）如果某人t s内骑车行进了1km，那么他骑车的平均速度，即，这里v是t的函数． 【答案】答案见解析 【分析】略 【详解】这些函数的解析式都具有幂的形式，而且都是以幂的底数为自变量，幂的指数都是常数． 【经典例题二 求幂函数的值】 【例2】（23-24高一上·上海·期中）设函数，则点不可能在函数（    ）的图像上． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先表示出点的坐标，然后逐项代入函数中判断点在函数上的可能性即可. 【详解】因为即为， 对于A：若点在函数上，则有，所以， 显然，所以点不可能在上； 对于B：若点在函数上，则有，所以， 所以当，时，点在上； 对于C：若点在函数上，则有， 若取时，显然成立，所以点可能在上； 对于D：若点在函数上，则有， 若取时，显然成立，所以点可能在上； 故选：A. 1．（24-25高一上·上海青浦·期中）已知幂函数的图象经过点，则（   ） A． B．2 C．16 D．±2 【答案】B 【分析】根据幂函数的概念及已知条件求出的解析式，然后求值即可. 【详解】是幂函数，设（为常数）， ∵图象经过点，∴，解得， ∴，∴. 故选：B. 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知幂函数的图像过点，则的值为 ． 【答案】 【分析】利用待定系数法求出解析式，然后根据对数运算可得. 【详解】设，所以， 所以，所以． 所以． 故答案为： 3．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知幂函数的图象可能满足下列条件： ①函数图象过点； ②函数图象过点； ③函数的定义域为． 任选其中两个条件满足函数，同时求出时函数的值． 【答案】选①③，. 【分析】利用待定系数法求出解析式，根据所选条件判断是否满足题意，然后可得函数值. 【详解】设， 选①②：由题可得，得，无实数解，不满足题意； 选①③：由函数图象过点可得，解得，则， 易知，函数的定义域为， 所以时，； 选②③：由函数图象过点可得，解得，则， 因为的定义域为，所以不满足题意． 综上，应选①③，此时，当时，. 【经典例题三 求幂函数的解析式】 【例3】（24-25高一上·上海·期中）已知幂函数的图象经过点， 则 的值是（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【分析】设出幂函数的解析式，待定系数求得解析式，再求函数值. 【详解】设幂函数的解析式为， 因为幂函数的图象经过点 故可得，解得， 故，故， 故选：B. 1．（24-25高一上·上海黄埔·期中）已知幂函数，当取不同的正数时，在区间上它们的图象是一族曲线（如图）.设点，，连接，线段恰好被其中的两个幂函数，的图象三等分，即有，那么（   ） A． B． C．1 D．3 【答案】C 【分析】根据三等分关系求出坐标，，即可求出对应幂函数得解析式，解出的值. 【详解】由题得：点，，， 所以，，分别代入，， 因为，， 所以. 故选：C. 2．（24-25高一上·上海·期中）已知幂函数的图像与坐标轴没有交点，则 ． 【答案】. 【分析】利用幂函数的定义和性质可得，再应用对数运算律计算即可． 【详解】由幂函数， 故有，则 解得，或， 当时，与坐标轴有交点不合题意. 所以，，满足条件， 故答案为：． 3．（24-25高一上·上海·课后作业）已知幂函数经过点． (1)当时，求函数的值； (2)是否存在实数、，使得该函数在区间上的最小值为，最大值为，若存在，求出、的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，， 【分析】（1）由待定系数法求出幂函数的表达式，再代入即可求解； （2）首先得出，进一步结合函数单调性列出方程组即可求解. 【详解】（1）设幂函数为，∴，∴， ∴，∴当时，． （2）存在． 理由：由（1）得，∴，∴． 因为函数在上是严格增函数， 所以函数在上是严格增函数， 所以当时，函数取最小值，当时，函数取最大值， 解得，． 故存在，满足题意． 【经典例题四 根据函数是幂函数求参数值】 【例4】（24-25高一上·上海青浦·期中）已知幂函数的图象与坐标轴没有公共点，则实数m的取值为（   ） A．2 B． C．0或 D．0或2 【答案】C 【分析】根据幂函数的定义及性质得解. 【详解】由题意可知，，解得或， 故选：C 1．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知点在幂函数的图象上，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】由幂函数定义求得，再代入点的坐标求得即可得结论． 【详解】由题意，则， ，， 所以， 故选：B． 2．（23-24高一上·上海静安·期中）已知函数是幂函数，其图像分布在第一、三象限，则 ． 【答案】 【分析】根据幂函数的定义得到，求出值，进行检验即可. 【详解】根据其为幂函数，则，解得或， 当时，，则其定义域关于原点对称，，故其为偶函数，且分布在一、二象限，图像如图所示： 故舍去， 当时，，则其定义域关于原点对称，，故其为奇函数，且分布在一、三象限，图像如图所示： 故答案为：. 3．（23-24高一上·上海·阶段练习）已知幂函数的图像关于点对称． (1)求该幂函数的解析式； (2)设函数，在如图的坐标系中作出函数的图象； （提示：列表、描点、连线作图） 【答案】(1) (2)图象见解析 【分析】（1）根据题意结合幂函数的定义和性质分析求解； （2）由（1）可得：，列表、描点、连线作图. 【详解】（1）因为为幂函数，则，解得或， 若，则，图象关于原点对称，符合题意； 若，则，图象不关于原点对称，不符合题意； 综上所述：. （2）由（1）可得：，则的定义域为， 可得 1 2 3 2 3 1 则的图象为： 【经典例题五 求幂函数的走义域】 【例5】（2024·上海·模拟预测）下列函数定义域为的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】化分数指数幂为根式，分别求出四个选项中函数的定义域得答案． 【解答】，定义域为， ，定义域为， ，定义域为， ，定义域为． 故选：C． 1．（23-24高一上·全国·课后作业）下列命题中正确的是（    ） A．当时，函数的图像是一条直线； B．幂函数的图像都经过和点； C．幂函数的定义域为； D．幂函数的图像不可能出现在第四象限． 【答案】D 【分析】根据幂函数的性质依次分析各选项即可得答案. 【详解】解：对于A，时，函数的图像是一条直线除去点，故错误； 对于B，幂函数的图像都经过点，当指数大于时，都经过点，当指数小于时，不经过点，故B错误； 对于C，函数，故定义域为，故错误； 对于D，由幂函数的性质，幂函数的图像一定过第一象限，不可能出现在第四象限，故正确. 故选：D. 2．（23-24高一上·上海杨浦·期中）已知幂函数①，②，③，④，其中图像关于轴对称的是 （填写全部正确的编号） 【答案】②④ 【分析】本题可根据函数的定义域以及是否满足判断函数是否关于轴对称. 【详解】①：，，不关于轴对称； ②：，，满足，关于轴对称； ③：，，不满足，不关于轴对称； ④：，，满足，关于轴对称， 故答案为：②④. 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）解关于的不等式：． 【答案】 【分析】由已知可得，根据幂函数的图象即可求解. 【详解】因为，所以， 画出，的图象如图， 由图知解集为. 【经典例题六 求与幂函数有关的复合函数定义域】 【例6】（23-24高一上·上海杨浦·期末）若幂函数的图象过点，则的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，根据幂函数的图象过点求出的值，即可求出的定义域，再根据抽象函数的定义域计算规则得到，解得即可. 【详解】设，依题意可得，解得，所以， 所以的定义域为，值域为，且， 对于函数，则，解得， 即函数的定义域是. 故选：B 1．（23-24高一上·上海·期中）函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数解析式有意义可得出关于实数的不等式组，由此可解得函数的定义域. 【详解】因为， 则有，解得且，因此的定义域是． 故选：B. 2．（24-25高一上·上海·课后作业）若幂函数（为整数）的定义域为，则的值为 ． 【答案】1 【分析】根据已知条件列出约束式即可求解. 【详解】若幂函数（为整数）的定义域为，则，解得， 而是整数，则只能，经检验符合题意. 故答案为：1 3．（23-24高一上·上海·期末）函数. （1）求函数的定义域； （2）解不等式. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据函数有意义的条件求解即可； （2）根据复合函数单调性得在上单调递增，再结合得，进而解不等式即可得答案. 【详解】解：（1）要使函数有意义，则，解得， 所以函数的定义域为 （2）由于函数在上单调递增，在上单调递增， 所以结合复合函数的单调性得在上单调递增， 由于， 所以等价于，解得 所以不等式的解集为 【经典例题七 求幂函数的值域】 【例7】（23-24高一上·上海闵行·期末）下列函数中，值域为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】利用基本初等函数求值域，对选项逐一判断即得结果. 【详解】A选项中，值域为，不满足题意； B选项中，值域为，满足题意； C选项中，值域为，不满足题意； D选项中，对勾函数，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增，故值域为，不满足题意. 故选：B. 1．（23-24高一上·上海嘉定·期中）幂函数中a的取值集合C是的子集，当幂函数的值域与定义域相同时，集合C为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别求出各幂函数的定义域和值域，得到答案. 【详解】当时，定义域和值域均为，符合题意； 时，定义域为，值域为，故不合题意； 时，定义域为，值域为，符合题意； 时，定义域与值域均为R，符合题意； 时，定义域为R，值域为，不符合题意； 时，定义域与值域均为R，符合题意. 故选：C 2．（23-24高一·全国·课堂例题）（1）函数的定义域是 ，值域是 ； （2）函数的定义域是 ，值域是 ； （3）函数的定义域是 ，值域是 ； （4）函数的定义域是 ，值域是 ． 【答案】 【分析】（1）（2）（3）（4）将分数指数幂化成根式形式，依据根式有意义求定义域． 【详解】（1）的定义域为， 因为，所以，所以值域为． （2） 由，得，所以定义域为， 由，得，所以值域为． （3） 由，得，所以定义域为， 因为，所以，所以值域为． （4）， 由，得，所以定义域为， 因为，所以，则，所以值域为． 故答案为：，，，，，，， 3．（23-24高一上·上海·课后作业）研究下列函数的定义域、值域、奇偶性和单调性，并作出其大致图像． （1）；       （2）；       （3）；       （4）． 【答案】（1）定义域：；值域：；偶函数；在上单调递增，在上单调递减；图像见解析；（2）定义域：；值域：；奇函数：在和上单调递减；图像见解析；（3）定义域；R；值域：R；奇函数；在上单调递增；图像见解析；（4）定义域：值域：；非奇非偶函数；在上单调递增；图像见解析 【分析】将幂函数化为根式的形式，分析其定义域和值域，由奇偶性的定义判断其奇偶性，由指数的正负结合幂函数的性质先判断出函数在第一象限内的单调性，再根据奇偶性得出单调区间，作出其大致图像. 【详解】（1），设，的定义域为， 因为，所以值域为： 显然，为偶函数， 在中，，为偶函数，所以在上单调递增，在上单调递减. （2），设，定义域：， 由，所以值域：， 由，所以奇函数， 在中，，为奇函数，所以在上单调递减，在上单调递减. （3），设，所以定义域；R；值域：R； 由，所以奇函数， 在中，，在上单调递增. （4），设，由得定义域：值域： 因为定义域：，所以非奇非偶函数； 在中，，定义域为，所以在上单调递增； 【点睛】本题考查了函数的图象的画法和识别，以及函数的定义域、值域、奇偶性、单调性，属于基础题． 【经典例题八 求与幂函数有关的复合函数值域】 【例8】（2024·全国·模拟预测）若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先解出集合A、B,再求. 【详解】因为，，所以. 故选：A． 1．（23-24高一上·上海徐汇·期中）下列函数中值域为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合基本不等式，指数函数性质，函数的单调性等依次讨论各选项求解函数值域即可. 【详解】解：对于A选项，由于，所以的值域为，故错误； 对于B选项，时，，故错误， 对于C选项，的值域为，故正确； 对于D选项，当时，为增函数，故，即值域为，故错误； 故选：C 2．（23-24高一·全国·课后作业）函数，其中，则其值域为 . 【答案】/ 【分析】利用换元法将函数化为，结合二次函数的性质即可得出结果. 【详解】设，则.因为，所以. 当时，.所以函数的值域为. 故答案为： 3．（24-25高一上·全国·期中）已知幂函数在区间上单调递增. (1)求k的值； (2)（i）若，求的值； （ii）求的值域. 【答案】(1) (2)（i）2；（ii） 【分析】（1）由幂函数的定义可得，再利用在上单调递增，即可求解； （2）（i）根据（1）可知，将转化为有关的式子即可求解，方法二：求出代入即可求解；（ii）根据换元法可设，再根据函数的对称轴，可求出最小值.，方法二：因为在上单调递增，可求解. 【详解】（1）由已知，得或， 又因为在区间上单调递增，所以. （2）， （i）法一： 法二：可解得， 将即可求得. （ii）法一：， 令，， 对称轴，所以当时取到最小值2， 所以值域为. 方法二：因为在上单调递增. 所以，所以值域为. 【经典例题九 根据幂函数值域求参数或范围】 【例9】（2024·全国·模拟预测）已知函数，若，则的值为（    ） A．2或 B．2或 C．或 D．1或 【答案】A 【分析】根据分段函数的解析式，讨论的范围，明确方程，解出即可. 【详解】当时，，解得， 当时，，得， 所以的值是2或． 故选： 1．（23-24高一·上海·课后作业）若，则下列结果正确的是（    ） A．x=2 B．x=3 C．x=2或x=3 D．以上都不对 【答案】D 【解析】利用a0=1(a≠0)和1α=1(α∈R)两种情况求解即可 【详解】解：∵a0=1(a≠0)，∴若，则x=2； 又∵1α=1(α∈R)，∴若，则 综上可知，x=2或 故选：D 2．（23-24高一上·上海松江·期末）若关于的不等式的解集为R，则实数能取到的最小值为 . 【答案】3 【分析】设出，，求出，作出图象，数形结合求出，求出实数的最小值. 【详解】设，，则不等式变为， 若，则， 若，则， 即，， 作出的图象，实线部分即为， 要想保证，只需最小值大于等于1， 由图可知：，故只需即可，即，解得：. 故答案为：3 3．（23-24高一上·上海宝山·阶段练习）已知幂函数在上单调递增，函数． (1)求实数m的值； (2)当时，设的值域分别为A，B，若，求实数k的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由幂函数特征得，再由单增确定值； （2）先求出值域，由为减函数求出值域，结合结合边界值建立不等式，解不等式即可求解k的取值范围． 【详解】（1）∵为幂函数，∴， 解得或， 当时，在上单调递增； 当时，，在上单调递减， ∴； （2）由（1）得，∴时，， ∵为上的减函数， ∴当时，， ∵，∴， ∴解得， 实数k的取值范围是． 【经典例题十 幂团数图象的判断及应用】 【例10】（24-25高一上·上海·期中）如图是幂函数的部分图像，已知分别取这四个值，则与曲线相应的依次为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幂函数的图象和性质之间的关系进行判断即可. 【详解】当时，幂函数在上单调递增， 当时，幂函数在上单调递减， 并且在直线的右侧，图象自下而上所对应的函数的幂指数依次增大， 所以，所以. 故选：A 1．（23-24高一上·上海金山·期中）设和是两个不同的幂函数，则它们图像交点的个数为（    ） A．1或2或0 B．1或2或3 C．1或2或3或4 D．0或1或2或3 【答案】B 【分析】由幂函数过点，根据两个幂函数的定义域的情况进行分类分析可得答案. 【详解】和是两个不同的幂函数，设， 由幂函数过点， 当和的定义域均为时，它们的图象的交点有，，还可能有 当和中至少有一个的定义域为时，它们的图象的交点有 当和中一个的定义域为，另一个的定义域为时，它们的图象的交点有. 所以它们图像交点的个数为1或2或3 故选：B 2．（2024·上海长宁·一模）已知函数的大致图像如图所示，则 ． 【答案】 【分析】根据图像的对称性，可得到函数的奇偶性；再由图像与坐标轴的关系，即可判断的取值. 【详解】因为图像关于轴对称，所以函数是偶函数； 又因为图像与坐标轴无交点，所以指数为负数.综上所述，. 故答案为：. 3．（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）已知关于x的幂函数 (1)求证：幂函数在第一象限内一定有图像. (2)命题m：两个幂函数有三个公共点，命题n：两个幂函数相同；判断命题m是命题n的什么条件并说明理由. (3)求证：除原点外，幂函数的图像一定与坐标轴无交点. 【答案】(1)证明见解析 (2)必要非充分条件，理由见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）对于幂函数，根据幂函数的定义和性质来分析其在第一象限的图像情况. （2）要判断命题是命题的什么条件，需要根据幂函数的性质以及公共点的情况进行分析. （3）证明幂函数除原点外与坐标轴无交点，要考虑幂函数的表达式以及坐标轴上点的坐标特点. 【详解】（1）对于幂函数，当时，无论取何值（），都有意义. 例如当时，， 当时，，当时，等，在时都有对应的值.所以幂函数在第一象限内一定有图像. （2）若两个幂函数相同，设这两个幂函数为和，它们的图像完全重合，有无数个公共点， 当然也满足有三个公共点（这是一种特殊情况包含在其中），所以. 反之，若两个幂函数有三个公共点，例如和， 它们有三个公共点，，，但这两个幂函数并不相同，所以. 综上，命题是命题的必要不充分条件. （3）对于幂函数，当时，，当时，； 当时，无意义（除时，但），所以幂函数图像过原点. 对于轴上除原点外的点，即且， 对于幂函数，当时，除（且）外，要么为要么无意义， 所以除原点外幂函数图像与轴无交点. 对于轴上的点，令，当时，若，无解； 若，；若，无解，所以除原点外幂函数图像与轴无交点. 【经典例题十一 幂函数图象过定点问题】 【例11】（24-25高一上·上海·期中）设与是两个不同的幂函数，记，则中的元素个数的可能是（    ）. A．0、1、2、 B．1、2、3 C．1、2、3、4 D．0、1、2、3 【答案】B 【分析】由幂函数的函数图像及性质可以得出结论. 【详解】设，， 由幂函数图像可知，，故至少存在一个解； ②若，在0处都有定义，则，故可能存在解， ③若，同为奇函数或者偶函数，由对称性可知，或，故可能存在解， 综上所述：中的元素个数的可能是：1,2,3. 故选:B. 1．（24-25高一上·全国·随堂练习）函数的图象是（    ） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】根据幂函数图像性质可判定. 【详解】，定义域为，排除A，B． 经过定点， ，则第一象限图象是单调递增，且增长率逐步变快. 故选：C. 2．（24-25高一上·上海·期中）函数（是有理数）的图象过一定点，则的坐标为 . 【答案】 【分析】根据幂函数恒过定点求解. 【详解】由幂函数的性质可知，恒过定点， 故答案为： 3．（2024高一·全国·专题练习）分别画出：①，②，③，④的大致图象． 【答案】答案见解析 【解析】①由，则过，在是减函数，再利用是奇函数求解； ②由，则过，在是增函数，再利用是偶函数求解； ③由，则过，在是增函数，再利用是奇函数求解； ④由，则过，在是增函数，再利用非奇非偶函数求解； 【详解】①；②；③；④． 【点睛】本题主要考查幂函数的图象和性质，属于基础题. 【经典例题十二 判断一般幂函数的单调性】 【例12】（24-25高一上·上海·开学考试）已知，则“”是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】运用充分，必要条件知识，结合幂函数单调性可解. 【详解】,则，且在单调递增.故. 反过来，如果，则,可以为负数.推不出. 故“”是的充分不必要条件. 故选：Ａ． 1．（23-24高一上·上海徐汇·期中）下面函数中既是奇函数又是上单调递增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据奇函数的定义和在上的单调性易得. 【详解】由奇函数的定义，函数的定义域关于原点对称，排除D项， 又由，排除A项， 因在上单调递减，故排除B项， 而是奇函数，在上单调递增，符合要求. 故选：C. 2．（23-24高一上·上海浦东新·期末）若一个幂函数的图像经过点，则它的单调减区间是 ． 【答案】 【分析】首先求函数的解析式，再根据幂函数的性质，即可判断函数的单调递减区间. 【详解】设幂函数为，由题意可知，，则， 即，由幂函数性质可知，函数在单调递减， 因为函数为偶函数，所以在单调递增， 所以函数的单调递减区间是. 故答案为： 3．（24-25高一上·上海·假期作业）写出函数的定义域，作出其大致图像，并根据图像判断其单调性. 【答案】，作图见解析，在严格递减 【分析】把写成根式型，得到所以得到定义域，根据指数位置小于0，所以在第一象限单调递减，可以画出大致图像. 【详解】，，即定义域为. 图像为： 在定义域上单调递减. 【经典例题十三 判断与幂函数相关的复合函数的单调性】 【例13】（23-24高一上·全国·期中）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出函数的定义域，利用复合函数的单调性即可判断. 【详解】令,则. 由，解得或，故函数的定义域为或. 又函数在上单调递减，在上单调递增, 在上单调递增，则函数在上单调递增. 故选：B. 1．（23-24高一上·上海青浦·期中）函数的增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据不等式，求得函数的定义域，结合复合函数的单调性的判定方法，即可求解. 【详解】由不等式，即，解得或， 当时，函数单调递减； 当时，函数单调递增， 根据复数函数的单调性，可得函数的增区间为. 故选：A. 2．（23-24高一上·上海松江·阶段练习）函数的单调递增区间是 . 【答案】 【分析】求得函数的定义域，结合幂函数的性质，即可求解. 【详解】解：由题意，函数，可得，所以， 因为函数在定义域内均为增函数， 所以，根据复合函数单调性同增异减可知，函数的单调递增区间为. 故答案为：. 3．（23-24高一上·全国·课前预习）讨论函数在时，随着的增大其函数值的变化情况． 【答案】分类讨论，答案见解析. 【分析】结合与的符号进行分类讨论，由此求得函数随着的增大其函数值的变化情况. 【详解】依题意， （1）当，即或时，为常数函数； （2）当，即或 时，此时函数为常数函数； （3）当，即时，函数为减函数，函数值随的增大而减小； （4）当，即或时，函数为增函数，函数值随的增大而增大； （5）当，即时，函数为增函数，函数值随的增大而增大； （6）当，即时，函数为减函数，函数值随的增大而减小． 【经典例题十四 幂函数的单调性的其他应用】 【例14】（23-24高一上·上海青浦·期末）已知，若，则（ ） A．－2 B．－1 C． D．2 【答案】A 【分析】根据指数的运算性质，结合幂函数的性质进行求解即可. 【详解】设，由 ， 当且时，即时，等式显然成立， 当时，则有，因为， 所以， 当时，则有，即， 因为函数是实数集上的增函数， 由，而与矛盾， 所以不成立， 当时，则有，即， 因为函数是实数集上的增函数， 由，而与矛盾， 所以不成立， 综上所述：， 故选：A 【点睛】关键点睛：利用幂函数的单调性是解题的关键. 1．（23-24高一·全国·课后作业）已知.若满足：当时，恒成立，则k取值的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】利用幂函数的性质逐一判断即可. 【详解】因为，所以.要使， 则在区间上应大于0，所以，，，1时显然不成立. 当时，，在区间上有成立； 当时，，在区间上有成立； 当时，，在区间上有成立； 当时，，由及，知成立； 当时，，由及，知成立. 综上所述，k可取的值共有4个. 故选：A 2．（23-24高一上·上海长宁·期中）写出一个同时具有下列性质①②③的函数： ． ①； ②对于任意两个不同的正数，都有恒成立； ③对于任意两个不同的实数，都有． 【答案】（答案不唯一） 【分析】取，再逐一验证即可. 【详解】当时， 对于①，，故满足①； 对于②，由对于任意两个不同的正数，都有恒成立， 得函数在上单调递增， 而函数在上单调递增，故满足②； 对于③，任取， 则， 因为，所以， 即， 所以，故满足③. 故答案为：（答案不唯一）. 3．（23-24高一·全国·课后作业）已知函数(m∈R)，试比较f(5)与f(－π)的大小． 【答案】 【分析】函数化为，可得的图象关于对称且在上单调递增，，而，从而可得结果. 【详解】 ， 的图象可由的图象首先作关于轴的对称变换， 然后向右平移1个单位长度， 再向上 (或向下)平移个单位长度得到(如图所示)， 显然，图象关于对称且在上单调递增， ，而， ，故答案为. 【点睛】在比较，，，的大小时，首先应该根据函数的奇偶性（对称性）与周期性将，，，通过等值变形将自变量置于同一个单调区间，然后根据单调性比较大小． 【经典例题十五 判断五种常见幂函数的奇偶性】 【例15】（23-24高一上·上海闵行·阶段练习）已知幂函数为偶函数，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】B 【分析】利用幂函数的定义与奇偶性求得m，从而得解. 【详解】因为函数为幂函数， 所以，解得或， 又因为为偶函数，所以， 所以. 故选：B. 1．（23-24高一上·上海崇明·期中）下列函数是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合函数奇偶性的性质以及幂函数性质分别检验各选项． 【详解】根据幂函数的性质可知：为奇函数，为偶函数，为非奇非偶函数， 故A正确，BD错误， 且为偶函数，所以为非奇非偶函数，C错误； 故选：A． 2．（24-25高一上·全国·课前预习）观察函数图象以及函数解析式，完成下表． 定义域 值域 奇偶性 单调性 【答案】表格见解析 【分析】运用幂函数性质填表即可. 【详解】 定义域 R R R 值域 R R 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 增函数 在上递增，在上递减 增函数 在上递增 在上递减，在上递减 3．（23-24高一·上海·课堂例题）写出一个图象经过第一、第二象限但不经过原点的幂函数的表达式． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据幂函数的性质，即可求解. 【详解】幂函数经过第一、第二象限，说明是偶函数，且在第一象限单调递减， 所以其中一个是. 【经典例题十六 幂函数的奇偶性的应用】 【例16】（23-24高一上·上海青浦·阶段练习）已知函数为幂函数，则（    ） A．0 B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据幂函数求解，再判断函数为奇函数，从而利用奇函数性质求解即可. 【详解】由题意有，可得，其定义域为R， 且，则函数为奇函数， 所以. 故选：A. 1．（23-24高一上·全国·阶段练习）下列幂函数在区间上是严格减函数，且图象关于轴对称的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别根据幂函数的性质判断即可. 【详解】对于A．的定义域,，为非奇非偶函数，不符合题意； 对于B．，定义域为，且为偶函数，其图象关于轴对称,在区间上是严格减函数，符合题意； 对于C．，定义域为，且为奇函数，且在递增，不符合题意； 对于D．，在区间上是严格减函数，且为奇函数，不符合题意． 故选：B． 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）若幂函数的图象经过点，则该函数的图象关于 ．（填“原点中心对称”或“y轴成轴对称”） 【答案】y轴成轴对称 【分析】利用待定系数法求出解析式，通过判断图象上任意一点关于y轴的对称点坐标，是否在满足解析式可得. 【详解】设，依题意可得，解得，所以， 设为函数图像上任意一点，易知其关于y轴的对称点也在的图象上， 所以其图像关于y轴成轴对称． 故答案为：y轴成轴对称 3．（23-24高一上·上海嘉定·阶段练习）已知幂函数的图像经过四点中的两点，且在上为减函数． (1)求的解析式； (2)若，求实数a的值． 【答案】(1) (2)实数a的值为4或． 【分析】（1）解法一：设，幂函数的图像必过点，分幂函数的图像经过点、点、点讨论可得答案；解法二：设，幂函数的图像必过点，在上为减函数，可得在的图像上，求出可得答案； （2）为偶函数，由可得，解法一：两边平方可得答案；解法二：或，解方程可得答案. 【详解】（1）解法一：设， 易知幂函数的图像必过点， 当幂函数的图像经过点时，， 所以， 在上为增函数，不符合题意； 当幂函数的图像经过点时，，所以， 在上为减函数，符合题意； 当幂函数的图像经过点时，，所以， 在上为增函数，不符合题意： 故； 解法二： 设， 易知幂函数的图像必过点， 因为在上为减函数，所以在的图像上， 所以，所以， 故； （2）易知的定义域为，且为偶函数， 由可得，， 解法一：两边平方整理得，， 解之得或． 故实数a的值为4或． 解法二：或， 解之得或． 故实数a的值为4或． 【经典例题十七 由幂函数的单调性求参数】 【例17】（2024高一·全国·专题练习）已知函数是幂函数，且在上单调递减，则实数的值为（   ） A．2 B．－1 C．4 D．2或－1 【答案】A 【分析】运用幂函数定义，结合单调性可解. 【详解】由幂函数定义知，解得或， 当时，，则在上为常数函数，不符合题意； 当时，，则，在上单调递减，符合题意.故. 故选：A. 1．（24-25高一上·上海·随堂练习）若幂函数在区间上是严格减函数，则实数的值可能为（    ）． A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】根据幂函数的单调性可得答案. 【详解】若幂函数在区间上是严格减函数，只要即可． 故选：C. 2．（2024高一·全国·专题练习）已知函数是幂函数，且在上单调递增，则 . 【答案】 【分析】利用幂函数的定义和性质，求即可. 【详解】由题意可知, 解得， 所以, 所以. 故答案为：. 3．（24-25高一上·全国·课堂例题）已知幂函数（且）的图象关于y轴对称，且在上递减，求满足的a的取值范围． 【答案】． 【分析】由题意可知幂函数为偶函数，再根据在递减可求出，再根据幂函数的单调性求解即可. 【详解】解  ∵函数在上递减， ∴，即． 又∵且，∴或． ∵函数的图象关于y轴对称， ∴是偶数，∴， 则可化为． ∵函数在R上是增函数， ∴由，得，即． ∴所求a的取值范围是． 【经典例题十八 由幂函数的单调性解不等式】 【例18】（23-24高一上·上海青浦·阶段练习）若幂函数图象过点，且，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知条件求出的知，分析函数在上的单调性，由可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】由已知条件可得，解得，则， 所以，函数在上为增函数， 由可得，解得. 故选：B. 1．（23-24高一上·上海·期中）已知幂函数的图象经过点，且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将点代入，解得，再利用幂函数的性质即可求解. 【详解】由题意可知，，解得，， 故，其定义域为， 所以在上单调递减， 因为， 所以为偶函数， 所以， 所以由，得， 所以，所以或，解得，或． 故的取值范围为． 故选：D． 2．（23-24高一上·上海徐汇·期中）若，则的取值范围是   ． 【答案】 【分析】结合幂函数的单调性化简不等式求其解即可. 【详解】因为幂函数在上单调递增， 所以不等式，可化为， 所以， 所以， 所以的取值范围是. 故答案为：. 3．（2024高一·全国·专题练习）已知函数，且该函数的图象经过点. (1)确定m的值； (2)求满足条件的实数a的取值范围. 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）代入点的坐标求解即可； （2）利用幂函数的单调性求解即可. 【详解】（1）因为该函数的图象过点， 所以， 所以，所以或， 又，故. （2）由（1）知，故为上的增函数，又由， 得，解得. 所以满足条件的实数a的取值范围为. 【经典例题十九 由幂函数的单调性比较大小】 【例19】（23-24高一上·上海静安·阶段练习）已知，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于ACD，利用作差法判断，对于B，利用幂函数的性质比较. 【详解】对于A，因为，所以，所以，所以A错误； 对于B，因为在上递减，且，所以，所以B错误； 对于C，因为，所以，所以，所以C错误； 对于D，因为，所以，所以D正确． 故选：D 1．（2024·上海青浦·一模）已知，，则“”是“”的（    ）. A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】C 【分析】直接根据充分性和必要性的定义判断即可. 【详解】因为函数在上单调递增， 所以， 即“”是“”的充要条件. 故选：C. 2．（24-25高一上·全国·随堂练习）与的大小关系是 ． 【答案】 【分析】运用幂函数单调性可判定. 【详解】幂函数在单调递减.且 ，则. 故答案为：. 3．（23-24高一·上海·课堂例题）比较下列各题中两个数的大小： (1)与； (2)与． 【答案】(1) (2) 【分析】根据对应幂函数的单调性，即可比较大小. 【详解】（1）在上单调递减， 因为，所以； （2）在上单调递增， 因为，所以. 1．（23-24高一上·上海·期中）若对任意，都有成立，则的值可能是（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据幂函数的性质判断． 【详解】显然当或时，，则，不满足题意， 若，则也不满足题意， 只有适合，实际上，此时， ，， 故选：A． 2．（23-24高一上·上海虹口·期末）若幂函数的图像经过点(18，)，则函数的最小值为（    ） A． B． C．6 D． 【答案】C 【分析】根据题意求出幂函数的解析式，再由换元法即可求出函数的最值. 【详解】设函数，由题意可知：，故 于是， 令，则：，且， 故 易知函数在上单调递增， 因此当即时，函数取得最小值6. 故选：C. 3．（23-24高一上·上海徐汇·期中）设，若，均有成立，则k的取值个数是（    ）个． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】令，根据题意得幂函数的图像在图像的上方，再依次讨论求解即可. 【详解】解：令，由成立得幂函数的图像在图像的上方， 当时，在上单调递增，在上单调递减，满足图像在图像的上方； 当时，在和上都是单调递减函数，不满足图像在图像的上方； 当时，，满足图像在图像的上方； 当时，在上单调递增且，不满足图像在图像的上方； 当时，在上单调递减，在上单调递增且为凸函数，满足图像在图像的上方； 当当时，在上单调递减，在上单调递增且为凹函数，不满足图像在图像的上方； 故满足条件的为 故选：A 4．（2024·上海嘉定·二模）已知函数，则不等式的解集为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设函数，判断其单调性与奇偶性；从而得出单调性与对称性，将所求不等式化为，根据函数单调性，即可求出结果. 【详解】设函数，则函数是定义域为， 根据指数函数与幂函数的单调性可得，是增函数，是减函数，是增函数， 所以在上单调递增； 又，所以是奇函数，其图象关于原点对称； 又， 即的图象可由向右平移一个单位，再向上平移两个单位后得到， 所以是定义域为的增函数， 且其图像关于点对称，即有，即 ． 由得 ， 即， 即，所以 ，解得 ． 故选：A． 【点睛】关键点点睛： 求解本题的关键在于根据函数的解析式，判断函数的单调性与对称性，进而即可求解不等式. 5．（23-24高一上·上海奉贤·阶段练习）已知 ，为个不同的幂函数，有下列命题： ① 函数 必过定点； ② 函数可能过点； ③ 若 ，则函数为偶函数； ④ 对于任意的一组数、、…、，一定存在各不相同的个数、、…、使得在上为增函数.其中真命题的个数为 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据题目中的条件和幂函数的图像与性质，对四个命题分别进行判断，从而得到答案. 【详解】命题①，因为 ，为个不同的幂函数， 且幂函数都经过点， 所以可得函数的图像一定过点，所以正确; 命题②，幂函数，若定义域中可取负数时，则幂函数图像一定过或者 ，为个不同的幂函数， 若这个不同的幂函数都过，则函数的图像过， 若这个不同的幂函数有一个不过，则这个幂函数必过，则函数的图像过， 所以的图像不可能过，所以错误； 命题③若，若这个数中出现分子为奇数，分母为偶数的分数，则函数的定义域为，不关于原点对称，所以函数不为偶函数，所以错误. 命题④因为任意的一组数、、…、，一定存在各不相同的个数、、…、， 则当这个数中出现时， ，此时为常数函数，不是增函数，所以错误. 故选A. 【点睛】本题考查幂函数的图像特点，幂函数的奇偶性和单调性，属于中档题. 6．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由幂函数的奇偶性，单调性即可求解. 【详解】由于幂函数，定义域为，偶函数，且在单调递减， 所以由， 可得：，且， 对平方可得：， 解得：，又， 所以实数的取值范围是， 故答案为： 7．（24-25高一上·上海·期中）对任意的，，函数和的图象的公共点个数可能是 ． 【答案】1或2或3 【分析】利用幂函数的图象特征分类判断即可得解. 【详解】函数的图象过原点，在第一、三象限，且图象关于原点对称， 任意的，，函数是幂函数，由幂函数图象都过点， 得函数的图象与的图象在第一象限有1个公共点， 当是0或负偶数时，的图象关于轴对称，不过原点，因此它们只在第一象限有1个公共点； 当是正偶数时，的图象关于轴对称，过原点，因此它们的图象有2个公共点； 当是负奇数时，的图象关于原点对称，不过原点，因此它们的图象有2个公共点； 当是正奇数时，的图象关于原点对称，过原点，因此它们的图象有3个公共点， 所以公共点个数可能是1或2或3. 故答案为：1或2或3 8．（24-25高一上·上海·期中）已知，，则关于x的不等式的解集为 . 【答案】 【分析】由不等式的性质及幂函数的单调性求解. 【详解】由知， 所以，即 所以，即，解得， 所以不等式的解集为， 故答案为： 9．（24-25高一上·上海·随堂练习）若，且函数与的图象若有1个交点，则写出一个符合条件的集合 ；若有两个交点，则满足条件的不同集合A有 个． 【答案】 （答案不唯一） 4 【分析】作出五个函数图象，根据图象即可得解. 【详解】作出五个函数图象，如图： 由图可知： 图像与、、、的图象有1个、1个，2个、2个交点； 图像与、、的图像有1个、1个，1个交点； 图像与、的图像有2个、2个交点； 图像与的图像有3个交点. 综上可得，函数与的图象若有1个交点， 则，，，，； 满足函数与的图像恰有两个交点的集合有4个： ，，，． 故答案为：（答案不唯一）；4. 10．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）设定义在上的偶函数满足，它在区间上的图像为如图所示的线段，则方程的最大实数根的值为 ． 【答案】 【分析】由的奇偶性及对称性可得周期性及图象，由可得，求方程的根即求交点的横坐标，观察图象可得转化为求（）即可. 【详解】由图象知，设的方程为，则， 则的方程为：（）， 又因为是偶函数， 所以当时，则， 所以， 由，可得的图象关于直线对称， 又，所以， 所以的周期． 因为，所以， 则方程的根为交点的横坐标. 则作出函数和的大致图象如图， 由图象知，，， 则当时，方程取得最大根， 当时，，， 由得，即， 解得（舍）或. 故答案为：. 11．（2024高一上·上海·专题练习）若，求实数a的取值范围. 【答案】 【分析】解法1做出函数图像，分不同情况讨论，结果取并集即可，解法2利用函数的奇偶性，转化为在固定区间上解不等式，利用单调性求解即可. 【详解】解法1：∵， 观察的图象，得以下四种可能情况: （1） （2） （3） （4） 分别解得:（1）. （2）无解. （3）. （4）. ∴的取值范围是. 解法2：由幂函数性质得在单调递减，且易知是偶函数， ∴若， 即， 解得:. 12．（24-25高一上·上海杨浦·阶段练习）已知函数（常数） (1)求证：是偶函数的充要条件是为幂函数 (2)若，将的图象向左平移一个单位得到，求证：在上为严格减函数 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据偶函数的定义求的值，确定函数的解析式后再判断其为幂函数. （2）先确定的解析式，再利用函数单调性的定义证明函数在上为严格减函数. 【详解】（1）因为函数的定义域为， 先证充分性：若为幂函数，则，所以，则，所以为偶函数； 再证必要性：若为偶函数，则对恒成立， 所以对恒成立，所以. 此时为幂函数. 所以“为幂函数”是“是偶函数”的充要条件. （2）当时，，所以. 设，则 . 因为，所以，，， 所以，所以， 所以，即. 所以在上为严格减函数. 13．（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）已知幂函数的图像关于原点对称，且在区间上是严格增函数． (1)求幂函数的表达式； (2)令，求满足不等式的实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用幂函数在区间上是严格增函数得到，再验证其图象关于原点对称进行求值； （2）利用（1）中得出的函数的单调性解不等式即可. 【详解】（1）因为幂函数在区间上是严格增函数， 所以，解得， 又因为，所以或或， 当或时，为奇函数，图象关于原点对称； 当时，为偶函数，图象关于轴对称，图象不关于原点对称，不符合题意； 综上所述，. （2）由（1）得为奇函数，且在区间上是严格增函数， 则由得， 即， 所以满足的实数的取值范围为. 14．（23-24高一上·上海虹口·期末）已知幂函数的图像关于点对称．    (1)求该幂函数的解析式； (2)设函数，在如图的坐标系中作出函数的图像； (3)直接写出函数的解集． 【答案】(1) (2)图像见解析 (3) 【分析】（1）利用幂函数的定义求出m值，再结合其图像性质即可得解. （2）由（1）求出函数，再借助反比例函数与偶函数的对称性作出的图像. （3）根据（2）中图像特征写出函数的单调区间. 【详解】（1）因为是幂函数， 所以，解得或， 当时，函数定义域是， 易得是奇函数，图像关于原点对称，则满足题意； 当时，函数， 易知是R上的偶函数，其图像关于y轴对称，关于原点不对称； 综上：幂函数的解析式是. （2）因为函数，定义域为， 且， 所以是上的偶函数， 当时，在上单调递减，其图像是反比例函数在第一象限的图像， 作出函数在第一象限的图像，再将其关于y翻折即可得在定义域上的图像，如图，      （3）观察（2）中图像可得， 的解集为. 15．（23-24高一上·上海·期末）已知函数，函数， （1）将的解析式化为根式，直接写出其定义域，值域，零点，并指出其在定义域上的单调性，奇偶性（不需要写过程，将答案填在表格中）； 解析式化为根式 定义域 值域 单调性 奇偶性 零点 （2）如果在区间上严格单调递减，求实数a的取值范围. 【答案】（1）表格见解析；（2）. 【分析】（1）根据幂函数的图像性质，可得答案. （2）设，则在上单调递增，且，由复合函数的单调性规则，所以在上单调递减，再讨论二次项的系数，根据二次函数的图像性质，结合对称轴的位置可得答案. 【详解】（1） 解析式化为根式 定义域 R 值域 R 单调性 严格增 奇偶性 奇函数 零点 0 （2） 设，由，则.，且在上单调递增. 因为在区间上严格单调递减,设 根据复合函数的单调性规则，所以在上单调递减. 当时，满足在上单调递减. 当时，的对称轴满足，开口向下，满足在上单调递减. 当时，则的对称轴满足，故 综上可得：在区间上严格单调递减，实数a的取值范围是. 【点睛】关键点睛：本题考查幂函数的图像性质和考查复合函数的单调性求参数问题，解答本题的关键是由题意设，根据复合函数的单调性规则，所以在上单调递减，结合二次函数的图象性质得出答案.属于中档题. 学科网（北京）股份有限公司 $$