专题4.3对数函数（高效培优讲义）数学沪教版2020必修第一册

专题4.3对数函数 教学目标 1.通过学习对数函数的图象，培养直观想象素养． 2．借助对数函数的定义域的求解，培养数学运算的素养. 3.通过学习对数函数的单调性的应用，培养逻辑推理素养． 4．借助对数函数性质的综合应用的学习，提升逻辑推理及数学运算素养. 教学重难点 教学重点： 1.理解对数函数的概念，会求对数函数的定义域． 2．能画出具体对数函数的图象，并能根据对数函数的图象说明对数函数的性质． 3.掌握对数函数的单调性，会进行同底对数和不同底对数大小的比较． 教学难点：通过指数函数、对数函数的学习，加深理解分类讨论、数形结合这两种重要数学思想的意义和作用． 知识点01对数函数的概念 1、对数函数的概念 一般地，函数叫做对数函数，其中指数是自变量，定义域是. 判断一个函数是对数函数的依据 （1）形如；（2）底数满足；（3）真数是，而不是的函数；（4）定义域.例如：是对数函数，而、都不是对数函数，可称为对数型函数. 2、两种特殊的对数函数 特别地,我们称以10为底的对数函数为常用对数函数,记作;称以无理数为底的对数函数为自然对数函数,记作. 【即学即练】下列函数是对数函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由对数函数的定义可得. 【详解】形如，且的函数为对数函数，故B正确. 故选：B. 知识点02对数函数的图象与性质 函数的图象和性质如下表： 底数 图象 性质 定义域 值域 单调性 增函数 减函数 【即学即练】函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由函数解析式结合对数函数性质可得定义域. 【详解】由题可得：.因在上单调递增， 则. 所以函数的定义域为． 故选：B． 题型01判断函数是否为对数函数 【典例1】下列函数中，哪些是对数函数？ (1)； (2)； (3)； (4)（，且）； (5)． 【答案】(1)不是 (2)不是 (3)不是 (4)不是 (5)是 【分析】（1）由对数函数的定义判断可得； （2）由对数函数的定义判断可得； （3）由对数函数的定义判断可得； （4）由对数函数的定义判断可得； （5）由对数函数的定义判断可得； 【详解】（1）原式中真数为，不是对数函数． （2）原式中对数式后加2，不是对数函数． （3）原式中真数为，且系数不为1，故不是对数函数． （4）原式中底数不是常数，而真数是常数，所以不是对数函数． （5）原式中底数是6，真数为，系数为1，符合对数函数的定义，故是对数函数． 【变式1】下列函数是对数函数的是（    ） A．（且） B． C． D．（且） 【答案】B 【分析】利用对数函数的定义求解． 【详解】根据对数函数的定义且, 分析A,B,C,D函数形式， 函数为对数函数. 故选：B. 【变式2】下列函数中是对数函数的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】运用对数函数概念可判断. 【详解】根据对数函数概念，形如且的函数是对数函数.结合选项知道为对数函数. 故选：D. 【变式3】下列函数是对数函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数函数的定义判断即可. 【详解】在对数函数的定义表达式（且）中，前面的系数必须是1，自变量在真数的位置上，否则不是对数函数， 所以只有选项C满足定义. 故选：C. 【变式4】下列函数是对数函数的有 ． ①；②；③；④． 【答案】② 【分析】根据对数函数的定义进行判断即可． 【详解】由对数函数的定义：形如（且）的形式，则函数为对数函数，只有②符合. 故答案为：②. 一般地，函数叫做对数函数，其中指数是自变量，定义域是. 判断一个函数是对数函数的依据 （1）形如；（2）底数满足；（3）真数是，而不是的函数；（4）定义域.例如：是对数函数，而、都不是对数函数，可称为对数型函数. 题型02 对数函数解析式 【典例1】对数函数的图像过点，则此对数函数的表达式为 ． 【答案】 【分析】结合对数函数的定义即可得出. 【详解】设，由题意可得，解得. 所以此对数函数的表达式为. 故答案为：. 【变式1】已知对数函数的图象过点，则此对数函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设对数函数解析式求参即可. 【详解】设对数函数为, 代入可得, 所以, 则对数函数的解析式为. 故选：C. 【变式2】对数函数（且）的图象经过点，则此函数的解析式 ． 【答案】 【分析】将点的坐标代入函数解析式，求出的值，由此可得出所求函数的解析式. 【详解】由已知条件可得，可得，因为且，所以，. 因此，所求函数解析式为. 故答案为：. 【变式3】已知对数函数过点，则其解析式为 ． 【答案】 【分析】利用待定系数法，设出函数解析式，把点代入求解即可. 【详解】设对数函数解析式为（，且）， 因为对数函数过点， 所以，解得， 所以对数函数解析式为. 故答案为： 【变式4】已知对数函数过点，则的解析式为 . 【答案】 【分析】利用待定系数法，设出函数方程，把点代入求解即可. 【详解】设，结合已知有， ∴，又且， ∴，则， 故答案为：. 题型03 对数（对数型复合函数）函数定义域 【典例1】已知函数.若定义域为，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】由题意，恒成立.结合二次函数的图象与性质分别讨论、和情况下即可. 【详解】由已知得恒成立. 当时，不恒成立； 当时，由， 解得，此时的定义域为； 当时，抛物线的开口向下，函数值不可能恒大于0. 综上，. 故答案为： 【变式1】函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数函数的定义域及指数函数定义域计算求解. 【详解】由题意得，即得，解得． 故选：A. 【变式2】函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数解析式列出相应不等式，即可求得答案. 【详解】由题意得，得且． 即函数的定义域为， 故选：D 【变式3】已知函数的定义域为，则实数的取值范围（    ） A．或 B． C． D． 【答案】B 【分析】转化为，对恒成立，利用判别式法求解. 【详解】因为函数的定义域为， 所以，对恒成立， 当时，，符合题意； 由，得， 综上：实数的取值范围是， 故选：B 【变式4】函数定义域为 ，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题意推得不等式在上恒成立，根据参数分类考虑，利用数形结合思想即可求得参数范围. 【详解】由函数定义域为 ，可得不等式在上恒成立， ① 当时，不等式为显然成立； ② 当时，需使，解得. 综上可得，实数的取值范围是. 故答案为：. 题型04对数函数（对数型复合函数）图象问题 【典例1】画出下列函数的图像： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 (3)作图见解析 【分析】（1）利用描点法作出函数图象. （2）（3）利用变换法作出函数图象. 【详解】（1）函数的定义域为，列表如下： x 1 3 y 0 1 描点、连线，作出图象：    （2）作出函数的图象，把函数的图象向右平移1个单位长度得的图象，如图：    （3）作出函数的图象，把函数的图象在x轴下方部分沿x轴向上翻折得的图象，如图：    【变式1】函数的图象大致是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数函数的图象，结合函数图象的变换，即可求得结果. 【详解】的图象可由在轴下方的图象向上翻折得到， 而的图象可由的图象向左平移1个单位得到. 又的图象过点，则过点，且为连续函数，故其图象为A中所画. 故选：A. 【变式2】如图是对数函数的图像，已知a取则相应于的a值依次为 .    【答案】，，， 【分析】根据对数函数底数在第一象限由左向右、从小到大分布规律解答. 【详解】的底数都大于1，当时底数大的图低(第一象限内)， 所以对应的a值分别为，， 的底数都大于0小于1，当时底数大的图低(第四象限内)， 所以对应的a值分别为，， 综合以上分析，可得对应的a值依次为，，，. 故答案为：. 【变式3】作出下列函数的图象： (1)； (2)． 【答案】(1)作图见解析， (2)作图见解析 【分析】（1）先作出函数的图象，根据函数图象变换可作出函数的图象； （2）先作出函数的图象，根据函数图象变换可作出函数的图象． 【详解】（1）因为， 所以可以先将函数的图象向左平移个单位，可得函数的图象， 再作所得图象关于轴对称的图象，得函数的图象， 最后将所得图象向下平移个单位，得函数的图象， 即为函数的图象，如下图所示：    （2）作函数的图象关于轴对称的图象，得函数的图象， 再把所得图象在轴下方的部分翻折到轴上方，可得到函数的图象，如下图所示：    【变式4】作出下列函数的图象： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)答案见解析； (2)答案见解析； (3)答案见解析； (4)答案见解析. 【分析】（1）应用对数函数图像结合关于轴得出对称的图像； （2）应用对数函数图像结合关于轴得出对称的图像； （3）应用对数函数图像将轴下方的图像翻折到轴上方； （4）应用对数函数图像结合关于轴得出对称的图像； 【详解】（1）作出关于轴对称的图像，可得的图像，如图（1）． （2）作出关于轴对称的图像，可得的图像，如图（2）． （3）作出，将轴下方的图像翻折到轴上方，可得的图像，如图（3）． （4）作出的图像，再作出关于轴对称的图像，即得到另外一半图像，可得的图像，如图（4）． 题型05 求对数函数（对数型复合函数）的值域 【典例1】已知函数，函数与函数的图象关于直线对称． (1)求的解析式； (2)求函数在区间内的值域． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据指数函数与同底的对数函数是反函数求解； （2）换元设，先求，再应用二次函数的单调性得出对数复合函数的值域即可. 【详解】（1）由题意可得，函数与函数互为反函数， 又，所以． （2）因为在区间内为增函数，所以， 令，则， 所以， 则在区间内单调递减，在区间内单调递增， 当时，，当时，，当时，， 所以在区间内的值域为， 即在区间内的值域为． 【变式1】函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二次函数性质以及复合函数单调性判断出的单调区间，代入计算即可求得结果. 【详解】依题意可知，解得； 易知函数的定义域为； 又是由函数和复合而成的， 由对数函数单调性可知在定义域内单调递减， 而二次函数开口向上，关于对称， 因此在上单调递增，在上单调递减； 由复合函数单调性可知在上单调递减，在上单调递增； 因此在处取得最大值，即， 可得的值域为. 故选：C 【变式2】函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用基本不等式求的范围，结合对数的性质求复合函数定义域，判断端点值是否可取，进而确定值域. 【详解】由，当且仅当时等号成立， 所以，故值域为. 故选：D 【变式3】已知函数，其中，，且函数的图象过点. (1)判断函数的单调性，并说明理由； (2)求函数的最大值. 【答案】(1)函数在定义域上单调递减，理由见解析 (2). 【分析】（1）将代入求出的值，写出函数表达式和定义域，利用复合函数的单调性判断即可. （2）写出要求的函数表达式，构造二次函数即可求得最大值. 【详解】（1）依题意，将点代入函数，得，即， 所以，. 因为单调递增，单调递减， 所以函数在定义域上单调递减. （2）由（1）得， ， 又，且单调递增， 在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递增， 在上单调递减，所以当时，取最大值， 所以函数的最大值为. 【变式4】已知函数 (1)若，求实数的值； (2)若，求函数的值域. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）利用对数的运算性质化简，利用解对数复合方程即可； （2）令，结合二次函数即可求出函数的值域. 【详解】（1）， 因为，所以，即， 解得或，所以或； （2）令，因为，所以， 则原函数可化为，， 在单调递增，在单调递减， 当时，；当时，， 所以函数的值域为. 题型06 根据对数函数（对数型复合函数）的值域求参数 【典例1】已知函数. (1)求的解析式； (2)判断在上的单调性并根据定义加以证明； (3)若函数在上的最小值是，求的值. 【答案】(1) (2)在上单调递减，证明见解析 (3)或. 【分析】（1）利用换元法可求函数的解析式； （2）利用单调性的定义可证在上单调递减； （3）分，两种情况求得的最小值，再结合已知求得的值. 【详解】（1）设，得， 则， 故. （2）在上单调递减.         证明如下： 任取，且， 则 ， 因为，且，所以，，， 所以，所以， 则在上单调递减. （3）当时，是上的减函数， 由（2）可知函数是上的减函数， 所以是上的增函数， 所以，解得.     当时，是上的增函数， 由（2）可知函数是上的减函数， 则是上的减函数， 所以，解得.     综上，或. 【变式1】已知函数有最小值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据真数对应的函数有正的最小值可求实数的取值范围. 【详解】当时，，当且仅当时等号成立， 故，故有最小值， 当时，令，则， 故或， 故函数的定义域为， 在定义域的条件下，此时无最小值，故舍去； 综上，， 故选：D 【变式2】已知函数（，且） (1)求函数的定义域； (2)若函数在区间上的最大值为2，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据函数定义域的求法来求得正确答案. （2）化简的解析式，对进行分类讨论，根据最值列方程来求得的值. 【详解】（1）要使函数的解析式有意义， 则 解得， 函数的定义域为． （2）， 当时，， 当时，函数在上单调递减， 此时， ，即，解得（舍）． 当时，函数在上单调递增， 此时， ，即，解得或（舍）． 综上，实数的值为． 【变式3】已知函数. (1)当时，求函数的值域； (2)若函数的最小值为，求实数的值. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用给定条件结合对数函数的性质求解值域即可. （2）利用换元法转化为二次函数在给定区间上的最值问题，结合二次函数的性质求解即可. 【详解】（1）当时，， 因为，所以，故， 故，故函数的值域为. （2）因为的最小值为， 所以的最小值为， 令，所以的最小值为， 由二次函数性质，得的对称轴为， 当时，在上单调递增， 所以，解得 当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以，解得(负根舍去)； 当时，在上单调递减， 所以，解得(不在范围内，舍去)， 综上，实数的值为或. 【变式4】已知函数在区间上的最大值为3，求实数的值． 【答案】或 【分析】换元法令，由已知结合二次函数的性质对对称轴与已知区间的位置关系进行分类讨论求解最值，即可得解. 【详解】令，因为，所以， 则可化为， 函数的图象开口向下，对称轴为， ①当，即时，在区间上单调递减， 则时，函数有最大值为，解得， ②当时，即时，则时，函数有最大值为， 解得， ③当，即时，在区间上单调递增， 则时，函数有最大值为，解得或， 又，此时无解， 综上所述：或. 题型07 对数函数（对数型复合函数）的单调性 【典例1】函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出函数的定义域，再根据复合函数“同增异减”可得到结果. 【详解】因为函数，则， 解得或，所以函数的定义域为， 令，则函数在定义域上为单调递减函数， 而在上单调递减，在单调递增， 根据复合函数“同增异减”原则可得的单调递减区间为. 故选：A. 【变式1】已知函数，则该函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】运用复合函数单调性，“同增异减”，解题即可. 【详解】 ，或， 为与的复合， 因此该函数的单调递减区间转化为求的单调递增区间，即. 结合函数定义域，知道原函数的单调递减区间为：. 故选：D. 【变式2】函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二次函数性质以及复合函数单调性判断出的单调区间，代入计算即可求得结果. 【详解】依题意可知，解得； 易知函数的定义域为； 又是由函数和复合而成的， 由对数函数单调性可知在定义域内单调递减， 而二次函数开口向上，关于对称， 因此在上单调递增，在上单调递减； 由复合函数单调性可知在上单调递减，在上单调递增； 因此在处取得最大值，即， 可得的值域为. 故选：C 【变式3】求函数的单调区间. 【答案】单调递减区间是，单调递增区间是 【分析】分别判断函数和的单调性，结合“同增异减”原则判断复合函数单调性． 【详解】令，，则在上递减. 在上递减，在上递增， 根据复合函数单调性“同增异减”原则，当时，由，得，可得其减区间， 当时，由，得，可得其增区间， 所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是. 题型08 根据数函数（对数型复合函数）的单调性求参数 【典例1】已知函数，函数在上单调递减，则的取值范围 ． 【答案】 【分析】由复合函数单调性的同增异减原则可知在上单调递减，且真数，在上恒成立，建立不等式求解即可. 【详解】函数在上单调递减，则在上单调递减， 因为二次函数的对称轴为，且开口向上，则， 要使得有意义，则，在上恒成立， 则， 故，解得，所以. 故答案为：. 【变式1】若函数在区间（2,4）上单调递增，则的取值范围是（    ） A．（0,2） B． C． D． 【答案】C 【分析】利用复合函数的单调性及对数函数的定义域计算即可． 【详解】因为在区间（2,4）上单调递增， 底数，函数在定义域上单调递减， 又在区间（2,4）上单调递增， 则由复合函数单调性“同增异减”，可得在区间（2,4）上单调递减且恒为正， 所以且，所以 故选：C． 【变式2】函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复合函数的单调性和对数函数的定义域列不等式，解不等式即可. 【详解】由题意得，解得. 故选：D. 【变式3】已知函数是上的增函数，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】应用分段函数单调递增结合对数函数单调性列不等式组计算求参. 【详解】当时，是增函数，所以，即. 当时，也是增函数，故. 当时，代入得，代入得， 所以要使函数在上是增函数， 则解得，即的取值范围为. 故答案为： 【变式4】若函数在区间上为减函数，求a的取值范围． 【答案】 【分析】该题需分两步分析：首先确定复合函数单调性的条件，其次保证对数函数的定义域成立.复合函数外层为对数函数，内层为二次函数，根据“同增异减”原则，分析外层的数函数和内层的二次函数的单调性的关系，并确保内层函数在区间内恒正. 【详解】由题可知在区间上恒成立. 令，，则原函数可写为，且. 当时，在区间上为增函数， 则在区间上为减函数，则有，解得； 当时，在区间上为减函数， 则需满足在区间上为增函数， 又二次函数的图象开口向上，在区间上不可能单调递增，故满足题意. 综上所述，的取值范围为. 题型09 比较大小问题 【典例1】已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据的单调性，分别得出，，又，故可以得出大小关系. 【详解】由于， 所以，又， ，所以． 故选：C. 【变式1】设，，，则（　　） A．c<b<a B．b<c<a C．a<c<b D．a<b<c 【答案】C 【分析】分别将与利用对数性质比较，得到答案， 【详解】因为，，所以b>c>a. 故选：C. 【变式2】已知，，，则此三数的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数在上单调递增，结合，，证明，由函数在上单调递增， 结合，证明，由此可得结论. 【详解】因为函数在上单调递增，， 所以，， 化简可得，， 所以， 因为函数在上单调递增， 所以，即 所以， 所以，即， 故选：D. 【变式3】设，，，则的大小关系是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性，借助中间值和，比较大小即可求解. 【详解】因为指数函数在上单调递增，所以，即； 因为对数函数在上单调递增，所以，即； 因为对数函数在上单调递增，所以，即， 所以，即. 故选：B. 【变式4】比较的大小． 【答案】 【分析】由不等式的性质进行判断. 【详解】， 即． 题型10 对数函数综合问题 【典例1】已知函数． (1)利用定义法判断的单调性； (2)若关于的不等式在恒成立，求正实数的取值范围． 【答案】(1)在上单调递增 (2) 【分析】（1）先求得函数的定义域，再根据函数单调性的定义以及指数函数的性质判断即可； （2）转化问题为，结合函数的单调性以及一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】（1）令，解得，故函数的定义域为． 任取，则， 因为指数函数在上单调递增，且， 所以，则， 则， 所以，即， 故函数在上单调递增． （2）由题知． 由（1）知函数在上单调递增， 则， 即，解得， 又，故正实数的取值范围为． 【变式1】设函数. (1)画出函数的图象； (2)若存在不相等的实数，，使，求的值. 【答案】(1)作图见解析 (2) 【分析】（1）化简函数的解析式，即可作出函数的图象； （2）分析可知，结合对数的运算性质化简可得结果. 【详解】（1）因为，作出函数的图象如下图所示： （2）不妨设，由（1）可知，函数在上单调递减，在上单调递增， 因为，则必有，且有，即， 所以，解得. 【变式2】已知函数． (1)若的定义域为，求实数的取值范围； (2)若的值域为，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意得到在上恒成立，再分类讨论求解即可； （2）根据题意得到的值域必须包含，再分类讨论求解即可. 【详解】（1）函数的定义域为， 则在上恒成立， 当时，恒成立，符合题意； 当时，有，解得． 所以实数的取值范围为． （2）函数的值域为， 则的值域必须包含， 当时，，不符合题意； 当时，有，解得. 所以实数的取值范围为． 【变式3】已知函数满足，函数． (1)求函数的解析式； (2)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）原方程中用换得，联立方程组求，进而可得； （2）设，则，把原问题转化为能成立问题，结合二次函数的性质求解即可. 【详解】（1）因为，① 用换得，② ①②得， 所以． （2）设，，则， 所以存在，使， 即，即， 因为，所以， 当时，取得最大值， 所以，即的取值范围是． 【变式4】已知二次函数有两个零点，且． (1)求函数的解析式； (2)已知函数，若，使得恒成立，求的范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据两个零点，由韦达定理得到之间的关系，再根据解出； （2）根据恒成立，得，根据二次函数单调性得，根据对数函数和复合函数的单调性得在上是减函数，从而得到，解出的取值范围. 【详解】（1）二次函数有两个零点，得，解得， 由，可得， 所以，故函数． （2）由，得恒成立，即函数的最大值大于函数的最大值． 由函数在上的最大值为4， 因为函数在上是减函数， 所以，即，所以， 故实数的取值范围为． 【点睛】方法点睛：双变量存在性任意性问题的解决方法 （1），使得成立，则； （2），使得成立，则； （3），使得成立，则； （4），使得成立，则. 1．若函数，且的图象过定点，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】根据对数函数的性质和图象进行求解即可. 【详解】令，则， 又，所以的图象过定点． 故答案为：. 2．函数的定义域为 . 【答案】 【分析】列式计算即可. 【详解】由题可知：，所以函数定义域为 故答案为： 3．已知，则 ． 【答案】 【分析】利用对数的运算性质计算可得出所求代数式的值. 【详解】因为，则当时，. 所以，. 故答案为：. 4．不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】利用对数函数的单调性解不等式. 【详解】由，得， 所以，即， 所以不等式的解集为． 故答案为：. 5．已知函数，，其中且，在上为减函数，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】要使对数函数有意义，只要当时，的最小值，又函数在上为减函数，根据复合函数的单调性可得，综合可得答案． 【详解】因为且， 所以当时，，即. 这说明，当时，的最小值为， 要使对数函数有意义，只要，可得且. 又函数在上为减函数， 函数在上为减函数，所以. 综上得的取值范围是. 故答案为：. 6．已知函数的单调递增区间为 ． 【答案】 【分析】求出函数的定义域，再利用二次函数、对数函数及复合函数单调性求出递增区间. 【详解】函数有意义，，解得， 函数在上单调递增，在上单调递减， 而函数在上单调递减， 所以函数的单调递增区间是. 故答案为： 7．已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据复合函数的单调性求解即可. 【详解】令，则， 因为在上单调递减， 所以在上单调递减，且， 所以，解得， 故答案为：. 8．已知函数．若，且的值域为，则实数的值为 ． 【答案】0 【分析】令，由题意函数的值域为，则的值域包含，分，求的值域，即可求解． 【详解】令的值域为，则的值域包含． ①当时，，其值域为，满足题意； ②当时，令，函数转化为函数，其图象开口向下， 则的值域为，不满足题意．所以， 故答案为：0． 9．已知方程，若使其有意义，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】令，则．化简为，将其看作关于的方程，即方程有解，若，满足要求，若，由根的判别式得到不等式，最终求出，从而得到答案. 【详解】令，则． 化简为，将其看作关于的方程， 若使其有意义，即方程有解，若，则，解为，满足要求， 若，则，解得且， 综上，，即，解得． 故答案为： 10．已知函数，，，若存在实数，对任意的实数，使得成立，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【分析】首先求得在时的值域为，所以原问题转换为对任意的实数，恒成立，分离参数即可求解. 【详解】设在时的值域为，，在时的值域为， 由题意总是满足， 显然在上单调递增，， 所以，又， 所以对任意的实数，恒成立， 而显然当时，有， 故只需考虑当时，恒成立， 显然当时，满足， 所以当时，恒成立， 所以时，恒成立， 所以时，恒成立， 所以时，恒成立， 所以， 因为在上单调递增，所以在上单调递增， 所以时，， 时，，等号成立当且仅当，而， 所以时，， 故所求为. 故答案为：. 11．若函数（，且）是对数函数，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数函数的定义及单调性求解即可. 【详解】由对数函数的概念得，解得或， 由，得，即在单调递减， 则，所以． 故选：B. 12．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合对数函数单调性得到，从而比较出大小. 【详解】因为，所以． 故选：A 13．已知函数，其中． (1)若，求方程的解； (2)若，求不等式的解． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先根据求，再根据对数函数的性质，解方程； （2）首先确定函数的单调性，得，再结合对数函数的性质，列式求解. 【详解】（1），因为，所以， 因为，所以， 所以，即，所以， 所以方程的解为； （2）因为，即， 因为，所以函数在单调递减，所以， 则不等式，即， 所以，解得， 所以不等式的解为． 14．已知函数，，，； (1)当时，求函数的值域； (2)当时，恒成立，求的取值范围； (3)若存在，使得不等式对任意，恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）首先求出的取值范围，再对勾函数的单调性求出函数的值域； （2）令，依题意可得在上恒成立，结合函数的单调性求出，即可得解； （3）依题意可得对任意，恒成立，即，令，，分、、、四种情况讨论，分别求出的最值，从而得到不等式，即可求出参数的取值范围. 【详解】（1）当时，，且在上单调递增， 又在上单调递减，在上单调递增， 故在上单调递减，在上单调递增， 因为，，， 所以 （2）令，因为，所以， 依题意可得在上恒成立， 即在上恒成立， 又函数在上单调递增， 所以当时， 所以. （3）由（1）知，在上的最大值为， 所以对任意，恒成立，即， 令，， ①，即时，在上单调递增， 所以， 所以，所以； ②，即时，在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以，所以； ③，即时，在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以，所以； ④，即时，在上单调递减， 所以， 所以，所以 综上可得，的取值范围为. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.3对数函数 教学目标 1.通过学习对数函数的图象，培养直观想象素养． 2．借助对数函数的定义域的求解，培养数学运算的素养. 3.通过学习对数函数的单调性的应用，培养逻辑推理素养． 4．借助对数函数性质的综合应用的学习，提升逻辑推理及数学运算素养. 教学重难点 教学重点： 1.理解对数函数的概念，会求对数函数的定义域． 2．能画出具体对数函数的图象，并能根据对数函数的图象说明对数函数的性质． 3.掌握对数函数的单调性，会进行同底对数和不同底对数大小的比较． 教学难点：通过指数函数、对数函数的学习，加深理解分类讨论、数形结合这两种重要数学思想的意义和作用． 知识点01对数函数的概念 1、对数函数的概念 一般地，函数叫做 ，其中指数是自变量，定义域是. 判断一个函数是对数函数的依据 （1）形如；（2）底数满足；（3）真数是，而不是的函数；（4）定义域.例如：是对数函数，而、都不是对数函数，可称为对数型函数. 2、两种特殊的对数函数 特别地,我们称以10为底的对数函数为常用对数函数,记作;称以无理数为底的对数函数为自然对数函数,记作. 【即学即练】下列函数是对数函数的是（   ） A． B． C． D． 知识点02对数函数的图象与性质 函数的图象和性质如下表： 底数 图象 性质 定义域 值域 单调性 【即学即练】函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 题型01判断函数是否为对数函数 【典例1】下列函数中，哪些是对数函数？ (1)； (2)； (3)； (4)（，且）； (5)． 【变式1】下列函数是对数函数的是（    ） A．（且） B． C． D．（且） 【变式2】下列函数中是对数函数的为（    ） A． B． C． D． 【变式3】下列函数是对数函数的是（　　） A． B． C． D． 【变式4】下列函数是对数函数的有 ． ①；②；③；④． 一般地，函数叫做对数函数，其中指数是自变量，定义域是. 判断一个函数是对数函数的依据 （1）形如；（2）底数满足；（3）真数是，而不是的函数；（4）定义域.例如：是对数函数，而、都不是对数函数，可称为对数型函数. 题型02 对数函数解析式 【典例1】对数函数的图像过点，则此对数函数的表达式为 ． 【变式1】已知对数函数的图象过点，则此对数函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式2】对数函数（且）的图象经过点，则此函数的解析式 ． 【变式3】已知对数函数过点，则其解析式为 ． 【变式4】已知对数函数过点，则的解析式为 . 题型03 对数（对数型复合函数）函数定义域 【典例1】已知函数.若定义域为，则实数的取值范围为 . 【变式1】函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式2】函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【变式3】已知函数的定义域为，则实数的取值范围（    ） A．或 B． C． D． 【变式4】函数定义域为 ，则实数的取值范围是 . 题型04对数函数（对数型复合函数）图象问题 【典例1】画出下列函数的图像： (1)； (2)； (3)． 【变式1】函数的图象大致是（    ）． A． B． C． D． 【变式2】如图是对数函数的图像，已知a取则相应于的a值依次为 .    【变式3】作出下列函数的图象： (1)； (2)． 【变式4】作出下列函数的图象： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型05 求对数函数（对数型复合函数）的值域 【典例1】已知函数，函数与函数的图象关于直线对称． (1)求的解析式； (2)求函数在区间内的值域． 【变式1】函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【变式2】函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知函数，其中，，且函数的图象过点. (1)判断函数的单调性，并说明理由； (2)求函数的最大值. 【变式4】已知函数 (1)若，求实数的值； (2)若，求函数的值域. 题型06 根据对数函数（对数型复合函数）的值域求参数 【典例1】已知函数. (1)求的解析式； (2)判断在上的单调性并根据定义加以证明； (3)若函数在上的最小值是，求的值. 【变式1】已知函数有最小值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知函数（，且） (1)求函数的定义域； (2)若函数在区间上的最大值为2，求实数的值． 【变式3】已知函数. (1)当时，求函数的值域； (2)若函数的最小值为，求实数的值. 【变式4】已知函数在区间上的最大值为3，求实数的值． 题型07 对数函数（对数型复合函数）的单调性 【典例1】函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知函数，则该函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【变式2】函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【变式3】求函数的单调区间. 题型08 根据数函数（对数型复合函数）的单调性求参数 【典例1】已知函数，函数在上单调递减，则的取值范围 ． 【变式1】若函数在区间（2,4）上单调递增，则的取值范围是（    ） A．（0,2） B． C． D． 【变式2】函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知函数是上的增函数，则的取值范围为 . 【变式4】若函数在区间上为减函数，求a的取值范围． 题型09 比较大小问题 【典例1】已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】设，，，则（　　） A．c<b<a B．b<c<a C．a<c<b D．a<b<c 【变式2】已知，，，则此三数的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式3】设，，，则的大小关系是（    ）． A． B． C． D． 【变式4】比较的大小． 题型10 对数函数综合问题 【典例1】已知函数． (1)利用定义法判断的单调性； (2)若关于的不等式在恒成立，求正实数的取值范围． 【变式1】设函数. (1)画出函数的图象； (2)若存在不相等的实数，，使，求的值. 【变式2】已知函数． (1)若的定义域为，求实数的取值范围； (2)若的值域为，求实数的取值范围． 【变式3】已知函数满足，函数． (1)求函数的解析式； (2)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围． 【变式4】已知二次函数有两个零点，且． (1)求函数的解析式； (2)已知函数，若，使得恒成立，求的范围． 1．若函数，且的图象过定点，则点的坐标是 ． 2．函数的定义域为 . 3．已知，则 ． 4．不等式的解集为 ． 5．已知函数，，其中且，在上为减函数，则的取值范围为 . 6．已知函数的单调递增区间为 ． 7．已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是 . 8．已知函数．若，且的值域为，则实数的值为 ． 9．已知方程，若使其有意义，则的取值范围是 ． 10．已知函数，，，若存在实数，对任意的实数，使得成立，则实数a的取值范围为 . 11．若函数（，且）是对数函数，且，则（   ） A． B． C． D． 12．已知，则（   ） A． B． C． D． 13．已知函数，其中． (1)若，求方程的解； (2)若，求不等式的解． 14．已知函数，，，； (1)当时，求函数的值域； (2)当时，恒成立，求的取值范围； (3)若存在，使得不等式对任意，恒成立，求的取值范围. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $