第12讲 对数函数（2个知识点+6种必考题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（沪教版2020必修第一册）

第12讲 对数函数（2个知识点+6种必考题型+强化训练） 课程标准 学习目标 1.通过学习对数函数的图象，培养直观想象素养． 2．借助对数函数的定义域的求解，培养数学运算的素养. 3.通过学习对数函数的单调性的应用，培养逻辑推理素养． 4．借助对数函数性质的综合应用的学习，提升逻辑推理及数学运算素养. 1.理解对数函数的概念，会求对数函数的定义域．(重点、难点) 2．能画出具体对数函数的图象，并能根据对数函数的图象说明对数函数的性质．(重点) 3.掌握对数函数的单调性，会进行同底对数和不同底对数大小的比较．(重点) 4．通过指数函数、对数函数的学习，加深理解分类讨论、数形结合这两种重要数学思想的意义和作用．(重点) 知识点01 对数函数的概念 函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)． 知识点02 对数函数的图象及性质 a的范围 0<a<1 a>1 图象 定义域 (0，＋∞) 值域 R 性质 定点 (1,0)，即x＝1时，y＝0 单调性 在(0，＋∞)上是减函数 在(0，＋∞)上是增函数 【即学即练1】(1)对数函数的定义域为R.(　　) (2)函数y＝loga(x＋2)恒过定点(－1,0)．(　　) (3)对数函数的图象一定在y轴右侧．(　　) (4)函数y＝log2x与y＝x2互为反函数．(　　) 【即学即练2】下列函数是对数函数的是(　　) A．y＝2＋log3x B．y＝loga(2a)(a>0，且a≠1) C．y＝logax2(a>0，且a≠1) D．y＝ln x 【即学即练3】函数f(x)＝＋lg(5－3x)的定义域是(　　) A.　　　 B. C. D. 【即学即练4】已知f(x)＝log3x. (1)作出这个函数的图象； (2)若f(a)<f(2)，利用图象求a的取值范围． 题型一．对数函数的定义域 1．（2023秋•浦东新区校级期末）函数的定义域是 　 　． 2．（2023秋•宝山区校级期末）已知函数的定义域为，则实数的取值范围是 　 　． 3．（2023秋•上海月考）已知，若函数定义域为，则的取值范围为 　 　． 4．（2023秋•宝山区校级期中）已知函数，若函数的定义域是，则实数的取值范围是 　 　． 5．（2023秋•徐汇区校级期中）若对于任意实数，代数式均有意义，则实数的取值范围是 　 　． 6．（2023秋•宝山区校级期末）函数的定义域为 　 　． 7．（2023秋•浦东新区校级期末）设函数的定义域为集合，函数的定义域为集合． （1）若全集为，求； （2）若，求实数的取值范围． 题型二．对数函数的值域 8．（2023秋•杨浦区校级期末）已知函数在，上的最大值比最小值大2，则的值为 　　． 9．（2023秋•丰城市校级期末）已知函数的值域为，则实数的取值范围是 　 　． 题型三．对数函数的图象 10．（2023秋•杨浦区校级期中）有四个命题：①若，则；②若，则；③若，，则；④若且，则．其中真命题的是　　 A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 11．（2023秋•宝山区校级期末）已知函数，且，为实数），下列说法正确的是　　 A．函数的单调性只与有关，且与有关 B．函数的单调性只与有关，与无关 C．函数的单调性与、都有关 D．函数的单调性与、都无关 12．（2023秋•文峰区校级期末）函数的图象是　　 A． B． C． D． 13．（2023秋•浦东新区校级期末）若函数且的图象恒过定点，则的坐标是 　 　． 14．（2023秋•虹口区期末）设，若，则实数的取值范围是 　 　． 15．（2023秋•杨浦区校级期末）利用函数图像解不等式：的解集是 　 　． 16．（2023秋•黄浦区校级期末）设函数，若存在唯一的正整数，使得，则实数的取值范围是 　 　． 17．（2023秋•浦东新区校级期末）已知函数，若，则实数的取值范围是 　 　． 18．（2023秋•普陀区校级期末）已知，设函数在区间，上的最大值为（b）．若（b），则正实数的最大值为 　 　． 题型四．对数函数的单调性与最值 19．（2023秋•长宁区校级月考）函数且恒过定点 　 　． 20．（2023秋•杨浦区校级期末）对于任意不等于1的正数，函数的图像都经过一个定点，这个定点的坐标是 　 　． 21．（2023秋•浦东新区校级月考）函数恒过定点的坐标为 　 　． 22．（2024春•市南区校级期末）函数恒过定点 　 　． 23．（2023秋•宝山区校级期末）已知在，上是的减函数，则实数的取值范围为　 　． 题型五．指数函数与对数函数的关系 24．（2023•嘉定区校级开学）设，且，　 　． 25．（2023秋•长沙县期末）已知，则函数与函数的图象在同一坐标系中可以是　　 A． B． C． D． 题型六．对数函数图象与性质的综合应用 26．（2023秋•金沙县期末）函数的图象恒过定点的坐标为 　 　． 27．（2023秋•闵行区校级月考）已知函数． （1）当，时，求函数的值域． （2）若存在，，使得不等式成立，求实数的取值范围． 一．选择题（共4小题） 1．（2023秋•西安区校级期末）函数的定义域为　　 A． B． C． D． 2．（2023秋•杨浦区校级月考）“”是“”的　　 A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．非充分非必要条件 D．充要条件 3．（2024秋•邵阳月考）已知函数，若，且（a）（b），则的取值范围是　　 A． B． C． D．， 4．（2023秋•喀什地区期末）函数且的图像必经过一个定点，则这个定点的坐标是　　 A． B． C． D． 二．填空题（共8小题） 5．（2022秋•崇明区期末）若对数函数且的图像经过点，则实数　　． 6．（2023秋•奉贤区期中）对数式中的取值范围为 　　． 7．（2022秋•青浦区校级月考）若函数，的图像恒过一定点，则此定点坐标为 　　． 8．（2023秋•浦东新区校级月考）已知函数的图象不经过第四象限，则实数的取值范围是 　　． 9．（2022秋•浦东新区期末）已知对数函数且的图像经过点，且该函数图像经过点，，则实数的值是 　　． 10．（2022秋•金山区校级期末）已知且，若函数与的图象经过同一个定点，则　　． 11．（2022秋•浦东新区校级月考）已知曲线上的相异两点，到直线的距离相等，则点，的纵坐标之和的取值范围是 　　． 12．（2023秋•宝山区校级期末）已知，有下列命题： ①函数在区间上是严格增函数； ②函数的图像关于直线成轴对称； ③函数的图像与轴有且仅有两个公共点； ④若，但，则． 其中真命题的序号是 　　． 三．解答题（共5小题） 13．（2023秋•宜丰县校级期末）已知满足． （1）求的取值范围； （2）求函数的最小值． 14．（2023秋•福州月考）已知函数且，为常数）的图象经过点，． （1）求，的值； （2）设函数，求在，上的值域． 15．（2023秋•遂宁期末）已知函数， （1）若函数的定义域为，求实数的取值范围； （2）若函数的值域为，求实数的取值范围． 16．（2023秋•和平区校级期末）已知函数且． （1）若，且，求的定义域； （2）若，函数的定义域为，存在，，使得在，上的值域为，，求实数的取值范围． 17．（2023秋•信阳期末）已知函数． （1）当，时，求该函数的值域； （2）若不等式在，上有解，求的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12讲 对数函数（2个知识点+6种必考题型+强化训练） 课程标准 学习目标 1.通过学习对数函数的图象，培养直观想象素养． 2．借助对数函数的定义域的求解，培养数学运算的素养. 3.通过学习对数函数的单调性的应用，培养逻辑推理素养． 4．借助对数函数性质的综合应用的学习，提升逻辑推理及数学运算素养. 1.理解对数函数的概念，会求对数函数的定义域．(重点、难点) 2．能画出具体对数函数的图象，并能根据对数函数的图象说明对数函数的性质．(重点) 3.掌握对数函数的单调性，会进行同底对数和不同底对数大小的比较．(重点) 4．通过指数函数、对数函数的学习，加深理解分类讨论、数形结合这两种重要数学思想的意义和作用．(重点) 知识点01 对数函数的概念 函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)． 知识点02 对数函数的图象及性质 a的范围 0<a<1 a>1 图象 定义域 (0，＋∞) 值域 R 性质 定点 (1,0)，即x＝1时，y＝0 单调性 在(0，＋∞)上是减函数 在(0，＋∞)上是增函数 【即学即练1】(1)对数函数的定义域为R.(　　) (2)函数y＝loga(x＋2)恒过定点(－1,0)．(　　) (3)对数函数的图象一定在y轴右侧．(　　) (4)函数y＝log2x与y＝x2互为反函数．(　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 【即学即练2】下列函数是对数函数的是(　　) A．y＝2＋log3x B．y＝loga(2a)(a>0，且a≠1) C．y＝logax2(a>0，且a≠1) D．y＝ln x 【答案】D　 【解析】结合对数函数的形式y＝logax(a>0且a≠1)可知D正确． 【即学即练3】函数f(x)＝＋lg(5－3x)的定义域是(　　) A.　　　 B. C. D. 【答案】C　 【解析】由得 即1≤x<. 【即学即练4】已知f(x)＝log3x. (1)作出这个函数的图象； (2)若f(a)<f(2)，利用图象求a的取值范围． [解]　(1)作出函数y＝log3x的图象如图所示． (2)令f(x)＝f(2)， 即log3x＝log32，解得x＝2. 由图象知： 当0<a<2时，恒有f(a)<f(2)． 所以所求a的取值范围为0<a<2 题型一．对数函数的定义域 1．（2023秋•浦东新区校级期末）函数的定义域是 　 　． 【分析】利用对数的真数大于零可求得原函数的定义域． 【解答】解：对于函数，有，解得， 故函数的定义域为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查对数函数的定义域，属于基础题． 2．（2023秋•宝山区校级期末）已知函数的定义域为，则实数的取值范围是 　 　． 【分析】根据已知条件，结合判别式法，并分类讨论，即可求解． 【解答】解：数， 当时，显然符合题意， 当时，，解得， 综上所述，实数的取值范围是，． 故答案为：，． 【点评】本题主要考查对数函数的定义域，属于基础题． 3．（2023秋•上海月考）已知，若函数定义域为，则的取值范围为 　 　． 【分析】由题意有恒成立，利用二次不等式恒成立的条件求解． 【解答】解：若函数定义域为，则恒成立， 有△，解得， 即的取值范围为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了对数函数的性质，属于基础题． 4．（2023秋•宝山区校级期中）已知函数，若函数的定义域是，则实数的取值范围是 　 　． 【分析】的定义域为，即恒成立，由此能求出实数的取值范围． 【解答】解：的定义域为，即恒成立， 当时，，满足条件； 当时，要使的定义域为，则需要满足， 解得， 综上，，． 故答案为：，． 【点评】本题考查对数函数的性质和应用，是中档题． 5．（2023秋•徐汇区校级期中）若对于任意实数，代数式均有意义，则实数的取值范围是 　 　． 【分析】根据题意，列出使代数式有意义的不等式组，求解即可． 【解答】解：对于任意实数，代数式均有意义， 所以，即， 解得，即， 所以实数的取值范围是． 故答案为：． 【点评】本题考查了函数恒成立的应用问题，也考查了转化思想，是中档题． 6．（2023秋•宝山区校级期末）函数的定义域为 　 　． 【分析】根据函数的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可． 【解答】解：， 则，解得或， 故函数的定义域为或． 故答案为：或． 【点评】本题考查了求函数定义域的问题，解题时应求出使函数有意义的自变量的取值范围，是基础题目． 7．（2023秋•浦东新区校级期末）设函数的定义域为集合，函数的定义域为集合． （1）若全集为，求； （2）若，求实数的取值范围． 【分析】（1）解不等式求出，从而求出； （2）根据，得到关于的不等式组，解出即可． 【解答】解：由，解得：或， 故或， 由，解得：， 故， （1）或， ； （2）或，， 若， 则，解得：，即的取值范围是，． 【点评】本题考查求函数的定义域问题，考查集合的运算，是基础题． 题型二．对数函数的值域 8．（2023秋•杨浦区校级期末）已知函数在，上的最大值比最小值大2，则的值为 　　． 【分析】由可得为减函数，求得最值代入条件可得解． 【解答】解：时，函数为减函数， 则，即，解得， 所以实数的值为． 故答案为：． 【点评】本题考查对数函数的图象及性质，对数的运算，属于基础题． 9．（2023秋•丰城市校级期末）已知函数的值域为，则实数的取值范围是 　 　． 【分析】根据题意，令，转化为，的值域取遍一切正实数，结合二次函数的性质，分类讨论，即可求解． 【解答】解：由函数，令， 令，可得， 要使得函数的值域为， 则，的值域能取遍一切正实数， 当时，则满足△，解得； 当时，可得，符合题意； 当时，则满足，此时函数的值域能取遍一切正实数，符合题意， 综上可得，实数的取值范围为，，． 故答案为：，，． 【点评】本题主要考查对数函数的值域与最值，属于基础题． 题型三．对数函数的图象 10．（2023秋•杨浦区校级期中）有四个命题：①若，则；②若，则；③若，，则；④若且，则．其中真命题的是　　 A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【分析】对于①，由不等式的性质即可判断；对于②，由对数函数单调性、换底公式即可判断；对于③，作商比较大小即可；对于④，直接根据不等式的性质，同向不等式相加即可判断． 【解答】解：对于①，若，由不等式的性质可得：，故命题①是真命题； 对于②，若，因为，而，所以，故命题②是假命题； 对于③，若，，则，，可得，故命题③是真命题； 对于④，若且，则，，故命题④是真命题． 综上所述：真命题有①③④． 故选：． 【点评】本题考查不等式的性质的应用，属于基础题． 11．（2023秋•宝山区校级期末）已知函数，且，为实数），下列说法正确的是　　 A．函数的单调性只与有关，且与有关 B．函数的单调性只与有关，与无关 C．函数的单调性与、都有关 D．函数的单调性与、都无关 【分析】分，两种情况讨论，可知函数的单调性与，无关． 【解答】解：，且，为实数）， 当时，，在定义域上单调递增， 所以函数在单调递增，与无关； 当时，在定义域上单调递减， 所以函数在单调递增，与无关． 综上所述：在单调递增与，无关． 故选：． 【点评】本题考查函数的单调性的判断及分类讨论的思想，属于基础题． 12．（2023秋•文峰区校级期末）函数的图象是　　 A． B． C． D． 【分析】求出函数的定义域，证明函数是偶函数，图象关于轴对称，时，单调递减；时，单调递增，由此得出结论． 【解答】解：令，解得或，所以函数的定义域为或， 因为， 所以函数是偶函数，图象关于轴对称，故，错误； 当时，，是减函数， 当时，，是增函数，故正确，错误． 故选：． 【点评】本题主要考查对数函数的图象特征，函数的奇偶性的应用，属于基础题． 13．（2023秋•浦东新区校级期末）若函数且的图象恒过定点，则的坐标是 　 　． 【分析】根据题意，由对数函数的性质，令真数为1，求出的值，再代入函数解析式可得出定点的纵坐标． 【解答】解：根据题意，函数， 令，得，此时有（3）， 则的坐标是． 故答案为：． 【点评】本题考查对数函数的性质以及应用，涉及对数的运算，属于基础题． 14．（2023秋•虹口区期末）设，若，则实数的取值范围是 　 　． 【分析】根据的表达式建立关于的对数不等式，解之即可得到实数的取值范围． 【解答】解：根据题意，可得即， 所以，解得，即实数的取值范围是，． 故答案为：，． 【点评】本题主要考查对数函数的性质及其应用、不等式的解法等知识，考查了计算能力，属于基础题． 15．（2023秋•杨浦区校级期末）利用函数图像解不等式：的解集是 　 　． 【分析】画出函数，的图像，根据图像得到答案． 【解答】解：画出函数，的图像，如图， 当时，， 根据图像知：当时，． 故答案为：． 【点评】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 16．（2023秋•黄浦区校级期末）设函数，若存在唯一的正整数，使得，则实数的取值范围是 　 　． 【分析】依题意化简可得存在唯一的正整数，使得，再根据函数单调性数形结合列式求解即可． 【解答】解：， 因为，故，则， 则存在唯一的正整数，使得． 又为增函数，故， 则，即， 解得，即实数的取值范围是，． 故答案为：，． 【点评】本题考查对数函数的单调性的应用，属于基础题． 17．（2023秋•浦东新区校级期末）已知函数，若，则实数的取值范围是 　 　． 【分析】先利用定义判断函数的单调性，设，其中因式要与1比较大小，等价于，判断与0的大小即可． 【解答】解：因为， 所以函数的定义域为， 设， 则， 即， 其中， 因为，， ， ，， 所以，即，得， 同时，指数函数在上单调递增，且，则，即， 所以，即成立， 所以函数在上单调递增，且， 若，只需，解得， 故答案是：． 【点评】本题考查的知识要点：函数的性质，不等式的性质，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题． 18．（2023秋•普陀区校级期末）已知，设函数在区间，上的最大值为（b）．若（b），则正实数的最大值为 　 　． 【分析】画出函数图象，数形结合得到当时，（b）取得最小值，最小值为，并得到，从而得到不等式，求解解集，得到答案． 【解答】解：画出的图象如下： 故（b），， 由图象可知，当时，（b）取得最小值，最小值为， 此时，， 则， 故只需要 ②， 将①代入②得， 化简得， 解得， 故正实数的最大值为． 故答案为：． 【点评】本题考查对数函数的图象与性质，属于中档题． 题型四．对数函数的单调性与最值 19．（2023秋•长宁区校级月考）函数且恒过定点 　 　． 【分析】令，即可得出函数且恒过的定点． 【解答】解：令得，此时， 所以函数恒过定点． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了对数函数性质的应用，属于基础题． 20．（2023秋•杨浦区校级期末）对于任意不等于1的正数，函数的图像都经过一个定点，这个定点的坐标是 　 　． 【分析】令对数的真数等于1，求得、的值，即为定点的坐标． 【解答】解：令，得，，故函数的图象必经过定点的坐标， 故答案为：． 【点评】本题主要考查对数函数的图象经过定点问题，属于基础题． 21．（2023秋•浦东新区校级月考）函数恒过定点的坐标为 　 　． 【分析】令真数等于1，求得、的值，可得函数的图象经过定点的坐标． 【解答】解：函数且，令，得（1）， 可得它的图象恒过定点 故答案为：． 【点评】本题主要考查函数图象经过定点问题，属于基础题． 22．（2024春•市南区校级期末）函数恒过定点 　 　． 【分析】据函数的形式及对数函数的性质令，即可解出函数恒过定点的坐标． 【解答】解：由题意，令，得，此时 函数恒过定点 故答案为：． 【点评】本题考查对数函数的单调性与特殊点，解题的关键是根据对数函数的性质令真数为1，求定点的坐标来，本题考查知识的应用能力． 23．（2023秋•宝山区校级期末）已知在，上是的减函数，则实数的取值范围为　 　． 【分析】根据复合函数的单调性和对数函数的性质可知，再由在，上应有，可知．得． 【解答】解：设， 且， 为减函数． 依题意，又在，上应有， 只须．． 故． 故答案为： 【点评】本题主要考查了对数函数的单调性与特殊点，要掌握复合函数的单调性的判定方法：同增异减．属于基础题． 题型五．指数函数与对数函数的关系 24．（2023•嘉定区校级开学）设，且，　 　． 【分析】先解出，，再代入方程利用换底公式及对数运算性质化简即可得到的等式，求． 【解答】解：，，，由换底公式得 ，，， 故应填 【点评】考查指对转化，对数的运算性质，求两对数式的倒数和，若两真数相同，常用换底公式转化为同底的对数求和． 25．（2023秋•长沙县期末）已知，则函数与函数的图象在同一坐标系中可以是　　 A． B． C． D． 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性和的关系，即可得到结论． 【解答】解：当时，在定义域上单调递减， 在上单调递增， 对应的图形为， 故选：． 【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用指数函数和对数函数单调性的性质是解决本题的关键，比较基础． 题型六．对数函数图象与性质的综合应用 26．（2023秋•金沙县期末）函数的图象恒过定点的坐标为 　 　． 【分析】根据题意，令，可得，将将代入函数的解析式，求出的值，即可得答案． 【解答】解：根据题意，函数， 令，可得， 将代入函数的解析式，可得， 即函数的图象恒过定点． 故答案为：． 【点评】本题考查指数、对数函数的性质以及应用，涉及对数的运算，属于基础题． 27．（2023秋•闵行区校级月考）已知函数． （1）当，时，求函数的值域． （2）若存在，，使得不等式成立，求实数的取值范围． 【分析】（1）将变形为，再令，利用换元法转换为二次函数求值域； （2）将不等式整理为对，恒成立，再利用二次函数的性质分类讨论最值求解． 【解答】解：（1）， 令，则，时，，， 此时， ，，则， 所以，时，函数的值域为； （2）对于，恒成立， 即对，恒成立， 即对，恒成立， 设，，，则， ①当，即时，（1），解得，所以； ②当，即时，（2），即， 所以， 综上所述，的范围为． 【点评】本题主要考查了对数函数性质的应用，还考查了不等式恒成立与最值关系的应用，属于中档题． 一．选择题（共4小题） 1．（2023秋•西安区校级期末）函数的定义域为　　 A． B． C． D． 【分析】根据真数大于0，分母不等式0得到不等式组，求出定义域． 【解答】解：由题意得，解得． 故选：． 【点评】本题考查了函数定义域的定义及求法，对数函数的定义域，考查了计算能力，是基础题． 2．（2023秋•杨浦区校级月考）“”是“”的　　 A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．非充分非必要条件 D．充要条件 【分析】根据充要条件的定义互相推断进而可得出结果． 【解答】解：若“”则，当，有“”当，“无意义， 即：“”推不出“”； 若“”；则，且； 解得：，则能推出， 由充要条件的定义判断“”是“”的必要非充分条件． 故选：． 【点评】本题主要考查充分条件与必要条件，熟记概念即可，属于常考题型． 3．（2024秋•邵阳月考）已知函数，若，且（a）（b），则的取值范围是　　 A． B． C． D．， 【分析】利用（a）（b）得出，然后利用对勾函数的单调性求解即可． 【解答】解：（a）（b），故， 因为，且为则增函数， 故，即， 故，且， 则， 因为为对勾函数，在上单调递减， 当时，， 故． 故选：． 【点评】本题考查对勾函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 4．（2023秋•喀什地区期末）函数且的图像必经过一个定点，则这个定点的坐标是　　 A． B． C． D． 【分析】由题意，令对数的真数等于1，求得、的值，可得函数图像必经过定点的坐标． 【解答】解：对于函数且，令，可得， 可得它的图像必经过一个定点． 故选：． 【点评】本题主要考查对数函数的图像经过定点问题，属于基础题． 二．填空题（共8小题） 5．（2022秋•崇明区期末）若对数函数且的图像经过点，则实数　2　． 【分析】由题意得，化简求解即可． 【解答】解：由题意得， ， 即， 故； 故答案为：2． 【点评】本题考查了对数函数及对数式与指数式的互化，属于基础题． 6．（2023秋•奉贤区期中）对数式中的取值范围为 　　． 【分析】根据题意，由条件列出不等式，即可得到结果． 【解答】解：由题意可得，，解得，所以的取值范围为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查对数函数的定义域，属于基础题． 7．（2022秋•青浦区校级月考）若函数，的图像恒过一定点，则此定点坐标为 　　． 【分析】利用，取的值进行求解即可． 【解答】解：因为函数且， 当时，， 所以函数的图象恒过定点． 故答案为：． 【点评】本题考查了对数函数图象性质的应用，解题的关键是掌握，考查了逻辑推理能力，属于基础题． 8．（2023秋•浦东新区校级月考）已知函数的图象不经过第四象限，则实数的取值范围是 　，　． 【分析】根据函数的图象不经过第四象限得到，解不等式求得的取值范围． 【解答】解：函数的图象不经过第四象限， ，即， ，解得． 则实数的取值范围为，． 故答案为：，． 【点评】本题考查对数型函数的性质、对数不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 9．（2022秋•浦东新区期末）已知对数函数且的图像经过点，且该函数图像经过点，，则实数的值是 　9　． 【分析】由已知结合对数的运算可先求出函数解析式，然后代入点的坐标可求． 【解答】解：因为对数函数且的图像经过点， 所以， 所以，， 因为函数图像经过点，， 则，即． 故答案为：9． 【点评】本题主要考查了对数函数的性质，属于基础题． 10．（2022秋•金山区校级期末）已知且，若函数与的图象经过同一个定点，则　3　． 【分析】先求出指数函数的图象过定点，再求出对数函数的图象过定点，即可求解． 【解答】解：令，则函数的图象经过定点， 令，则，， 所以函数的图象经过定点， 若函数与的图象经过同一个定点， 则， 所以． 故答案为：3． 【点评】本题考查指数函数和对数函数的图象过定点问题，属于基础题． 11．（2022秋•浦东新区校级月考）已知曲线上的相异两点，到直线的距离相等，则点，的纵坐标之和的取值范围是 　　． 【分析】不妨设，由题意得，即，然后结合对数的运算性质及基本不等式即可求解． 【解答】解：不妨设， 由题意得，即， 则点，的纵坐标之和， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了对数的运算性质及基本不等式的应用，属于基础题． 12．（2023秋•宝山区校级期末）已知，有下列命题： ①函数在区间上是严格增函数； ②函数的图像关于直线成轴对称； ③函数的图像与轴有且仅有两个公共点； ④若，但，则． 其中真命题的序号是 　①②③　． 【分析】作出的图像，对四个选项逐一分析可得答案． 【解答】解：作出的图像如下： 由图可知，函数在区间上是严格增函数，①正确； 由，得，得函数的图像关于直线成轴对称，②正确； 函数的图像与轴有且仅有两个公共点（图中的与，③正确； 由图可知，直线与的图像有4个交点，设点的横坐标为，点的横坐标为，满足，，但的值不等于4，④错误． 故选：①②③． 【点评】本题考查函数的图象与图象的变换，考查作图能力与推理分析能力，属于中档题． 三．解答题（共5小题） 13．（2023秋•宜丰县校级期末）已知满足． （1）求的取值范围； （2）求函数的最小值． 【分析】（1）利用对数函数的单调性即可求解； （2）先通过对数运算化简函数得，然后利用二次函数性质求解函数最值即可． 【解答】解：（1）由，得， 故的取值范围为，． （2）因为， 所以当即时，取得最小值． 【点评】本题主要考查对数函数的图象与性质，属于基础题． 14．（2023秋•福州月考）已知函数且，为常数）的图象经过点，． （1）求，的值； （2）设函数，求在，上的值域． 【分析】（1）利用待定系数法即可得解； （2）利用对数函数的单调性与单调性的加减性质即可得解． 【解答】解：（1）因为的图象经过点，， 所以，两式相减得， 又且，解得或（舍去），则，； （2）由（1）得， 因为函数在，上单调递增，函数在，上单调递增， 所以在，上单调递增， 则（4）， （1）， 故在，上的值域为，． 【点评】本题考查了对数函数的图象和性质，是基础题． 15．（2023秋•遂宁期末）已知函数， （1）若函数的定义域为，求实数的取值范围； （2）若函数的值域为，求实数的取值范围． 【分析】（1）恒成立，运用二次函数求解． （2）图象不能在轴上方． 【解答】解：函数， （1）的定义域为， 的图象恒在轴上方， 恒成立， 当时，恒成立， 当时不恒成立， 当时，不等式恒成立． 即或， 所以实数的取值范围为：或， （2）的值域为， 图象不能在轴下方， 当时，符合题意， 当时，即 实数的取值范围： 【点评】本题考查了对数函数的图象和性质，借助二次函数性质求解． 16．（2023秋•和平区校级期末）已知函数且． （1）若，且，求的定义域； （2）若，函数的定义域为，存在，，使得在，上的值域为，，求实数的取值范围． 【分析】（1）当且时，可得出，利用对数的真数大于零以及指数函数的单调性可求得函数的定义域； （2）分析可知，关于的方程有两个不同的解，令，可得出方程有两个不同的正根，分、两种情况讨论，结合二次函数零点分布可求得的取值范围． 【解答】解：（1）当且时，， 由题知，即，解得， 故当且时，函数的定义域为． （2）因为，因为内层函数在定义域内为增函数， 外层函数在定义域内为增函数，所以，函数在定义域内单调递增， 因为函数的定义域为，存在，，使得在，上的值域为，， 故，所以，关于的方程有两个不同的解，故，即有两个不同的解． 令，若，则，， 即方程可转化为有两个不同的正数根， 令，则△， 设函数的两个零点分别为、，则，不合乎题意； 若，则，，， 即方程可转化为在上有两个不同的实数根， 得，解得， 故实数的取值范围为． 【点评】本题考查利用二次函数的零点分布求参数，属于中档题． 17．（2023秋•信阳期末）已知函数． （1）当，时，求该函数的值域； （2）若不等式在，上有解，求的取值范围． 【分析】（1）换元令，结合二次函数的性质求值域； （2）换元令，整理可得在，上有解，根据存在性问题分析求解． 【解答】解：（1）因为， 由对数函数单调性可知，当，时，，， 令，，，即可得，，， 可知的开口向上，对称轴为， 由二次函数性质可知当时，，当时，， 所以可得当，时，函数的值域为． （2）当，时，可得，，令，，， 可得，即在，上有解， 整理可得在，上有解， 因为函数在，上单调递增，当时，， 所以的取值范围是． 【点评】本题主要考查了对数函数性质在函数值域求解中的应用，还考查了存在性问题与最值关系的转化，属于中档题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$