专题4.2 指数函数（高效培优讲义）数学沪教版2020必修第一册

专题4.2指数函数 教学目标 1.通过学习指数函数的图象，培养直观想象的数学素养． 2．借助指数函数的定义域、值域的求法，培养逻辑推理素养. 3.借助指数函数的性质及应用，培养逻辑推理和数学运算素养. 教学重难点 教学重点： 1.理解指数函数的概念与意义，掌握指数函数的定义域、值域的求法． 2．能画出具体指数函数的图象，并能根据指数函数的图象说明指数函数的性质． 3.掌握指数函数的性质并会应用，能利用指数函数的单调性比较幂的大小及解不等式． 教学难点： 通过本节内容的学习，进一步体会函数图象是研究函数的重要工具，并能运用指数函数研究一些实际问题． 知识点01指数函数的概念 1、一般地，函数叫做 ，其中指数是 ，底数是一个大于0且不等于1的常量，定义域是. 2、学习指数函数的定义，注意以下几点 （1）定义域为： （2）规定是因为： ①若，则（恒等于1）没有研究价值； ②若，则时，（恒等于0），而当时，无意义； ③若，则中为偶数，为奇数时，无意义. 只有当或时，即，可以是任意实数. （3）函数解析式形式要求： 指数函数只是一个新式定义，判断一个函数是指数函数的关键有三点：①的系数必须为1；②底数为大于0且不等于1的常数，不能是自变量；③指数处只有一个自变量，而不是含自变量的多项式. 【即学即练】下列各函数中，是指数函数的是（   ） A． B． C． D． 知识点02 指数函数的图象与性质 1、函数的图象和性质如下表： 底数 图象 性 质 定义域 值域 定点 图象过定点 单调性 函数值的变化情况 当时， 当时， 当时， 当时， 当时， 当时， 对称性 函数与的图象关于 对称 2、指数函数的底数对图象的影响 函数的图象如图所示： 观察图象，我们有如下结论： 2.1.底数与1的大小关系决定了指数函数图象的“升”与“降”. （1）当时，指数函数的图象是“上升”的，且当时，底数的值越大，函数的图象越“陡”，说明其函数值增长的越快. （2）当时，指数函数的图象是“下降”的，且当时，底数的值越小，函数的图象越“陡”，说明其函数值减小的越快. 2.2.底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是还是，底数越大，在第一象限内的函数图象越“靠上”. 在同一平面直角坐标系中，底数的大小决定了图象相对位置的高低； 在轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，即“底数大图象高”； 在轴左侧，图象从上到下相应的底数由小变大，即“底数大图象低”； 【即学即练】函数与的图象（   ） A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线对称 知识点03指数函数的定义域与值域 1、定义域： （1）指数函数的定义域为 （2）的定义域与函数的定义域相同 （3）的定义域与函数的定义域不一定相同. 2、值域 （1）指数函数的值域为 （2）求形如的函数的值域，先求的值域，然后结合得性质确定的值域 （3）求形如的值域，转化为先求的值域，再将的取值范围代入函数中. 【即学即练】函数在上的最大值为（   ） A． B． C．6 D．36 知识点04指数函数的图像变换 已知函数 1、平移变换 ① ② ③ ④ 2、对称变换 ① ② ③ 3、翻折变换 ①（去掉轴左侧图象，保留轴右侧图象；将轴右侧图象翻折到轴左侧） ②（保留轴上方的图象，将轴下方的图象翻折到轴上方） 【即学即练】函数的图象有什么特征？你能根据图象指出其值域和单调区间吗？ 题型01指数函数的判定与求值 【典例1】下列函数中， 是指数函数.①；②；③；④；⑤（是常数）；⑥. 【变式1】下列函数是指数函数的序号为 ．（请填入全部正确的序号） ①；    ②；    ③；    ④；    ⑤． 【变式2】已知，若，则 . 【变式3】下列函数①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧中，是幂函数的是 ；是指数函数的是 . 【变式4】已知指数函数的图像过点，则 . 1、一般地，函数叫做指数函数，其中指数是自变量，底数是一个大于0且不等于1的常量，定义域是. 题型02 根据函数是指数函数求参数 【典例1】若函数为指数函数，则 ． 【变式1】若函数是指数函数，则 ． 【变式2】函数是指数函数，则的值为 ． 【变式3】函数是指数函数，则有 . 【变式4】已知指数函数，则的值是 . 函数解析式形式要求： 指数函数只是一个新式定义，判断一个函数是指数函数的关键有三点：①的系数必须为1；②底数为大于0且不等于1的常数，不能是自变量；③指数处只有一个自变量，而不是含自变量的多项式. 题型03 指数型函数图象过定点问题 【典例1】函数，且的图象恒过的定点的坐标为 ，若点在一次函数的图象上，其中，则的最小值为 . 【变式1】幂函数在上单调递增，则的图象过定点 ． 【变式2】已知函数所过的定点在一次函数的图像上，则的最小值为 ． 【变式3】已知常数，函数经过一个定点，则该定点坐标为 . 【变式4】若函数，且的图象过定点 A，且点 A在幂函数 上，则 . 图象过定点 题型04指数函数图象的识别 【典例1】设指数函数：，：，：的图象如图，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知函数（，且）与函数（，且）的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知函数的图象如图所示，则函数的大致图象为（    ）      A．   B．       C．       D．     【变式3】已知，，，，则在同一平面直角坐标系内，它们的图象大致为（    ） A．B． C．D． 【变式4】函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 识图常用的方法： （1）定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题； （2）定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题； （3）函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题． 题型05 画指数函数的图象 【典例1】作出函数的图象. 【变式1】作出函数的图象. 【变式2】已知的图象，指出下列函数的图象是由的图象通过怎样的变换得到的. (1)； (2)； (3)； (4). 【变式3】利用函数的图象，作出下列各函数的图象： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【变式4】作出函数与的图象 1、平移变换 ① ② ③ ④ 2、对称变换 ① ② ③ 3、翻折变换 ①（去掉轴左侧图象，保留轴右侧图象；将轴右侧图象翻折到轴左侧） ②（保留轴上方的图象，将轴下方的图象翻折到轴上方） 题型06 利用指数函数的单调性比较大小 【典例1】已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【变式1】若，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】下列关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】已知，，，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式4】已知，则（   ） A． B． C． D． 题型07 利用指数函数的单调性解不等式 【典例1】已知函数，则不等式成立的实数m的取值范围为 ． 【变式1】若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2】若关于的不等式：的解集是，则的取值范围是 ． 【变式3】已知，若，则实数的取值范围为 . 【变式4】求不等式的解集． 题型08 指数型复合函数的单调性 【典例1】设函数（且）在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】函数的单增区间为（    ） A． B． C． D． 【变式2】函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【变式3】设函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式4】已知函数（且）在上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 题型09 与指数函数（指数型复合函数）有关的值域 【典例1】函数在区间上的值域为 . 【变式1】已知函数，则（    ） A．在上单调递增且值域为 B．在上单调递减且值域为 C．在上单调递增且值域为 D．在上单调递减且值域为 【变式2】已知函数的值域为．若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3】已知函数的值域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D．   【变式4】函数的值域为 . 题型10 可化为一元二次函数型 【典例1】已知函数，则函数的值域为 ． 【变式1】函数在的最小值是 . 【变式2】函数，的值域为 . 【变式3】函数的值域为 . 【变式4】要使函数在时恒大于0，则实数a的取值范围是 . 题型11 与指数函数的相关的综合问题 【典例1】已知二次函数满足，函数满足，且不等式的解集为． (1)求的解析式； (2)若关于x的不等式对任意的恒成立，求实数m的取值范围． 【变式1】已知函数，且为常数． (1)当时，求的解集； (2)当，恒有，求实数的取值范围． 【变式2】定义：若对定义域内任意，都有（为正常数），则称函数为“距”增函数. (1)若，，判断是否为“1距”增函数，并说明理由； (2)若，是“距”增函数，求实数的取值范围； (3)若，，其中（）为常数，如果是“2距”增函数，求实数的取值范围及的最小值. 【变式3】已知函数，其中且. (1)若，求的最小值； (2)若在区间上的最大值为，求的值； (3)若，且对任意恒成立，求实数的取值范围. 【变式4】已知函数 (1)求不等式的解集； (2)求的值域； (3)当时，不等式恒成立，求的取值范围． 1．若 且 ，则函数 的图象恒过的定点坐标是 . 2．已知，且函数在上是严格减函数，则的取值范围是 ． 3．若函数（且），任取，且，都有，则实数a的取值范围是 ． 4．若函数对于任意，总存在使得，则称是上的“a阶依赖函数”.若函数是上的“a阶依赖函数”，则实数的取值范围是 . 5．已知函数的定义域为R，则函数的值域为 6．若函数的值域为，则实数的取值范围是 . 7．已知函数与，若对任意的，总有恒成立，则实数的取值范围是 ． 8．若函数在区间单调递增函数，则实数a的取值范围是 . 9．已知在上恒成立，则实数m的最小值是 ． 10．函数的单调递减区间为 ． 11．若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 12．在同一平面直角坐标系中，二次函数与指数函数的图像关系可能为（        ） A． B． C． D． 13．已知函数. (1)若时，求函数的值域； (2)若函数的最小值是1，求实数的值. 14．已知函数的图像经过，其中且 (1)求实数的值 (2)若，求实数的取值范围 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.2指数函数 教学目标 1.通过学习指数函数的图象，培养直观想象的数学素养． 2．借助指数函数的定义域、值域的求法，培养逻辑推理素养. 3.借助指数函数的性质及应用，培养逻辑推理和数学运算素养. 教学重难点 教学重点： 1.理解指数函数的概念与意义，掌握指数函数的定义域、值域的求法． 2．能画出具体指数函数的图象，并能根据指数函数的图象说明指数函数的性质． 3.掌握指数函数的性质并会应用，能利用指数函数的单调性比较幂的大小及解不等式． 教学难点： 通过本节内容的学习，进一步体会函数图象是研究函数的重要工具，并能运用指数函数研究一些实际问题． 知识点01指数函数的概念 1、一般地，函数叫做指数函数，其中指数是自变量，底数是一个大于0且不等于1的常量，定义域是. 2、学习指数函数的定义，注意以下几点 （1）定义域为： （2）规定是因为： ①若，则（恒等于1）没有研究价值； ②若，则时，（恒等于0），而当时，无意义； ③若，则中为偶数，为奇数时，无意义. 只有当或时，即，可以是任意实数. （3）函数解析式形式要求： 指数函数只是一个新式定义，判断一个函数是指数函数的关键有三点：①的系数必须为1；②底数为大于0且不等于1的常数，不能是自变量；③指数处只有一个自变量，而不是含自变量的多项式. 【即学即练】下列各函数中，是指数函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数定义即可判断. 【详解】根据指数函数的定义形如且为指数函数判断： 对于A：为幂函数，故A错误； 对于B：中不能作为底数，故B错误； 对于C：中系数不为1，故C错误； 对于D：是指数函数，故D正确； 故选：D 知识点02 指数函数的图象与性质 1、函数的图象和性质如下表： 底数 图象 性 质 定义域 值域 定点 图象过定点 单调性 增函数 减函数 函数值的变化情况 当时， 当时， 当时， 当时， 当时， 当时， 对称性 函数与的图象关于轴对称 2、指数函数的底数对图象的影响 函数的图象如图所示： 观察图象，我们有如下结论： 2.1.底数与1的大小关系决定了指数函数图象的“升”与“降”. （1）当时，指数函数的图象是“上升”的，且当时，底数的值越大，函数的图象越“陡”，说明其函数值增长的越快. （2）当时，指数函数的图象是“下降”的，且当时，底数的值越小，函数的图象越“陡”，说明其函数值减小的越快. 2.2.底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是还是，底数越大，在第一象限内的函数图象越“靠上”. 在同一平面直角坐标系中，底数的大小决定了图象相对位置的高低； 在轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，即“底数大图象高”； 在轴左侧，图象从上到下相应的底数由小变大，即“底数大图象低”； 【即学即练】函数与的图象（   ） A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线对称 【答案】A 【分析】根据图形对称性求解． 【详解】把中的换成即可得到,故与的图象关于轴对称． 故选：A 知识点03指数函数的定义域与值域 1、定义域： （1）指数函数的定义域为 （2）的定义域与函数的定义域相同 （3）的定义域与函数的定义域不一定相同. 2、值域 （1）指数函数的值域为 （2）求形如的函数的值域，先求的值域，然后结合得性质确定的值域 （3）求形如的值域，转化为先求的值域，再将的取值范围代入函数中. 【即学即练】函数在上的最大值为（   ） A． B． C．6 D．36 【答案】C 【分析】利用指数函数单调性求出最大值. 【详解】函数在上单调递增，当时，. 所以函数在上的最大值为6. 故选：C 知识点04指数函数的图像变换 已知函数 1、平移变换 ① ② ③ ④ 2、对称变换 ① ② ③ 3、翻折变换 ①（去掉轴左侧图象，保留轴右侧图象；将轴右侧图象翻折到轴左侧） ②（保留轴上方的图象，将轴下方的图象翻折到轴上方） 【即学即练】函数的图象有什么特征？你能根据图象指出其值域和单调区间吗？ 【答案】答案见解析 【分析】去绝对值，对函数进行分段处理，然后可作出函数图像，根据图像确定相关性质. 【详解】， 其图象由和的图象合并而成，    而和的图象关于轴对称， 所以原函数的图象关于轴对称为偶函数， 由图象可知值域是，单调递增区间是，单调递减区间是． 题型01指数函数的判定与求值 【典例1】下列函数中， 是指数函数.①；②；③；④；⑤（是常数）；⑥. 【答案】① 【分析】根据指数函数的定义，一一判断各函数，即得答案. 【详解】因为形如且的函数为指数函数，其中a为常数； 故①为指数函数；②不是指数函数； ③不是指数函数；④的底数不是常数，故不是指数函数； ⑤（是常数）为幂函数，不是指数函数； ⑥，由于取负值或0，1时，函数即不是指数函数，故不能确定为指数函数. 故答案为：①. 【变式1】下列函数是指数函数的序号为 ．（请填入全部正确的序号） ①；    ②；    ③；    ④；    ⑤． 【答案】②③⑤ 【分析】根据指数函数的定义判断即可. 【详解】形如且的函数叫做指数函数， 因此②③⑤对. 故答案为：②③⑤. 【变式2】已知，若，则 . 【答案】或 【分析】根据分段函数解析式得到方程（不等式）组，解得即可. 【详解】因为且， 所以或， 解得或. 故答案为：或 【变式3】下列函数①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧中，是幂函数的是 ；是指数函数的是 . 【答案】 幂函数② 指数函数①⑤ 【分析】根据幂函数、指数函数的定义判断可得答案. 【详解】因为指数函数为（且），故①⑤是指数函数； 由幂函数定义知，是幂函数，故②是幂函数； 由指数函数的定义知，③④⑥⑦均不是幂函数，也不是指数函数； 对于⑧，当时，，不是幂函数，也不是指数函数. 故答案为：②；①⑤. 【变式4】已知指数函数的图像过点，则 . 【答案】 【分析】设指数函数，代入点的坐标待定，再代入解析式求值. 【详解】设，且， 由函数的图像过点， 则，又，解得， 所以， 则. 故答案为：. 1、一般地，函数叫做指数函数，其中指数是自变量，底数是一个大于0且不等于1的常量，定义域是. 题型02 根据函数是指数函数求参数 【典例1】若函数为指数函数，则 ． 【答案】 【分析】根据指数函数的定义得到方程（不等式）组，解得即可. 【详解】因为函数为指数函数， 所以且且，解得. 故答案为： 【变式1】若函数是指数函数，则 ． 【答案】4 【分析】由指数函数定义可得答案. 【详解】因为指数函数，则， 由，可得或， 综上，. 故答案为：4 【变式2】函数是指数函数，则的值为 ． 【答案】 【分析】利用指数函数的定义可得出关于实数的等式与不等式，即可解得实数的值. 【详解】因为函数为指数函数，则，解得. 故答案为：. 【变式3】函数是指数函数，则有 . 【答案】 【分析】利用指数函数的定义即可求解. 【详解】由题意可得，解得或， 又且，所以. 故答案为： 【变式4】已知指数函数，则的值是 . 【答案】2. 【分析】利用指数函数的定义，求出即可． 【详解】由指数函数的定义， 可得， 解得． 故答案为：． 函数解析式形式要求： 指数函数只是一个新式定义，判断一个函数是指数函数的关键有三点：①的系数必须为1；②底数为大于0且不等于1的常数，不能是自变量；③指数处只有一个自变量，而不是含自变量的多项式. 题型03 指数型函数图象过定点问题 【典例1】函数，且的图象恒过的定点的坐标为 ，若点在一次函数的图象上，其中，则的最小值为 . 【答案】 / 【分析】根据指数函数图象性质可得，再利用基本不等式计算可得结果. 【详解】由函数，则当时，恒有，即. 由题意，可得，由， 则， 当且仅当且，即，等号成立. 故答案为：；； 【变式1】幂函数在上单调递增，则的图象过定点 ． 【答案】 【分析】利用幂函数的定义和性质，求得的值，再利用指数函数的图象过定点，得出结论． 【详解】幂函数在上单调递增， ，且，解得， 故， 令，得，且， 可得的图象过定点． 故答案为：. 【变式2】已知函数所过的定点在一次函数的图像上，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】由指数函数性质与基本不等式求解. 【详解】令，解得. 由题意知，函数经过定点，则，，故 ， 当且仅当，即时等号成立，故的最小值为. 故答案为：. 【变式3】已知常数，函数经过一个定点，则该定点坐标为 . 【答案】 【分析】对函数解析式变形，得到，令，解题即可. 【详解】对函数解析式变形，得到， 令，解.代入解析式，得到，经过一个定点. 故答案为： . 【变式4】若函数，且的图象过定点 A，且点 A在幂函数 上，则 . 【答案】 【分析】求出幂函数解析式，根据指数函数的性质求得定点坐标，代入幂函数解析式可得． 【详解】是幂函数，则，∴， 中，令，得，，∴定点为， ∴，又，∴． 故答案为：． 图象过定点 题型04指数函数图象的识别 【典例1】设指数函数：，：，：的图象如图，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】做直线，数形结合，可得的大小关系. 【详解】如图： 做直线，得到直线与三个指数函数图象的交点分别为，，，由图可知：. 故选：A 【变式1】已知函数（，且）与函数（，且）的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由指数函数的图象与性质可得，.再根据函数（，且）与函数（，且）的图象的对称性，数形结合即可求解. 【详解】由图得，，所以. 因为函数（，且）的图象与函数（，且）的图象关于轴对称，如图所示， 由图可知：，则. 故选：A. 【变式2】已知函数的图象如图所示，则函数的大致图象为（    ）      A．   B．       C．       D．     【答案】A 【分析】根据指数函数的图象与性质结合函数的图象可求得的范围，再根据二次函数的图象即可得解. 【详解】函数的图象是由函数的图象向下或向上平移个单位得到的， 由函数的图象可得函数为单调递减函数，则， 令得，则， 则函数的大致图象为A选项. 故选：A. 【变式3】已知，，，，则在同一平面直角坐标系内，它们的图象大致为（    ） A．B． C．D． 【答案】A 【分析】根据指数函数的单调性和特殊值法即可判断. 【详解】由指数函数性质,得与是增函数,与是减函数. 直线1与四条曲线交点的纵坐标的大小对应各底数的大小, A选项正确. 故选：A. 【变式4】函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用排除法，先判断函数的奇偶性，再由观察图像的变化情况或取特殊值即可得答案 【详解】由为偶函数可排除A，C； 当时，图象高于图象，即，排除B； 故选：D． 识图常用的方法： （1）定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题； （2）定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题； （3）函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题． 题型05 画指数函数的图象 【典例1】作出函数的图象. 【答案】图象见解析 【分析】根据图象变换的知识，由的图象进行图象变换，从而画出函数的图象. 【详解】设，其图象可看作由函数的图象向右平移1个单位， 再向下平移1个单位得到， 而，其图象可由的图象保留时的图象， 然后将该部分关于y轴对称得到， 则图象如图示： 【变式1】作出函数的图象. 【答案】作图见解析 【分析】根据函数的奇偶性画出函数的图象. 【详解】作出的图象，保留的图象中的部分， 再作图象中的部分关于轴的对称图象， 即得图象，如下图所示.    【变式2】已知的图象，指出下列函数的图象是由的图象通过怎样的变换得到的. (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 (4)答案见解析 【分析】直接根据函数图像的平移和对称法则得到答案. 【详解】（1）的图象是由的图象向左平移1个单位长度得到的． （2）的图象是由的图象向上平移1个单位长度得到的． （3）与的图象关于y轴对称， 作的图象关于轴的对称图形便可得到的图象． （4）为偶函数，其图象关于轴对称， 故保留当时，的图象，再作其关于轴的对称图形，即可得到的图象． 【变式3】利用函数的图象，作出下列各函数的图象： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 (3)作图见解析 (4)作图见解析 (5)作图见解析 【分析】（1）（2）（3）（4）（5）根据，结合对应图象变换画出对应函数图象. 【详解】（1）将图象向右平移一个单位即得，如下图，    （2）将右侧图象以y轴为对称轴作出左侧图象，去掉原图象左侧部分即得，如下图，    （3）将图象向下平移一个单位即得，如下图，    （4）以x轴为对称轴，画出与对称的图象即得，如下图，    （5）将（3）所得图象在x轴下方部分，翻折到上方即得，如下图，    【变式4】作出函数与的图象 【答案】图见解析 【分析】由的图象再利用图象的翻折和平移变换即可得的图象，为偶函数，当时去绝对值作出轴右边的图象，关于轴对称到左边即可. 【详解】将的图象轴右边的图象关于轴对称地翻折到轴左边即可得的图象，向右平移个单位即可得的图象如图： 函数为偶函数，当时，， 作出的图象向右平移个单位可得保留轴右边的部分关于轴对称的翻折到轴左边即可，图象如图所示： 1、平移变换 ① ② ③ ④ 2、对称变换 ① ② ③ 3、翻折变换 ①（去掉轴左侧图象，保留轴右侧图象；将轴右侧图象翻折到轴左侧） ②（保留轴上方的图象，将轴下方的图象翻折到轴上方） 题型06 利用指数函数的单调性比较大小 【典例1】已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指数函数的单调性可判断，利用幂函数的单调性可判断，得解. 【详解】因为是R上的减函数，又，所以，即， 因为函数在上单调递增，，所以，即， . 故选：D. 【变式1】若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数的单调性比较大小即可. 【详解】由， 因为在上单调递减，且， 所以． 故选：C. 【变式2】下列关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将变形为，再利用指数函数在上的单调性即可得解. 【详解】，又在上单调递减，， ，即． 故选：B 【变式3】已知，，，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件，利用指数函数和的性质，即可求解. 【详解】因为是增函数，又，所以， 又是减函数，所以，则， 故选：C. 【变式4】已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由幂函数与指数函数的单调性比较指数幂的大小即可. 【详解】对于，由于在单调递增，所以， 对于，由于单调递减，故. 所以. 故选：D 题型07 利用指数函数的单调性解不等式 【典例1】已知函数，则不等式成立的实数m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】利用函数的单调性和奇偶性解抽象函数不等式可得. 【详解】，定义域为关于原点对称，所以为偶函数， 又当时，为增函数；当时，为减函数， 所以即， 两边平方整理可得，解得， 所以不等式成立的实数m的取值范围为. 故答案为：. 【变式1】若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数函数的单调性解不等式即可得出结果． 【详解】因，则， 即，解得， 所以的取值范围为． 故选：B． 【变式2】若关于的不等式：的解集是，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】按照和分类讨论，利用指数函数单调性将不等式转化为二次不等式的求解，即可得解. 【详解】当时，单调递增，故等价于， 即，解得或，不符合题意； 当时，单调递减，故等价于， 即，解得，符合题意，故的取值范围是. 故答案为： 【变式3】已知，若，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】分析函数的单调性，由结合函数的单调性可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】因为函数的定义域为，且函数、在上均为增函数， 所以，函数在上为增函数， 由可得，即，解得或， 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 【变式4】求不等式的解集． 【答案】 【分析】原不等式可化为，然后利用指数函数单调性得，解一元二次不等式即可得解. 【详解】原不等式可化为：． 是增函数，． 整理得，所以，故原不等式的解集为． 题型08 指数型复合函数的单调性 【典例1】设函数（且）在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用指数函数及复合函数的单调性计算即可. 【详解】易知，显然在上单调递增， 在上单调递减， 因为在区间上单调递增，结合复合函数的单调性可知，且， 所以. 故选：A 【变式1】函数的单增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，由对勾函数及复合函数的单调性进行求解. 【详解】令, 则，由对勾函数的单调性知， 函数在上单调递减，在上单调递增， 因为，由得， 所以由复合函数的单调性知，函数的单增区间为， 故选：A 【变式2】函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】运用复合函数单调性“同增异减”规则来解题即可. 【详解】设，根据二次函数的单调性可知， 在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增，根据“同增异减”可得， 函数的单调递减区间是. 故选：A. 【变式3】设函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用复合函数“同增异减”的性质求得二次函数对称轴解不等式可得结果. 【详解】易知函数是由指数函数和二次函数复合而成的； 再由复合函数单调性可得，使二次函数在区间上单调递减即可； 因此，可得. 故选：D 【变式4】已知函数（且）在上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】令，，分、两种情况讨论，结合指数函数、二次函数的单调性计算可得. 【详解】令，则，令； 当时，因为，所以，且在定义域上单调递减， 要使在上单调递增，则在上单调递减，则，解得； 当时，因为，所以，且在定义域上单调递增， 要使在上单调递增，则在上单调递增，则，； 综上可得. 故选：A 题型09 与指数函数（指数型复合函数）有关的值域 【典例1】函数在区间上的值域为 . 【答案】 【分析】根据分段函数、指数函数性质求指数复合函数的值域. 【详解】函数由和复合而成， 当时，，所以，所以， 即函数在区间上的值域为. 故答案为： 【变式1】已知函数，则（    ） A．在上单调递增且值域为 B．在上单调递减且值域为 C．在上单调递增且值域为 D．在上单调递减且值域为 【答案】B 【分析】利用指数函数，二次函数，复合函数的性质求解单调性和值域即可. 【详解】令， 则视为由和构成的复合函数， 由二次函数性质得在上单调递减，在上单调递增， 由指数函数性质得在上单调递增， 由复合函数性质得在上单调递减， 而，故，故B正确. 故选：B 【变式2】已知函数的值域为．若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可知即有解，且无最大值，分为，，三种情况讨论求解. 【详解】由，可知有解，且无最大值， 即有解，且无最大值， 当时，有解，无最大值，符合题意； 当时，，则有解， 当时，有最大值，则有最大值，不符合题意； 当时，有解需满足，解得， 此时无最大值，无最大值，满足题意． 综上，实数的取值范围是． 故选：A． 【变式3】已知函数的值域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数值域为，利用指数函数和一次函数函数单调性以及画出函数图像分析即可解决问题. 【详解】当时，单调递增， 所以 当时，单调递增， 所以， 要使得函数值域为， 则恒成立， 令， 如图所示：    由图可知有两个交点，且交点的横坐标分别为， 所以若要，则， 也即函数的值域为时， 则实数的取值范围为：， 故选：D. 【变式4】函数的值域为 . 【答案】 【分析】根据基本不等式求得的范围，然后根据指数函数的单调性即可求解. 【详解】，当且仅当，即时等号成立， 又在上单调递增，所以，所以函数的值域为. 故答案为： 题型10 可化为一元二次函数型 【典例1】已知函数，则函数的值域为 ． 【答案】 【分析】设，则，此时，利用二次函数的性质即可求解． 【详解】设，则，此时， 当时，即 ，函数取得最小值，此时最小值为； 当时，即 ，函数取得最大值，此时最大值为． 故答案为：. 【变式1】函数在的最小值是 . 【答案】 【分析】令，利用换元法结合二次函数的性质可得函数的最小值. 【详解】令，则， 函数变形为， ∴当时，函数最小值为. 故答案为：. 【变式2】函数，的值域为 . 【答案】 【分析】换元后根据二次函数的性质求值域即可. 【详解】令， 则， 当时，，当时，， 所以函数，的值域为. 故答案为： 【变式3】函数的值域为 . 【答案】 【分析】利用换元法结合二次函数求值域即可. 【详解】设，则， 换元得， 显然当时，函数取到最小值， 所以函数的值域为． 故答案为：. 【变式4】要使函数在时恒大于0，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用分离参数法得到在时恒成立，令，求出的值域，即可求出实数a的取值范围. 【详解】因为函数在时恒大于0， 所以在时恒成立. 令，则. 因为，所以. 令. 因为在上为减函数，所以，即 因为恒成立,所以. 故答案为： 题型11 与指数函数的相关的综合问题 【典例1】已知二次函数满足，函数满足，且不等式的解集为． (1)求的解析式； (2)若关于x的不等式对任意的恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）求出函数，设出的解析式，利用给定的解集求出参数得解析式. （2）由（1）的结论，等价变形不等式，分离参数，利用指数函数值域及基本不等式求出最小值即可求解. 【详解】（1）由，得，则， 由二次函数满足，设， 不等式，即， 依题意，是方程的二实根，且， 于是，解得， 所以的解析式为. （2）由（1）知，， 不等式， 依题意，不等式对任意的恒成立， 而，，当且仅当，即时取等号， 因此，解得， 所以实数m的取值范围是. 【变式1】已知函数，且为常数． (1)当时，求的解集； (2)当，恒有，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）令，则，解得； （2）换元得到在上恒成立，参变分离得到在上恒成立，由函数单调性求出的最小值，得到. 【详解】（1）时，， 令，则，，解得， 故，解得，故不等式的解集为； （2）， ，令，则在上恒成立， 故在上恒成立， 其中在上单调递增，故当时，取得最小值，最小值为2， 故. 【变式2】定义：若对定义域内任意，都有（为正常数），则称函数为“距”增函数. (1)若，，判断是否为“1距”增函数，并说明理由； (2)若，是“距”增函数，求实数的取值范围； (3)若，，其中（）为常数，如果是“2距”增函数，求实数的取值范围及的最小值. 【答案】(1)为“1距”增函数. (2). (3) 【分析】（1）根据题设中的新定义可证，故可判断为“1距”增函数. （2）根据函数新定义可得在上恒成立，根据判别式可求参数的范围； （3）根据函数新定义可得在上恒成立，分类讨论后可求参数的范围. 【详解】（1）因为，故， 故为“1距”增函数. （2）由题设可得在上恒成立即， 整理得到：在上恒成立， 若，因不成立，故舍， 故，解得. （3）因为是“2距”增函数，故， 整理得到：在上恒成立， 故恒成立且恒成立， 故且， 故. 【变式3】已知函数，其中且. (1)若，求的最小值； (2)若在区间上的最大值为，求的值； (3)若，且对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题知，进而结合二次函数求解即可； （2）令，将函数转化为求的最大值问题，再分和讨论求解即可； （3）结合题意，将问题转化为，对任意恒成立，再结合基本不等式求解即可. 【详解】（1）当时，函数， 所以当时，函数有最小值. （2）令，则函数， 当时，由有， 由于函数在上单调递减，在区间上的最大值为， 所以，当时，有最大值， 解得或，均不满足，舍去； 当时，由有， 由于函数在上单调递增，在区间上的最大值为， 所以，当时，有最大值， 解得或，其中不满足，舍去； 综上，. （3）因为当时，对任意恒成立 所以，对任意恒成立 所以，对任意恒成立， 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以，恒成立，即， 所以，实数的取值范围为. 【变式4】已知函数 (1)求不等式的解集； (2)求的值域； (3)当时，不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先由因式分解得，进而得；再根据指数函数的单调性即可得出答案. （2）先利用换元法将函数转化为，；再利用函数的单调性求解即可. （3）先分离参数，得当时，不等式恒成立；再构造函数，根据对勾函数的单调性求最小值即可求解. 【详解】（1）由题意可得：，即. 因为， 则. 因为函数在上单调递增，且， 所以. 故不等式的解集为 （2）由，得：函数定义域为. 令 则，. 因为二次函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以当时，，当时，. 故的值域为. （3）由题意得：当时，不等式恒成立， 即当时，不等式恒成立， 即当时，不等式恒成立. 令，. 因为函数在区间上单调递减，在区间上单调递增 所以当时，. 所以，解得： 故当时，不等式恒成立， 的取值范围为. 1．若 且 ，则函数 的图象恒过的定点坐标是 . 【答案】 【分析】由且，恒成立可知，令，并代入原函数求解即可. 【详解】令，解得，代入可得， 所以的图象恒过定点. 故答案为：. 2．已知，且函数在上是严格减函数，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据指数函数相关概念直接计算求解即可. 【详解】因为函数在上是严格减函数， 所以，解得， 所以的取值范围是， 故答案为：. 3．若函数（且），任取，且，都有，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用单调性定义确定函数的单调性，再利用分段函数，结合指数函数单调性列式求解. 【详解】由任取，且，都有，得函数在上单调递增， 而函数，则，解得， 所以实数a的取值范围是. 故选： 4．若函数对于任意，总存在使得，则称是上的“a阶依赖函数”.若函数是上的“a阶依赖函数”，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】原问题可转化为对于任意，总存在使得，即有，解出即可得. 【详解】由题意可得，对于任意，总存在使得， 即有，则，即. 故答案为： 5．已知函数的定义域为R，则函数的值域为 【答案】 【分析】由题意在R上恒成立，求得，再结合指数函数、分式型函数的性质求的值域. 【详解】由题设知，在R上恒成立， 所以，则，故， 所以在上单调递增，故. 故答案为： 6．若函数的值域为，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据分段函数解析式，及指数函数、二次函数的性质求区间值域，结合函数值域求参数范围. 【详解】由在上值域为， 由在上单调递减，则值域为， 又原函数的值域为，所以，可得. 故答案为： 7．已知函数与，若对任意的，总有恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】. 【分析】将条件转换为若对任意的，总有恒成立，分离参数结合基本不等式即可求解. 【详解】， 所以若对任意的，总有恒成立， 即对任意的，总有恒成立， 即对任意的，总有恒成立， 而当时，，等号成立当且仅当， 所以当时，有最小值且最小值是2， 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 8．若函数在区间单调递增函数，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据分段函数的单调性的判定方法，列出不等式组，即可求解. 【详解】由题意，函数是上的单调递增函数， 则满足，解得， 所以实数a的取值范围. 故答案为： 9．已知在上恒成立，则实数m的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】将不等式等价转化为，求出右端函数在上的最小值即可. 【详解】因为在上恒成立， 也即， 因为在上单调递减，所以，也即， 所以，则，所以实数的最小值为， 故答案为：. 10．函数的单调递减区间为 ． 【答案】 【分析】利用复合函数的单调性同增异减，结合二次函数与指数函数的单调性即可解答. 【详解】因为复合函数是由与复合而得， 而在上单调递减， 所以的单调减区间即为的单调增区间， 因为开口向下，对称轴为， 所以的单调增区间. 则答案为：. 11．若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，由换元法转化为在区间上恒成立，进而可得. 【详解】设，当时，， 故由题意可得关于的不等式在区间上恒成立， 设，由二次函数的性质可知在区间上单调递减， 故，得， 故选：D 12．在同一平面直角坐标系中，二次函数与指数函数的图像关系可能为（        ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数的图象特征，结合开口方向以及的正负，即可确定与1的关系，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，二次函数开口向上，则，，，，为减函数，符合题意， 对于B，二次函数开口向上，则，，此时不是指数函数，不符合题意， 对于C，二次函数开口向下，则，，此时函数 不是指数函数，不符合题意， 对于D，二次函数开口向下，则，，指数函数增函数，不符合题意， 故选：A 13．已知函数. (1)若时，求函数的值域； (2)若函数的最小值是1，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）化简（），再利用换元法得（），从而代入求函数的值域； （2）（），讨论以确定函数的最小值及最小值点，从而求. 【详解】（1）（）， 设，得（）. 当时，（）. 所以，. 所以，， 故函数的值域为. （2）由（1）（）， ①当时，， 令，得，不符合舍去； ②当时，， 令，得，或，不符合舍去； ③当时，， 令，得，不符合舍去. 综上所述，实数的值为. 14．已知函数的图像经过，其中且 (1)求实数的值 (2)若，求实数的取值范围 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将点代入函数即可求得结果； （2）根据指数函数的单调性并结合一元二次不等式的解集公式求得结果. 【详解】（1）将点代入函数解析式，得， . （2）由（1）知函数单调递减， ， ， ，解得或， 则实数的取值范围. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $